數(shù)學(xué)七年級(jí)下學(xué)期3.1+同底數(shù)冪的乘法

專(zhuān)題3.1同底數(shù)冪的乘法（知識(shí)講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握正整數(shù)冪的乘法運(yùn)算性質(zhì)（同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方、積的乘方）；能用代數(shù)式和文字語(yǔ)言正確地表述這些性質(zhì)，并能運(yùn)用它們熟練地進(jìn)行運(yùn)算.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、同底數(shù)冪的乘法性質(zhì)(其中都是正整數(shù)).即同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.特別說(shuō)明：（1）同底數(shù)冪是指底數(shù)相同的冪，底數(shù)可以是任意的實(shí)數(shù)，也可以是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式.（2）三個(gè)或三個(gè)以上同底數(shù)冪相乘時(shí)，也具有這一性質(zhì)，即（都是正整數(shù)）.（3）逆用公式：把一個(gè)冪分解成兩個(gè)或多個(gè)同底數(shù)冪的積，其中它們的底數(shù)與原來(lái)的底數(shù)相同，它們的指數(shù)之和等于原來(lái)的冪的指數(shù)。即（都是正整數(shù)）.要點(diǎn)二、冪的乘方法則(其中都是正整數(shù)).即冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.特別說(shuō)明：（1）公式的推廣：(，均為正整數(shù))（2）逆用公式：，根據(jù)題目的需要常常逆用冪的乘方運(yùn)算能將某些冪變形，從而解決問(wèn)題.要點(diǎn)三、積的乘方法則(其中是正整數(shù)).即積的乘方，等于把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘.特別說(shuō)明：公式的推廣：(為正整數(shù)).（2）逆用公式：逆用公式適當(dāng)?shù)淖冃慰珊?jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程，尤其是遇到底數(shù)互為倒數(shù)時(shí)，計(jì)算更簡(jiǎn)便.如：要點(diǎn)四、注意事項(xiàng)（1）底數(shù)可以是任意實(shí)數(shù)，也可以是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式.（2）同底數(shù)冪的乘法時(shí)，只有當(dāng)?shù)讛?shù)相同時(shí),指數(shù)才可以相加.指數(shù)為1，計(jì)算時(shí)不要遺漏.（3）冪的乘方運(yùn)算時(shí)，指數(shù)相乘，而同底數(shù)冪的乘法中是指數(shù)相加.（4）積的乘方運(yùn)算時(shí)須注意，積的乘方要將每一個(gè)因式(特別是系數(shù))都要分別乘方.（5）靈活地雙向應(yīng)用運(yùn)算性質(zhì)，使運(yùn)算更加方便、簡(jiǎn)潔.（6）帶有負(fù)號(hào)的冪的運(yùn)算，要養(yǎng)成先化簡(jiǎn)符號(hào)的習(xí)慣.【典型例題】類(lèi)型一、同底數(shù)冪相乘1．計(jì)算：（m是正整數(shù)）．【答案】【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則即可得到結(jié)果．解：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了同底數(shù)冪的乘法，熟知同底數(shù)冪的乘法計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】計(jì)算：（）2019×（）2020＝__________________．【答案】【分析】根據(jù)同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，冪相加，計(jì)算求解即可．解：故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算．解題的關(guān)鍵在于明確同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算法則．【變式2】計(jì)算：（a﹣b）2（b﹣a）3＝___．【答案】【分析】將看做一個(gè)整體，進(jìn)而根據(jù)同底數(shù)冪的乘法進(jìn)行計(jì)算即可解：（a﹣b）2（b﹣a）3故答案為：【點(diǎn)撥】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，掌握同底數(shù)冪的乘法是解題的關(guān)鍵．類(lèi)型二、同底數(shù)冪相乘的逆用2．若，，則_____．【答案】15【分析】由，，根據(jù)同底數(shù)冪的乘法可得，繼而可求得答案．解：∵，，∴，故答案為15.【點(diǎn)撥】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.本題中要注意掌握公式的逆運(yùn)算．舉一反三：【變式1】若am=2,an=8,則am+n=_________.【答案】16解：∵am=2,an=8,∴am+n=am·an=2×8=16.點(diǎn)睛：本題主要考查了同底數(shù)冪的乘法法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.【變式2】已知，，則的值為_(kāi)_____．【答案】140【分析】同底數(shù)冪的乘法的逆用公式：根據(jù)公式作變形直接計(jì)算即可得到答案.解：，，則故答案為：【點(diǎn)撥】本題考查的是同底數(shù)冪的乘法的逆用，掌握同底數(shù)冪的乘法法則是解題的關(guān)鍵.類(lèi)型三、科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)的乘法3．計(jì)算：（3×108）×（4×104）=_______．（結(jié)果用科學(xué)記數(shù)法表示）【答案】1.2×1013解：試題解析：故答案為點(diǎn)睛：科學(xué)計(jì)數(shù)法的表示形式為：，其中舉一反三：【變式1】光速約為3米/秒，太陽(yáng)光照到地球上的時(shí)間為秒，則地球與太陽(yáng)的距離約是_____米（結(jié)果用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示）【答案】【分析】利用速度乘以時(shí)間得出路程，再根據(jù)科學(xué)計(jì)數(shù)法將其表示出來(lái)即可解：==【點(diǎn)撥】本題主要考查了冪之間的乘法運(yùn)算與科學(xué)計(jì)數(shù)法，掌握相關(guān)運(yùn)算法則是關(guān)鍵【變式2】光的速度每秒約3×105千米，太陽(yáng)光射到地球上需要的時(shí)間約是5×102秒，則地球與太陽(yáng)的距離約是________千米．【答案】1.5×108解：（3×105）×（5×102）=1.5×108.類(lèi)型四、冪的乘方運(yùn)算4．已知，．求：(1)的值；(2)的值．【答案】(1)43；(2)432【分析】（1）冪的乘方即可求出答案．（2）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法以及的冪的乘方即可求出答案．(1)∵，∴＝（10a）2+（10b）3＝42+33＝16+27＝43(2)∵，∴＝102a?103b＝（10a）2?（10b）3＝42×33＝432【點(diǎn)撥】本題考查同底數(shù)冪的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用運(yùn)算法則．舉一反三：【變式1】已知，則的值為_(kāi)_____【答案】2【分析】先根據(jù)冪的乘方化為同底數(shù)冪的運(yùn)算，再按同底數(shù)冪乘法運(yùn)算，根據(jù)條件整體代入求值計(jì)算即可．解：，，．故答案為2．【點(diǎn)撥】本題考查同底數(shù)冪相乘及冪的乘方，條件求值，同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加，，冪的乘方：底數(shù)不變，指數(shù)相乘.．【變式2】已知6x＝192，32y＝192，則的值為_(kāi)____．【答案】﹣8【分析】將6x＝192變形為6x﹣1＝32，32y＝192變形為32y﹣1＝6，理由冪的乘方，同底數(shù)冪乘法，得出（x﹣1）（y﹣1）＝1，代入計(jì)算即可．解：∵6x＝192，32y＝192，∴6x＝192＝32×6，32y＝192＝32×6，∴6x﹣1＝32，32y﹣1＝6，∴（6x﹣1）y﹣1＝6，∴6（x﹣1）（y﹣1）＝6，∴（x﹣1）（y﹣1）＝1，∴原式＝（﹣2）3＝﹣8，故答案為：﹣8．【點(diǎn)撥】本題主要考查了冪的乘方，同底數(shù)冪乘法，根據(jù)題意適當(dāng)變形得出（x﹣1）（y﹣1）＝1是解本題的關(guān)鍵．類(lèi)型五、冪的乘方運(yùn)算的逆用5．已知，，則______．【答案】128【分析】根據(jù)積的乘方和冪的乘方的定義解答．解：∵，∴．故答案為：128．【點(diǎn)撥】本題考查了同底數(shù)冪的乘法、積的乘方和冪的乘方，要熟練進(jìn)行拆分．舉一反三：【變式1】計(jì)算：（﹣2）2023×0.52022＝_____．【答案】-2【分析】利用冪的乘方與積的乘方的法則計(jì)算．解：（﹣2）2023×0.52022＝（﹣2×0.5）2022×（﹣2）=（﹣1）2022×（﹣2）=1×（﹣2）＝﹣2．故答案為：﹣2．【點(diǎn)撥】本題主要考查了冪的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵熟練運(yùn)用冪的乘方與積的乘方的運(yùn)算法則．【變式2】若，，則，的大小關(guān)系是______（填“＜”或“＞”）．【答案】＞【分析】根據(jù)冪的乘方進(jìn)行解答即可解：∵a15=（a3）5=25=32，b15=（b5）3=33=27，32＞27，∴a15＞b15，∴a＞b，故答案為：＞；【點(diǎn)撥】本題考查了冪的乘方，根據(jù)題目所給的運(yùn)算方法進(jìn)行比較是解題的關(guān)鍵．類(lèi)型六、積的乘方運(yùn)算6．計(jì)算：(1)已知，求的值；(2)已知n為正整數(shù)，且，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由積的乘方公式解題；（2）由積的乘方公式解得，再利用整體代入法解題．(1)解：．原式．【點(diǎn)撥】本題考查積的乘方、冪的乘方等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度一般，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】化簡(jiǎn)：．【答案】【分析】根據(jù)冪的運(yùn)算法則計(jì)算，再合并同類(lèi)項(xiàng)即可．解：，=，=，=．【點(diǎn)撥】本題考查了整式的運(yùn)算，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)冪的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，再準(zhǔn)確地合并同類(lèi)項(xiàng)．【變式2】計(jì)算：3x2y2?（﹣2xy2z）2．【答案】【分析】先計(jì)算積的乘方，再計(jì)算同底數(shù)冪的乘法即可得出答案．解：【點(diǎn)撥】本題主要考查單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式，也考查了積的乘方和同底數(shù)冪的乘法，難度較低，重點(diǎn)掌握整式的乘法的運(yùn)算順序是解題的關(guān)鍵．類(lèi)型七、積的乘方運(yùn)算的逆用7．計(jì)算：（﹣）2021×（3）2020×（﹣1）2022．【答案】【分析】直接利用積的乘方的逆運(yùn)算法則：以及有理數(shù)的混合運(yùn)算法則計(jì)算得出答案．解：原式＝＝＝【點(diǎn)撥】題考察了積的乘方運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則．特別是要知道-1的偶次方是1．舉一反三：【變式1】下圖中是小明完成的一道作業(yè)題，請(qǐng)你參考小明的方法解答下面的問(wèn)題：小明的作業(yè)計(jì)算：解：(1)計(jì)算：①；②．(2)若，直接寫(xiě)出n的值．【答案】(1)①1；②；(2)3；【分析】（1）①逆用同底數(shù)冪的乘法法則計(jì)算；②逆用積的乘方乘法法則計(jì)算；（2）利用冪的乘方法則和同底數(shù)冪的乘法法則把左邊變形，然后可求出n的值；(1)解：①；②原式；解：由已知得，，則，∴，故，解得：．【點(diǎn)撥】本題考查了冪的運(yùn)算，熟練掌握冪的運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．同底數(shù)的冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加；同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變指數(shù)相減；冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘；積的乘方，等于把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘．特別注意運(yùn)算過(guò)程中指數(shù)的變化規(guī)律，靈活運(yùn)用法則的逆運(yùn)算進(jìn)