2021屆高考物理二輪復(fù)習(xí)（選擇性考試）學(xué)案：第10講　磁場(chǎng)、帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)

第10講磁場(chǎng)、帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)

知識(shí)歸納感悟真題

知識(shí)科建

核心提煉

1.掌握“兩個(gè)磁場(chǎng)力”.

(1)安培力：F=BILsine,其中，為3與1的夾角.

(2)洛倫茲力：F=qvB,sinO,其中〃為3與。的夾角.

2.用準(zhǔn)“兩個(gè)定則

(1)對(duì)電流的磁場(chǎng)用安培定則.

(2)對(duì)通電導(dǎo)線(xiàn)在磁場(chǎng)中所受的安培力和帶電粒子在磁場(chǎng)中所受的

洛倫茲力用左手定則.

3.靈活應(yīng)用帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的關(guān)系式.

1.(2020?全國(guó)卷I)一勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大：

小為B,方向垂直于紙面向外，其邊界如圖中虛線(xiàn)所示，而為半圓,

GC、bd與直徑必共線(xiàn)，GC間的距離等于半圓的半徑.一束質(zhì)量為，小

電荷量為式q>0）的粒子，在紙面內(nèi)從c點(diǎn)垂直于GC射入磁場(chǎng)，這些粒

子具有各種速率.不計(jì)粒子之間的相互作用.在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)

的粒子，其運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（)

5九小

A?硒B(niǎo)?砸

47rm3元/〃

D'2qB

解析：粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)

72n=r----

V'

可得粒子在磁場(chǎng)中的周期T=饕,

粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，=?.7=筆，

Litqb

則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間與速度無(wú)關(guān)，軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角越大，

運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長(zhǎng).采用放縮圓解決該問(wèn)題，

粒子垂直GC射入磁場(chǎng)，則軌跡圓心必在GC直線(xiàn)上，將粒子的軌

跡半徑由零逐漸增大.

當(dāng)半徑rWO.5K和r21.5A時(shí)，粒子分別從ac、瓦/區(qū)域射出，磁

場(chǎng)中的軌跡為半圓，運(yùn)動(dòng)時(shí)間等于半個(gè)周期.

當(dāng)0.5K<r<L5K時(shí)，粒子從半圓邊界射出，將軌跡半徑從0.5K逐

漸增大，粒子射出位置從半圓頂端向下移動(dòng)，軌跡圓心角從7T逐漸增

大，當(dāng)軌跡半徑為K時(shí)，軌跡圓心角最大，然后再增大軌跡半徑，軌

跡圓心角減小，因此當(dāng)軌跡半徑等于K時(shí)軌跡圓心角最大，即軌跡對(duì)

rr4

應(yīng)的最大圓心角0=n+§=鏟,

粒子運(yùn)動(dòng)最長(zhǎng)時(shí)間為="鬻=鬻，故C正確.

答案：c

2.（2020?天津卷）（多選）如圖所示，在。到平面的第「

XXX

一象限內(nèi)存在方向垂直紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為3乜次vv

XXX

的勻強(qiáng)磁場(chǎng).一帶電粒子從y軸上的M點(diǎn)射入磁場(chǎng)，卜-x-x;

速度方向與J軸正方向的夾角0=45。.粒子經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后在N點(diǎn)（圖

中未畫(huà)出）垂直穿過(guò)x軸.已知OM=a,粒子電荷量為q,質(zhì)量為機(jī)，

重力不計(jì).貝?。ǎ?/p>

A.粒子帶負(fù)電荷

B.粒子速度大小為警

C.粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為a

D.N與。點(diǎn)相距（啦+1）。

解析：粒子向下偏轉(zhuǎn)，根據(jù)左手定則判斷洛倫茲力，可知粒子帶

負(fù)電，A正確；

粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖

由于速度方向與y軸正方向的夾角，=45。，根據(jù)幾何關(guān)系可知

ZOMOi=ZOOiM=45°,OM=OOi=a,

則粒子運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為

r=0iM=\[2a,

洛倫茲力提供向心力

v2

qvB=m-,

含也qBa

解付

v=m—f,

B、C錯(cuò)誤；

N與。點(diǎn)的距離為N0=00i+r=(&+l)a,

D正確.

答案：AD

3.(2020?全國(guó)卷II)如圖，在OWxWA,-8勺<+8V

區(qū)域中存在方向垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度BB；

的大小可調(diào)，方向不變.一質(zhì)量為機(jī)，電荷量為q(q>0)L

的粒子以速度。0從磁場(chǎng)區(qū)域左側(cè)沿x軸進(jìn)入磁場(chǎng)，不計(jì)重力.

(1)若粒子經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后穿過(guò)J軸正半軸離開(kāi)磁場(chǎng)，分析說(shuō)明磁場(chǎng)

的方向，并求在這種情況下磁感應(yīng)強(qiáng)度的最小值瓦1；

(2)如果磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為華，粒子將通過(guò)虛線(xiàn)所示邊界上的一點(diǎn)

離開(kāi)磁場(chǎng).求粒子在該點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向與x軸正方向的夾角及該點(diǎn)到x

軸的距離.

解析：(1)由題意，粒子剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)應(yīng)受到方向向上的洛倫茲力，

因此磁場(chǎng)方向垂直于紙面向里.設(shè)粒子進(jìn)入磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑

為K,根據(jù)洛倫茲力公式和圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律，有

錯(cuò)誤！，①

由此可得￡=器.②

粒子穿過(guò)y軸正半軸離開(kāi)磁場(chǎng)，其在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心在y

軸正半軸上，半徑應(yīng)滿(mǎn)足尺式無(wú)，③

由題意，當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為時(shí)，粒子的運(yùn)動(dòng)半徑最大，由此

得廝=篝.④

（2）若磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為牛，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心仍在y軸正半

軸上，由②④式可得，此時(shí)圓弧半徑為R，=2幾⑤

粒子會(huì)穿過(guò)圖中尸點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示.

設(shè)粒子在尸點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向與x軸正方向的夾角為a,

由幾何關(guān)系sin”=豆=3，⑥

即a=^,⑦

由幾何關(guān)系可得，尸點(diǎn)與x軸的距離為

y=2h（l—cosa）,⑧

聯(lián)立⑦⑧式得y=（2一由）加

答案：⑴磁場(chǎng)方向垂直于紙面向里器（2年（2一5）無(wú)

細(xì)研考點(diǎn)提升素養(yǎng)

考點(diǎn)一磁場(chǎng)的性質(zhì)及磁場(chǎng)對(duì)電流的作用力

1.磁場(chǎng)、磁感應(yīng)強(qiáng)度.

(1)磁場(chǎng).

基本性質(zhì)：磁場(chǎng)對(duì)處于其中的磁體、電流和運(yùn)動(dòng)電荷有磁場(chǎng)力的

作用.

(2)磁感應(yīng)強(qiáng)度.

①物理意義：描述磁場(chǎng)的強(qiáng)弱和方向.

②大?。?=五.

③方向：小磁針的N極所受磁場(chǎng)力的方向，也就是小磁針靜止時(shí)

N極的指向.

④單位：特斯拉(T).

(3)勻強(qiáng)磁場(chǎng).

①定義：磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小處處相等、方向處處相同的磁場(chǎng)稱(chēng)為

勻強(qiáng)磁場(chǎng).

②特點(diǎn)：磁感線(xiàn)疏密程度相同、方向相同.

(4)磁感線(xiàn)及其特點(diǎn).

①磁感線(xiàn)：在磁場(chǎng)中畫(huà)出一些曲線(xiàn)，使曲線(xiàn)上每一點(diǎn)的切線(xiàn)方向

都跟這點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向一致.

②特點(diǎn).

a.磁感線(xiàn)上某點(diǎn)的切線(xiàn)方向就是該點(diǎn)的磁場(chǎng)方向.

b.磁感線(xiàn)的密疏定性地表示磁場(chǎng)的強(qiáng)弱.

c.磁感線(xiàn)是閉合曲線(xiàn)，沒(méi)有起點(diǎn)和終點(diǎn).

d.磁感線(xiàn)是假想的曲線(xiàn)，客觀(guān)上不存在.

(5)磁場(chǎng)疊加問(wèn)題的一般解題思路.

①確定磁場(chǎng)場(chǎng)源，如通電導(dǎo)線(xiàn).1

②定位空間中需求解磁場(chǎng)的點(diǎn)，利用安培定則判定鏟;;

各個(gè)場(chǎng)源在這一點(diǎn)上產(chǎn)生的磁場(chǎng)的大小和方向.如圖所示為M、N在

c點(diǎn)產(chǎn)生的磁場(chǎng).

③應(yīng)用平行四邊形定則進(jìn)行合成，如圖中的合磁場(chǎng).

(6)電流的磁場(chǎng).

項(xiàng)目通電直導(dǎo)線(xiàn)通電螺線(xiàn)管環(huán)形電流

安培B

定則備

2.安培力.

(1)安培力的大小.

①磁場(chǎng)和電流垂直時(shí)：F=BIL.

②磁場(chǎng)和電流平行時(shí)：F=0.

(2)安培力的方向.

左手定則判斷：困巧外

①伸出左手，讓拇指與其余四指垂直，并且都在同一級(jí)?劌

個(gè)平面內(nèi).

②讓磁感線(xiàn)從掌心進(jìn)入，并使四指指向電流方向.

③拇指所指的方向就是通電導(dǎo)線(xiàn)在磁場(chǎng)中所受安培力的方向.

3.分析磁場(chǎng)對(duì)電流的作用要做到“一明、一轉(zhuǎn)、一分析

)—明確研究對(duì)象(通電導(dǎo)線(xiàn)或?qū)w棒)

_將題「中的立體圖轉(zhuǎn)化為平面圖.

)一明確磁場(chǎng)的方向和電流的方向

受力分析的思路和力學(xué)完全相同.

)—分析安培力時(shí)注意其方向一定與導(dǎo)

體棒和磁感應(yīng)強(qiáng)度組成的平面垂l*L

決題用折

(2017?全國(guó)卷1)(多選)如圖，三根相互平回

均通有電/\

行的固定長(zhǎng)直導(dǎo)線(xiàn)Li、&和心兩兩等距,

/X

/\

L,&--------------

II

流/,L1中電流方向與七2中的相同，與L中的相反.下列說(shuō)法正確的

是（）

A.Li所受磁場(chǎng)作用力的方向與五、心所在平面垂直

B.心所受磁場(chǎng)作用力的方向與“、&所在平面垂直

C.心、心和心單位長(zhǎng)度所受的磁場(chǎng)作用力大小之比為1：1：小

D.心、心和心單位長(zhǎng)度所受的磁場(chǎng)作用力大小之比為由：小：

1

解析：如圖，由磁場(chǎng)的疊加知，七2與七3中的電流在L處產(chǎn)生的

合磁場(chǎng)的方向在心、七連線(xiàn)的中垂線(xiàn)上，由左手定則知，L1所受磁場(chǎng)

作用力的方向與心、心所在平面平行.選項(xiàng)A錯(cuò)誤.

L1與乙2中的電流在心處產(chǎn)生的合磁場(chǎng)的方向與七1、七2的連線(xiàn)平

行，由左手定則知,心所受磁場(chǎng)作用力的方向與14、丘所在平面垂直.選

項(xiàng)B正確.

由幾何關(guān)系知，設(shè)電流在另外導(dǎo)線(xiàn)處產(chǎn)生磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,

而L、七2所在處兩個(gè)磁場(chǎng)方向的夾角均為120。，則方合=優(yōu)而4所

在處兩個(gè)磁場(chǎng)方向的夾角為60。，則B%=小B,由b知，L、

心和小單位長(zhǎng)度所受的磁場(chǎng)作用力大小之比為1:1：5.選項(xiàng)C正確，

選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

答案：BC

題組突破

考向?磁場(chǎng)的合成

1.（2018?全國(guó)卷II）（多選）如圖，紙面內(nèi)有兩條互相垂直

的長(zhǎng)直絕緣導(dǎo)線(xiàn)Li、L2,Li中的電流方向向左，匕中的電I

流方向向上；L的正上方有。、b兩點(diǎn)，它們相對(duì)于心對(duì)稱(chēng).整個(gè)系

統(tǒng)處于勻強(qiáng)外磁場(chǎng)中，外磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為坳，方向垂直于紙

面向外.已知以b兩點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小分別為:為和［用），方向也垂

直于紙面向外.貝（1（）

7

A.流經(jīng)心的電流在b點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為三曲

B.流經(jīng)心的電流在a點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為白Bo

C.流經(jīng)乙2的電流在b點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為吉國(guó)

D.流經(jīng)心的電流在。點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為三3。

解析：原磁場(chǎng)、電流的磁場(chǎng)方向如圖所示，

由題意知在b點(diǎn)：|BO=BO—在a點(diǎn)：\B^=BQ—B\—BI,

由上述兩式解得夕1=七3（）,與2=五3（）.

答案：AC

考向?安培力作用下的平衡

2.（2019?全國(guó)卷I）如圖，等邊三角形線(xiàn)框LMN由三、*入、*

XX/X\XX

根相同的導(dǎo)體棒連接而成，固定于勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，線(xiàn)框平面

xjxx

與磁感應(yīng)強(qiáng)度方向垂直，線(xiàn)框頂點(diǎn)M.N與直流電源兩

端相接，已如導(dǎo)體棒受到的安培力大小為凡則線(xiàn)框LMN受到的

安培力的大小為（）

A.2FB.1.5F

C.0.5bD.0

解析：設(shè)三角形邊長(zhǎng)為/導(dǎo)體棒的電流為/,則MLN的電流

為《，根據(jù)b=3〃，所以ML和LN受安培力為根據(jù)力的合成，線(xiàn)

框LMN受到的安培力的大小為F+2Xysin30°=1.5F,故B正確.

答案：B

考向?導(dǎo)體加速問(wèn)題

3.（多選）如圖所示，無(wú)限長(zhǎng)水平直導(dǎo)線(xiàn)中通有向右------

□

的恒定電流/,導(dǎo)線(xiàn)正下方固定一正方形線(xiàn)框，線(xiàn)框中

也通有沿順時(shí)針?lè)较虻暮愣娏鳎潆娏饕矠?,線(xiàn)框的邊長(zhǎng)為L(zhǎng)線(xiàn)

框上邊與直導(dǎo)線(xiàn)平行，且到直導(dǎo)線(xiàn)的距離也為L(zhǎng).已知在長(zhǎng)直導(dǎo)線(xiàn)的磁

場(chǎng)中距長(zhǎng)直導(dǎo)線(xiàn)r處的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B=g,線(xiàn)框的質(zhì)量為m,則

釋放線(xiàn)框的一瞬間，線(xiàn)框的加速度可能為（）

A.0B.管一g

kl2kl2

C?赤一9D.g一m

解析：線(xiàn)框上邊受到的安培力大小為入=盡二=以2,方向向上，

線(xiàn)框下邊受到的安培力大小為F2=krjrIL=^kI2,方向向下，若Fi=

Fi+mg,則加速度為零，A項(xiàng)正確；若人大于g+mg,則加速度向

上，大小為一今一B項(xiàng)錯(cuò)誤，C項(xiàng)正確；若B小

于g+mg,則加速度向下，大小為G2=g一二，D項(xiàng)錯(cuò)誤.

答案：AC

考點(diǎn)二帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)

知識(shí)0f透

1.兩種方法定圓心.

方法一：已知入射點(diǎn)、入射方向和出射點(diǎn)、出射方向時(shí)，可通過(guò)

入射點(diǎn)和出射點(diǎn)作垂直于入射方向和出射方向的直線(xiàn)，兩條直線(xiàn)的交

點(diǎn)就是圓弧軌道的圓心（如圖甲所示）.

方法二：已知入射方向和入射點(diǎn)、出射點(diǎn)的位置時(shí)，可以通過(guò)入

射點(diǎn)作入射方向的垂線(xiàn)，連接入射點(diǎn)和出射點(diǎn)，作其中垂線(xiàn)，這兩條

垂線(xiàn)的交點(diǎn)就是圓弧軌道的圓心（如圖乙所示）.

2.幾何知識(shí)求半徑.

利用平面幾何關(guān)系，求出軌跡圓的可能半徑（或圓心角），求解時(shí)注

意以下幾個(gè)重要的幾何特點(diǎn)：

⑴粒子速度的偏向角"）等于圓心角⑷，并等于哄P（偏向角）

弦與切線(xiàn)的夾角（弦切角0）的2倍（如圖所示）,即°=。=

20=cot?

（2）直角三角形的應(yīng)用（勾股定理）.

找到AB的中點(diǎn)C,連接OC,貝!）△AOC、ZiBOC都是直角三角形.

3.兩個(gè)觀(guān)點(diǎn)算時(shí)間.

觀(guān)點(diǎn)一：由運(yùn)動(dòng)弧長(zhǎng)計(jì)算，，=*，為弧長(zhǎng)）；

觀(guān)點(diǎn)二由旋轉(zhuǎn)角度計(jì)算，片就義或「次.

4.三類(lèi)邊界磁場(chǎng)中的軌跡特點(diǎn).

⑴直線(xiàn)邊界：進(jìn)出磁場(chǎng)具有對(duì)稱(chēng)性.

⑵平行邊界：存在臨界條件.

⑶圓形邊界：等角進(jìn)出，沿徑向射入必沿徑向射出.

典題例析

典例?（2018?海南卷）如圖，圓心為0、半徑為

r的圓形區(qū)域外存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直于紙面

向外，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B.P是圓外一點(diǎn)，。尸=3r.

一質(zhì)量為機(jī)、電荷量為g（q>0）的粒子從尸點(diǎn)在紙面內(nèi)垂直于O尸射出.已

知粒子運(yùn)動(dòng)軌跡經(jīng)過(guò)圓心O,不計(jì)重力.求：

⑴粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑；

⑵粒子第一次在圓形區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)所用的時(shí)間.

解析：（1）粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，設(shè)粒子在磁

Rr4

場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R,3r=/?+~tan0=~^解得氏=斗

Cz>V9

f/lV^

由洛倫茲力等于向心力，有q^B==,

(2)K

頷尸qBR

解傳v=.

in

粒子第一次在圓形區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)所用的時(shí)間￡=§,聯(lián)立各式解得，

31n

=2qB'

答案：靖⑵景

題組突破

考向?直線(xiàn)邊界問(wèn)題

1.如圖所示，直線(xiàn)MN上方有垂直紙面向里的勻強(qiáng)****

XXXX

磁場(chǎng)，電子1從磁場(chǎng)邊界上的a點(diǎn)垂直和磁場(chǎng)方向「丘,」

MacbN

射入磁場(chǎng)，經(jīng)人時(shí)間從b點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng).之后電子2也由。點(diǎn)沿圖示方

向以相同速率垂直磁場(chǎng)方向射入磁場(chǎng)，經(jīng)燈時(shí)間從。、b連線(xiàn)的中點(diǎn)c

離開(kāi)磁場(chǎng)，貝hl：打?yàn)?)

A.3：1B.2：3

C.3：2D.2：1

解析：電子在磁場(chǎng)中都做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)題意、*、、

畫(huà)出電子的運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖所示，電子1垂直射進(jìn)磁場(chǎng)，X憶乂,

M小、/cbN

從方點(diǎn)離開(kāi)，則運(yùn)動(dòng)了半個(gè)圓周，即為直徑，c點(diǎn)為o

圓心，電子2以相同速率垂直磁場(chǎng)方向射入磁場(chǎng)，經(jīng)辦時(shí)間從a、b連

1117)

線(xiàn)的中點(diǎn)c離開(kāi)磁場(chǎng)，根據(jù)半徑「=前可知，電子1和2的半徑相等，

根據(jù)幾何關(guān)系可知，△aOc為等邊三角形，則粒子2轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角為

60。，所以電子1運(yùn)動(dòng)的時(shí)間人=：=等，電子2運(yùn)動(dòng)的時(shí)間打=1=罌,

LHqoitiq

所以9=3,故A正確.

12

答案：A

考向?平行邊界問(wèn)題

2.如圖所示，一個(gè)理想邊界為P。、MN的勻強(qiáng)磁/x-x-xfa-x-^

場(chǎng)區(qū)域，磁場(chǎng)寬度為d,方向垂直紙面向里.一電子從

O點(diǎn)沿紙面垂直P(pán)Q以速度進(jìn)入磁場(chǎng).若電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡

半徑為2d.O,在上，且00,與MN垂直.下列判斷正確的是（）

A.電子將向右偏轉(zhuǎn)

B.電子打在MN上的點(diǎn)與0,點(diǎn)的距離為d

C.電子打在MN上的點(diǎn)與0,點(diǎn)的距離為3d

D.電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為給

解析：電子帶負(fù)電，進(jìn)入磁場(chǎng)后，根據(jù)左手定則/發(fā)對(duì)*:

判斷可知，所受的洛倫茲力方向向左，電子將向左偏M…-一萬(wàn)’……R

轉(zhuǎn)，如圖所示，A錯(cuò)誤；設(shè)電子打在MN上的點(diǎn)與0,點(diǎn)的距離為x,

則由幾何知識(shí)得:x=r—「r2一心=2</一2（2d）>=（2—由）d,故B、

C錯(cuò)誤；設(shè)軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角為，，由幾何知識(shí)得：sin〃=另=0.5,

乙a

rrHrrr/i

得〃=色則電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為￡="=詈，故D正確.

O5容0

答案：D

考向?圓形邊界問(wèn)題

3.如圖所示，真空中，垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)

只在兩個(gè)同心圓所夾的環(huán)狀區(qū)域存在（含邊界），兩圓的

半徑分別為￡、3R,圓心為0.一重力不計(jì)的帶正電粒子從大圓邊緣的

尸點(diǎn)沿P0方向以速度。i射入磁場(chǎng)，其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖，軌跡所對(duì)的圓

心角為120。.若將該帶電粒子從P點(diǎn)射入的速度大小變?yōu)橐矔r(shí)，不論

其入射方向如何，都不可能進(jìn)入小圓內(nèi)部區(qū)域，則：6至少為()

A.￥B.小

C峙D.2^3

解析：粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，如圖：由幾何

a?

知識(shí)得：,1=二矢=小匕洛倫茲力提供向心力，由

ianOv

牛頓第二定律得：第;山=川錯(cuò)誤!，解得：01=錯(cuò)誤!；當(dāng)

該帶電粒子從尸點(diǎn)射入的速度大小變?yōu)?2時(shí)，若粒子豎直向上射入磁

場(chǎng)粒子恰好不能進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，即粒子軌道半徑Z*2=R,則不論其入射方

向如何，都不可能進(jìn)入小圓內(nèi)部區(qū)域，此時(shí)洛倫茲力提供向心力，由

牛頓第二定律得：［02呂=機(jī)錯(cuò)誤!，解得：也=錯(cuò)誤!，則：01：02=錯(cuò)誤!，

故B正確，A、C、D錯(cuò)誤.

答案：B

考點(diǎn)三帶電粒子在磁場(chǎng)中的臨界問(wèn)題

知識(shí)研透

求解臨界、極值問(wèn)題的“兩思路、兩方法”.

⑴以定理、定律為依據(jù)，首先求出所研究問(wèn)題

的一般規(guī)律和一般解的形式，然后分析、討論

兩種思路

處于臨界條件時(shí)的特殊規(guī)律和特殊解

(2)直接分析、討論臨界狀態(tài)，找出臨界條件，

從而通過(guò)臨界條件求出臨界值

（1）利用臨界條件求極值；（2）利用

兩種方法物理方法邊界條件求極值；（3）利用矢量圖

求極值

（1）用三角函數(shù)求極值；（2）用二次

兩種方法數(shù)學(xué)方法方程的判別式求極值；（3）用不等

式的性質(zhì)求極值；（4）圖象法等

許多臨界問(wèn)題，題干中常用“恰好”“最大”“至

從關(guān)鍵詞少”“不相撞”“不脫離”等詞語(yǔ)對(duì)臨界狀態(tài)給

找突破口以暗示，審題時(shí)，一定要抓住這些特定的詞語(yǔ)

挖掘其隱藏的規(guī)律，找出臨界條件

典例日（2020?全國(guó)卷川）真空中有一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)

邊界為兩個(gè)半徑分別為。和3a的同軸圓柱面，磁場(chǎng)的方

向與圓柱軸線(xiàn)平行，其橫截面如圖所示.一速率為。的

電子從圓心沿半徑方向進(jìn)入磁場(chǎng).已知電子質(zhì)量為處電荷量為e,忽

略重力.為使該電子的運(yùn)動(dòng)被限制在圖中實(shí)線(xiàn)圓圍成的區(qū)域內(nèi)，磁場(chǎng)

的磁感應(yīng)強(qiáng)度最小為（）

3mvmv

A.^-B.

2aeae

3mv3mv

C.-j——

4ae5ae

解析：電子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由洛倫茲力提供向心力

V2

eBv—m—r，,

則磁感應(yīng)強(qiáng)度與圓周運(yùn)動(dòng)軌跡關(guān)系為

mv

即運(yùn)動(dòng)軌跡半徑越大，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度越小.

令電子運(yùn)動(dòng)軌跡最大的半徑為rmax,為了使電子的運(yùn)動(dòng)被限制在

圖中實(shí)線(xiàn)圓圍成的區(qū)域內(nèi)，其最大半徑的運(yùn)動(dòng)軌跡與實(shí)線(xiàn)圓相切，如

圖所示.

A點(diǎn)為電子做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心，電子從圓心沿半徑方向進(jìn)入磁場(chǎng),

由左手定則可得,

AB±OB,△A30為直角三角形，則由幾何關(guān)系可得

(3d—Tmax)~=Max+",

,4

解得「max

解得磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度最小值

mv3mv

Bmin=^=4^7,

故C正確.

答案：c

題組臭破

考向?平行邊界磁場(chǎng)中的臨界極值問(wèn)題

1.如圖所示，平行邊界MMPQ之間有垂直紙面向里的M：xx：。

;XX;

勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為兩邊界間距為邊界；XX}

B,d,/I?XX：

上點(diǎn)有一粒子源，可沿紙面內(nèi)任意方向射出完全相同；xx!

A4xx

的質(zhì)量為機(jī)，電量為q的帶正電的粒子，粒子射出的速度大小均為。

=誓，若不計(jì)粒子的重力及粒子間的相互作用，則粒子能從PQ邊

界射出的區(qū)域長(zhǎng)度與能從MN邊界射出的區(qū)域長(zhǎng)度之比為（）

A.1B.2：3

C.?。?D.2s：7

解析：粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r=^=|d,則能達(dá)到尸。

上的粒子長(zhǎng)度為2（例2=號(hào)^.；能打到MN上的粒子的長(zhǎng)

4

度為2r=利，故粒子能從尸。邊界射出的區(qū)域長(zhǎng)度與能從MN邊界射

出的區(qū)域長(zhǎng)度之比為與，故c正確.

答案：c

考向?圓形磁場(chǎng)中的臨界極值問(wèn)題

2.如圖所示,半徑為r的圓形區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的

/XXXx\

勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為3,磁場(chǎng)邊界上A點(diǎn)有一粒（xxxx）

子源，源源不斷地向磁場(chǎng)發(fā)射各種方向（均平行于紙面）且速

度大小相等的帶正電的粒子（重力不計(jì)），已知粒子的比荷為荔速度大

小為24班.則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為（）

A----R02--k--B--

C,3kB0?旃

解析：粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑為R=*嚕=2r;當(dāng)粒子在

qts15K

磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)時(shí)，其軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角最大，此時(shí)弦長(zhǎng)最大，

T7T/W7T

其最大值為磁場(chǎng)圓的直徑2r,故￡=：=篝=|,故選項(xiàng)C正確.

OJKJD

答案：c

考向?方形磁場(chǎng)中的臨界極值問(wèn)題

3.（2019?北京卷）如圖所示，正方形區(qū)域內(nèi)存在垂直紙*…萬(wàn)"一

?a

面的勻強(qiáng)磁場(chǎng).一帶電粒子垂直磁場(chǎng)邊界從a點(diǎn)射入，,**

從b點(diǎn)射出.下列說(shuō)法正確的是（）屋一……已」上

A.粒子帶正電

B.粒子在方點(diǎn)速率大于在a點(diǎn)速率

C.若僅減小磁感應(yīng)強(qiáng)度，則粒子可能從b點(diǎn)右側(cè)射出

D.若僅減小入射速率，則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間變短

解析：由左手定則知，粒子帶負(fù)電，A錯(cuò).由于洛倫茲力不做功，

粒子速率不變，B錯(cuò).由R=瑞,若僅減小磁感應(yīng)強(qiáng)度5￡變大，

則粒子可能從b點(diǎn)右側(cè)射出，C對(duì).由￡=器，若僅減小入射速率v,

則R變小，粒子在磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)角0變大.由t=^~T,T=幺詈知，

JLTtqb

運(yùn)動(dòng)時(shí)間變長(zhǎng)，D錯(cuò).

答案：C

考點(diǎn)四帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的多解問(wèn)題

知識(shí)的透

帶電粒子在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由于多種因素的影

響，使問(wèn)題形成多解.多解形成原因一般包含4個(gè)方面：

類(lèi)型分析圖例

受洛倫茲力作用的帶電粒

XXZ<x\

帶電粒子電性不確定子，可能帶正電荷，也可

能帶負(fù)電荷，在相同的初'、/

速度下，正、負(fù)粒子在磁

場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡不同，形成

多解

如圖，帶電粒子以速度。

垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，如帶

正電，其軌跡為如帶

負(fù)電，其軌跡為方

在只知道磁感應(yīng)強(qiáng)度大

小，而未具體指出磁感應(yīng)

強(qiáng)度方向，此時(shí)必須要考

慮磁感應(yīng)強(qiáng)度方向不確定

而形成多解

磁場(chǎng)方向不確定

如圖，帶正電粒子以速度

。垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，若B

垂直紙面向里，其軌跡為

?,若區(qū)垂直紙面向外，其

軌跡為方

帶電粒子在洛倫茲力作用

下飛越有界磁場(chǎng)時(shí)，由于

粒子運(yùn)動(dòng)軌跡是圓弧狀，；X

}X7XX

臨界狀態(tài)不唯一因此，它可能穿過(guò)磁場(chǎng)飛

!/

出，也可能轉(zhuǎn)過(guò)180。從入

射界面這邊反向飛出，于

是形成多解

為上、下磁場(chǎng)的水平分界線(xiàn).質(zhì)量為機(jī)、帶電荷量為+q的粒子從AC

邊界上與。點(diǎn)相距為。的尸點(diǎn)垂直于AC邊界射入上方磁場(chǎng)區(qū)域，經(jīng)

OF上的Q點(diǎn)第一次進(jìn)入下方磁場(chǎng)區(qū)域，Q與。點(diǎn)的距離為3”.不考慮

粒子重力.

(1)求粒子射入時(shí)的速度大??；

(2)要使粒子不從AC邊界飛出，求下方磁場(chǎng)區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度應(yīng)

滿(mǎn)足的條件；

(3)若下方區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度8=3外,粒子最終垂直邊界飛出,

求邊界DE與AC間距離的可能值.

解析：(1)設(shè)粒子在0尸上方做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為4\1)

R,運(yùn)動(dòng)軌跡如圖甲所示，由幾何關(guān)系可知：牛…泳.....

:/5

-,/R

(R-a)2+(3a)2=R2,%

甲

解得：R=5a,

由牛頓第二定律可知：

V2

qvBo=nr^,

5a曲）

解得：v=

(2)當(dāng)粒子恰好不從AC邊界飛出時(shí)，運(yùn)動(dòng)軌跡與

AC相切，如圖乙所示，設(shè)粒子在0方下方做圓周運(yùn)動(dòng)

的半徑為門(mén)，由幾何關(guān)系得：

乙

n+ncos0=3a,

,23

由(1)知cos0=三,

?，15。

所以為=g?

才艮據(jù)qvB\=m-,

額內(nèi)〃8瓦

解得：31—3，

故當(dāng)為＞華時(shí)，粒子不會(huì)從AC邊界飛出.

(3)如圖丙所示，當(dāng)B=33o時(shí)，根據(jù)乎?3=/優(yōu)7

得粒子在0方下方磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)半徑為r=|a.

設(shè)粒子的速度方向再次與射入磁場(chǎng)時(shí)的速度方向一致時(shí)的位置為

Pi,則尸與Pi的連線(xiàn)一定與。尸平行，根據(jù)幾何關(guān)系知：xm=4a,

所以若粒子最終垂直DE邊界飛出，邊界?！昱cAC間的距離為L(zhǎng)

=nxppi—4na(n—1,2,3,…).

答案：(1號(hào)詈(2)磁感應(yīng)強(qiáng)度大于竽

(3)4na(n=l,2,3,…)

題組突破

考向?磁場(chǎng)方向不確定形成的多解問(wèn)題

1.(多選)一質(zhì)量為小、電荷量為q的負(fù)電荷在磁感應(yīng)強(qiáng)度為3的

勻強(qiáng)磁場(chǎng)中繞固定的正電荷沿固定的光滑軌道做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，若磁

場(chǎng)方向垂直于它的運(yùn)動(dòng)平面，且作用在負(fù)電荷的電場(chǎng)力恰好是磁場(chǎng)力

的三倍，則負(fù)電荷做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度可能是（）

A羋R.

mmmD絲m

解析：依題中條件“磁場(chǎng)方向垂直于它的運(yùn)動(dòng)平面”，磁場(chǎng)方向有

兩種可能，且這兩種可能方向相反.在方向相反的兩個(gè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，

由左手定則可知負(fù)電荷所受的洛倫茲力的方向也是相反的.當(dāng)負(fù)電荷

所受的洛倫茲力與電場(chǎng)力方向相同時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律可知4Bqv=

得°=4?R,此種情況下，負(fù)電荷運(yùn)動(dòng)的角速度為3=授=

KmKm

當(dāng)負(fù)電荷所受的洛倫茲力與電場(chǎng)力方向相反時(shí)，有2Bqv=nr^,v—

型呸，此種情況下，負(fù)電荷運(yùn)動(dòng)的角速度為＜0=。=%，故A、C正

tntn

確.

答案：AC

考向?速度大小不確定形成的多解問(wèn)題

2.（多選）如圖所示，兩方向相反、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均

為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)被邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的等邊三角形ABC理想分

開(kāi)，三角形內(nèi)磁場(chǎng)垂直紙面向里，三角形頂點(diǎn)A處有一

質(zhì)子源，能沿NR4C的角平分線(xiàn)發(fā)射速度不同的質(zhì)子（質(zhì)子重力不計(jì)）,

所有質(zhì)子均能通過(guò)。點(diǎn)，質(zhì)子比荷2=上則質(zhì)子的速度可能為（）

一,,?BkL「3BkL_BkL

2BkL

A.B.—ZC.—ZD.-^o-

解析：因質(zhì)子帶正電，且經(jīng)過(guò)。點(diǎn)，其可能的軌

跡如圖所示，所有圓弧所對(duì)圓心角均為60