07 一次函數(shù)反比例函數(shù)及其綜合應(yīng)用大題綜合解析版

07一次函數(shù)反比例函數(shù)及其綜合應(yīng)用1．（2023·江蘇蘇州·?？家荒＃┤鐖D，在平面直角坐標系中，直線與反比例函數(shù)的圖象交于A、B兩點，已知，．(1)求與的值；(2)直線在直線的下方且與平行，與x軸、y軸分別交于點D、E，點P是直線上的一動點，當?shù)拿娣e為1時，求直線的解析式．【答案】(1)，；(2)直線的解析式為或或．【分析】（1）求出點A、B的坐標，即可求解；（2）設(shè)點，直線的解析式為：，分兩種情況討論，當時，利用的面積，列式計算可求解；當時，的面積，列式計算即可求解．【詳解】（1）解：反比例函數(shù)的圖象過點，，∴，解得，∴點，，則，故反比例函數(shù)的解析式為：；將點，的坐標代入一次函數(shù)解析式得：，解得，故一次函數(shù)的解析式為；∴，；（2）解：設(shè)點，直線的解析式為：，令，則，令，則，∴點D、E的坐標分別為、，當時，如圖，連接，∴，∴的面積，整理得解得：或1．∴直線的解析式為：或；當時，如圖，連接，同理，∴的面積，整理得解得：(舍去)或．∴直線的解析式為：；綜上，直線的解析式為或或．【點睛】本題考查一次函數(shù)、反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征及求函數(shù)表達式、坐標與圖形，把點的坐標代入是常用方法，把坐標轉(zhuǎn)化為線段的長，為計算三角形的面積準備條件．2．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考一模）某餐飲公司推出甲、乙兩種外賣菜品，已知售出2份甲菜品和1份乙菜品可獲利40元，售出3份甲菜品和2份乙菜品可獲利65元．(1)求每份甲、乙菜品的利潤各是多少元？(2)根據(jù)營銷情況，該餐飲公司每日都可以銷售完甲、乙兩種外賣菜品600份，且甲菜品的數(shù)量不多于乙菜品的一半，應(yīng)該如何設(shè)計兩種菜品的數(shù)量才能使獲得的利潤最高？最高利潤是多少？【答案】(1)每份菜品甲的利潤為15元，每份菜品乙的利潤為10元(2)購進甲菜品200份，乙菜品400份，所獲利潤最大，最大利潤為7000元【分析】（1）設(shè)每份菜品甲的利潤為元，每份菜品乙的利潤為元，根據(jù)售出2份甲菜品和1份乙菜品可獲利40元，售出3份甲菜品和2份乙菜品可獲利65元，列二元一次方程組，求解即可；（2）設(shè)銷售甲菜品份，總利潤為元，根據(jù)甲菜品的數(shù)量不多于乙菜品的一半，求出的取值范圍，再表示出與的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)一次函數(shù)的增減性即可確定最大利潤時進貨方案，進一步求出最大利潤即可．【詳解】（1）解：設(shè)每份菜品甲的利潤為元，每份菜品乙的利潤為元，根據(jù)題意，得：，解得：，答：每份菜品甲的利潤為15元，每份菜品乙的利潤為10元；（2）設(shè)銷售甲菜品份，總利潤為元，根據(jù)題意，得：，解得：，，∵，∴隨著的增大而增大，當時，取得最大值，最大值為：（元），此時銷售乙菜品：（份），答：銷售甲菜品200份，乙菜品400份，所獲利潤最大，最大利潤為7000元．【點睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，理解題意是解題的關(guān)鍵．3．（2023·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）如圖，一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像交于點和點，與軸交于點．(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式；(2)連接，，在直線上是否存在點，使的面積是面積的？若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由．【答案】(1)，(2)或【分析】（1）將、兩點代入反比例函數(shù)解析式，，，可得，解得的值，即可求出、兩點的坐標，用待定系數(shù)法即可求出一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式；（2）令，求出點坐標，根據(jù)、、三點坐標求出的面積，再得到的面積，設(shè)，利用三角形面積求出的值即可．【詳解】（1）由題意，得，解得，，，把代入，得，反比例函數(shù)表達式為，把，代入，得，，一次函數(shù)表達式為；（2）令，則得，，點的坐標為，，，設(shè)，則，得，，解得：或，故或．【點睛】本題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，反比例函數(shù)與幾何綜合，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角形的面積的計算，正確求出一次函數(shù)和反比例函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．4．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·校聯(lián)考一模）如圖，點和點都在反比例函數(shù)的圖像上，作直線．(1)m=，k=；(2)點P為x軸上一點，若的面積等于18，求點P坐標．【答案】(1)-2，6(2)或【分析】（1）由已知可得，，求解即可解答．（2）連接、，作軸于C，軸于D，由（1）可得點M坐標，再根據(jù)的面積等于18，即可解答．【詳解】（1）∵，點和點都在反比例函數(shù)的圖像上，∴，．（2）解：連接、，作軸于C，軸于D，由（1）知，，，，直線于x軸交點，∵的面積等于18，∴，∴，∴，∴．同理得：．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，掌握三角形面積公式是解題的關(guān)鍵．5．（2023·江蘇常州·統(tǒng)考二模）如圖，直線與雙曲線交于點和點，過點A作軸，垂足為C．(1)求直線和雙曲線的解析式；(2)連接，求的面積．【答案】(1)，；(2)12．【分析】（1）把點代入，可得雙曲線的解析式為，再求出，再把A，B代入，即可求解；（2）過點B作軸，交延長線于D，可得，，再根據(jù)三角形的面積公式計算，即可求解．【詳解】（1）解：把點代入得：，即，∴雙曲線的解析式為；把點代入得，，∴，把A，B代入得：，解得：，∴直線的解析式為；（2）解：過點B作軸，交AC延長線于D，∵，軸，垂足為C，∴點C的坐標為，∴．∵，∴，∴，∴的面積．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)圖像上點的坐標特征，三角形的面積，求得交點坐標是解題的關(guān)鍵．6．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考一模）學(xué)校與圖書館在同一條筆直道路上，甲從學(xué)校去圖書館，乙從圖書館回學(xué)校，甲、乙兩人都勻速步行且同時出發(fā)，乙先到達目的地，兩人之間的距離y（米）與時間t（分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．(1)甲、乙何時相遇？相遇時甲的速度為多少？(2)求乙到達目的地時，兩人之間的距離；(3)求出線段AB所表示的函數(shù)關(guān)系式．【答案】(1)24分鐘時甲、乙兩人相遇，甲的速度為米/分鐘(2)當乙到達目的地時，兩人之間的距離為1600米(3)【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖像可知相遇時間，根據(jù)總路程和總的時間可以求得甲的速度；（2）兩人的距離與時間的關(guān)系在點A出現(xiàn)了拐點，根據(jù)題意，乙先到達目的地，可以求出此時兩人相距的距離；（3）根據(jù)（2）中結(jié)論求得A點的坐標，結(jié)合圖像中B點的坐標，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式即可；【詳解】（1）當時，分鐘，此時甲、乙兩人相遇，∵乙先到達目的地，∴B點表示甲到達目的地時所用時間為60分鐘．∴甲的速度為（米/分鐘）；（2）當分鐘時，甲乙兩人相遇，∴甲、乙兩人的速度和為（米/分鐘），∵甲的速度為40米/分鐘，∴乙的速度為60米/分鐘，而A點表示乙到達目的地，∴乙到達目的地所用時間為（分鐘）．而此時甲乙兩人相距（米），∴當乙到達目的地時，兩人之間的距離為1600米；（3）由（2）可知，A點坐標為，B點坐標為；設(shè)線段AB所表示的函數(shù)關(guān)系式為，將，代入，得，解得，∴線段所表示的函數(shù)關(guān)系式為．【點睛】本題考查了函數(shù)圖像的意義，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，理解題意，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．7．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考一模）慢車從甲地出發(fā)勻速駛往乙地，出發(fā)后快車也從甲地出發(fā)，勻速行駛，到達乙地后保持原速沿原路返回甲地．已知快車出發(fā)時第1次追上慢車．在整個行程中，慢車離甲地的距離（單位：）與時間t（單位：）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．(1)在圖中畫出快車離甲地的距離（單位：）與時間t之間的函數(shù)圖像；(2)若快車出發(fā)時與慢車第2次相遇．①求快車從出發(fā)到返回甲地所用的時間；②當兩車第2次相遇的地點距離甲地時，s的值為________．【答案】(1)見解析(2)①快車從出發(fā)到返回甲地所用的時間為．②285【分析】（1）根據(jù)題意可知快車和慢車的函數(shù)圖象在時第一次相交于B，因此借助慢車的函數(shù)圖象確定點B的位置，把連接點與B并延長交直線于C，然后對稱作出快車返回甲地的函數(shù)圖象即可；（2）設(shè)慢車速度為，快車速度為，根據(jù)快車出發(fā)兩車相遇列出方程求出，根據(jù)路程速度時間得到，根據(jù)題意可得．設(shè)的函數(shù)表達式為，進而求出，然后求出當時，x的值即可得到答案；（3）根據(jù)題意可得點E的縱坐標為，由此求出快車的速度，再根據(jù)路程速度時間進行求解即可．【詳解】（1）解：與t之間的函敷圖像如圖所示．

（2）解：設(shè)慢車速度為，快車速度為．根據(jù)題意，得．即．

根據(jù)題意，得．∵，∴點E的坐標為．設(shè)的函數(shù)表達式為．將代入，得．即的函數(shù)表達式為．

令，得．

，即快車從出發(fā)到返回甲地所用的時間為．②由題意得，，∴，∴．∴，故答案為：285．【點睛】．本題主要考查了一次函數(shù)的實際應(yīng)用，正確理解題意讀懂函數(shù)圖象是解題的關(guān)鍵．8．（2023·江蘇淮安·統(tǒng)考一模）用充電器給某手機充電時，其屏幕的起始畫面如圖1．經(jīng)測試，在用快速充電器和普通充電器對該手機充電時，其電量（單位：%）與充電時間（單位：）的函數(shù)圖像分別為圖2中的線段、．(1)求線段對應(yīng)的函數(shù)表達式；(2)已知該手機正常使用時耗電量為，在用快速充電器將其充滿電后，正常使用，接著再用普通充電器將其充滿電，其“充電一耗電一充電”的時間恰好是，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)線段的函數(shù)表達式為，利用待定系數(shù)法求解即可；（2）根據(jù)題意列出方程，然后解方程求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)線段的函數(shù)表達式為將，代入，即解得，線段的函數(shù)表達式為；（2）根據(jù)題意，得，．【點睛】本題考查的一次函數(shù)的實際應(yīng)用，同時考查一元一次方程的應(yīng)用，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．9．（2023·江蘇徐州·校考二模）小敏打算買一束百合和康乃馨組合的鮮花在“母親節(jié)”的時候送給媽媽．已知買1支百合和3支康乃馨共需花費23元，2支百合的價格比1支康乃馨的價格多4元．(1)求買一支康乃馨和一支百合各需多少元？(2)小敏準備買康乃馨和百合共12支，且康乃馨不少于5支，設(shè)買這束鮮花所需費用為w元，百合有x支，求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并設(shè)計一種使費用最少的買花方案，寫出最少費用．【答案】(1)買一支百合需5元，一支康乃馨需6元(2)當購買百合7支，康乃馨5支時，所需費用最少，最少費用為65元【分析】（1）設(shè)買一支康乃馨需x元，買一支百合需y元，根據(jù)“買1支百合和3支康乃馨共需花費23元，2支百合的價格比1支康乃馨的價格多4元”列出方程組求解即可；（2）根據(jù)康乃馨和百合的費用之和列出函數(shù)關(guān)系式，由“康乃馨不少于5支”求出x的取值范圍，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可求出最少費用．【詳解】（1）解：設(shè)買一支百合需x元，一支康乃馨需y元，由題意得：，解得：，答：買一支百合需5元，一支康乃馨需6元．（2）解：由（1）及題意得：康乃馨有支，則有，∵康乃馨不少于5支，∴，解得：，∵，∴w隨x的增大而減小，∴當時，w取最小值，最小值為．∴當購買百合7支，康乃馨5支時，所需費用最少，最少費用為65元．【點睛】本題主要考查一次函數(shù)的應(yīng)用和二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找準等量關(guān)系列出方程組．10．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考一模）如圖①，小明家，媽媽的單位和超市在一條直線上，一天傍晚，小明從家步行去超市，與此同時媽媽從單位騎行回家拿東西，再以相同的速度騎行去超市．如圖②，線段和折線分別表示小明和媽媽離家的距離與出發(fā)時間的關(guān)系．(1)小明步行的速度是______，媽媽的單位距離超市______；(2)求線段CD所表示的y與x之間的函數(shù)表達式；(3)當______時，小明與媽媽相距．【答案】(1)100；800(2)(3)或或【分析】（1）根據(jù)圖示數(shù)據(jù)解答；（2）設(shè)解析式后，根據(jù)圖示把代入求出即可；（3）根據(jù)題意知，小明與媽媽相距有三次，利用列方程分別求出即可．【詳解】（1）解：由圖可知：小明步行的速度是，媽媽的單位距離超市m；故答案為：100；800．（2）解：設(shè)線段所表示的函數(shù)表達式為：，把代入得：解得：，線段所表示的函數(shù)表達式為：．（3）由圖示知，小明媽媽從單位騎行回家拿東西共用時間是，小明媽媽從單位騎行速度是：當小明媽媽從單位騎行回家拿東西時，小明與媽媽相距，由題意列方程為：，解得：；當小明媽媽回家拿東西并在家停留時，小明與媽媽相距，此時；當小明媽媽回家拿東西后再以相同的速度騎行去超市時，由題意列方程為：，解得：，綜上所述：或或時，小明與媽媽相距400m．故答案為：或或．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從圖象中獲取信息，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．11．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考一模）春夏之交正是農(nóng)業(yè)用水高峰期，某地水利站有兩臺泵機實施調(diào)水作業(yè)．如果單開泵機，可以正好在預(yù)定時間內(nèi)完成，總費用為1920元；如果單開泵機，則要比預(yù)定時間多4天，總費用為2240元．水利站經(jīng)過測算，如果兩臺泵機同時開啟3天，然后由泵機單獨完成余下的調(diào)水作業(yè)，這樣也能正好在預(yù)定時間內(nèi)完成．(1)兩臺泵機平均每天費用分別是多少元？(2)水利站接到上級部門要求提前3天完成調(diào)水作業(yè)，請問如何安排兩臺泵機作業(yè)才能完成任務(wù)？花費最少是多少元？（注：不足一天按照一天計算費用．）【答案】(1)泵機平均每天費用是160元，泵機平均每天費用是140元(2)泵機工作9天，泵機工作4天，總費用為最少為2000元【分析】（1）設(shè)預(yù)定完成工作任務(wù)的時間為天，則單開泵機需要天完成，單開泵機需要天完成，由題意列分式方程并求解，即可獲得答案；（2）設(shè)泵機工作天，泵機工作天（其中，）總費用為元，由題意可得，，整理可得，結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)即可獲得答案．【詳解】（1）解：設(shè)預(yù)定完成工作任務(wù)的時間為天，則單開泵機需要天完成，單開泵機需要天完成，由題意可得，解得，經(jīng)檢驗，是原分式方程的解，所以，泵機平均每天費用是元，泵機平均每天費用是元；（2）設(shè)泵機工作天，泵機工作天（其中，）總費用為元，由題意可得，，∵，∴，∴，∵，∴隨的增大而減小，∴當時，有最小值，最小值為元，此時天，∴泵機工作9天，泵機工作4天，總費用為最少為2000元．【點睛】本題主要考查了分式方程和一次函數(shù)的應(yīng)用，理解題意，找到等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．12．（2023·江蘇常州·校考一模）2022年FIFA世界杯期間，某商店購進A、B兩種品牌的足球進行銷售．銷售5個A品牌和個B品牌足球的利潤和為元，銷售個A品牌和5個B品牌足球的利潤和為元．(1)求每個A品牌和B品牌足球的銷售利潤；(2)商店計劃購進兩種品牌足球共100個，設(shè)購進A品牌足球x個，兩種足球全部銷售完共獲利y元．①求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（不必寫x的取值范圍）②若購進A品牌足球的個數(shù)不少于60個，且不超過B品牌足球個數(shù)的4倍，求最大利潤．【答案】(1)每個A品牌足球的銷售利潤分別為元、每個B品牌足球的銷售利潤為元；(2)①y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為；②最大利潤為元【分析】（1）設(shè)每個A品牌和B品牌足球的銷售利潤分別為m元、n元，根據(jù)題“銷售5個A品牌和個B品牌足球的利潤和為元，銷售個A品牌和5個B品牌足球的利潤和為元”得方程組，解方程組即得；（2）①由題意、根據(jù)“總利潤等于銷售A品牌和B品牌所得利潤之和”可得函數(shù)關(guān)系式；②由已知條件可得關(guān)于x的不等式組，從而得出x的取值范圍，再根據(jù)一次函數(shù)的增減性，即可求出最大利潤．【詳解】（1）解：設(shè)每個A品牌足球的銷售利潤為m元、每個B品牌足球的銷售利潤為n元，根據(jù)題意，得：，解得：，答：每個A品牌足球的銷售利潤分別為60元、每個B品牌足球的銷售利潤為40元；（2）解：①由題意知，，∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為；②∵購進A品牌足球的個數(shù)不少于個，且不超過B品牌足球個數(shù)的4倍，∴，解得：，在中，∵，∴y隨x的增大而增大，∴當時，y取得最大值，最大值為，即最大利潤為元．【點睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用和二元一次方程組的應(yīng)用，關(guān)鍵是找到等量關(guān)系列出函數(shù)解析式或方程組．13．（2023·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）如圖，已知雙曲線與直線相交于A、B兩點，AC⊥x軸，垂足為C，直線與x軸交于點D．若的面積為1，．(1)求k的值；(2)若點B的縱坐標為，求該直線的函數(shù)表達式；(3)在（2）條件下，直接寫出當x為何值時？【答案】(1)(2)直線的函數(shù)表達式為(3)當或時，【分析】（1）利用反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義即可求得；（2）利用三角形面積求得A的坐標，把代入反比例函數(shù)的解析式求得B的坐標，然后利用待定系數(shù)法求得直線的解析式；（3）根據(jù)圖象即可求得．【詳解】（1）解：∵，∴；（2）∵的面積為1，．∴，∴，∴，∴，把代入得，，∴，∴，∵直線過A、B兩點，∴，解得，∴直線的函數(shù)表達式為；（3）解：觀察圖象，當或時，．【點睛】本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，三角形的面積，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．14．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）如圖，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像交于點，點是反比例函數(shù)圖像上的一動點．過點作軸，垂足為，交直線于點．(1)求與的值；(2)若的面積是2，求此時點的坐標．【答案】(1)，(2)或【分析】（1）先把點A坐標代入正比例函數(shù)解析式求出點A的坐標，再把點A的坐標代入反比例函數(shù)解析式求出k的值即可得到答案；（2）設(shè)，則，則，再分如圖1所示，當點P在點G上方時，如圖2所示，當點P在點G下方時，求出對應(yīng)的，并據(jù)此建立方程求解即可．【詳解】（1）解：把點代入到中得：，∴，把代入到中得：，∴；（2）解：由（1）得反比例函數(shù)解析式為，設(shè)，則，∴，∵是反比例函數(shù)圖像上的一動點．，∴，如圖1所示，當點P在點G上方時，∵的面積是2，∴，∴，解得（負值舍），∴；如圖2所示，當點P在點G下方時，則，∴，∴，；綜上所述，點P的坐標為或．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．15．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考二模）如圖，矩形ABCD的兩個頂點A、B都在反比例函數(shù)的圖象上，經(jīng)過原點O，對角線AC垂直于x軸，垂足為E，已知點A的坐標為．(1)求直線AB和反比例函數(shù)的解析式；(2)求矩形的面積；【答案】(1)，(2)10【分析】（1）將點A的坐標代入反比例函數(shù)中，得，即可得反比例函數(shù)的解析式，再設(shè)出直線的解析式為，將點A的坐標代入，即可得直線AB的解析式；（2）先根據(jù)點A的坐標求出的長，根據(jù)，得到，即得到，即可求矩形的面積．【詳解】（1）解：將點A的坐標代入反比例函數(shù)中，得，反比例函數(shù)的解析式為經(jīng)過原點O，設(shè)直線的解析式為，將點A的坐標代入直線方程，得直線AB的解析式為．（2）解：對角線AC垂直于x軸，四邊形為矩形，點A的坐標，在中，利用勾股定理得：即：得矩形的面積．【點睛】此題是一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合題，此外考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形性質(zhì)，勾股定理解直角三角形，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，綜合應(yīng)用知識解答．16．（2023·江蘇常州·統(tǒng)考一模）如圖，一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像交于點，與y軸交于點，與x軸交于點．(1)求與的值；(2)點是x軸正半軸上一點，若，求的面積．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖像與性質(zhì)，將相應(yīng)點代入表達式解方程即可得到答案；（2）過點作軸，垂足為，如圖所示，得到，，從而，利用代值求解即可得到答案．【詳解】（1）解：一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像交于點，與y軸交于點，與x軸交于點把，代入，得，解得，把，代入，得；把，代入，得，解得；（2）解：過點作軸，垂足為，如圖所示：，，∵一次函數(shù)的圖像與y軸交于點，即當時，，，∴，∵，，∴，∴．【點睛】本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合問題，涉及一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖像與性質(zhì)、函數(shù)圖像交點問題及平面直角坐標系中圖形面積求解，熟練掌握一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖像與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．17．（2023·江蘇常州·統(tǒng)考一模）已知直線過點．點為直線上一點，其橫坐標為．過點作軸的垂線，與函數(shù)的圖象交于點．(1)求的值；(2)①求點的坐標（用含的式子表示）；②若的面積等于3，求出點的橫坐標的值．【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）由直線過點，代入直線解析式即可求解；（2）①根據(jù)題意可求點P的縱坐標為，由軸，可得點的縱坐標為，由點Q在函數(shù)的圖象上，可求點Q的橫坐標即可；②根據(jù)點P，Q的坐標可求的長，利用三角形面積公式，即可．【詳解】（1）解：∵直線過點，∴，即．（2）解：①∵在直線上且橫坐標為，∴點的縱坐標為，∵軸，∴點的縱坐標為．∵點在函數(shù)的圖象上，∴點的橫坐標為．∴點的坐標為．②∵，，∴，∵中邊上的高，∴，∵的面積等于3，∴，∴（舍），，∴點的橫坐標為．【點睛】本題考查一次函數(shù)解析式與反比例函數(shù)，直線垂直y軸上的點的特征，三角形面積，掌握一次函數(shù)解析式，直線垂直y軸上的點的特征，三角形面積是解題關(guān)鍵．18．（2023·江蘇南通·南通田家炳中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在平面直角坐標系中，直線經(jīng)過點，與y軸交于點B，與反比例函數(shù)的圖象交于點，過B作軸，交反比例函數(shù)的圖象于點D，連接．(1)________，________，不等式的解集是________；(2)求的面積．【答案】(1)4，6，(2)【分析】（1）先把點A坐標代入直線解析式求出b的值，即求出直線解析式，進而求出點C的坐標，再把點C的坐標代入反比例函數(shù)解析式求出k的值；再根據(jù)圖象法求出不等式的解集即可；（2）先求出點B的坐標，進而求出點D的坐標，再根據(jù)進行求解即可．【詳解】（1）解：把代入到直線中得：，∴，∴直線解析式為，把點代入到直線中得：，∴，∴，把代入到反比例函數(shù)中得：，∴；由函數(shù)圖象可知，當時，一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象下方，∴不等式的解集是，故答案為：4，6，；（2）解：由（1）得反比例函數(shù)解析式為在中，令，則，∴，在中，令，則，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，正確求出對應(yīng)的函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．19．（2023·江蘇常州·常州市第二十四中學(xué)?？家荒＃┮阎侵本€l和雙曲線的交點．(1)求m的值．(2)若直線l分別和x軸、y軸交于E、F兩點，且點A是的外心，試確定直線l的解析式．(3)在雙曲線上另取一點B，過B作軸于K，試問：在y軸上是否存在點P，使得？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，或【分析】（1）直接把點坐標代入可計算出；（2）由于為直角三角形，點是的外心，根據(jù)直角三角形外心為斜邊的中點得到點，為的中點，再根據(jù)線段中點的坐標公式得到點坐標為，點坐標為，然后利用待定系數(shù)法確定的解析式；（3）根據(jù)反比例函數(shù)的比例系數(shù)的幾何意義得到，設(shè)，利用三角形面積公式得到，然后求出即可得到點坐標．【詳解】（1）解：把代入得，解得；（2）為直角三角形，點是的外心，點，為的中點，點坐標為，點坐標為，設(shè)直線的解析式為，把，代入得，解得，直線的解析式為；（3）存在．理由如下：連接，設(shè)，，，，或滿足條件的點坐標為或．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點坐標滿足兩函數(shù)的解析式．也考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及反比例函數(shù)的比例系數(shù)的幾何意義．20．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考一模）某學(xué)校準備到文化用品商店購買數(shù)學(xué)實驗器材A和B，若購買3件器材A和2件器材B共需要550元，若購買2件器材A和3件器材B共需要450元.(1)求每件器材A、B的銷售價格；(2)學(xué)校準備用不多于3000元的金額購買這兩種器材共25件，求最多購買器材A的件數(shù)；(3)在（2）的條件下，學(xué)校還要求購買器材A不少于15件，則學(xué)校購買費用最少多少元？【答案】(1)每件器材A的銷售價格150元，每件器材B的銷售價格50元(2)最多購買器材A的件數(shù)是17件(3)學(xué)校購買費用最少為2750元【分析】（1）設(shè)每件器材A的銷售價格為x元，每件器材B的銷售價格為y元，根據(jù)題意列出方程求解即可；（2）設(shè)購買器材A件數(shù)為，則購買器材A件數(shù)為，根據(jù)題意列出不等式求解即可；（3）設(shè)購買費用為元，列出購買費用和購買器材A件數(shù)的一次函數(shù)，利用一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）設(shè)每件器材A的銷售價格為x元，每件器材B的銷售價格為y元，根據(jù)題意得，解得，∴每件器材A的銷售價格為150元，每件器材B的銷售價格為50元；（2）設(shè)購買器材A件數(shù)為，則購買器材A件數(shù)為，由題意可得，∴，又∵為整數(shù)，∴最大是17，即最多購買器材A的件數(shù)是17件；（3）設(shè)購買費用為元，根據(jù)題意得，∵，，為整數(shù)，∴當時，（元），∴學(xué)校購買費用最少為2750元．【點睛】本題考查了二元一次方程組與實際問題，讀懂題意，列出方程是解題的關(guān)鍵．21．（2023·江蘇蘇州·校聯(lián)考一模）如圖，在中，，，軸，垂足為，邊與軸交于點，反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點．(1)若點是邊的中點，求直線和反比例函數(shù)的表達式．(2)將邊沿邊所在直線翻折，交反比例函數(shù)的圖像于點，交軸于點，若點的縱坐標為，求的值．【答案】(1)直線的解析式為；反比例函數(shù)解析式為(2)8【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)得出，然后確定各個點的坐標，利用待定系數(shù)法即可確定直線和反比例函數(shù)解析式；（2）設(shè)，則，根據(jù)翻折確定，然后分別確定直線的解析式為：，反比例函數(shù)的表達式為：，確定相應(yīng)的函數(shù)值為2時自變量的值，令其相等求解即可．【詳解】（1）解：∵是邊的中點，∴，∵，∴，∴，∴即，∴，∴，設(shè)直線的解析式為，將點A、B代入得：，解得：，∴直線的解析式為；將點A代入反比例函數(shù)得，解得：，∴反比例函數(shù)解析式為；（2）設(shè)，則，∵邊沿邊所在直線翻折得，∴，∴，設(shè)直線的解析式為，將點A、F代入得：，解得：，∴直線的解析式為：，令，解得：，將點A代入反比例函數(shù)得：，解得：，∴反比例函數(shù)的表達式為：，令，解得：，∵直線與反比例函數(shù)交于點E，且點E的縱坐標為2，∴，解得：，∴．【點睛】題目主要考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合問題及相似三角形的判定和性質(zhì)，理解題意，熟練掌握運用這些基礎(chǔ)知識點是解題關(guān)鍵．22．（2023·江蘇無錫·?？家荒＃轫憫?yīng)國家“雙減”政策．提高同學(xué)們的創(chuàng)新思維，某中學(xué)開設(shè)了創(chuàng)新思維課程．為滿足學(xué)生的需求，準備再購買一些型號和型號的電腦．如果分別用元購買、型號電腦，購買型號臺數(shù)比型號少臺、已知型號電腦的單價為型號的．(1)求兩種型號電腦單價分別為多少元；(2)學(xué)校計劃新建兩個電腦室需購買臺電腦，學(xué)校計劃總費用不多于元，并且要求型電腦數(shù)量不能低于臺，那么應(yīng)如何安排購買方案才能使費用最少，最少費用應(yīng)為多少？【答案】(1)設(shè)每臺型號電腦進價為元，每臺型號電腦進價為元；(2)購買臺型號電腦，臺型號電腦時費用最少，最少費用為元．【分析】（1）設(shè)每臺型號電腦進價為元，每臺型號電腦進價為元，由分別用元購買、型號電腦，購買型號臺數(shù)數(shù)比型號少臺列出方程即可求解；（2）設(shè)購買型號電腦臺，則購買型號電腦臺，設(shè)總費用為元，根據(jù)題意可求與關(guān)系，并列出不等式組求出的取值范圍，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)解答即可．【詳解】（1）解：設(shè)每臺型號電腦進價為元，每臺型號電腦進價為元，根據(jù)題意，得：解得，經(jīng)檢驗，是原方程的解并滿足題意，型號電腦進價為：答：設(shè)每臺型號電腦進價為元，每臺型號電腦進價為元；（2）設(shè)購買型號電腦臺，則購買型號電腦臺，設(shè)總費用為元，根據(jù)題意得：解得，由題意得，，，隨的增大而增大，當時費用最少，最少費用為，臺，答：購買臺型號電腦，臺型號電腦時費用最少，最少費用為元．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，分式方程的應(yīng)用，一元一次不等式組的應(yīng)用，分析題意，找到合適的數(shù)量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．23．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考一模）如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)第一象限交于、兩點，點是軸負半軸上一動點，連接，．(1)求一次函數(shù)的表達式；(2)若的面積為，求點的坐標；(3)在（2）的條件下，若點為直線上一點，點為軸上一點，是否存在這樣的點和點，使得四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求解；（2）由，即可求解；（3）是平行四邊形的邊，且點向右平移個單位向下平移個單位得到點，則點向右平移個單位向下平移個單位得到點，進而求解．【詳解】（1）解：∵點在反比例函數(shù)圖像上，∴，∴反比例函數(shù)的表達式為，當時，，∴，∵，在一次函數(shù)圖像上，∴，解得：，∴一次函數(shù)的表達式為；（2）設(shè)直線交軸于點，當時，，解得：∴點