類變分不等式的有限元逼近

引言在數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，變分問題和廣義線性問題是非常重要的領(lǐng)域。通過使用有限元方法來解決這類問題是非常常見的。在這篇文章中，我們將探討類變分不等式的有限元逼近。變分不等式在了解有限元逼近之前，讓我們首先了解變分不等式。變分不等式是一個能夠表示問題中存在的約束條件的方程。它是變分問題的一種形式，并用于在符合制約條件的解空間中找到最小值。如果我們考慮尋求函數(shù)ux變分不等式具有如下形式:$$a(u,v)\\geql(v),\\\\u\\inK\otag$$其中，u和v是定義在域D上的函數(shù),K是表示所有假設(shè)約束條件的函數(shù)類。a是一個雙線性函數(shù)（定義在H01D上），l是一個線性函數(shù)（定義在有限元法有限元法是一種數(shù)值計算方法，用于解決分布在一些結(jié)構(gòu)內(nèi)部的差分方程或變分問題。有限元法的基本思想是將復(fù)雜的幾何體分解為簡單的幾何體，如三角形或四面體。每個區(qū)域被稱為單元，每個單元都可以用一些簡單的數(shù)學(xué)函數(shù)近似。因此，整個計算區(qū)域可以使用這些簡單函數(shù)的組合進(jìn)行近似。在使用有限元方法時，我們通常將域D分解為$\\{K_j\\}_{j=1}^N$個單元，每個單元對應(yīng)于一個形狀簡單的幾何形狀。在有限元法中，我們考慮對幾何體內(nèi)的某些變分問題或偏微分方程進(jìn)行離散化，然后用簡單的數(shù)學(xué)函數(shù)進(jìn)行逼近。例如，我們可以將一個偏微分方程表示為一個變分問題，然后使用有限元方法來求解這個問題。類變分不等式對于帶有p次項(xiàng)$f(u),\\p>1$的非線性偏微分方程$$-\abla\\cdot(a(x,u)\ablau)+f(u)=g,\\u|_{\\partialD}=0,$$其中，g是一個已知的函數(shù)，u是未知的函數(shù)，ax,u是一個對稱正定矩陣，它依賴于x和u。如果$f(u)\\geq0$，則這是一個反向問題（reverseproblems）。當(dāng)然而，當(dāng)fu一個典型的有限元逼近基于線性變分問題用局部函數(shù)代替原函數(shù)，在每個單元內(nèi)使用局部插值和有限差分，以近似解算法中的微分算符。這種簡單的逼近方式對于非線性問題是不適用的，因此，需要依賴于其他更高階的逼近方案。在類變分不等式的情況下，我們使用一種稱為有限元梯度的技術(shù)來逼近解法的微分項(xiàng)。此外，我們使用一種稱為點(diǎn)賦值的方法，將兩個相鄰的單元之間的函數(shù)值連接起來。與標(biāo)準(zhǔn)的有限元法相比，有限元梯度和點(diǎn)賦值方法使得類變分不等式的逼近更加準(zhǔn)確。有限元逼近對于單單元來說，我們可以使用如下形式的近似：$$u_h(x)=\\sum_{i=1}^nU_i\\phi_i(x)$$其中，n是單元的節(jié)點(diǎn)數(shù)，Ui是節(jié)點(diǎn)處的解值，$\\phi_i(x)$是x在類變分不等式的情況下，我們需要使用微分算符$Du,\\D^2u$來逼近變分方程。在每個單元內(nèi)部，我們使用梯度和拉普拉斯算子的有限元逼近，這些算子可以用來近似解法中的微分算符Du和D在每個單元內(nèi)，我們還使用平均值的有限元逼近，這個逼近可以連接相鄰單元之間的函數(shù)值?；谏鲜龇椒ǎ覀兛梢酝ㄟ^使用局部插值和有限差分的方式，將原問題轉(zhuǎn)化為一個線性系統(tǒng)Au結(jié)論通過對類變分不等式的有限元逼近的介紹，我們可以看到它是一種適用于非線性變分問題的數(shù)值方法。與