2023-2024學(xué)年四川省成都市雙流區(qū)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年四川省成都市雙流區(qū)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題第I卷選擇題（60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.某企業(yè)有甲?乙?丙三個(gè)工廠，甲廠有200名職工，乙廠有500名職工，丙廠有100名職工，為宣傳新修訂的個(gè)人所得稅法，使符合減稅政策的職工應(yīng)享盡享，現(xiàn)企業(yè)決定采用分層抽樣的方法，從三個(gè)工廠抽取40名職工，進(jìn)行新個(gè)稅政策宣傳培訓(xùn)工作，則應(yīng)從甲廠抽取的職工人數(shù)為（）A.5 B.10 C.20 D.25【正確答案】B【分析】由題意易知抽樣比為：，由此即可求出答案.【詳解】由題意知抽樣比為：，所以應(yīng)從甲廠抽取的職工人數(shù)為：人，故選：B.2.傾斜角為，在軸上的截距為的直線方程是A. B. C. D.【正確答案】A【詳解】由于直線的傾斜角為60°，故斜率為tan60°=,由斜截式求得直線l的方程為y=x-1．

故選A．3.某人將一枚均勻的正方體骰子,連續(xù)拋擲了100次,出現(xiàn)6點(diǎn)的次數(shù)為19,則()A.出現(xiàn)6點(diǎn)的概率為0.19B.出現(xiàn)6點(diǎn)的頻率為0.19C.出現(xiàn)6點(diǎn)的頻率為19D.出現(xiàn)6點(diǎn)的概率接近0.19【正確答案】B【分析】根據(jù)頻率及概率的概念即得.【詳解】由題可得，出現(xiàn)6點(diǎn)的頻率為故選：B.4.已知方程表示圓的方程，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)題意，由求解.【詳解】解：因?yàn)榉匠瘫硎緢A的方程，所以，解得，故選：A5.已知一次試驗(yàn)，事件A與事件B不能同時(shí)發(fā)生且A，B至少有一個(gè)發(fā)生，又事件A與事件C不能同時(shí)發(fā)生．若，，則（）A.0.6 B.0.5 C.0.4 D.0.3【正確答案】A【分析】根據(jù)互斥事件和對立事件的定義和計(jì)算公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)槭录嗀與事件B不能同時(shí)發(fā)生且A，B至少有一個(gè)發(fā)生，所以事件A與事件B為對立事件，而，所以由，又因?yàn)槭录嗀與事件C不能同時(shí)發(fā)生，所以事件A與事件C是互斥事件，因?yàn)椋?，故選：A6.中國氣象局規(guī)定：24小時(shí)內(nèi)降雨的深度稱為日降雨量，表示降雨量的單位通常用毫米.例如：1毫米的降雨量是指單位面積上水深1毫米.在連續(xù)幾天的暴雨天氣中，某同學(xué)用一個(gè)長方體容器來測量降雨量，已知該長方體的底面是邊長為的正方形，高為，該容器的容器口為上底面正方形的內(nèi)切圓，將該容器放在雨中，雨水從圓形容器口進(jìn)入容器中，24小時(shí)后，測得容器中水深，則該同學(xué)測得的降水量約為（）（取3.14）A.127毫米 B.12.7毫米 C.509毫米 D.100毫米【正確答案】B【分析】計(jì)算水的體積，容器口的面積，相除得到答案.【詳解】水的體積，容器口的面積，降雨量，故選：B本題考查了幾何體體積的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，理解能力和應(yīng)用能力.7.已知三棱錐，平面，，，直線與平面所成的角為，若三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在表面積為的同一球面上，則（）A.1 B.2 C. D.3【正確答案】C【分析】根據(jù)線面角可求出，再把三棱錐補(bǔ)成長方體，利用長方體的外接球直徑為體對角線求解即可.【詳解】設(shè)，則,平面,直線與平面所成的角為,,以為長、寬、高做長方體，如圖，則長方體的外接球即為三棱錐的外接球，所以，又外接球的表面積,所以，解得，中.故選：C8.已知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡方程為，定點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C.8 D.【正確答案】A【分析】設(shè)，，根據(jù)和求出的值，由，兩點(diǎn)之間直線最短，可得的最小值為，根據(jù)坐標(biāo)求出即可．【詳解】設(shè)，使其滿足，，所以，由所以，因?yàn)?，所以，整理可得，又?dòng)點(diǎn)的軌跡是，所以，解得所以，又，所以，因?yàn)?，所以的最小值，?dāng)在位置時(shí)等號成立．故選：A二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.在平行六面體中，的重心為點(diǎn)，則（）AB.若為的中點(diǎn)，則C.D.【正確答案】AC【分析】設(shè)為的中點(diǎn)，再根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算逐一分析判斷即可.【詳解】對于，設(shè)為的中點(diǎn)，因?yàn)闉榈闹匦?，所以，則又，所以，故，故A正確；對于B，，故，故B錯(cuò)誤；對于C，由A選項(xiàng)可知，故C正確；對于D，，故D錯(cuò)誤．故選：AC．10.已知直線l過點(diǎn)，點(diǎn)，到l的距離相等，則l的方程可能是()A. B.C. D.【正確答案】BC【分析】分直線l斜率存在和不存在進(jìn)行討論﹒當(dāng)l斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于k的方程，解方程即可求直線l的方程．【詳解】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為，此時(shí)點(diǎn)到直線的距離為5，點(diǎn)到直線的距離為1，此時(shí)不成立；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，∵點(diǎn)到直線的距離相等，，解得，或，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，整理得，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，整理得綜上，直線的方程可能為或故選：BC．11.已知甲罐中有三個(gè)相同的小球，標(biāo)號為1，2，3；乙罐中有兩個(gè)相同的小球，標(biāo)號為1，2，從甲罐、乙罐中分別隨機(jī)抽取1個(gè)小球，記事件“抽取的兩個(gè)小球標(biāo)號之和小于4”，事件“抽取的兩個(gè)小球標(biāo)號之積為偶數(shù)”，事件“抽取的兩個(gè)小球標(biāo)號之積大于3”，則（）A.事件A發(fā)生的概率為 B.事件發(fā)生的概率為C.事件A，C是互斥事件 D.事件B，C相互獨(dú)立【正確答案】AC【分析】根據(jù)古典概型的概率計(jì)算可判斷A，B；根據(jù)互斥事件的概念可判斷C；根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式可判斷D.【詳解】對于A，從甲罐、乙罐中分別隨機(jī)抽取1個(gè)小球，共有種抽法，其中事件包含的事件個(gè)數(shù)有共3個(gè)，故事件A發(fā)生的概率為，A正確；對于B，事件包含的事件個(gè)數(shù)有共4個(gè)，故事件包含的事件個(gè)數(shù)有5個(gè)，則事件發(fā)生的概率為，B錯(cuò)誤；對于C，事件包含的事件為，每個(gè)事件中兩個(gè)小球標(biāo)號之積都不大于3，故事件A，C不會(huì)同時(shí)發(fā)生，二者是互斥事件，C正確；對于D，，事件包含的事件個(gè)數(shù)有共個(gè)，故,事件包含的事件為，則,則，即事件B，C不相互獨(dú)立，D錯(cuò)誤，故選：AC12.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)二次函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，經(jīng)過三點(diǎn)的圓記為圓.下列結(jié)論正確的是（）A.且B.當(dāng)時(shí)，為鈍角C.圓：（且）D.圓過定點(diǎn)【正確答案】ACD【分析】將兩函數(shù)聯(lián)立消，利用判別式大于零可判斷A；利用弦長公式以及余弦定理可判斷B；求出的中垂線，圓心在中垂線上，設(shè)圓心為，根據(jù)，求出圓心，進(jìn)而求出半徑即可判斷C；根據(jù)C選項(xiàng)，將方程整理成，令即可判斷D.【詳解】對于A，聯(lián)立，消可得，二次函數(shù)與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，則，解得，又，故A正確；對于B，聯(lián)立消可得，設(shè)，，則，，由弦長公式可得，在中，，，當(dāng)時(shí)，，所以所以為銳角，故B錯(cuò)誤；對于C，線段的中點(diǎn)為，則的中垂線為：，設(shè)圓心為，不妨設(shè)，由，即整理可得，即，解得，所以圓心為，半徑，所以圓為：，整理可得（且，故C正確；對于D，由C：（且），整理可得，方程過定點(diǎn)則，解得，所以圓過定點(diǎn)，故D正確；故選：ACD本題考查了函數(shù)與方程的關(guān)系、余弦定理、求三角形的外接圓的方程、方程過定點(diǎn)問題，綜合性比較強(qiáng)，屬于難題.第II卷非選擇題（90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知一個(gè)樣本容量為7的樣本的平均數(shù)為5，方差為2，現(xiàn)在樣本中加入一個(gè)新數(shù)據(jù)5，則此時(shí)方差是______.【正確答案】【分析】利用平均數(shù)和方差的定義直接求解即可.【詳解】設(shè)這個(gè)樣本容量為7的樣本數(shù)據(jù)分別為則，所以，，所以.當(dāng)加入新數(shù)據(jù)5后，平均數(shù)，方差.故答案：14.李雷?韓梅梅兩人進(jìn)行圍棋比賽，約定每局勝者得1分，負(fù)者得0分，比賽進(jìn)行到有一人比對方多2分或打滿4局時(shí)停止.設(shè)李雷在每局中獲勝的概率為，且各局勝負(fù)相互獨(dú)立.已知第二局比賽結(jié)束時(shí)比賽停止的概率為.則概率P的值為___________【正確答案】##0.75【分析】當(dāng)甲連勝2局或者乙連勝2局時(shí),第二局比賽結(jié)束，計(jì)算比賽2局停止的概率求出P即可.【詳解】依題意,當(dāng)李雷連勝2局或者韓梅梅連勝2局時(shí),第二局比賽結(jié)束時(shí)比賽停止，，解得或（舍去）故15.長方體中，，，.過作長方體的截面，則所得截面多邊形面積的最小值是__________.【正確答案】【詳解】截面多邊形面積取最小值時(shí)上的高為，因此最小值為.16.設(shè)，是定義在上的兩個(gè)周期函數(shù)，的周期為4，的周期為2，且是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，，設(shè)函數(shù)，若在區(qū)間上，函數(shù)有11個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是______.【正確答案】【分析】先作出函數(shù)與的圖象，得到函數(shù)與，，，僅有3個(gè)實(shí)數(shù)根，則，，與，，的圖象有2個(gè)不同交點(diǎn)，再通過數(shù)形結(jié)合得解.【詳解】令=0，所以在區(qū)間上，函數(shù)的圖像有11個(gè)交點(diǎn)，作出函數(shù)與的圖象如圖，由圖可知，函數(shù)與，，，僅有3個(gè)實(shí)數(shù)根；所以要使關(guān)于的方程有8個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則，，與，，的圖象有2個(gè)不同交點(diǎn)，由到直線的距離為1，得，解得，兩點(diǎn)，連線的斜率，所以．故答案為.本題考查函數(shù)零點(diǎn)的判定，考查分段函數(shù)的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.某校對2023年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)考試成績（單位：分）進(jìn)行分析，隨機(jī)抽取100名學(xué)生，將分?jǐn)?shù)按照，，，，，分成6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖：（1）估計(jì)該校高一期中數(shù)學(xué)考試成績的眾數(shù)、平均分；（2）估計(jì)該校高一期中數(shù)學(xué)考試成績的第80百分位數(shù)；【正確答案】（1）眾數(shù)是100，平均分是93（2）115.【分析】（1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)求得，頻率最高的一組數(shù)據(jù)中點(diǎn)值為眾數(shù)，由各組數(shù)據(jù)中點(diǎn)值乘以相應(yīng)頻率后相加可得平均值；（2）求出頻率0.8對應(yīng)的值即得第80百分位數(shù).【小問1詳解】由，可得.即數(shù)學(xué)成績在：頻率，頻率，頻率，頻率，頻率，頻率，分?jǐn)?shù)在內(nèi)的最多，所以眾數(shù)是100，平均分是.【小問2詳解】由（1）知樣本數(shù)據(jù)中數(shù)學(xué)考試成績在110分以下所占比例為，在130分以下所占比例為，因此，第80百分位數(shù)一定位于內(nèi)，由，所以樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)約為115.18.如圖，三棱錐中，，，兩兩垂直，，，分別是，的中點(diǎn)，的面積為，四棱錐的體積為.（1）若平面平面，求證：；（2）求三棱錐的表面積.【正確答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）由中位線性質(zhì)得到，則可證得平面，由線面平行的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）根據(jù)線面垂直的判定可知是四棱錐的高，根據(jù)長度和垂直關(guān)系依次求得各個(gè)面的面積，加和即可得到結(jié)果.【詳解】（1）證明：，分別是，的中點(diǎn)，，平面，平面，平面.又平面平面，平面，.（2）解：，，兩兩垂直，，，平面，平面，即是四棱錐的高.，，，.，分別是，的中點(diǎn)，，，即.，，.的面積為.三棱錐的表面積.19.已知光線經(jīng)過已知直線和的交點(diǎn)M，且射到x軸上一點(diǎn)后被x軸反射．（1）求點(diǎn)M關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）求反射光線所在的直線的方程．（3）求與距離為的直線方程．【正確答案】（1）；（2）；（3）或．【分析】（1）解方程組求得的坐標(biāo)，然后得出其關(guān)于軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）解法一：根據(jù)反射原理，確定直線和直線的傾斜角的關(guān)系，進(jìn)而利用斜率公式求得直線的斜率，得到直線的斜率，進(jìn)而用點(diǎn)斜式寫出方程；解法二：反射光線所在的直線的方程就是直線PN的方程，利用兩點(diǎn)式可求；（3）利用直線平行的條件設(shè)出所求直線的方程，利用平行直線間的距離公式求出所求直線的方程.【詳解】解：（1）由得，∴．所以點(diǎn)M關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)P的坐標(biāo)．（2）解法一：因入射角等于反射角，直線MN的傾斜角為，則直線的斜角．，所以直線的斜率．故反射光線所在的直線的方程為：．即．解法二：因?yàn)槿肷浣堑扔诜瓷浣?，所以反射光線所在的直線的方程就是直線PN的方程．直線PN的方程為：，整理得：．故反射光線所在的直線的方程為．（3）設(shè)與平行的直線為，根據(jù)兩平行線之間的距離公式得：，解得，或，所以與距離為的直線方程為：或．本題關(guān)鍵是光線反射原理：入射角等于反射角，從而得到入射線與反射線所在直線的傾斜角的關(guān)系，求到給定直線距離為定值的直線的方程，關(guān)鍵是根據(jù)直線平行的條件設(shè)出所求直線的方程，熟練掌握平行直線的距離公式是解題的關(guān)鍵.20.隨著小汽車的普及，“駕駛證”已經(jīng)成為現(xiàn)代人“必考”證件之一，若某人報(bào)名參加了駕駛證考試，要順利地拿到駕駛證，需要通過四個(gè)科目的考試，其中科目二為場地考試．在每一次報(bào)名中，每個(gè)學(xué)員有5次參加科目二考試的機(jī)會(huì)（這5次考試機(jī)會(huì)中任何一次通過考試，就算順利通過，即進(jìn)入下一科目考試，若5次都沒有通過，則需要重新報(bào)名），其中前2次參加科目二考試免費(fèi)，若前2次都沒有通過，則以后每次參加科目二考試都需要交200元的補(bǔ)考費(fèi)，某駕校通過幾年的資料統(tǒng)計(jì)，得到如下結(jié)論：男性學(xué)員參加科目二考試，每次通過的概率均為，女性學(xué)員參加科目二考試，每次通過的概率均為，現(xiàn)有這個(gè)駕校的一對夫妻學(xué)員同時(shí)報(bào)名參加駕駛證科目二考試，若這對夫妻每人每次是否通過科目二考試相互獨(dú)立，他們參加科目二考試的原則為：通過科目二考試或者用完所有機(jī)會(huì)為止．（1）求這對夫妻在本次報(bào)名參加科目二考試通過且都不需要交補(bǔ)考費(fèi)的概率；（2）求這對夫妻在本次報(bào)名參加科目二考試通過且產(chǎn)生的補(bǔ)考費(fèi)用之和為200元的概率．【正確答案】（1）；（2）.【分析】（1）分別表示丈夫和妻子第i次通過考試的事件，再將夫妻二人都不需要交補(bǔ)考費(fèi)的事件用表示，然后利用互斥事件和相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算作答.（2）將夫妻二人共交200元補(bǔ)考費(fèi)的事件用（1）中事件表示，再利用互斥事件和相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算作答.【小問1詳解】分別表示丈夫和妻子第i次通過考試的事件，則，夫妻二人都不需要交補(bǔ)考費(fèi)的事件，則，所以這對夫妻在本次報(bào)名參加科目二考試通過且都不需要交補(bǔ)考費(fèi)的概率是.【小問2詳解】由（1）知，夫妻二人共交200元補(bǔ)考費(fèi)的事件，則，所以這對夫妻在本次報(bào)名參加科目二考試通過且產(chǎn)生的補(bǔ)考費(fèi)用之和為200元的概率.21.如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD是等邊三角形，且平面PAD⊥平面ABCD．E為PD的中點(diǎn)，，，，．（1）求證：平面PAB；（2）求平面PAC與平面ACE的夾角的余弦值．【正確答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）取的中點(diǎn),連接，根據(jù)題意可證明四邊形為平行四邊形，從而可證明，然后根據(jù)線面平行的判定定理即可證明平面PAB；（2）取的中點(diǎn)，連接，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，然后利用向量法求平面PAC與平面ACE夾角的余弦值即可.【詳解】（1）取的中點(diǎn),連接，因?yàn)榉謩e為的