新高考數(shù)學二輪復習培優(yōu)講義20 橢圓 含解析

解密20橢圓【考點解密】1．橢圓的概念平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓．這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c<2a，其中a>0，c>0，且a，c為常數(shù)．2．橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)標準方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)圖形性質(zhì)范圍－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a對稱性對稱軸：坐標軸對稱中心：原點頂點坐標A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)軸長軸A1A2的長為2a；短軸B1B2的長為2b焦距|F1F2|＝2c離心率e＝eq\f(c,a)∈(0,1)a，b，c的關系a2＝b2＋c2【方法技巧】1.橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見求法：①求出a，c，代入公式SKIPIF1<0；②只需要根據(jù)一個條件得到關于a，b，c的齊次式，結(jié)合SKIPIF1<0轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或SKIPIF1<0轉(zhuǎn)化為關于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．2.涉及與橢圓有關的軌跡方程及橢圓中的定點定值，.求軌跡方程方法為直接法，即將題意轉(zhuǎn)化為代數(shù)語言，化簡即得軌跡方程；對于定點問題，?？捎蓪ΨQ性確定定點所在位置，后由三點共線結(jié)合向量共線或斜率相等可得定點坐標.【核心題型】題型一：利用橢圓的定義解決焦點三角形或者邊長問題1．（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓C的焦點為SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0的直線與C交于P，Q兩點，若SKIPIF1<0，則橢圓C的標準方程為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】由已知可設SKIPIF1<0可求出所有線段用SKIPIF1<0表示，在SKIPIF1<0中由余弦定理得SKIPIF1<0從而可求.【詳解】如圖，由已知可設SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0根據(jù)橢圓的定義SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中由余弦定理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0故橢圓方程為：SKIPIF1<0故選：B2．（2023·全國·高三專題練習）已知點P是橢圓C：SKIPIF1<0上一點，點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是橢圓C的左、右焦點，若SKIPIF1<0的內(nèi)切圓半徑的最大值為SKIPIF1<0，若橢圓的長軸長為4，則SKIPIF1<0的面積的最大值為（

）A．2 B．2SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】設SKIPIF1<0的內(nèi)切圓半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，結(jié)合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0即可求解.【詳解】由題意可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0的內(nèi)切圓半徑為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0的內(nèi)切圓半徑的最大值為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又橢圓的長軸長為4，即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的面積的SKIPIF1<0故選：A3．（2022秋·黑龍江佳木斯·高三建三江分局第一中學?？计谥校┮阎谄矫嬷苯亲鴺讼抵校琒KIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，P為該平面上一動點，記直線PD，PE的斜率分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，設點P運動形成曲線F，點M是曲線F上位于x軸上方的點，則下列說法錯誤的有（

）A．動點P的軌跡方程為SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0面積的最大值為SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的最大值為5D．SKIPIF1<0的周長為6【答案】A【分析】設SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由兩點求直線斜率公式化簡可求點P的軌跡方程，即可判斷A；結(jié)合焦點三角形的面積計算即可判斷B；根據(jù)橢圓的定義和三角形三邊的大小關系即可判斷C；結(jié)合焦點三角形的周長為定值2a+2c，即可判斷D.【詳解】由題意得，設點SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，整理，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即動點P的軌跡方程為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故A錯誤；由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的焦點，故當點SKIPIF1<0運動到橢圓的上頂點時，SKIPIF1<0的面積最大，此時SKIPIF1<0，故B正確；將SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在橢圓SKIPIF1<0內(nèi)，由橢圓的定義，得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0三點共線且點P位于第四象限時等號成立，所以SKIPIF1<0，故C正確；焦點三角形的周長為定值SKIPIF1<0，故D正確.故選：A.題型二：待定系數(shù)法求橢圓方程4．（2022·全國·高三專題練習）平面直角坐標系中，橢圓C中心在原點，焦點SKIPIF1<0在x軸上，離心率為SKIPIF1<0.過點SKIPIF1<0的直線l與C交于A、B兩點，且△SKIPIF1<0周長為SKIPIF1<0，那么C的方程為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】根據(jù)橢圓定義以及離心率即可求解SKIPIF1<0的值，進而根據(jù)SKIPIF1<0的關系即可求解SKIPIF1<0，即可得橢圓方程.【詳解】如圖，設橢圓方程為SKIPIF1<0.∵△SKIPIF1<0周長為SKIPIF1<0，∴4aSKIPIF1<0，得aSKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.則SKIPIF1<0.∴橢圓C的方程為：SKIPIF1<0.故選：B.5．（2022·全國·高三專題練習）已知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是橢圓C：SKIPIF1<0SKIPIF1<0的左、右焦點，A為橢圓的上頂點，B在x軸上，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.若坐標原點O到直線AB的距離為3，則橢圓C的方程為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根據(jù)題干條件得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，作出輔助線，利用相似得到SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，結(jié)合直角三角形的性質(zhì)得到SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0，得到橢圓方程.【詳解】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，又因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，過點O作OM⊥AB于點M，則SKIPIF1<0，根據(jù)SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為A為上頂點，所以SKIPIF1<0根據(jù)雙曲線定義可知：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以橢圓方程為：SKIPIF1<0故選：D6．（2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線SKIPIF1<0的左、右頂點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，焦點在y軸上的橢圓以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為頂點，且離心率為SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0作斜率為SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0交雙曲線于另一點SKIPIF1<0，交橢圓于另一點SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】求出橢圓的方程，設點SKIPIF1<0，可得出SKIPIF1<0，由點SKIPIF1<0在橢圓上，點SKIPIF1<0在雙曲線上，可得出關于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的方程組，求出SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的值，利用斜率公式可求得SKIPIF1<0的值.【詳解】設所求橢圓的標準方程為SKIPIF1<0，半焦距為SKIPIF1<0，雙曲線SKIPIF1<0的左頂點為SKIPIF1<0，右頂點為SKIPIF1<0，由于橢圓SKIPIF1<0以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為頂點，則SKIPIF1<0，該橢圓的離心率為SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以，橢圓的方程為SKIPIF1<0，設點SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0，由于點SKIPIF1<0在橢圓上，點SKIPIF1<0在雙曲線上，所以，SKIPIF1<0，聯(lián)立得：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，此時點SKIPIF1<0與點SKIPIF1<0重合，不滿足題意舍去；當SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：B.題型三：直接法求橢圓離心率問題7．（2023·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習）已知橢圓C：SKIPIF1<0的左右焦點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點P是C上的一個動點，若橢圓C上有且僅有4個點P滿足SKIPIF1<0是直角三角形，則橢圓C的離心率的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】由數(shù)形結(jié)合可知，點SKIPIF1<0不是直角頂點，則由SKIPIF1<0，確定離心率的取值范圍.【詳解】當SKIPIF1<0和SKIPIF1<0垂直于SKIPIF1<0時，恰有4個點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0是直角三角形，由條件可知，點SKIPIF1<0不是直角頂點，則以SKIPIF1<0為直徑的圓與橢圓無交點，則SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，所以橢圓離心率SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0.故選：B8．（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓SKIPIF1<0的左焦點為SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0且斜率為SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點，與SKIPIF1<0軸交于點SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的離心率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】設出直線方程，求出SKIPIF1<0點坐標，由SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0點坐標代入橢圓方程，化簡可得結(jié)果.【詳解】設直線SKIPIF1<0為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0在橢圓上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入化簡整理得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0.故選：C9．（2023·山東淄博·統(tǒng)考一模）直線SKIPIF1<0經(jīng)過橢圓SKIPIF1<0的左焦點SKIPIF1<0，交橢圓于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，交SKIPIF1<0軸于SKIPIF1<0點，若SKIPIF1<0，則該橢圓的離心率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】由直線SKIPIF1<0與坐標軸的交點，得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0點坐標，點A又在橢圓上，由定義求得SKIPIF1<0，可求橢圓的離心率.【詳解】對直線SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，點A又在橢圓上，左焦點SKIPIF1<0，右焦點SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，橢圓的離心率SKIPIF1<0.故選：C題型四：構(gòu)造齊次方程求離心率10．（2023·湖南邵陽·統(tǒng)考二模）已知橢圓SKIPIF1<0的左、右焦點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，半焦距為SKIPIF1<0．在橢圓上存在點SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，則橢圓離心率的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】由正弦定理及橢圓定義得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，結(jié)合SKIPIF1<0，得關于SKIPIF1<0的不等式，從而求出SKIPIF1<0的范圍.【詳解】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．故選：B．11．（2023秋·河北保定·高三統(tǒng)考期末）已知橢圓C：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為橢圓的左、右焦點，P為橢圓上一點，SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0外角平分線的垂線交SKIPIF1<0的延長線于N點．若SKIPIF1<0，則橢圓的離心率（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根據(jù)二倍角公式以及互余關系可得SKIPIF1<0，進而在SKIPIF1<0中，由余弦定理聯(lián)立方程可得SKIPIF1<0，進而可求解.【詳解】設SKIPIF1<0與SKIPIF1<0外角平分線的交點為SKIPIF1<0,設SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,進而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，兩式聯(lián)立得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故選：D12．（2023·江西贛州·統(tǒng)考一模）已知橢圓SKIPIF1<0的左、右焦點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．橢圓SKIPIF1<0在第一象限存在點SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸交于點SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的角平分線，則橢圓SKIPIF1<0的離心率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】根據(jù)題意和橢圓定義可得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的關系式，再根據(jù)SKIPIF1<0，可得到關于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的齊次式，進而可求得橢圓SKIPIF1<0的離心率SKIPIF1<0．【詳解】由題意得SKIPIF1<0，又由橢圓定義得SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0（負值已舍）．故選：B．題型五：利用自變量范圍求離心率范圍13．（2023·全國·高三專題練習）設橢圓SKIPIF1<0離心率為e，雙曲線SKIPIF1<0的漸近線的斜率小于SKIPIF1<0，則橢圓SKIPIF1<0的離心率e的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】根據(jù)漸近線斜率的取值范圍可得出SKIPIF1<0的關系，再根據(jù)橢圓離心率的定義即可求得離心率e的取值范圍.【詳解】根據(jù)雙曲線方程SKIPIF1<0可得，其漸近線方程為SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，且漸近線的斜率小于SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；所以，橢圓SKIPIF1<0的離心率SKIPIF1<0即離心率e的取值范圍是SKIPIF1<0.故選：B14．（2022秋·黑龍江鶴崗·高三鶴崗一中?？茧A段練習）已知橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，定點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，有一動點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0點軌跡與橢圓SKIPIF1<0恰有4個不同的交點，則橢圓SKIPIF1<0的離心率的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】設動點SKIPIF1<0，求出其軌跡，求出SKIPIF1<0，即得解.【詳解】解：設動點SKIPIF1<0，由題得SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0.所以動點SKIPIF1<0的軌跡是以原點為圓心，以SKIPIF1<0為半徑的圓.因為SKIPIF1<0點軌跡與橢圓SKIPIF1<0恰有4個不同的交點，所以SKIPIF1<0.所以橢圓SKIPIF1<0的離心率SKIPIF1<0.因為橢圓的離心率SKIPIF1<0，所以橢圓SKIPIF1<0的離心率的取值范圍為SKIPIF1<0.故選：D15．（2022·四川綿陽·四川省綿陽南山中學?？级＃┮阎cP在以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為左、右焦點的橢圓SKIPIF1<0上，橢圓內(nèi)存在一點Q在SKIPIF1<0的延長線上，且滿足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則該橢圓離心率取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】由SKIPIF1<0和正弦值，可設出SKIPIF1<0的三邊長，結(jié)合橢圓定義和勾股定理求出等量關系，利用點SKIPIF1<0的位置求出SKIPIF1<0的范圍，代入等式有解，可求出SKIPIF1<0的關系，即可求出離心率的范圍.【詳解】解：因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，不妨設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由橢圓定義可知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由勾股定理可知：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，化簡可得：SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0延長線上，且在橢圓內(nèi)部，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0在橢圓內(nèi)部，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故選B．題型六：橢圓的綜合問題16．（2023·寧夏·六盤山高級中學?？家荒＃┮阎獧E圓SKIPIF1<0的左、右焦點分別為SKIPIF1<0，上頂點為SKIPIF1<0，若△SKIPIF1<0為等邊三角形，且點SKIPIF1<0在橢圓E上.(1)求橢圓E的方程；(2)設橢圓E的左、右頂點分別為SKIPIF1<0，不過坐標原點的直線l與橢圓E相交于A、B兩點（異于橢圓E的頂點），直線SKIPIF1<0與y軸的交點分別為M、N，若SKIPIF1<0，證明：直線過定點，并求該定點的坐標.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)點SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】（1）由已知條件，橢圓的定義及SKIPIF1<0的關系可知SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，再設出橢圓的方程，最后將點代入橢圓的方程即可求解；（2）設點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由直線SKIPIF1<0的方程即可求出點SKIPIF1<0的坐標，由SKIPIF1<0的方程即可求出點SKIPIF1<0的坐標，由已知條件可知SKIPIF1<0，分直線SKIPIF1<0的斜率存在和直線SKIPIF1<0的斜率不存在兩種情況分別求解，得出直線SKIPIF1<0的方程，即可判斷出直線恒過定點的坐標.【詳解】（1）∵△SKIPIF1<0為等邊三角形，且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，設橢圓的方程為SKIPIF1<0，將點SKIPIF1<0代入橢圓方程得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以橢圓E的方程為SKIPIF1<0.（2）由已知得SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,則直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，即點SKIPIF1<0坐標為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，即點SKIPIF1<0坐標為SKIPIF1<0,∵SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，①若直線SKIPIF1<0的斜率存在時,設直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，此時直線SKIPIF1<0恒過點SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，此時直線SKIPIF1<0恒過點SKIPIF1<0，②若直線SKIPIF1<0的斜率不存在時SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，此時直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以此時直線SKIPIF1<0恒過點SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，綜上所述，直線SKIPIF1<0恒過點SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.17．（2023·河南開封·開封高中?？寄M預測）已知橢圓SKIPIF1<0的中心為坐標原點，對稱軸為SKIPIF1<0軸?SKIPIF1<0軸，且過SKIPIF1<0兩點．(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)設過點SKIPIF1<0的直線交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0兩點，點SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0軸的對稱點為SKIPIF1<0，問直線SKIPIF1<0是否過定點？若過定點，求出該定點的坐標；若不過定點，請說明理由．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)直線SKIPIF1<0過定點SKIPIF1<0.【分析】（1）設橢圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，進而待定系數(shù)求解即可；（2）當斜率存在時，方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，進而得SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，再聯(lián)立方程，結(jié)合韋達定理化簡整理得SKIPIF1<0，進而得定點，再說明斜率不存在時滿足即可.【詳解】（1）解：因為橢圓SKIPIF1<0的中心為坐標原點，對稱軸為SKIPIF1<0軸?SKIPIF1<0軸，所以，設橢圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，因為橢圓SKIPIF1<0過SKIPIF1<0兩點，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以，橢圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0.（2）解：當過點SKIPIF1<0的直線斜率存在，設方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，聯(lián)立方程SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0因為點SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0軸的對稱點為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0所以，將SKIPIF1<0代入整理直線SKIPIF1<0的方程得：SKIPIF1<0所以，直線SKIPIF1<0過定點SKIPIF1<0.當過點SKIPIF1<0的直線斜率不存在時，方程為SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸上，直線SKIPIF1<0的方程即為SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0.綜上，直線SKIPIF1<0過定點SKIPIF1<0.18．（2023春·天津河西·高三天津市新華中學?？茧A段練習）設橢圓SKIPIF1<0的右焦點為F，右頂點為A，已知橢圓離心率為SKIPIF1<0，過點F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為3．(1)求橢圓C的方程；(2)設過點A的直線l與橢圓C交于點B（B不在x軸上），垂直于l的直線與l交于點M，與y軸交于點H，若以BH為直徑的圓經(jīng)過點F，設直線l的斜率為k，直線OM的斜率為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求直線l斜率k的取值范圍．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）根據(jù)題意列出關于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方程組，解方程組，再求出橢圓C的方程；（2）由已知設直線l的方程為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，化為關于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關系求得B的坐標，由SKIPIF1<0，求出H的坐標，再寫出MH所在直線方程，由直線SKIPIF1<0和直線l，解得求得M的坐標，從而得到SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，再求出k的范圍即可．【詳解】（1）因為過焦點且垂直于長軸的直線被橢圓截得的線段長為3，所以SKIPIF1<0①，又因為橢圓離心率為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0②，又SKIPIF1<0③，聯(lián)立①②③可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以橢圓C的方程為SKIPIF1<0．（2）設直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由（1）知，SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為以BH為直徑的圓經(jīng)過點F，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0的斜率的取值范圍為SKIPIF1<0．【高考必刷】一、單選題19．（2023·河南·洛陽市第三中學校聯(lián)考一模）已知過橢圓SKIPIF1<0的上焦點SKIPIF1<0且斜率為SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0交橢圓SKIPIF1<0于SKIPIF1<0兩點，SKIPIF1<0為坐標原點，直線SKIPIF1<0分別與直線SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0兩點.若SKIPIF1<0為銳角，則直線SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根據(jù)橢圓的標準方程求出焦點坐標，利用直線的斜截式方程設出直線的方程，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，再利用韋達定理及兩直線相交聯(lián)立方程組求出交點坐標，結(jié)合已知條件、點在直線上及向量的數(shù)量積的坐標運算即可求解.【詳解】由題意可知，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0所以橢圓SKIPIF1<0的上焦點為SKIPIF1<0，設直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0消去SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.由題設知，SKIPIF1<0所在的直線方程為SKIPIF1<0.因為直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0相交于點SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；同理可得SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0為銳角，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0.故直線SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0.故選:D.20．（2023·山東日照·統(tǒng)考一模）已知橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的左、右焦點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0為橢圓SKIPIF1<0內(nèi)一點，點SKIPIF1<0在雙曲線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0上，若橢圓上存在一點SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】先求出橢圓左焦點SKIPIF1<0坐標為SKIPIF1<0，由題得SKIPIF1<0，解不等式得到SKIPIF1<0，再解不等式SKIPIF1<0即得解.【詳解】點SKIPIF1<0在雙曲線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0.所以橢圓左焦點SKIPIF1<0坐標為SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.點SKIPIF1<0為橢圓SKIPIF1<0內(nèi)一點，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.綜上：SKIPIF1<0.故選：A21．（2023·全國·高三專題練習）設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是橢圓SKIPIF1<0的左、右焦點，點P，Q在橢圓C上，若SKIPIF1<0SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則橢圓C的離心率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】利用數(shù)量積知識得SKIPIF1<0，然后利用第一定義及勾股定理得到a、c關系，即可求出離心率【詳解】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，則點P是以SKIPIF1<0為直徑的圓與橢圓C的交點，不妨設和點P在第一象限，如圖連接SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0代入，得SKIPIF1<0．故選：A22．（2023·河南焦作·統(tǒng)考模擬預測）分別過橢圓SKIPIF1<0的左、右焦點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0作平行直線SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0、SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸上方分別與SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點，若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間的距離為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0（SKIPIF1<0表示面積，SKIPIF1<0為坐標原點），則SKIPIF1<0的離心率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，從而得到SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0、SKIPIF1<0中利用余弦定理求出SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即可得解.【詳解】解：由題意知直線SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的斜率一定存在，設SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，由題意知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，同理在SKIPIF1<0中利用余弦定理可得SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：A23．（2023·浙江·模擬預測）已知橢圓SKIPIF1<0的左、右焦點為SKIPIF1<0為橢圓上一點，過P點作橢圓的切線l，PM垂直于直線l且與x軸交于點M，若M為SKIPIF1<0的中點，則該橢圓的離心率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】由橢圓方程和切點坐標，寫出切線方程，得M點坐標，由M的位置，求得離心率.【詳解】因為SKIPIF1<0為橢圓SKIPIF1<0上一點，所以過P作橢圓的切線SKIPIF1<0，切線斜率SKIPIF1<0，所以PM的斜率SKIPIF1<0，直線PM的方程為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由題SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故選：C．24．（2023·遼寧沈陽·統(tǒng)考一模）已知橢圓SKIPIF1<0的右焦點為F，過F作傾斜角為SKIPIF1<0的直線l交該橢圓上半部分于點P，以FP，F(xiàn)O（O為坐標原點）為鄰邊作平行四邊形SKIPIF1<0，點Q恰好也在該橢圓上，則該橢圓的離心率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】設出點P的坐標，由給定條件及橢圓的對稱性可得點Q的坐標，再借助斜率坐標公式求出點P的坐標即可求解作答.【詳解】設點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，而點P，Q均在橢圓上，由橢圓對稱性得SKIPIF1<0，令橢圓半焦距為c，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<