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文檔簡(jiǎn)介
第10講磁場(chǎng)、帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)
知識(shí)歸納感悟真題
知識(shí)科建
核心提煉
1.掌握“兩個(gè)磁場(chǎng)力”.
(1)安培力:F=BILsine,其中,為3與1的夾角.
(2)洛倫茲力:F=qvB,sinO,其中〃為3與。的夾角.
2.用準(zhǔn)“兩個(gè)定則
(1)對(duì)電流的磁場(chǎng)用安培定則.
(2)對(duì)通電導(dǎo)線(xiàn)在磁場(chǎng)中所受的安培力和帶電粒子在磁場(chǎng)中所受的
洛倫茲力用左手定則.
3.靈活應(yīng)用帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的關(guān)系式.
1.(2020?全國(guó)卷I)一勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大:
小為B,方向垂直于紙面向外,其邊界如圖中虛線(xiàn)所示,而為半圓,
GC、bd與直徑必共線(xiàn),GC間的距離等于半圓的半徑.一束質(zhì)量為,小
電荷量為式q>0)的粒子,在紙面內(nèi)從c點(diǎn)垂直于GC射入磁場(chǎng),這些粒
子具有各種速率.不計(jì)粒子之間的相互作用.在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)
的粒子,其運(yùn)動(dòng)時(shí)間為()
5九小
A?硒B(niǎo)?砸
47rm3元/〃
D'2qB
解析:粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)
72n=r----
V'
可得粒子在磁場(chǎng)中的周期T=饕,
粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間,=?.7=筆,
Litqb
則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間與速度無(wú)關(guān),軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角越大,
運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長(zhǎng).采用放縮圓解決該問(wèn)題,
粒子垂直GC射入磁場(chǎng),則軌跡圓心必在GC直線(xiàn)上,將粒子的軌
跡半徑由零逐漸增大.
當(dāng)半徑rWO.5K和r21.5A時(shí),粒子分別從ac、瓦/區(qū)域射出,磁
場(chǎng)中的軌跡為半圓,運(yùn)動(dòng)時(shí)間等于半個(gè)周期.
當(dāng)0.5K<r<L5K時(shí),粒子從半圓邊界射出,將軌跡半徑從0.5K逐
漸增大,粒子射出位置從半圓頂端向下移動(dòng),軌跡圓心角從7T逐漸增
大,當(dāng)軌跡半徑為K時(shí),軌跡圓心角最大,然后再增大軌跡半徑,軌
跡圓心角減小,因此當(dāng)軌跡半徑等于K時(shí)軌跡圓心角最大,即軌跡對(duì)
rr4
應(yīng)的最大圓心角0=n+§=鏟,
粒子運(yùn)動(dòng)最長(zhǎng)時(shí)間為="鬻=鬻,故C正確.
答案:c
2.(2020?天津卷)(多選)如圖所示,在。到平面的第「
XXX
一象限內(nèi)存在方向垂直紙面向里,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為3乜次vv
XXX
的勻強(qiáng)磁場(chǎng).一帶電粒子從y軸上的M點(diǎn)射入磁場(chǎng),卜-x-x;
速度方向與J軸正方向的夾角0=45。.粒子經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后在N點(diǎn)(圖
中未畫(huà)出)垂直穿過(guò)x軸.已知OM=a,粒子電荷量為q,質(zhì)量為機(jī),
重力不計(jì).貝?。ǎ?/p>
A.粒子帶負(fù)電荷
B.粒子速度大小為警
C.粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為a
D.N與。點(diǎn)相距(啦+1)。
解析:粒子向下偏轉(zhuǎn),根據(jù)左手定則判斷洛倫茲力,可知粒子帶
負(fù)電,A正確;
粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖
由于速度方向與y軸正方向的夾角,=45。,根據(jù)幾何關(guān)系可知
ZOMOi=ZOOiM=45°,OM=OOi=a,
則粒子運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為
r=0iM=\[2a,
洛倫茲力提供向心力
v2
qvB=m-,
含也qBa
解付
v=m—f,
B、C錯(cuò)誤;
N與。點(diǎn)的距離為N0=00i+r=(&+l)a,
D正確.
答案:AD
3.(2020?全國(guó)卷II)如圖,在OWxWA,-8勺<+8V
區(qū)域中存在方向垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁感應(yīng)強(qiáng)度BB;
的大小可調(diào),方向不變.一質(zhì)量為機(jī),電荷量為q(q>0)L
的粒子以速度。0從磁場(chǎng)區(qū)域左側(cè)沿x軸進(jìn)入磁場(chǎng),不計(jì)重力.
(1)若粒子經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后穿過(guò)J軸正半軸離開(kāi)磁場(chǎng),分析說(shuō)明磁場(chǎng)
的方向,并求在這種情況下磁感應(yīng)強(qiáng)度的最小值瓦1;
(2)如果磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為華,粒子將通過(guò)虛線(xiàn)所示邊界上的一點(diǎn)
離開(kāi)磁場(chǎng).求粒子在該點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向與x軸正方向的夾角及該點(diǎn)到x
軸的距離.
解析:(1)由題意,粒子剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)應(yīng)受到方向向上的洛倫茲力,
因此磁場(chǎng)方向垂直于紙面向里.設(shè)粒子進(jìn)入磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑
為K,根據(jù)洛倫茲力公式和圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律,有
錯(cuò)誤!,①
由此可得£=器.②
粒子穿過(guò)y軸正半軸離開(kāi)磁場(chǎng),其在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心在y
軸正半軸上,半徑應(yīng)滿(mǎn)足尺式無(wú),③
由題意,當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為時(shí),粒子的運(yùn)動(dòng)半徑最大,由此
得廝=篝.④
(2)若磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為牛,粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心仍在y軸正半
軸上,由②④式可得,此時(shí)圓弧半徑為R,=2幾⑤
粒子會(huì)穿過(guò)圖中尸點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng),運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示.
設(shè)粒子在尸點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向與x軸正方向的夾角為a,
由幾何關(guān)系sin”=豆=3,⑥
即a=^,⑦
由幾何關(guān)系可得,尸點(diǎn)與x軸的距離為
y=2h(l—cosa),⑧
聯(lián)立⑦⑧式得y=(2一由)加
答案:⑴磁場(chǎng)方向垂直于紙面向里器(2年(2一5)無(wú)
細(xì)研考點(diǎn)提升素養(yǎng)
考點(diǎn)一磁場(chǎng)的性質(zhì)及磁場(chǎng)對(duì)電流的作用力
1.磁場(chǎng)、磁感應(yīng)強(qiáng)度.
(1)磁場(chǎng).
基本性質(zhì):磁場(chǎng)對(duì)處于其中的磁體、電流和運(yùn)動(dòng)電荷有磁場(chǎng)力的
作用.
(2)磁感應(yīng)強(qiáng)度.
①物理意義:描述磁場(chǎng)的強(qiáng)弱和方向.
②大?。?=五.
③方向:小磁針的N極所受磁場(chǎng)力的方向,也就是小磁針靜止時(shí)
N極的指向.
④單位:特斯拉(T).
(3)勻強(qiáng)磁場(chǎng).
①定義:磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小處處相等、方向處處相同的磁場(chǎng)稱(chēng)為
勻強(qiáng)磁場(chǎng).
②特點(diǎn):磁感線(xiàn)疏密程度相同、方向相同.
(4)磁感線(xiàn)及其特點(diǎn).
①磁感線(xiàn):在磁場(chǎng)中畫(huà)出一些曲線(xiàn),使曲線(xiàn)上每一點(diǎn)的切線(xiàn)方向
都跟這點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向一致.
②特點(diǎn).
a.磁感線(xiàn)上某點(diǎn)的切線(xiàn)方向就是該點(diǎn)的磁場(chǎng)方向.
b.磁感線(xiàn)的密疏定性地表示磁場(chǎng)的強(qiáng)弱.
c.磁感線(xiàn)是閉合曲線(xiàn),沒(méi)有起點(diǎn)和終點(diǎn).
d.磁感線(xiàn)是假想的曲線(xiàn),客觀(guān)上不存在.
(5)磁場(chǎng)疊加問(wèn)題的一般解題思路.
①確定磁場(chǎng)場(chǎng)源,如通電導(dǎo)線(xiàn).1
②定位空間中需求解磁場(chǎng)的點(diǎn),利用安培定則判定鏟;;
各個(gè)場(chǎng)源在這一點(diǎn)上產(chǎn)生的磁場(chǎng)的大小和方向.如圖所示為M、N在
c點(diǎn)產(chǎn)生的磁場(chǎng).
③應(yīng)用平行四邊形定則進(jìn)行合成,如圖中的合磁場(chǎng).
(6)電流的磁場(chǎng).
項(xiàng)目通電直導(dǎo)線(xiàn)通電螺線(xiàn)管環(huán)形電流
安培B
定則備
2.安培力.
(1)安培力的大小.
①磁場(chǎng)和電流垂直時(shí):F=BIL.
②磁場(chǎng)和電流平行時(shí):F=0.
(2)安培力的方向.
左手定則判斷:困巧外
①伸出左手,讓拇指與其余四指垂直,并且都在同一級(jí)?劌
個(gè)平面內(nèi).
②讓磁感線(xiàn)從掌心進(jìn)入,并使四指指向電流方向.
③拇指所指的方向就是通電導(dǎo)線(xiàn)在磁場(chǎng)中所受安培力的方向.
3.分析磁場(chǎng)對(duì)電流的作用要做到“一明、一轉(zhuǎn)、一分析
)—明確研究對(duì)象(通電導(dǎo)線(xiàn)或?qū)w棒)
_將題「中的立體圖轉(zhuǎn)化為平面圖.
)一明確磁場(chǎng)的方向和電流的方向
受力分析的思路和力學(xué)完全相同.
)—分析安培力時(shí)注意其方向一定與導(dǎo)
體棒和磁感應(yīng)強(qiáng)度組成的平面垂l*L
決題用折
(2017?全國(guó)卷1)(多選)如圖,三根相互平回
均通有電/\
行的固定長(zhǎng)直導(dǎo)線(xiàn)Li、&和心兩兩等距,
/X
/\
L,&--------------
II
流/,L1中電流方向與七2中的相同,與L中的相反.下列說(shuō)法正確的
是()
A.Li所受磁場(chǎng)作用力的方向與五、心所在平面垂直
B.心所受磁場(chǎng)作用力的方向與“、&所在平面垂直
C.心、心和心單位長(zhǎng)度所受的磁場(chǎng)作用力大小之比為1:1:小
D.心、心和心單位長(zhǎng)度所受的磁場(chǎng)作用力大小之比為由:小:
1
解析:如圖,由磁場(chǎng)的疊加知,七2與七3中的電流在L處產(chǎn)生的
合磁場(chǎng)的方向在心、七連線(xiàn)的中垂線(xiàn)上,由左手定則知,L1所受磁場(chǎng)
作用力的方向與心、心所在平面平行.選項(xiàng)A錯(cuò)誤.
L1與乙2中的電流在心處產(chǎn)生的合磁場(chǎng)的方向與七1、七2的連線(xiàn)平
行,由左手定則知,心所受磁場(chǎng)作用力的方向與14、丘所在平面垂直.選
項(xiàng)B正確.
由幾何關(guān)系知,設(shè)電流在另外導(dǎo)線(xiàn)處產(chǎn)生磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,
而L、七2所在處兩個(gè)磁場(chǎng)方向的夾角均為120。,則方合=優(yōu)而4所
在處兩個(gè)磁場(chǎng)方向的夾角為60。,則B%=小B,由b知,L、
心和小單位長(zhǎng)度所受的磁場(chǎng)作用力大小之比為1:1:5.選項(xiàng)C正確,
選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
答案:BC
題組突破
考向?磁場(chǎng)的合成
1.(2018?全國(guó)卷II)(多選)如圖,紙面內(nèi)有兩條互相垂直
的長(zhǎng)直絕緣導(dǎo)線(xiàn)Li、L2,Li中的電流方向向左,匕中的電I
流方向向上;L的正上方有。、b兩點(diǎn),它們相對(duì)于心對(duì)稱(chēng).整個(gè)系
統(tǒng)處于勻強(qiáng)外磁場(chǎng)中,外磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為坳,方向垂直于紙
面向外.已知以b兩點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小分別為:為和[用),方向也垂
直于紙面向外.貝(1()
7
A.流經(jīng)心的電流在b點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為三曲
B.流經(jīng)心的電流在a點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為白Bo
C.流經(jīng)乙2的電流在b點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為吉國(guó)
D.流經(jīng)心的電流在。點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為三3。
解析:原磁場(chǎng)、電流的磁場(chǎng)方向如圖所示,
由題意知在b點(diǎn):|BO=BO—在a點(diǎn):\B^=BQ—B\—BI,
由上述兩式解得夕1=七3(),與2=五3().
答案:AC
考向?安培力作用下的平衡
2.(2019?全國(guó)卷I)如圖,等邊三角形線(xiàn)框LMN由三、*入、*
XX/X\XX
根相同的導(dǎo)體棒連接而成,固定于勻強(qiáng)磁場(chǎng)中,線(xiàn)框平面
xjxx
與磁感應(yīng)強(qiáng)度方向垂直,線(xiàn)框頂點(diǎn)M.N與直流電源兩
端相接,已如導(dǎo)體棒受到的安培力大小為凡則線(xiàn)框LMN受到的
安培力的大小為()
A.2FB.1.5F
C.0.5bD.0
解析:設(shè)三角形邊長(zhǎng)為/導(dǎo)體棒的電流為/,則MLN的電流
為《,根據(jù)b=3〃,所以ML和LN受安培力為根據(jù)力的合成,線(xiàn)
框LMN受到的安培力的大小為F+2Xysin30°=1.5F,故B正確.
答案:B
考向?導(dǎo)體加速問(wèn)題
3.(多選)如圖所示,無(wú)限長(zhǎng)水平直導(dǎo)線(xiàn)中通有向右------
□
的恒定電流/,導(dǎo)線(xiàn)正下方固定一正方形線(xiàn)框,線(xiàn)框中
也通有沿順時(shí)針?lè)较虻暮愣娏鳎潆娏饕矠?,線(xiàn)框的邊長(zhǎng)為L(zhǎng)線(xiàn)
框上邊與直導(dǎo)線(xiàn)平行,且到直導(dǎo)線(xiàn)的距離也為L(zhǎng).已知在長(zhǎng)直導(dǎo)線(xiàn)的磁
場(chǎng)中距長(zhǎng)直導(dǎo)線(xiàn)r處的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B=g,線(xiàn)框的質(zhì)量為m,則
釋放線(xiàn)框的一瞬間,線(xiàn)框的加速度可能為()
A.0B.管一g
kl2kl2
C?赤一9D.g一m
解析:線(xiàn)框上邊受到的安培力大小為入=盡二=以2,方向向上,
線(xiàn)框下邊受到的安培力大小為F2=krjrIL=^kI2,方向向下,若Fi=
Fi+mg,則加速度為零,A項(xiàng)正確;若人大于g+mg,則加速度向
上,大小為一今一B項(xiàng)錯(cuò)誤,C項(xiàng)正確;若B小
于g+mg,則加速度向下,大小為G2=g一二,D項(xiàng)錯(cuò)誤.
答案:AC
考點(diǎn)二帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)
知識(shí)0f透
1.兩種方法定圓心.
方法一:已知入射點(diǎn)、入射方向和出射點(diǎn)、出射方向時(shí),可通過(guò)
入射點(diǎn)和出射點(diǎn)作垂直于入射方向和出射方向的直線(xiàn),兩條直線(xiàn)的交
點(diǎn)就是圓弧軌道的圓心(如圖甲所示).
方法二:已知入射方向和入射點(diǎn)、出射點(diǎn)的位置時(shí),可以通過(guò)入
射點(diǎn)作入射方向的垂線(xiàn),連接入射點(diǎn)和出射點(diǎn),作其中垂線(xiàn),這兩條
垂線(xiàn)的交點(diǎn)就是圓弧軌道的圓心(如圖乙所示).
2.幾何知識(shí)求半徑.
利用平面幾何關(guān)系,求出軌跡圓的可能半徑(或圓心角),求解時(shí)注
意以下幾個(gè)重要的幾何特點(diǎn):
⑴粒子速度的偏向角")等于圓心角⑷,并等于哄P(偏向角)
弦與切線(xiàn)的夾角(弦切角0)的2倍(如圖所示),即°=。=
20=cot?
(2)直角三角形的應(yīng)用(勾股定理).
找到AB的中點(diǎn)C,連接OC,貝!)△AOC、ZiBOC都是直角三角形.
3.兩個(gè)觀(guān)點(diǎn)算時(shí)間.
觀(guān)點(diǎn)一:由運(yùn)動(dòng)弧長(zhǎng)計(jì)算,,=*,為弧長(zhǎng));
觀(guān)點(diǎn)二由旋轉(zhuǎn)角度計(jì)算,片就義或「次.
4.三類(lèi)邊界磁場(chǎng)中的軌跡特點(diǎn).
⑴直線(xiàn)邊界:進(jìn)出磁場(chǎng)具有對(duì)稱(chēng)性.
⑵平行邊界:存在臨界條件.
⑶圓形邊界:等角進(jìn)出,沿徑向射入必沿徑向射出.
典題例析
典例?(2018?海南卷)如圖,圓心為0、半徑為
r的圓形區(qū)域外存在勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁場(chǎng)方向垂直于紙面
向外,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B.P是圓外一點(diǎn),。尸=3r.
一質(zhì)量為機(jī)、電荷量為g(q>0)的粒子從尸點(diǎn)在紙面內(nèi)垂直于O尸射出.已
知粒子運(yùn)動(dòng)軌跡經(jīng)過(guò)圓心O,不計(jì)重力.求:
⑴粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑;
⑵粒子第一次在圓形區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)所用的時(shí)間.
解析:(1)粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示,設(shè)粒子在磁
Rr4
場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R,3r=/?+~tan0=~^解得氏=斗
Cz>V9
f/lV^
由洛倫茲力等于向心力,有q^B==,
(2)K
頷尸qBR
解傳v=.
in
粒子第一次在圓形區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)所用的時(shí)間£=§,聯(lián)立各式解得,
31n
=2qB'
答案:靖⑵景
題組突破
考向?直線(xiàn)邊界問(wèn)題
1.如圖所示,直線(xiàn)MN上方有垂直紙面向里的勻強(qiáng)****
XXXX
磁場(chǎng),電子1從磁場(chǎng)邊界上的a點(diǎn)垂直和磁場(chǎng)方向「丘,」
MacbN
射入磁場(chǎng),經(jīng)人時(shí)間從b點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng).之后電子2也由。點(diǎn)沿圖示方
向以相同速率垂直磁場(chǎng)方向射入磁場(chǎng),經(jīng)燈時(shí)間從。、b連線(xiàn)的中點(diǎn)c
離開(kāi)磁場(chǎng),貝hl:打?yàn)?)
A.3:1B.2:3
C.3:2D.2:1
解析:電子在磁場(chǎng)中都做勻速圓周運(yùn)動(dòng),根據(jù)題意、*、、
畫(huà)出電子的運(yùn)動(dòng)軌跡,如圖所示,電子1垂直射進(jìn)磁場(chǎng),X憶乂,
M小、/cbN
從方點(diǎn)離開(kāi),則運(yùn)動(dòng)了半個(gè)圓周,即為直徑,c點(diǎn)為o
圓心,電子2以相同速率垂直磁場(chǎng)方向射入磁場(chǎng),經(jīng)辦時(shí)間從a、b連
1117)
線(xiàn)的中點(diǎn)c離開(kāi)磁場(chǎng),根據(jù)半徑「=前可知,電子1和2的半徑相等,
根據(jù)幾何關(guān)系可知,△aOc為等邊三角形,則粒子2轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角為
60。,所以電子1運(yùn)動(dòng)的時(shí)間人=:=等,電子2運(yùn)動(dòng)的時(shí)間打=1=罌,
LHqoitiq
所以9=3,故A正確.
12
答案:A
考向?平行邊界問(wèn)題
2.如圖所示,一個(gè)理想邊界為P。、MN的勻強(qiáng)磁/x-x-xfa-x-^
場(chǎng)區(qū)域,磁場(chǎng)寬度為d,方向垂直紙面向里.一電子從
O點(diǎn)沿紙面垂直P(pán)Q以速度進(jìn)入磁場(chǎng).若電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡
半徑為2d.O,在上,且00,與MN垂直.下列判斷正確的是()
A.電子將向右偏轉(zhuǎn)
B.電子打在MN上的點(diǎn)與0,點(diǎn)的距離為d
C.電子打在MN上的點(diǎn)與0,點(diǎn)的距離為3d
D.電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為給
解析:電子帶負(fù)電,進(jìn)入磁場(chǎng)后,根據(jù)左手定則/發(fā)對(duì)*:
判斷可知,所受的洛倫茲力方向向左,電子將向左偏M…-一萬(wàn)’……R
轉(zhuǎn),如圖所示,A錯(cuò)誤;設(shè)電子打在MN上的點(diǎn)與0,點(diǎn)的距離為x,
則由幾何知識(shí)得:x=r—「r2一心=2</一2(2d)>=(2—由)d,故B、
C錯(cuò)誤;設(shè)軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角為,,由幾何知識(shí)得:sin〃=另=0.5,
乙a
rrHrrr/i
得〃=色則電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為£="=詈,故D正確.
O5容0
答案:D
考向?圓形邊界問(wèn)題
3.如圖所示,真空中,垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)
只在兩個(gè)同心圓所夾的環(huán)狀區(qū)域存在(含邊界),兩圓的
半徑分別為£、3R,圓心為0.一重力不計(jì)的帶正電粒子從大圓邊緣的
尸點(diǎn)沿P0方向以速度。i射入磁場(chǎng),其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖,軌跡所對(duì)的圓
心角為120。.若將該帶電粒子從P點(diǎn)射入的速度大小變?yōu)橐矔r(shí),不論
其入射方向如何,都不可能進(jìn)入小圓內(nèi)部區(qū)域,則:6至少為()
A.¥B.小
C峙D.2^3
解析:粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng),如圖:由幾何
a?
知識(shí)得:,1=二矢=小匕洛倫茲力提供向心力,由
ianOv
牛頓第二定律得:第;山=川錯(cuò)誤!,解得:01=錯(cuò)誤!;當(dāng)
該帶電粒子從尸點(diǎn)射入的速度大小變?yōu)?2時(shí),若粒子豎直向上射入磁
場(chǎng)粒子恰好不能進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí),即粒子軌道半徑Z*2=R,則不論其入射方
向如何,都不可能進(jìn)入小圓內(nèi)部區(qū)域,此時(shí)洛倫茲力提供向心力,由
牛頓第二定律得:[02呂=機(jī)錯(cuò)誤!,解得:也=錯(cuò)誤!,則:01:02=錯(cuò)誤!,
故B正確,A、C、D錯(cuò)誤.
答案:B
考點(diǎn)三帶電粒子在磁場(chǎng)中的臨界問(wèn)題
知識(shí)研透
求解臨界、極值問(wèn)題的“兩思路、兩方法”.
⑴以定理、定律為依據(jù),首先求出所研究問(wèn)題
的一般規(guī)律和一般解的形式,然后分析、討論
兩種思路
處于臨界條件時(shí)的特殊規(guī)律和特殊解
(2)直接分析、討論臨界狀態(tài),找出臨界條件,
從而通過(guò)臨界條件求出臨界值
(1)利用臨界條件求極值;(2)利用
兩種方法物理方法邊界條件求極值;(3)利用矢量圖
求極值
(1)用三角函數(shù)求極值;(2)用二次
兩種方法數(shù)學(xué)方法方程的判別式求極值;(3)用不等
式的性質(zhì)求極值;(4)圖象法等
許多臨界問(wèn)題,題干中常用“恰好”“最大”“至
從關(guān)鍵詞少”“不相撞”“不脫離”等詞語(yǔ)對(duì)臨界狀態(tài)給
找突破口以暗示,審題時(shí),一定要抓住這些特定的詞語(yǔ)
挖掘其隱藏的規(guī)律,找出臨界條件
典例日(2020?全國(guó)卷川)真空中有一勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁場(chǎng)
邊界為兩個(gè)半徑分別為。和3a的同軸圓柱面,磁場(chǎng)的方
向與圓柱軸線(xiàn)平行,其橫截面如圖所示.一速率為。的
電子從圓心沿半徑方向進(jìn)入磁場(chǎng).已知電子質(zhì)量為處電荷量為e,忽
略重力.為使該電子的運(yùn)動(dòng)被限制在圖中實(shí)線(xiàn)圓圍成的區(qū)域內(nèi),磁場(chǎng)
的磁感應(yīng)強(qiáng)度最小為()
3mvmv
A.^-B.
2aeae
3mv3mv
C.-j——
4ae5ae
解析:電子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng),由洛倫茲力提供向心力
V2
eBv—m—r,,
則磁感應(yīng)強(qiáng)度與圓周運(yùn)動(dòng)軌跡關(guān)系為
mv
即運(yùn)動(dòng)軌跡半徑越大,磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度越小.
令電子運(yùn)動(dòng)軌跡最大的半徑為rmax,為了使電子的運(yùn)動(dòng)被限制在
圖中實(shí)線(xiàn)圓圍成的區(qū)域內(nèi),其最大半徑的運(yùn)動(dòng)軌跡與實(shí)線(xiàn)圓相切,如
圖所示.
A點(diǎn)為電子做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心,電子從圓心沿半徑方向進(jìn)入磁場(chǎng),
由左手定則可得,
AB±OB,△A30為直角三角形,則由幾何關(guān)系可得
(3d—Tmax)~=Max+",
,4
解得「max
解得磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度最小值
mv3mv
Bmin=^=4^7,
故C正確.
答案:c
題組臭破
考向?平行邊界磁場(chǎng)中的臨界極值問(wèn)題
1.如圖所示,平行邊界MMPQ之間有垂直紙面向里的M:xx:。
;XX;
勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為兩邊界間距為邊界;XX}
B,d,/I?XX:
上點(diǎn)有一粒子源,可沿紙面內(nèi)任意方向射出完全相同;xx!
A4xx
的質(zhì)量為機(jī),電量為q的帶正電的粒子,粒子射出的速度大小均為。
=誓,若不計(jì)粒子的重力及粒子間的相互作用,則粒子能從PQ邊
界射出的區(qū)域長(zhǎng)度與能從MN邊界射出的區(qū)域長(zhǎng)度之比為()
A.1B.2:3
C.?。?D.2s:7
解析:粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r=^=|d,則能達(dá)到尸。
上的粒子長(zhǎng)度為2(例2=號(hào)^.;能打到MN上的粒子的長(zhǎng)
4
度為2r=利,故粒子能從尸。邊界射出的區(qū)域長(zhǎng)度與能從MN邊界射
出的區(qū)域長(zhǎng)度之比為與,故c正確.
答案:c
考向?圓形磁場(chǎng)中的臨界極值問(wèn)題
2.如圖所示,半徑為r的圓形區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的
/XXXx\
勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為3,磁場(chǎng)邊界上A點(diǎn)有一粒(xxxx)
子源,源源不斷地向磁場(chǎng)發(fā)射各種方向(均平行于紙面)且速
度大小相等的帶正電的粒子(重力不計(jì)),已知粒子的比荷為荔速度大
小為24班.則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為()
A----R02--k--B--
C,3kB0?旃
解析:粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑為R=*嚕=2r;當(dāng)粒子在
qts15K
磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)時(shí),其軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角最大,此時(shí)弦長(zhǎng)最大,
T7T/W7T
其最大值為磁場(chǎng)圓的直徑2r,故£=:=篝=|,故選項(xiàng)C正確.
OJKJD
答案:c
考向?方形磁場(chǎng)中的臨界極值問(wèn)題
3.(2019?北京卷)如圖所示,正方形區(qū)域內(nèi)存在垂直紙*…萬(wàn)"一
?a
面的勻強(qiáng)磁場(chǎng).一帶電粒子垂直磁場(chǎng)邊界從a點(diǎn)射入,,**
從b點(diǎn)射出.下列說(shuō)法正確的是()屋一……已」上
A.粒子帶正電
B.粒子在方點(diǎn)速率大于在a點(diǎn)速率
C.若僅減小磁感應(yīng)強(qiáng)度,則粒子可能從b點(diǎn)右側(cè)射出
D.若僅減小入射速率,則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間變短
解析:由左手定則知,粒子帶負(fù)電,A錯(cuò).由于洛倫茲力不做功,
粒子速率不變,B錯(cuò).由R=瑞,若僅減小磁感應(yīng)強(qiáng)度5£變大,
則粒子可能從b點(diǎn)右側(cè)射出,C對(duì).由£=器,若僅減小入射速率v,
則R變小,粒子在磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)角0變大.由t=^~T,T=幺詈知,
JLTtqb
運(yùn)動(dòng)時(shí)間變長(zhǎng),D錯(cuò).
答案:C
考點(diǎn)四帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的多解問(wèn)題
知識(shí)的透
帶電粒子在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng),由于多種因素的影
響,使問(wèn)題形成多解.多解形成原因一般包含4個(gè)方面:
類(lèi)型分析圖例
受洛倫茲力作用的帶電粒
XXZ<x\
帶電粒子電性不確定子,可能帶正電荷,也可
能帶負(fù)電荷,在相同的初'、/
速度下,正、負(fù)粒子在磁
場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡不同,形成
多解
如圖,帶電粒子以速度。
垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng),如帶
正電,其軌跡為如帶
負(fù)電,其軌跡為方
在只知道磁感應(yīng)強(qiáng)度大
小,而未具體指出磁感應(yīng)
強(qiáng)度方向,此時(shí)必須要考
慮磁感應(yīng)強(qiáng)度方向不確定
而形成多解
磁場(chǎng)方向不確定
如圖,帶正電粒子以速度
。垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng),若B
垂直紙面向里,其軌跡為
?,若區(qū)垂直紙面向外,其
軌跡為方
帶電粒子在洛倫茲力作用
下飛越有界磁場(chǎng)時(shí),由于
粒子運(yùn)動(dòng)軌跡是圓弧狀,;X
}X7XX
臨界狀態(tài)不唯一因此,它可能穿過(guò)磁場(chǎng)飛
!/
出,也可能轉(zhuǎn)過(guò)180。從入
射界面這邊反向飛出,于
是形成多解
為上、下磁場(chǎng)的水平分界線(xiàn).質(zhì)量為機(jī)、帶電荷量為+q的粒子從AC
邊界上與。點(diǎn)相距為。的尸點(diǎn)垂直于AC邊界射入上方磁場(chǎng)區(qū)域,經(jīng)
OF上的Q點(diǎn)第一次進(jìn)入下方磁場(chǎng)區(qū)域,Q與。點(diǎn)的距離為3”.不考慮
粒子重力.
(1)求粒子射入時(shí)的速度大??;
(2)要使粒子不從AC邊界飛出,求下方磁場(chǎng)區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度應(yīng)
滿(mǎn)足的條件;
(3)若下方區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度8=3外,粒子最終垂直邊界飛出,
求邊界DE與AC間距離的可能值.
解析:(1)設(shè)粒子在0尸上方做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為4\1)
R,運(yùn)動(dòng)軌跡如圖甲所示,由幾何關(guān)系可知:牛…泳.....
:/5
-,/R
(R-a)2+(3a)2=R2,%
甲
解得:R=5a,
由牛頓第二定律可知:
V2
qvBo=nr^,
5a曲)
解得:v=
(2)當(dāng)粒子恰好不從AC邊界飛出時(shí),運(yùn)動(dòng)軌跡與
AC相切,如圖乙所示,設(shè)粒子在0方下方做圓周運(yùn)動(dòng)
的半徑為門(mén),由幾何關(guān)系得:
乙
n+ncos0=3a,
,23
由(1)知cos0=三,
?,15。
所以為=g?
才艮據(jù)qvB\=m-,
額內(nèi)〃8瓦
解得:31—3,
故當(dāng)為>華時(shí),粒子不會(huì)從AC邊界飛出.
(3)如圖丙所示,當(dāng)B=33o時(shí),根據(jù)乎?3=/優(yōu)7
得粒子在0方下方磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)半徑為r=|a.
設(shè)粒子的速度方向再次與射入磁場(chǎng)時(shí)的速度方向一致時(shí)的位置為
Pi,則尸與Pi的連線(xiàn)一定與。尸平行,根據(jù)幾何關(guān)系知:xm=4a,
所以若粒子最終垂直DE邊界飛出,邊界?!昱cAC間的距離為L(zhǎng)
=nxppi—4na(n—1,2,3,…).
答案:(1號(hào)詈(2)磁感應(yīng)強(qiáng)度大于竽
(3)4na(n=l,2,3,…)
題組突破
考向?磁場(chǎng)方向不確定形成的多解問(wèn)題
1.(多選)一質(zhì)量為小、電荷量為q的負(fù)電荷在磁感應(yīng)強(qiáng)度為3的
勻強(qiáng)磁場(chǎng)中繞固定的正電荷沿固定的光滑軌道做勻速圓周運(yùn)動(dòng),若磁
場(chǎng)方向垂直于它的運(yùn)動(dòng)平面,且作用在負(fù)電荷的電場(chǎng)力恰好是磁場(chǎng)力
的三倍,則負(fù)電荷做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度可能是()
A羋R.
mmmD絲m
解析:依題中條件“磁場(chǎng)方向垂直于它的運(yùn)動(dòng)平面”,磁場(chǎng)方向有
兩種可能,且這兩種可能方向相反.在方向相反的兩個(gè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)中,
由左手定則可知負(fù)電荷所受的洛倫茲力的方向也是相反的.當(dāng)負(fù)電荷
所受的洛倫茲力與電場(chǎng)力方向相同時(shí),根據(jù)牛頓第二定律可知4Bqv=
得°=4?R,此種情況下,負(fù)電荷運(yùn)動(dòng)的角速度為3=授=
KmKm
當(dāng)負(fù)電荷所受的洛倫茲力與電場(chǎng)力方向相反時(shí),有2Bqv=nr^,v—
型呸,此種情況下,負(fù)電荷運(yùn)動(dòng)的角速度為<0=。=%,故A、C正
tntn
確.
答案:AC
考向?速度大小不確定形成的多解問(wèn)題
2.(多選)如圖所示,兩方向相反、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均
為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)被邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的等邊三角形ABC理想分
開(kāi),三角形內(nèi)磁場(chǎng)垂直紙面向里,三角形頂點(diǎn)A處有一
質(zhì)子源,能沿NR4C的角平分線(xiàn)發(fā)射速度不同的質(zhì)子(質(zhì)子重力不計(jì)),
所有質(zhì)子均能通過(guò)。點(diǎn),質(zhì)子比荷2=上則質(zhì)子的速度可能為()
一,,?BkL「3BkL_BkL
2BkL
A.B.—ZC.—ZD.-^o-
解析:因質(zhì)子帶正電,且經(jīng)過(guò)。點(diǎn),其可能的軌
跡如圖所示,所有圓弧所對(duì)圓心角均為60
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