2023年中考數(shù)學一輪復(fù)習模擬匯編第五講圖形的運動

第五講圖形的運動一．關(guān)于x軸、y軸對稱的點的坐標（共1小題）1．（2022?玄武區(qū)一模）在平面直角坐標系xOy中，作點P關(guān)于x軸的對稱點，得到點P1，再將點P1向右平移3個單位，得到點P2（1，﹣1），則點P的坐標為．二．翻折變換（折疊問題）（共6小題）2．（2022?建鄴區(qū)二模）如圖，矩形ABCO，點A、C在坐標軸上，點B的坐標為（﹣2，4）．將△ABC沿AC翻折，得到△ADC，則點D的坐標是（）A．（，） B．（，） C．（，） D．（，）3．（2022?南京一模）如圖，E是菱形ABCD的邊BC上的點，連接AE．將菱形ABCD沿AE翻折，點B恰好落在CD的中點F處，則tan∠ABE的值是（）A．4 B．5 C． D．4．（2022?南京二模）如圖，在矩形ABCD中，E、F分別是AB、CD邊的中點，G為AD邊上的一點，將矩形沿BG翻折使得點A落在EF上．若AB＝4，則BG的長為．5．（2022?秦淮區(qū)校級模擬）如圖，將菱形ABCD沿直線EF翻折，點C落在邊AB上的點G處，若EG⊥CD，AB＝5，BG＝1，則CE的長為．6．（2022?鼓樓區(qū)一模）如圖，∠C＝∠D＝90°，AC＝AD．（1）求證∠CAB＝∠DAB；（2）若將△ADB沿AB的垂直平分線翻折，則得到的三角形和△ACB可以拼成一個（寫出圖形的形狀）；（3）若將△ADB進行一次圖形變化，得到的三角形和△ACB拼成一個等腰三角形，請寫出圖形變化的過程．7．（2022?雨花臺區(qū)校級模擬）如圖，矩形ABCD中，點E在邊CD上，將△BCE沿BE折疊，點C落在AD邊上的點F處，過點F作FG∥CD交BE于點G，連接CG．（1）求證：四邊形CEFG是菱形；（2）若AB＝6，AD＝10，求四邊形CEFG的面積．三．旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)（共1小題）8．（2022?南京一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△AB'C'，BC的延長線交B'C'于點D，若B'C'∥AB，則CD的長為．四．坐標與圖形變化-旋轉(zhuǎn)（共2小題）9．（2022?建鄴區(qū)一模）在平面直角坐標系中，點A的坐標是（﹣2，3），將點A繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到點B．若點B的坐標是（5，﹣1），則點C的坐標是（）A．（﹣0.5，﹣2.5） B．（﹣0.25，﹣2） C．（0，﹣1.75） D．（0，﹣2.75）10．（2022?建鄴區(qū)二模）如圖，把平面內(nèi)一條數(shù)軸x繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)角θ（0°＜θ＜90°）得到另一條數(shù)軸y，x軸和y軸構(gòu)成一個平面斜坐標系．規(guī)定：已知點P是平面斜坐標系中任意一點，過點P作y軸的平行線交x軸于點A，過點P作x軸的平行線交y軸于點B，若點A在x軸上對應(yīng)的實數(shù)為a，點B在y軸上對應(yīng)的實數(shù)為b，則稱有序?qū)崝?shù)對（a，b）為點P的斜坐標．在平面斜坐標系中，若θ＝45°，點P的斜坐標為（1，2），點G的斜坐標為（8，﹣3），連接PG，則線段PG的長度是（）A． B． C． D．五．比例的性質(zhì)（共1小題）11．（2022?鼓樓區(qū)二模）若4m＝5n（m≠0），則下列等式成立的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝六．黃金分割（共1小題）12．（2022?建鄴區(qū)二模）點P是線段AB的黃金分割點，若AB＝5且PA＞PB，則PA長最接近的整數(shù)是．七．相似三角形的判定與性質(zhì)（共10小題）13．（2022?玄武區(qū)一模）如圖，矩形紙片ABCD，AB＝15cm，BC＝20cm，先沿對角線AC將矩形紙片ABCD剪開，再將三角形紙片ABC沿著對角線AC向下適當平移，得到三角形紙片A'BC'，然后剪出如圖所示的最大圓形紙片，則此時圓形紙片的半徑為（）A．cm B．cm C．cm D．cm14．（2022?秦淮區(qū)二模）如圖①，是形如“T”形的拼塊，其每個拐角都是直角，各邊長度如圖所示．如圖②，用4個同樣的拼塊拼成的圖案，恰好能放入一個邊長為6的正方形中，則a的值為．15．（2022?玄武區(qū)二模）如圖，在△ABC中，∠C＝2∠B，BC的垂直平分線DE交AB于點D，垂足為E，若AD＝4，BD＝6，則DE的長為．16．（2022?建鄴區(qū)一模）如圖，在△ABC中，∠B＝30°，點D是AC上一點，過點D作DE∥BC交AB于點E，DF∥AB交BC于點F．若AE＝5，CF＝4，則四邊形BFDE的面積為．17．（2022?鼓樓區(qū)二模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E為線段AB上一動點，CF⊥CE交△ACE的外接圓于點F，連接AF，其中AC＝3，BC＝4．（1）求證：△CFA∽△CEB；（2）當E從B運動到A時，F(xiàn)運動路徑的長為．18．（2022?秦淮區(qū)二模）如圖，已知△ABC，點D，E分別在BC，CA上，且滿足AD＝AB，EB＝EC．（1）用直尺和圓規(guī)確定點D，E；（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）連接AD，EB，AD與EB交于點F．①求證：△BDF∽△CBA；②若∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，則DF的長為．19．（2022?建鄴區(qū)二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，點D在BC上且DA⊥AC，垂足為A．（1）求證：AB2＝BD?BC；（2）若BD＝2，則AC的長是．20．（2022?南京一模）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°．（1）用直尺與圓規(guī)作△ABC的角平分線BD；（2）找出圖中的相似三角形，并證明；（3）直接寫出的值．21．（2022?玄武區(qū)一模）如圖，在等邊三角形ABC中，BD＝CE，BE，AD相交于點F．（1）求證△ABD≌△BCE；（2）求證AE2＝EF?EB．22．（2022?秦淮區(qū)校級模擬）如圖，在正方形ABCD中，E是BD上一點，過B、C、E三點的⊙O與CD相交于點F，連接AE、BF．（1）求證：△ADE∽△BDF；（2）當BE＝AB時，求證：直線AE是⊙O的切線．八．相似形綜合題（共1小題）23．（2022?南京一模）如圖，在矩形ABCD中，AD＝12，AB＝6，點G，E分別在邊AB，AD上，∠EGF＝90°，EG＝FG，GF，EF分別交BC于點N、M，連接EN．（1）當GN平分∠ENB時，求證：EN＝AE+BN；（2）當MF2＝MN?BM時，求AE的值．（3）當點E是AD的中點，點Q是EN的中點，當點G從點A運動到點B時，直接寫出點Q運動的路徑長．九．解直角三角形的應(yīng)用（共6小題）24．（2022?鼓樓區(qū)校級二模）小淇同學在學習了“平面鏡反射原理”后，用一個小平面鏡PQ做實驗．他先將平面鏡放在平面上，如圖，用一束與平面成30°角的光線照射平面鏡上的A處，使光影正好落在對面墻面上一幅畫的底邊C點．他不改變光線的角度，原地將平面鏡轉(zhuǎn)動了7.5°角，即∠PAP′＝7.5°，使光影落在C點正上方的D點，測得CD＝10cm．求平面鏡放置點與墻面的距離AB．（參考數(shù)據(jù)：≈1.73）25．（2022?建鄴區(qū)二模）太陽能光伏發(fā)電因其清潔、安全、高效等特點，已成為世界各國重點發(fā)展的新能源產(chǎn)業(yè)．圖①是太陽能電板的實物圖，其截面示意圖如圖②，AB為太陽能電板，其一端A固定在水平面上且夾角∠DAB＝22°，另一端B與支撐鋼架BC相連，鋼架底座CD和水平面垂直，且∠BCD＝135°．若AD＝3m，CD＝0.5m，求AB的長．（參考數(shù)據(jù)：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，結(jié)果精確到0.01m．）26．（2022?秦淮區(qū)二模）如圖，一條寬為0.5km的河的兩岸PQ，MN互相平行，河上有兩座垂直于河岸的橋CD，EF．測得公路AC的長為6km，公路AC，AE與河岸PQ的夾角分別為45°，71.6°，公路BD，BF與河岸MN的夾角分別為60°，30°．（1）求兩座橋CD，EF之間的距離（精確到0.1km）；（2）比較路徑①：A﹣C﹣D﹣B和路徑②：A﹣E﹣F﹣B的長短，則較短路徑為（填序號），兩路徑相差km（精確到0.1km）．（參考數(shù)據(jù)：tan71.6°≈3.0，≈1.41，≈1.73，≈2.24．）27．（2022?秦淮區(qū)校級模擬）如圖，某漁輪在航行中遇險發(fā)出呼救信號，我海軍艦艇在A處獲悉后，測出該漁輪在海軍艦艇的北偏東45°，距離為海里的C處，并測得該漁輪正沿南偏東53°的方向行進．海軍艦艇立即沿北偏東67.4°的方向前去營救，與漁輪在B處相遇，求漁輪的航程BC和海軍艦艇的航程AB．（參考數(shù)據(jù)：sin53°＝cos37°≈0.80，cos53°＝sin37°≈0.60，tan67.4°≈2.4）．28．（2022?建鄴區(qū)一模）圖①是一只消毒液噴霧瓶的實物圖，其示意圖如圖②，AB＝6cm，BC＝4cm，∠ABC＝85°，∠BCD＝120°．求點A到CD的距離．（精確到三位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin65°≈0.906，cos65°≈0.423，tan65°≈2.145，≈1.732）29．（2022?玄武區(qū)一模）如圖①，某款線上教學設(shè)備由底座，支撐臂AB，連桿BC，懸臂CD和安裝在D處的攝像頭組成．如圖②是該款設(shè)備放置在水平桌面l上的示意圖．已知支撐臂AB⊥l，AB＝15cm，BC＝30cm，測量得∠ABC＝148°，∠BCD＝28°，AE＝9cm．求攝像頭到桌面l的距離DE的長（結(jié)果精確到0.1cm）．（參考數(shù)據(jù)：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，≈1.73）一十．解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題（共1小題）30．（2022?建鄴區(qū)二模）某商場為方便消費者購物，準備將原來的階梯式自動扶梯改造成斜坡式自動扶梯，如圖，已知原階梯式自動扶梯AB的長為6m，坡角∠ABE＝45°，改造后的斜坡自動扶梯坡角∠ACB＝15°，求改造后的斜坡式自動扶梯AC的長．（精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)；sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0，27）一十一．解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題（共7小題）31．（2022?玄武區(qū)二模）如圖，山頂?shù)恼戏接幸凰嗀B，為了測量塔AB的高度，在距山腳M一定距離的C處測得塔尖頂部A的仰角∠ACM＝37°，測得塔底部B的仰角∠BCM＝31°，然后沿CM方向前進30m到達D處，此時測得塔尖仰角∠ADM＝45°（C，D，M三點在同一直線上），求塔AB的高度．（參考數(shù)據(jù)：tan31°≈0.60，tan37°≈0.75）32．（2022?南京二模）如圖，寶塔底座BC的高度為m，小明在D處測得底座最高點C的仰角為α，沿著DB方向前進n到達測量點E處，測得寶塔頂端A的仰角為β，求寶塔AB的高度．（用含α，β，m，n的式子表示）33．（2022?鼓樓區(qū)二模）如圖①，某兒童醫(yī)院門診大廳收費處正上方的“蜘蛛俠”雕塑有效緩解了就醫(yī)小朋友的緊張情緒．為了測量圖②中“蜘蛛俠”BE的長度，小莉在地面上F處測得B處、E處的仰角分別為37°、56.31°．已知∠ABE＝45°，F(xiàn)到收費處OA的水平距離FC約為16m，且F與BE確定的平面與地面垂直．求“蜘蛛俠”BE的長度．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，tan56.31°≈1.50．）34．（2022?南京一模）如圖，為了測量小河對岸大樹BC的高度，小明在點A處測得大樹頂端B的仰角為37°，再從點A出發(fā)沿傾斜角為30°的斜坡AF走4m到達斜坡上點D，在此處測得樹頂端B的仰角為26.7°．求大樹BC的高度（精確到0.1m）．（參考數(shù)據(jù)：tan37°≈0.75，tan26.7°≈0.5，≈1.73．）35．（2022?鼓樓區(qū)一模）如圖，AB是一條筆直的長為500m的滑雪坡道，某運動員從坡頂A滑出，沿直線滑向坡底B，她的滑行距離y（單位：m）與滑行時間x（單位：s）的部分對應(yīng)值如下表．x01234…y04.51428.548…（1）用所學過的函數(shù)知識猜想y是x的什么函數(shù)，并求出y與x之間的函數(shù)表達式；（2）一架無人機在AB上空距地面292m的P處懸停，此時在A處測得無人機的仰角為53°．無人機和該運動員同時開始運動，無人機以6.3m/s的速度勻速水平飛行拍攝，離A處越來越遠．已知無人機（看成一個點）與AB（看成一條線段）所確定的平面始終垂直于地面，AB與地面MN的夾角為26°．求該運動員滑行多久時，她恰在無人機的正下方．（參考數(shù)據(jù)：tan53°≈，sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49．）36．（2022?南京一模）如圖是一個亭子的側(cè)面示意圖，它是一個軸對稱圖形，對稱軸是亭子的高AB所在的直線．為了測量亭子的高度，在地面上C點測得亭子頂端A的仰角為35°，此時地面上C點、亭檐上E點、亭頂上A點三點恰好共線，繼續(xù)向亭子方向走8m到達點D時，又測得亭檐E點的仰角為60°，亭子的頂層橫梁EF＝12m，EF∥CB，AB交EF于點G（點C，D，B在同一水平線上）．求亭子的高AB（結(jié)果精確到0.1m）．（參考數(shù)據(jù)：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，≈1.7）37．（2022?雨花臺區(qū)校級模擬）如圖，有兩座建筑物AB與CD，從A測得建筑物頂部D的仰角為16°，在BC上有一點E，點E到B的距離為24米，從E測得建筑物的頂部A、D的仰角分別為37°、45°．求建筑物CD的高度．（參考數(shù)據(jù)：tan16°≈0.30，tan37°≈0.75）一十二．簡單幾何體的三視圖（共2小題）38．（2022?建鄴區(qū)二模）下列幾何體中，主視圖、左視圖和俯視圖完全相同的是（）A．球體 B．圓柱 C．三棱錐 D．三棱柱39．（2022?玄武區(qū)二模）下面四個幾何體中，主視圖是四邊形的幾何體共有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個第五講圖形的運動參考答案與試題解析一．關(guān)于x軸、y軸對稱的點的坐標（共1小題）1．（2022?玄武區(qū)一模）在平面直角坐標系xOy中，作點P關(guān)于x軸的對稱點，得到點P1，再將點P1向右平移3個單位，得到點P2（1，﹣1），則點P的坐標為（﹣2，1）．【分析】直接利用平移的性質(zhì)得出P1坐標，再利用關(guān)于x軸對稱圖形的性質(zhì)得出答案．【解答】解：∵將點P1向右平移3個單位，得到點P2（1，﹣1），∴P1（﹣2，﹣1），∵點P關(guān)于x軸的對稱點，得到點P1，∴點P的坐標為（﹣2，1）．故答案為：（﹣2，1）．二．翻折變換（折疊問題）（共6小題）2．（2022?建鄴區(qū)二模）如圖，矩形ABCO，點A、C在坐標軸上，點B的坐標為（﹣2，4）．將△ABC沿AC翻折，得到△ADC，則點D的坐標是（）A．（，） B．（，） C．（，） D．（，）【分析】如圖，過D作DF⊥AF于F，根據(jù)折疊可以證明△CDE≌△AOE，然后利用全等三角形的性質(zhì)得到OE＝DE，OA＝CD＝1，設(shè)OE＝x，那么CE＝4﹣x，DE＝x，利用勾股定理即可求出OE的長度，而利用已知條件可以證明△AEO∽△ADF，而AD＝AB＝4，接著利用相似三角形的性質(zhì)即可求出DF、AF的長度，也就求出了D的坐標．【解答】解：如圖，過D作DF⊥AF于F，∵點B的坐標為（﹣2，4），∴AO＝2，AB＝4，根據(jù)折疊可知：CD＝OA，而∠D＝∠AOE＝90°，∠DEC＝∠AEO，∴△CDE≌△AOE，∴OE＝DE，OA＝CD＝2，設(shè)OE＝x，那么CE＝4﹣x，DE＝x，∴在Rt△DCE中，CE2＝DE2+CD2，∴（4﹣x）2＝x2+22，∴x＝，又DF⊥AF，∴DF∥EO，∴△AEO∽△ADF，而AD＝AB＝4，∴AE＝CE＝4﹣＝，∴，即，∴DF＝，AF＝．∴OF＝AF﹣OA＝﹣2＝，∴點D的坐標為（，）．故選：A．3．（2022?南京一模）如圖，E是菱形ABCD的邊BC上的點，連接AE．將菱形ABCD沿AE翻折，點B恰好落在CD的中點F處，則tan∠ABE的值是（）A．4 B．5 C． D．【分析】利用折疊性質(zhì)和菱形的性質(zhì)得出△ADF為等腰三角形，過點A作AG⊥DF，由等腰三角形的性質(zhì)可得點G為DF中點，由點F為CD中點可得DG＝CD＝AD，即可求解．【解答】解：如圖，過點A作AG⊥CD，∵四邊形ABCD為菱形，菱形ABCD沿AE翻折，∴AB＝AD，AB＝AF，∠ABE＝∠D，∴AD＝AF，∴三角形ADF為等腰三角形，∵AG⊥DF，∴點G為DF中點，∵點F為CD中點，∴AD＝CD＝4DG，設(shè)DG＝a，則AD＝4a，在Rt△ADG中，AD2＝AG2+DG2，∴（4a）2＝AG2+a2，∴AG＝a，∴tan∠ABE＝tanD＝＝，故選：D．4．（2022?南京二模）如圖，在矩形ABCD中，E、F分別是AB、CD邊的中點，G為AD邊上的一點，將矩形沿BG翻折使得點A落在EF上．若AB＝4，則BG的長為．【分析】連接AA′，根據(jù)翻折的性質(zhì)，可得到△ABA′是等邊三角形，可得到∠ABG＝∠ABA′＝30°，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)即可求解．【解答】解：如圖，連接AA′，在矩形ABCD中，E、F分別是AB、CD邊的中點，∴EF⊥AB，AE＝BE，∴EF垂直平分AB，∴A′A＝A′B，由折疊可得，AB＝A′B，∠ABG＝∠A′BG，∴AB＝BA′＝AA′，∴△ABA′是等邊三角形，∴∠ABA′＝60°，∴∠ABG＝∠ABA′＝30°，∴AG＝BG，∵AB＝4，∴BG2＝AB2+AG2，∴BG2＝42+BG2，∴BG＝．故答案為：．5．（2022?秦淮區(qū)校級模擬）如圖，將菱形ABCD沿直線EF翻折，點C落在邊AB上的點G處，若EG⊥CD，AB＝5，BG＝1，則CE的長為4．【分析】延長AB，作CH⊥AB，垂足為H，根據(jù)菱形的性質(zhì)和翻折的性質(zhì)證明四邊形ECHG是正方形，設(shè)EC＝GH＝EG＝CH＝x，根據(jù)勾股定理列方程即可解決問題．【解答】解：如圖，延長AB，作CH⊥AB，垂足為H，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC，DC∥AB，∵EG⊥CD，∴EG⊥AB，∴∠EGH＝∠GEC＝∠ECH＝90°，∴四邊形ECHG是矩形，∴EC＝GH，EG＝CH，由翻折可知：EC＝EG，∴四邊形ECHG是正方形，∴EC＝GH＝EG＝CH，設(shè)EC＝GH＝EG＝CH＝x，∵AB＝BC＝5，BG＝1，∴BH＝GH﹣BG＝x﹣1，在Rt△CBH中，根據(jù)勾股定理得：BH2+CH2＝BC2，∴（x﹣1）2+x2＝52，解得x＝4或x＝﹣3（舍去），∴CE＝4．故答案為：4．6．（2022?鼓樓區(qū)一模）如圖，∠C＝∠D＝90°，AC＝AD．（1）求證∠CAB＝∠DAB；（2）若將△ADB沿AB的垂直平分線翻折，則得到的三角形和△ACB可以拼成一個矩形（寫出圖形的形狀）；（3）若將△ADB進行一次圖形變化，得到的三角形和△ACB拼成一個等腰三角形，請寫出圖形變化的過程．【分析】（1）由∠C＝∠D＝90°可得△ACB和△ADB為直角三角形，由AC＝AD，AB＝AB可用HL證明兩三角形全等，從而證明∠CAB＝∠DAB；（2）作出線段AB的垂直平分線MN，再根據(jù)軸對稱變換將△ADB沿MN翻折，即可得出圖形的形狀；（3）將△ADB以點B為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)至BD與BC重合時，所形成的的三角形為等腰三角形，或者將△ADB以點A為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)至AD與AC重合時，所形成的三角形為等腰三角形．【解答】（1）證明：∵∠C＝∠D＝90°，在Rt△ACB和Rt△ADB中，，∴Rt△ACB≌Rt△ADB（HL），∴∠CAB＝∠DAB；（2）解：如圖，作出線段AB的垂直平分線MN，再根據(jù)軸對稱變換將△ADB沿MN翻折，變換后的圖形為四邊形ACBD′，由折疊性質(zhì)可得：∠D′＝∠D＝90°，∠C＝90°，∠DAB＝∠D′BA，∴∠CAB+∠CBA＝90°，∵∠CAB＝∠DAB，∴∠CBA+∠D′BA＝90°，∴∠CBD′＝90°，∴四邊形ACBD′為矩形，故答案為：矩形；（3）方法一：如圖，將△ADB以點B為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)至BD與BC重合時，∵∠C＝∠D＝90°，∴此時A，C，A1三點共線，∵AB＝A1B，∴△ABA1為等腰三角形；方法二：如圖，將△ADB以點A為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)至AD與AC重合時，∵∠C＝∠D＝90°，∴此時B，C，B2三點共線，∵AB＝A2B，∴△ABB2為等腰三角形；綜上，方法一：將△ADB以點B為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)至BD與BC重合時，所形成的的三角形為等腰三角形；方法二：將△ADB以點A為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)至AD與AC重合時，所形成的三角形為等腰三角形．7．（2022?雨花臺區(qū)校級模擬）如圖，矩形ABCD中，點E在邊CD上，將△BCE沿BE折疊，點C落在AD邊上的點F處，過點F作FG∥CD交BE于點G，連接CG．（1）求證：四邊形CEFG是菱形；（2）若AB＝6，AD＝10，求四邊形CEFG的面積．【分析】（1）根據(jù)題意和翻折的性質(zhì)，可以得到△BCE≌△BFE，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和菱形的判定方法即可證明結(jié)論成立；（2）根據(jù)題意和勾股定理，可以求得AF的長，進而求得EF和DF的值，從而可以得到四邊形CEFG的面積．【解答】（1）證明：由題意可得，△BCE≌△BFE，∴∠BEC＝∠BEF，F(xiàn)E＝CE，∵FG∥CE，∴∠FGE＝∠CEB，∴∠FGE＝∠FEG，∴FG＝FE，∴FG＝EC，∴四邊形CEFG是平行四邊形，又∵CE＝FE，∴四邊形CEFG是菱形；（2）∵矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，BC＝BF，∴∠BAF＝90°，AD＝BC＝BF＝10，∴AF＝8，∴DF＝2，設(shè)EF＝x，則CE＝x，DE＝6﹣x，∵∠FDE＝90°，∴22+（6﹣x）2＝x2，解得，x＝，∴CE＝，∴四邊形CEFG的面積是：CE?DF＝×2＝．三．旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)（共1小題）8．（2022?南京一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△AB'C'，BC的延長線交B'C'于點D，若B'C'∥AB，則CD的長為2．【分析】設(shè)CE＝x，由B′C′∥AB，可推得∠BAE＝∠B′，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：∠B＝∠B′，于是得到∠BAE＝∠B，AC＝AC′＝4，AE＝BE＝8﹣x，由勾股定理可求得x，進而求得DE，便可求得結(jié)果．【解答】解：設(shè)CE＝x，∵B′C′∥AB，∴∠BAB＝∠B′，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：∠B＝∠B′，AC＝AC′＝6，∴∠BAE＝∠B，∴AE＝BE＝8﹣x，∴（8﹣x）2＝x2+62，∴x＝，∴CE＝，∴AE＝BE＝8﹣，∵AB＝AB′＝，∴B′E＝AB′﹣AE＝，∵B′C′∥AB，∴∠EB′D＝∠BAE＝∠ABE＝∠EDB′，∴DE＝B′E＝，∴CD＝DE﹣CE＝2，故答案為：2．四．坐標與圖形變化-旋轉(zhuǎn)（共2小題）9．（2022?建鄴區(qū)一模）在平面直角坐標系中，點A的坐標是（﹣2，3），將點A繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到點B．若點B的坐標是（5，﹣1），則點C的坐標是（）A．（﹣0.5，﹣2.5） B．（﹣0.25，﹣2） C．（0，﹣1.75） D．（0，﹣2.75）【分析】如圖，設(shè)AB的中點為Q，過點Z作AN⊥x軸于點N，過點Q作QK⊥AN于點K，過點C作CT⊥QK于T，利用全等三角形的性質(zhì)求解即可．【解答】解：如圖，設(shè)AB的中點為Q，∵A（﹣2，3），B（5，﹣1），∴Q（1.5，1），過點Z作AN⊥x軸于點N，過點Q作QK⊥AN于點K，過點C作CT⊥QK于T，則K（﹣2，1）AK＝2，QK＝3.5，∵∠AKQ＝∠CTQ＝∠AQC＝90°，∴∠AQK+∠CQT＝90°，∠CQT+∠TCQ＝90°，∴∠AQK＝∠TCQ，在△AKQ和△QTC中，，∴△AKQ≌△QTC（AAS），∴QT＝AK＝2，CT＝QK＝3.5，∴C（﹣0.5，﹣2.5）故選：A．10．（2022?建鄴區(qū)二模）如圖，把平面內(nèi)一條數(shù)軸x繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)角θ（0°＜θ＜90°）得到另一條數(shù)軸y，x軸和y軸構(gòu)成一個平面斜坐標系．規(guī)定：已知點P是平面斜坐標系中任意一點，過點P作y軸的平行線交x軸于點A，過點P作x軸的平行線交y軸于點B，若點A在x軸上對應(yīng)的實數(shù)為a，點B在y軸上對應(yīng)的實數(shù)為b，則稱有序?qū)崝?shù)對（a，b）為點P的斜坐標．在平面斜坐標系中，若θ＝45°，點P的斜坐標為（1，2），點G的斜坐標為（8，﹣3），連接PG，則線段PG的長度是（）A． B． C． D．【分析】如圖，作PA∥y軸交x軸于A，PH⊥x軸于H．GM∥y軸交x軸于M，連接PG交x軸于N．利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．【解答】解：如圖，作PA∥y軸交x軸于A，PH⊥x軸于H．GM∥y軸交x軸于M，連接PG交x軸于N．∵P（1，2），G（8．﹣3），∴OA＝1，PA＝2，MG＝3，OM＝8，AM＝7，∵PA∥GM，∴∠PAN＝∠GMN，∵∠ANP＝∠MNG，∴△ANP∽△MNG，∴＝＝＝，∴AN＝AM＝，∵PA∥OY，∴∠PAH＝θ＝45°，∴PH＝AH＝2，∴HN＝﹣2＝，∴PN＝＝＝，∴NG＝PN＝，∴PG＝PN+NG＝，故選：A．五．比例的性質(zhì)（共1小題）11．（2022?鼓樓區(qū)二模）若4m＝5n（m≠0），則下列等式成立的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝【分析】根據(jù)比例的基本性質(zhì)，把每一個選項中的比例式轉(zhuǎn)化成等積式即可解答．【解答】解：A．因為＝，所以5m＝4n，故此選項不符合題意；B．因為＝，所以mn＝20，故此選項不符合題意；C．因為＝，所以5m＝4n，故此選項不符合題意；D．因為＝，所以4m＝5n，故此選項符合題意．故選：D．六．黃金分割（共1小題）12．（2022?建鄴區(qū)二模）點P是線段AB的黃金分割點，若AB＝5且PA＞PB，則PA長最接近的整數(shù)是3．【分析】根據(jù)黃金比為0.618進行計算即可得到答案．【解答】解：∵點P是線段AB的黃金分割點，∴PA＝0.618AB＝0.618×5≈3．故答案為：3．七．相似三角形的判定與性質(zhì)（共10小題）13．（2022?玄武區(qū)一模）如圖，矩形紙片ABCD，AB＝15cm，BC＝20cm，先沿對角線AC將矩形紙片ABCD剪開，再將三角形紙片ABC沿著對角線AC向下適當平移，得到三角形紙片A'BC'，然后剪出如圖所示的最大圓形紙片，則此時圓形紙片的半徑為（）A．cm B．cm C．cm D．cm【分析】過點A'作A'P⊥AD于點P，設(shè)AP＝xcm，A'P＝y(tǒng)cm，圓的直徑為dcm，利用對邊之間的關(guān)系可得x與y的關(guān)系，再利用A字型相似也可求出x與y的關(guān)系，進而可求出x，d，從而得出結(jié)論．【解答】解：過點A'作A'P⊥AD于點P，設(shè)AP＝xcm，A'P＝y(tǒng)cm，圓的直徑為dcm，由題意可得：d+x＝20，d﹣y＝15，∴20﹣x＝15+y，即x+y＝5，∵∠A＝∠A，∠APA'＝∠ADC，∴△APA'∽△ADC，∴，即，∴y＝，∴x＝，d＝，∴半徑為：cm．故選：A．14．（2022?秦淮區(qū)二模）如圖①，是形如“T”形的拼塊，其每個拐角都是直角，各邊長度如圖所示．如圖②，用4個同樣的拼塊拼成的圖案，恰好能放入一個邊長為6的正方形中，則a的值為．【分析】根據(jù)題意可得BC＝EF＝2a，CD＝a，DE＝3a，∠DEF＝∠BCD＝∠CDE＝90°，從而在Rt△DCE中，利用勾股定理求出CE的長，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得∠A＝∠G＝90°，然后利用同角的余角相等可得∠ABC＝∠DCE，從而可證△ABC∽△DCE，進而利用相似三角形的性質(zhì)可得AC＝3AB，再在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB＝a，AC＝a，最后證明△ABC≌△GEF，從而可得EG＝a，進而根據(jù)正方形的邊長AG＝6，進行計算即可解答．【解答】解：如圖：由題意得：BC＝EF＝2a，CD＝a，DE＝3a，∠DEF＝∠BCD＝∠CDE＝90°，∴CE＝＝＝a，∵四邊形AGHM是正方形，∴∠A＝∠G＝90°，∴∠ABC+∠ACB＝90°，∵∠ACB+∠DCE＝90°，∴∠ABC＝∠DCE，∴△ABC∽△DCE，∴＝＝＝，∴AC＝3AB，在Rt△ABC中，AB2+AC2＝BC2，∴AB2+9AB2＝（2a）2，∴AB＝a，∴AC＝3AB＝a，∵∠DEF＝∠CDE＝90°，∴DC∥EF，∴∠DCE＝∠FEG，∴∠ABC＝∠FEG，∴△ABC≌△GEF（AAS），∴EG＝AB＝a，∴AC+CE+EG＝6，∴a+a+a＝6，∴a＝，故答案為：．15．（2022?玄武區(qū)二模）如圖，在△ABC中，∠C＝2∠B，BC的垂直平分線DE交AB于點D，垂足為E，若AD＝4，BD＝6，則DE的長為．【分析】連接DC，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DB＝DC，證明△ACD∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出BC，根據(jù)勾股定理計算，得到答案．【解答】解：連接DC，∵DE是BC的垂直平分線，∴DB＝DC＝6，∴∠DCB＝∠B，∵∠ACB＝2∠B，∴∠ACD＝∠B，∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC，∴＝＝，即＝＝，解得：BC＝3，∴BE＝，由勾股定理得：DE＝＝，故答案為：．16．（2022?建鄴區(qū)一模）如圖，在△ABC中，∠B＝30°，點D是AC上一點，過點D作DE∥BC交AB于點E，DF∥AB交BC于點F．若AE＝5，CF＝4，則四邊形BFDE的面積為10．【分析】已知DE∥BC，DF∥AB，得到△AED∽△DFC，從而得到比例式，繼而得到四邊形的面積．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠AED＝∠B，∠ADE＝∠C，∵DF∥AB，∴∠B＝∠DFC，∴∠AED＝∠DFC，∴△AED∽△DFC，∴，∴DE?DF＝AE?FC＝5×4＝20，∵DE∥BC，DF∥AB，∴四邊形BEDF是平行四邊形，過點E作EM⊥BF，∴S?BEDF＝DE?EM，EM＝BE?sin∠B，∵BE＝DF，sin∠B＝sin30°＝，∴S?BEDF＝DE?EM＝DE?BE?sin∠B＝DE?DF?sin∠B＝20×＝10．故答案為：10．17．（2022?鼓樓區(qū)二模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E為線段AB上一動點，CF⊥CE交△ACE的外接圓于點F，連接AF，其中AC＝3，BC＝4．（1）求證：△CFA∽△CEB；（2）當E從B運動到A時，F(xiàn)運動路徑的長為．【分析】（1）根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似證明即可；（2）判斷出點F的運動軌跡，再利用相似三角形的性質(zhì)解決問題即可．【解答】（1）證明：∵CE⊥CF，∴∠ECF＝∠ACB＝90°，∴∠ACF＝∠BCE，∵∠AFC+∠AEC＝180°，∠CEB+∠AEC＝180°，∴∠AFC＝∠CEB，∴△CFA∽△CEB；（2）解：在Rt△ACB中，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°，∴AB＝＝＝5，∵△CFA∽△CEB，∴＝，∠CAF＝∠B，∴AF＝BE，∴點F的運動軌跡是射線AF，∴當E從B運動到A時，F(xiàn)運動路徑的長為×5＝，故答案為：．18．（2022?秦淮區(qū)二模）如圖，已知△ABC，點D，E分別在BC，CA上，且滿足AD＝AB，EB＝EC．（1）用直尺和圓規(guī)確定點D，E；（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）連接AD，EB，AD與EB交于點F．①求證：△BDF∽△CBA；②若∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，則DF的長為．【分析】（1）以A點為圓心AB長為半徑畫弧交BC于點D，作BC的垂直平分線交AC于E即可；（2）①根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出兩組對應(yīng)角相等即可證明三角形相似；②過點A作AH⊥BD于點H，根據(jù)勾股定理求出BC的長度，劉勇三角函數(shù)求出BH，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出BD，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例求出DF即可．【解答】解：（1）作圖如下：（2）①如下圖：∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∵EB＝EC，∴∠EBD＝∠C，∴△BDF∽△CBA；②過點A作AH⊥BD于點H，∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC＝＝＝5，∵cos∠ABH＝，∴＝，∴BH＝，∵AB＝AD，∴BD＝2BH＝，由①知△BDF∽△CBA，∴，即，解得DF＝，故答案為：．19．（2022?建鄴區(qū)二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，點D在BC上且DA⊥AC，垂足為A．（1）求證：AB2＝BD?BC；（2）若BD＝2，則AC的長是2．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠B＝∠C＝30°，再利用垂直定義可得∠DAC＝90°，從而利用三角形的外角可得∠BDA＝∠BAC＝120°，然后證明△BDA∽△BAC，利用相似三角形的性質(zhì)進行計算即可解答；（2）利用（1）的結(jié)論可得∠B＝∠BAD＝30°，從而可得BD＝AD＝2，然后在Rt△ADC中，進行計算即可解答．【解答】（1）證明：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵DA⊥AC，∴∠DAC＝90°，∴∠BDA＝∠DAC+∠C＝120°，∴∠BAC＝∠BDA＝120°，∵∠B＝∠B，∴△BDA∽△BAC，∴＝，∴AB2＝BD?BC；（2）∵∠BAC＝120°，∠DAC＝90°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝30°，∵∠B＝30°，∴∠B＝∠BAD，∴BD＝AD＝2，在Rt△ADC中，∠C＝30°，∴AC＝AD＝2，故答案為：2．20．（2022?南京一模）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°．（1）用直尺與圓規(guī)作△ABC的角平分線BD；（2）找出圖中的相似三角形，并證明；（3）直接寫出的值．【分析】（1）作∠ABC的角平分線BD，交AC于點D；（2）由等腰三角形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可得∠CBD＝∠A＝36°，可得結(jié)論；（3）由相似三角形的性質(zhì)可得，即可求解．【解答】解：（1）如圖所示：（2）△ABC∽△BDC，理由如下：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝36°，∴∠CBD＝∠A，又∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC；（3）∵∠ABD＝∠CBD＝36°＝∠A，∴AD＝BD，∠BDC＝∠C＝72°，∴BD＝BC＝AD，∵△ABC∽△BDC，∴，∴，∴＝（負值已經(jīng)舍去）．21．（2022?玄武區(qū)一模）如圖，在等邊三角形ABC中，BD＝CE，BE，AD相交于點F．（1）求證△ABD≌△BCE；（2）求證AE2＝EF?EB．【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AB＝BC，∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，然后利用SAS證明△ABD≌△BCE，即可解答；（2）利用（1）的結(jié)論可得∠ABC＝∠BAC，∠CBE＝∠BAF，從而可得∠ABE＝∠EAF，然后利用兩角相等的兩個三角形相似證明△ABE∽△FAE，再利用相似三角形的性質(zhì)即可解答．【解答】證明：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，在△ABD和△BCE中，，∴△ABD≌△BCE（SAS）；（2）∵∠ABC＝∠BAC，∴∠ABE+∠CBE＝∠BAF+∠EAF，∵△ABD≌△BCE，∴∠CBE＝∠BAF，∴∠ABE＝∠EAF，∵∠AEF＝∠BEA，∴△ABE∽△FAE，∴＝，∴AE2＝EF?EB．22．（2022?秦淮區(qū)校級模擬）如圖，在正方形ABCD中，E是BD上一點，過B、C、E三點的⊙O與CD相交于點F，連接AE、BF．（1）求證：△ADE∽△BDF；（2）當BE＝AB時，求證：直線AE是⊙O的切線．【分析】（1）先利用SAS證明△ADE≌△CDE，再根據(jù)圓周角定理得到∠DBF＝∠DCE，推出∠DAE＝∠DBF，即可得出結(jié)論；（2）先證明BF是⊙O的直徑，再證明∠BAE+∠DAE＝∠BEA+∠OEB＝90°，即∠OEA＝90°，即可得出結(jié)論．【解答】證明：（1）連接CE，∵四邊形ABCD是正方形，且BD是對角線，∴AD＝CD，∠ADE＝∠CDE＝45°，在△ADE與△CDE中，，∴△ADE≌△CDE（SAS），∴∠DAE＝∠DCE，∵B，E，F(xiàn)，C共圓，∴∠FBE＝∠FCE，即∠DBF＝∠DCE，∴∠DAE＝∠DBF，又∵∠ADE＝∠BDF＝45°，∴△ADE∽△BDF；（2）連接OE，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BCF＝∠BAD＝90°，∴BF是⊙O的直徑，∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB，∵∠DAE＝∠DBF，∴∠DAE＝∠OEB，∵BE＝AB，∴∠BAE＝∠BEA，∴∠BAE+∠DAE＝∠BEA+∠OEB＝90°，即∠OEA＝90°，又∵OE是⊙O的半徑，∴直線AE是⊙O的切線．八．相似形綜合題（共1小題）23．（2022?南京一模）如圖，在矩形ABCD中，AD＝12，AB＝6，點G，E分別在邊AB，AD上，∠EGF＝90°，EG＝FG，GF，EF分別交BC于點N、M，連接EN．（1）當GN平分∠ENB時，求證：EN＝AE+BN；（2）當MF2＝MN?BM時，求AE的值．（3）當點E是AD的中點，點Q是EN的中點，當點G從點A運動到點B時，直接寫出點Q運動的路徑長．【分析】（1）延長NG，DA交于H，利用角平分線的定義和平行線的性質(zhì)得HE＝EN，則HG＝GN，再利用AAS證明△AHG≌△BNG，得AH＝BN，可得結(jié)論；（2）作FP⊥AB，交AB的延長線于P，首先可證明△AGE≌△PFG（AAS），得AE＝PG，AG＝PF，再利用MF2＝MN?BM，∠NMF＝∠BMF，得△MFN∽△MBF，可知△PBF是等腰直角三角形，得BP＝PF，即可得出AE的長；（3）作ET⊥BC于T，QS⊥BC于S，QS＝ET＝3，當點G與A重合時，點Q為BE的中點，當點G與B重合時，點Q仍為BE的中點，則點Q運動路徑是一條來回的線段，再利用△AEG∽∠BGN，求出BN的最大值，從而解決問題．【解答】（1）證明：延長NG，DA交于H，∵GN平分∠ENB，∴∠BNG＝∠ENG，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠H＝∠GNB，∴∠H＝∠ENG，∴HE＝EN，∵EG⊥HN，∴HG＝GN，∵∠AGH＝∠BGN，∴△AHG≌△BNG（AAS），∴AH＝BN，∴HE＝BN+AE，∴EN＝BN+AE；（2）解：作FP⊥AB，交AB的延長線于P，∵∠AGE+∠BGF＝90°，∠AGE+∠AEG＝90°，∴∠PGF＝∠AEG，∵∠A＝∠P，EG＝FG，∴△AGE≌△PFG（AAS），∴AE＝PG，AG＝PF，∵MF2＝MN?BM，∠NMF＝∠BMF，∴△MFN∽△MBF，∴∠NBF＝∠MFN＝45°，∴∠PBF＝45°，∴△PBF是等腰直角三角形，∴BP＝PF，∴AG＝BP，∴PG＝AB＝6，∴AE＝PG＝6；（3）解：作ET⊥BC于T，QS⊥BC于S，∴QS＝ET＝3，當點G與A重合時，點Q為BE的中點，當點G與B重合時，點Q仍為BE的中點，∴點Q運動路徑是一條來回的線段，∵∠AEG＝∠BGN，∠A＝∠B，∴△AEG∽∠BGN，∴，設(shè)AG＝x，∴，∴BN＝﹣，當x＝3時，BN最大為，∴Q'Q的最大值為，∴點Q的運動路徑為2×．九．解直角三角形的應(yīng)用（共6小題）24．（2022?鼓樓區(qū)校級二模）小淇同學在學習了“平面鏡反射原理”后，用一個小平面鏡PQ做實驗．他先將平面鏡放在平面上，如圖，用一束與平面成30°角的光線照射平面鏡上的A處，使光影正好落在對面墻面上一幅畫的底邊C點．他不改變光線的角度，原地將平面鏡轉(zhuǎn)動了7.5°角，即∠PAP′＝7.5°，使光影落在C點正上方的D點，測得CD＝10cm．求平面鏡放置點與墻面的距離AB．（參考數(shù)據(jù)：≈1.73）【分析】設(shè)AB＝xcm，則DB＝xcm，根據(jù)CD＝BD﹣BC，構(gòu)建方程求解即可．【解答】解：由題意得：∠DAB＝37.5°+7.5°＝45°．設(shè)AB＝xcm，則DB＝xcm，在Rt△ABC中，∠CAB＝30°，∵tan∠CAB＝，∴BC＝AB?tan∠CAB＝x，∵CD＝BD﹣BC，∴x﹣x＝10，∴x≈23.65．因此，平面鏡放置點與墻面的距離AB是23.65cm．25．（2022?建鄴區(qū)二模）太陽能光伏發(fā)電因其清潔、安全、高效等特點，已成為世界各國重點發(fā)展的新能源產(chǎn)業(yè)．圖①是太陽能電板的實物圖，其截面示意圖如圖②，AB為太陽能電板，其一端A固定在水平面上且夾角∠DAB＝22°，另一端B與支撐鋼架BC相連，鋼架底座CD和水平面垂直，且∠BCD＝135°．若AD＝3m，CD＝0.5m，求AB的長．（參考數(shù)據(jù)：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，結(jié)果精確到0.01m．）【分析】根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，先計算出BF的值，然后即可得到BE的值，再根據(jù)銳角三角函數(shù)即可得到AB的值．【解答】解：∵∠BCD＝135°，∠FCD＝90°，∴∠BCF＝45°，∵∠BFC＝90°，∴∠FBC＝∠FCB＝45°，∴FB＝FC，設(shè)FB＝FC＝xm，則DE＝xm，∵AD＝3m，CD＝0.5m，∴AE＝（3﹣x）m，BE＝（x+0.5）m，∵tan∠BAE＝，∠BAE＝22°，tan22°＝0.40，∴0.40＝，解得x＝0.5，∴BE＝1m，∵sin∠BAE＝，∴sin22°＝，解得AB≈2.70m，即AB的長約為2.70m．26．（2022?秦淮區(qū)二模）如圖，一條寬為0.5km的河的兩岸PQ，MN互相平行，河上有兩座垂直于河岸的橋CD，EF．測得公路AC的長為6km，公路AC，AE與河岸PQ的夾角分別為45°，71.6°，公路BD，BF與河岸MN的夾角分別為60°，30°．（1）求兩座橋CD，EF之間的距離（精確到0.1km）；（2）比較路徑①：A﹣C﹣D﹣B和路徑②：A﹣E﹣F﹣B的長短，則較短路徑為①（填序號），兩路徑相差0.5km（精確到0.1km）．（參考數(shù)據(jù)：tan71.6°≈3.0，≈1.41，≈1.73，≈2.24．）【分析】（1）過點A作AG⊥PQ，垂足為G，在Rt△ACG中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AG，CG的長，再在Rt△AEG中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出EG的長，進行計算可求出CE的長，即可解答；（2）過點B作BH⊥PQ，垂足為Q，根據(jù)題意得：CE＝DF＝2km，根據(jù)三角形的外角可得∠FBD＝30°，從而可得BD＝DF＝2km，然后在Rt△BHD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BH的長，從而在Rt△BHF中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BF的長，然后再在Rt△AEG中，利用勾股定理求出AE的長，最后分別計算出路徑①和路徑②的長，即可解答．【解答】解：（1）過點A作AG⊥PQ，垂足為G，在Rt△ACG中，AC＝6km，∠ACG＝45°，∴AG＝AC?sin45°＝6×＝3（km），CG＝AC?cos45°＝6×＝3（km），在Rt△AEG中，∠AEG＝71.6°，∴EG＝≈＝（cm），∴CE＝CG﹣EG＝3﹣＝2≈2.8（km），∴兩座橋CD，EF之間的距離約為2.8km；（2）過點B作BH⊥PQ，垂足為Q，由題意得：CE＝DF＝2km，∵∠BDH是△BDF的一個外角，∴∠FBD＝∠BDH﹣∠BFD＝30°，∴∠BFD＝∠DBF＝30°，∴DB＝DF＝2km，在Rt△BHD中，∠BDH＝60°，∴BH＝BD?sin60°＝2×＝，∴BF＝2BH＝2（km），在Rt△AEG中，AE＝＝＝2，∴路徑①的長＝AC+CD+BD＝6+0.5+2≈9.32（km），路徑②的長＝AE+EF+BF＝2+0.5+2≈9.86（km），9.86﹣9.32≈0.5（km），∴較短路徑為：①，兩路徑相差0.5km，故答案為：①，0.5．27．（2022?秦淮區(qū)校級模擬）如圖，某漁輪在航行中遇險發(fā)出呼救信號，我海軍艦艇在A處獲悉后，測出該漁輪在海軍艦艇的北偏東45°，距離為海里的C處，并測得該漁輪正沿南偏東53°的方向行進．海軍艦艇立即沿北偏東67.4°的方向前去營救，與漁輪在B處相遇，求漁輪的航程BC和海軍艦艇的航程AB．（參考數(shù)據(jù)：sin53°＝cos37°≈0.80，cos53°＝sin37°≈0.60，tan67.4°≈2.4）．【分析】分別過點A、B、C延長方向線，根據(jù)題意可得∠DAC＝45°，∠CBF＝53°，∠ABE＝67.4°，DF＝AE，AD＝EF，在Rt△ADC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AD，DC的長，從而求出EF的長，再設(shè)BC＝x海里，在Rt△BCF中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出CF，BF的長，從而求出DF，AE，BE的長，然后在Rt△ABE中，利用銳角三角函數(shù)定義列出關(guān)于x的方程，進行計算從而求出BC，AE，BE的長，最后根據(jù)勾股定理求出AB的長，即可解答．【解答】解：分別過點A、B、C延長方向線，交點如圖所示，由題意得：∠DAC＝45°，∠CBF＝53°，∠ABE＝67.4°，DF＝AE，AD＝EF，在Rt△ADC中，AC＝16海里，∴AD＝AC?cos45°＝16×＝16（海里），CD＝AC?sin45°＝16×＝16（海里），∴AD＝EF＝16海里，設(shè)BC＝x海里，在Rt△BCF中，CF＝BC?sin53°≈0.8x（海里），BF＝BC?cos53°≈0.6x（海里），∴BE＝EF﹣BF＝（16﹣0.6x）海里，AE＝DF＝DC+CF＝（16+0.8x）海里，在Rt△ABE中，tan67.4°＝＝≈2.4，∴x＝10，經(jīng)檢驗：x＝10是原方程的根，∴BC＝10海里，AE＝16+0.8×10＝24（海里），BE＝16﹣0.6×10＝10（海里），∴AB＝＝＝26（海里），∴漁輪的航程BC約為10海里，海軍艦艇的航程AB約為26海里．28．（2022?建鄴區(qū)一模）圖①是一只消毒液噴霧瓶的實物圖，其示意圖如圖②，AB＝6cm，BC＝4cm，∠ABC＝85°，∠BCD＝120°．求點A到CD的距離．（精確到三位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin65°≈0.906，cos65°≈0.423，tan65°≈2.145，≈1.732）【分析】過點A作AE⊥CD，垂足為E，過點B作BF⊥DC，交DC的延長線于點F，過點A作AG⊥BF，交FB于點G，根據(jù)題意可得AE＝FG，∠BFC＝∠AGB＝90°，先利用平角定義求出∠BCF的度數(shù)，從而求出∠FBC的度數(shù)，然后在Rt△BCF中，利用銳角三角函數(shù)定義求出BF的長，再利用平角定義求出∠ABG的度數(shù)，最后在Rt△ABG中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BG的長，進行計算即可解答．【解答】解：過點A作AE⊥CD，垂足為E，過點B作BF⊥DC，交DC的延長線于點F，過點A作AG⊥BF，交FB于點G，則AE＝FG，∠BFC＝∠AGB＝90°，∵∠BCD＝120°．∴∠BCF＝180°﹣∠BCD＝60°，∴∠FBC＝90°﹣∠BCF＝30°，在Rt△BCF中，BC＝4cm，∴BF＝BC?sin60°＝4×＝2（cm），∵∠ABC＝85°，∴∠ABG＝180°﹣∠ABC﹣∠FBC＝65°，在Rt△ABG中，AB＝6cm，∴BG＝AB?cos65°≈6×0.423＝2.538（cm），∴AE＝FG＝BG+BF＝2.538+2≈6.002（cm），∴點A到CD的距離約為6.002cm．29．（2022?玄武區(qū)一模）如圖①，某款線上教學設(shè)備由底座，支撐臂AB，連桿BC，懸臂CD和安裝在D處的攝像頭組成．如圖②是該款設(shè)備放置在水平桌面l上的示意圖．已知支撐臂AB⊥l，AB＝15cm，BC＝30cm，測量得∠ABC＝148°，∠BCD＝28°，AE＝9cm．求攝像頭到桌面l的距離DE的長（結(jié)果精確到0.1cm）．（參考數(shù)據(jù)：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，≈1.73）【分析】過點C作CF⊥l，垂足為F，過點B作BN⊥CF，垂足為N，過點D作DM⊥CF，垂足為M，設(shè)DM與BC交于點G，根據(jù)題意可得FN＝AB＝15cm，BN＝AF，DM＝EF，DE＝MF，∠ABN＝90°，DM∥BN，從而求出∠CBN＝58°，進而求出∠CDM＝∠CGM﹣∠DCB＝30°，然后先在Rt△CBN中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BN，CN的長，從而求出EF，DM的長，再在Rt△CDM中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出CM的長，從而求出MN的長，進行計算即可解答．【解答】解：過點C作CF⊥l，垂足為F，過點B作BN⊥CF，垂足為N，過點D作DM⊥CF，垂足為M，設(shè)DM與BC交于點G，則FN＝AB＝15cm，BN＝AF，DM＝EF，DE＝MF，∠ABN＝90°，DM∥BN，∵∠ABC＝148°，∴∠CBN＝∠ABC﹣∠ABN＝148°﹣90°＝58°，在Rt△CBN中，BC＝30cm，∴CN＝30?sin58°≈30×0.85＝25.5（cm），BN＝30?cos58°≈30×0.53＝15.9（cm），∴AF＝BN＝15.9cm，∴DM＝EF＝AE+AF＝9+15.9＝24.9（cm），∵DM∥BN，∴∠CGM＝∠CBN＝58°，∴∠CDM＝∠CGM﹣∠DCB＝58°﹣28°＝30°，在Rt△CDM中，CM＝DM?tan30°＝×24.9≈14.36（cm），∴MN＝CN﹣CM＝25.5﹣14.36＝11.14（cm），∴MF＝MN+NF＝11.14+15≈26.1（cm），∴DE＝MF＝26.1cm，∴攝像頭到桌面l的距離DE的長約為26.1cm．一十．解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題（共1小題）30．（2022?建鄴區(qū)二模）某商場為方便消費者購物，準備將原來的階梯式自動扶梯改造成斜坡式自動扶梯，如圖，已知原階梯式自動扶梯AB的長為6m，坡角∠ABE＝45°，改造后的斜坡自動扶梯坡角∠ACB＝15°，求改造后的斜坡式自動扶梯AC的長．（精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)；sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0，27）【分析】先在Rt△ABD中，用三角函數(shù)求出AD，最后在Rt△ACD中用三角函數(shù)即可得出結(jié)論．【解答】解：如圖，過點A作AD⊥CE于點D，在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，AB＝6m，∴AD＝AB?sin45°＝6×＝6（m）．在Rt△ACD中，∠ACD＝15°，sin∠ACD＝，∴AC＝＝≈23.1（m），即：改造后的斜坡式自動扶梯AC的長度約為23.1米．一十一．解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題（共7小題）31．（2022?玄武區(qū)二模）如圖，山頂?shù)恼戏接幸凰嗀B，為了測量塔AB的高度，在距山腳M一定距離的C處測得塔尖頂部A的仰角∠ACM＝37°，測得塔底部B的仰角∠BCM＝31°，然后沿CM方向前進30m到達D處，此時測得塔尖仰角∠ADM＝45°（C，D，M三點在同一直線上），求塔AB的高度．（參考數(shù)據(jù)：tan31°≈0.60，tan37°≈0.75）【分析】延長AB交CM于點E，設(shè)DE＝x米，在Rt△ADE中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AE的長，再在Rt△AEC中，利用銳角三角函數(shù)的定義列出關(guān)于x的方程，進行計算可求出AE，CE的長，然后在Rt△BCE中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BE的長，最后進行計算即可解答．【解答】解：延長AB交CM于點E，設(shè)DE＝x米，在Rt△ADE中，∠ADE＝45°，∴AE＝DE?tan45°＝x（米），∵CD＝30米，∴CE＝CD+DE＝（x+30）米，在Rt△AEC中，∠ACE＝37°，∴tan37°＝＝≈0.75，∴x＝90，經(jīng)檢驗：x＝90是原方程的根，∴AE＝90米，CE＝120米，在Rt△BCE中，∠BCE＝31°，∴BE＝CE?tan31°≈120×0.6＝72（米），∴AB＝AE﹣BE＝90﹣72＝18（米），∴塔AB的高度約為18米．32．（2022?南京二模）如圖，寶塔底座BC的高度為m，小明在D處測得底座最高點C的仰角為α，沿著DB方向前進n到達測量點E處，測得寶塔頂端A的仰角為β，求寶塔AB的高度．（用含α，β，m，n的式子表示）【分析】在Rt△BCD中，∠CDB＝α，BC＝m，tanα＝，可得BD＝，則BE＝BD﹣DE＝﹣n在Rt△AEB中，∠AEB＝β，tanβ＝，即可得出答案．【解答】解：在Rt△BCD中，∠CDB＝α，BC＝m，tanα＝，∴BD＝，∴BE＝BD﹣DE＝﹣n，在Rt△AEB中，∠AEB＝β，tanβ＝，∴AB＝tanβ?（﹣n）＝．答：寶塔AB的高度為．33．（2022?鼓樓區(qū)二模）如圖①，某兒童醫(yī)院門診大廳收費處正上方的“蜘蛛俠”雕塑有效緩解了就醫(yī)小朋友的緊張情緒．為了測量圖②中“蜘蛛俠”BE的長度，小莉在地面上F處測得B處、E處的仰角分別為37°、56.31°．已知∠ABE＝45°，F(xiàn)到收費處OA的水平距離FC約為16m，且F與BE確定的平面與地面垂直．求“蜘蛛俠”BE的長度．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，tan56.31°≈1.50．）【分析】過點E作EG⊥CF于點G，EH⊥AC于點H，在Rt△BCF中，tan∠BFC＝tan37°＝≈0.75，可得BC＝12．設(shè)BH＝EH＝CG＝xm，在Rt△EFG中，tan∠EFG＝tan56.31°＝≈1.50，可得x＝4.8，在Rt△BEH中，sin∠HBE＝sin45°＝，即可求得BE＝m．【解答】解：過點E作EG⊥CF于點G，EH⊥AC于點H，在Rt△BCF中，∠BFC＝37°，CF＝16m，tan∠BFC＝tan37°＝≈0.75，∴BC＝12．∵∠ABE＝45°，∴BH＝EH，設(shè)BH＝EH＝CG＝xm，在Rt△EFG中，EG＝HC＝（12+x）m，F(xiàn)G＝（16﹣x）m，∠EFG＝56.31°，tan∠EFG＝tan56.31°＝≈1.50，解得x＝4.8，經(jīng)檢驗，x＝4.8為原方程的解，且符合題意，∴BH＝4.8m，在Rt△BEH中，sin∠HBE＝sin45°＝，解得BE＝．則“蜘蛛俠”BE的長度為m．34．（2022?南京一模）如圖，為了測量小河對岸大樹BC的高度，小明在點A處測得大樹頂端B的仰角為37°，再從點A出發(fā)沿傾斜角為30°的斜坡AF走4m到達斜坡上點D，在此處測得樹頂端B的仰角為26.7°．求大樹BC的高度（精確到0.1m）．（參考數(shù)據(jù)：tan37°≈0.75，tan26.7°≈0.5，≈1.73．）【分析】過點D分別作DG⊥AC，DH⊥BC，垂足分別為G，H．根據(jù)三角函數(shù)的定義可得0.75AC﹣2≈0.5（AC+2），再求出BC即可．【解答】解：如圖，過點D分別作DG⊥AC，DH⊥BC，垂足分別為G，H．在Rt△ADG中，∠DAG＝30°，∵sin30°＝，cos30°＝，∴DG＝AD?sin30°＝2m，AG＝AD?cos30°＝2m，在Rt△ABC中，tan37°＝，∴BC＝tan37°?AC，在Rt△BDH中，tan26.7°＝，∴BC﹣2＝tan26.7°（AC+2），∴tan37°?AC﹣2＝tan26.7°（AC+2），即0.75AC﹣2≈0.5（AC+2），∴AC＝（4+8）m．∴BC＝0.75×（4+8）＝3+6≈11.2m．答：大樹BC的高度約為11.2m．35．（2022?鼓樓區(qū)一模）如圖，AB是一條筆直的長為500m的滑雪坡道，某運動員從坡頂A滑出，沿直線滑向坡底B，她的滑行距離y（單位：m）與滑行時間x（單位：s）的部分對應(yīng)值如下表．x01234…y04.51428.548…（1）用所學過的函數(shù)知識猜想y是x的什么函數(shù)，并求出y與x之間的函數(shù)表達式；（2）一架無人機在AB上空距地面292m的P處懸停，此時在A處測得無人機的仰角為53°．無人機和該運動員同時開始運動，無人機以6.3m/s的速度勻速水平飛行