四川省成都市彭州市2023-2024學年高二上學期期中考試 數(shù)學試題（含解析）

2023~2024學年度上期高中2022級期中聯(lián)考數(shù)學考試時間120分鐘，滿分150分注意事項：1．答題前，考生務必在答題卡上將自己的姓名、座位號、準考證號用0.5毫米的黑色簽字筆填寫清楚，考生考試條形碼由監(jiān)考老師粘貼在答題卡上的“貼條形碼區(qū)”.2．選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡上對應題目標號的位置上，如需改動，用橡皮擦擦干凈后再填涂其它答案；非選擇題用0.5毫米的黑色簽字筆在答題卡的對應區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域答題的答案無效；在草稿紙上、試卷上答題無效.3．考試結束后由監(jiān)考老師將答題卡收回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.袋中裝有4個大小、質(zhì)地完全相同的帶有不同標號的小球，其中2個紅球，2個綠球，甲摸一個后不放回，乙再摸一個，試驗所有可能的結果數(shù)為（）A.8 B.9 C.12 D.16【答案】C【解析】【分析】根據(jù)不放回抽取的性質(zhì)進行求解即可.【詳解】設4個小球分別為，，，，則試驗結果為．故選：C2.某大型聯(lián)考有16000名學生參加，已知所有學生成績的第60百分位數(shù)是515分，則成績在515分以上的人數(shù)至少有（）A.6000人 B.6240人 C.6300人 D.6400人【答案】D【解析】【分析】根據(jù)第60百分位數(shù)意義進行進行求解即可.【詳解】成績在515分及以下人數(shù)為，則成績在515分以上人數(shù)為．故選：D3.給出下列命題：①若空間向量，滿足，則與的夾角為鈍角；②空間任意兩個單位向量必相等；③對于非零向量，若，則；④若為空間的一個基底，則構成空間的另一個基底．其中說法正確的個數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】利用空間向量基本概念及數(shù)量積的定義及運算，對各個命題逐一分析判斷即可得出結果.【詳解】對于①，當與的夾角為，滿足，所以①錯誤；對于②，因為向量既有大小又有方向，兩向量相等要滿足方向相同，長度相等，任意兩個單位向量，只能確定長度相等，所以②錯誤；對于③，由，得到，所以或與垂直，所以③錯誤；對于④，因為為空間向量的一個基底，所以不共面，故也不共面，所以構成空間的另一個基底，所以④正確.故選：B.4.某地高校有100人參加2023數(shù)學建模競賽，成績頻數(shù)分布表如下，根據(jù)該表估計該校大學生數(shù)學建模競賽成績的平均分為成績分組/分人數(shù)/人42550156A.59 B.59.4 C.69 D.69.4【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)公式計算可得.【詳解】依題意平均數(shù)為．故選：D5.若，，，則事件與的關系為（）A.相互獨立 B.互為對立 C.互斥 D.無法判斷【答案】A【解析】【分析】根據(jù)條件，利用和事件概率公式，求出，從而得到，即可判斷出結果.【詳解】因為，得，所以，故選：A.6.把邊長為的正方形對角線折起，使得平面與平面所成二面角的大小為，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】建立空間直角坐標系，根據(jù)條件求出坐標，從而得到，，再利用線線角的向量法即可求出結果.【詳解】取中點，連接，，以，分別為，軸，垂直面的直線為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，因為是邊長為的正方形，所以,則，，，又易知，,，所以為二面角的平面角，由題知，，所以，則所以，，，故，所以，異面直線與所成角的余弦值為．故選：D.7.某校2023年秋季入學考試，某班數(shù)學平均分為125分，方差為．成績分析時發(fā)現(xiàn)有三名同學的成績錄入有誤，同學實際成績137分，被錯錄為118分；同學實際成績115分，被錯錄為103分；同學實際成績98分，被錯錄為129分，更正后重新統(tǒng)計，得到方差為，則與的大小關系為（）A. B. C. D.不能確定【答案】C【解析】【分析】分析前后的平均分，再根據(jù)方差公式判斷即可.【詳解】設班級人數(shù)為，因為，所以更正前后平均分不變，且，所以．故選：C8.如圖所示的多面體是由底面為的長方體被截面所截得到的，其中，，，，則中點到平面的距離為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】構建空間直角坐標系，應用向量法求點面距離即可.【詳解】以為原點，以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，則，，，，所以，，，設為平面的法向量，則，所以，令，所以，點到平面的距離為．故選：D二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求；全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分.9.一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，新數(shù)據(jù)的平均值為，方差為．下列結論正確的是（）A. B. C. D.【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)、方差的性質(zhì)計算可得.【詳解】若一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，則新數(shù)據(jù)的平均值為，方差為.故選：CD10.下面結論正確的是（）A.若事件與相互獨立，則與也相互獨立B.若事件與是互斥事件，則與也是互斥事件C若，，與相互獨立，則D.若，，則與互為對立事件【答案】AC【解析】【分析】由相互獨立和互斥事件的定義可判斷A、B；由相互獨立的乘法公式和對立事件的定義可判斷C，D.【詳解】對于A：若事件與相互獨立，因為，所以又，所以，所以事件與相互獨立，所以，所以與相互獨立事件，故A正確；對于B：若事件與是互斥事件，如擲一枚骰子出現(xiàn)、、點記為事件，出現(xiàn)、、、點記為事件，則為出現(xiàn)、點，滿足事件與是互斥事件，顯然與不互斥事件，故B錯誤；對于C，若，，與相互獨立，則，故C正確；對于D：如從共個整數(shù)中隨機抽取一個數(shù)，記抽到、、、、、為事件，則，記抽到、、、為事件，則，顯然與不為對立事件，故D錯誤；故選：AC11.某單位健康體測，男性平均體重為64千克，方差為151；女性平均體重為56千克，方差為159，男女人數(shù)之比為，該單位全體工作人員平均體重和方差分別為（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)、方差公式計算可得.【詳解】依題意，設男性人數(shù)為（），女性人數(shù)為，該單位全體人員體重的平均數(shù)為：，所以該單位全體人員體重的方差為：．故選：AD12.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，底面，，點是中點，點是棱的上動點（與端點不重合）．下列說法正確的是（）A.從、、、、、六個點中任取三點恰能確定一個平面的概率為B.從、、、、、六個點中任取四點恰能構成三棱錐的概率為C.存在點，使直線與所成的角為D.不存在點，使平面【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)共面的性質(zhì)，結合空間向量夾角公式逐一判斷即可.【詳解】任取3點，有20個樣本點，除開A、、和S、、分別共線，其余18種均不共線，故概率為；任取4點，共有15個樣本點；每條直線上任取2個點，則共有9個樣本點，故概率為．故A、B正確．以A為空間原點建立空間直角坐標系，，設，，設，則有，則，，，解得，，方程有解，故C正確．設平面的法向量，，則有，由，可得，故D錯誤．故選：ABC【點睛】關鍵點睛：利用空間向量夾角公式、空間向量數(shù)量積運算性質(zhì)是解題的關鍵.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.某射擊運動員每次擊中靶心的概率均為0.6．現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計該運動員射擊4次至少擊中2次的概率：先由計算器算出0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定0，1，2，3表示沒有擊中靶心，4，5，6，7，8，9表示擊中靶心；因為射擊4次，故以每4個隨機數(shù)為一組，代表射擊4次的結果．經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了20組隨機數(shù)：86360293714098575727034743739647469833126710037162332616959780456011366142817424據(jù)此估計，該射擊運動員射擊4次至少擊中2次靶心的概率為__________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)對立事件的概率公式，結合古典概型計算公式進行求解即可.【詳解】恰好0次擊中包含3321一個樣本點，恰好1次擊中包含6233，0293，0371，6011四個樣本點，故至多擊中一次包含五個樣本點，對立事件至少2次擊中則包含15個樣本點，故概率為．故答案為：14.某區(qū)從11000名小學生、10000名初中生和4000名高中生中采用分層抽樣方法抽取名學生進行視力測試，若初中生比高中生多抽取60人，則__________．【答案】250【解析】【分析】根據(jù)分層抽樣等比例抽取的性質(zhì)，列出等式計算即可.【詳解】設小學生抽取的人數(shù)為，高中生抽取的人數(shù)為，則初中生抽取的人數(shù)為，所以，解得，從而．故答案為：25015.某高中的獨孤與無極兩支排球隊在校運會中采用五局三勝制（有球隊先勝三局則比賽結束）．第一局獨孤隊獲勝概率為，獨孤隊發(fā)揮受情緒影響較大，若前一局獲勝，下一局獲勝概率增加，反之降低．則獨孤隊不超過四局獲勝的概率為__________．【答案】0.236【解析】【分析】根據(jù)相互獨立事件與互斥事件的概率公式計算可得.【詳解】設為獨孤隊第局取勝，由題意，獨孤隊取勝的可能結果為四個互斥事件：，，，，所以獨孤隊取勝的概率．故答案為：16.已知空間向量，，兩兩之間的夾角均為，且，，，若向量，分別滿足與，則的最小值為__________．【答案】##【解析】【分析】由題意可得，令，可得且，利用數(shù)量積的性質(zhì)得出，最后由模的三角不等式可得結論．【詳解】依題意，，，因為，所以，所以，所以，令，則，且，由，得，所以，所以，當且僅當，共線同向且，共線時等號成立.故答案為：．【點睛】關鍵點睛：解題關鍵是把已知條件由結合已知變形得出，引入向量，可得，從而得到的最小值，從而由向量模的三角不等式得出結論．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.某稻谷試驗田試種了，兩個品種水稻各10畝，并在稻谷成熟后統(tǒng)計了這20畝地的稻谷產(chǎn)量如下表，記，兩個品種各10畝產(chǎn)量的平均數(shù)分別為和，方差分別為和．（單位：）60635076718575636364（單位：）56626068787576626370（1）分別求這兩個品種產(chǎn)量的極差和中位數(shù)；（2）求，，，；（3）依據(jù)以上計算結果進行分析，推廣種植品種還是品種水稻更合適．【答案】17.極差：產(chǎn)品為35，產(chǎn)品為22，中位數(shù)：產(chǎn)品為63.5，產(chǎn)品為65.5；18.；，；19.推廣品種水稻更合適．【解析】【分析】（1）根據(jù)中位數(shù)以及極差的計算公式即可求解，（2）根據(jù)平均數(shù)和方差的計算公式即可求解，（3）由平均數(shù)相同，方差越小越穩(wěn)定即可求解.【小問1詳解】由表中數(shù)據(jù)可知，產(chǎn)品的產(chǎn)量從小到大排列為，故產(chǎn)品的極差為，中位數(shù)為產(chǎn)品的產(chǎn)量從小到大排列為，產(chǎn)品極差為，中位數(shù)位；【小問2詳解】由題意：，，，；小問3詳解】結合第（2）問可知，兩個品種水稻的產(chǎn)量平均數(shù)一樣，但是的方差較小，較穩(wěn)定，所以推廣品種水稻更合適．18.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，，點為的中點，點在線段上且．（1）用向量，，表示向量；（2）求的長．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)空間向量線性運算法則計算可得；（2）首先用向量，，表示向量，再根據(jù)數(shù)量積的運算律計算可得.【小問1詳解】因為點為的中點，所以，所以；【小問2詳解】因為點在線段上且，所以，所以，所以，因為在四棱錐中，底面為正方形，底面，底面所以，，，則，，．19.藥品監(jiān)督局檢測某種產(chǎn)品的兩個質(zhì)量指標，，用綜合指標核定該產(chǎn)品的等級．若，則核定該產(chǎn)品為一等品．現(xiàn)從一批該產(chǎn)品中隨機抽取10件產(chǎn)品作為樣本，其質(zhì)量指標列表如下：產(chǎn)品編號質(zhì)量指標產(chǎn)品編號質(zhì)量指標（1）利用上表提供的樣本數(shù)據(jù)估計該批產(chǎn)品的一等品率；（2）在該樣品的一等品中，隨機抽取2件產(chǎn)品，設事件為“在抽取的2件產(chǎn)品中，每件產(chǎn)品的綜合指標均滿足”，求事件的概率．【答案】（1）0.6；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)題設得到產(chǎn)品編號與綜合指標的表格，應用古典概型的概率求法求一等品率；（2）列舉法求事件的概率即可.【小問1詳解】由題設可得如下表格，產(chǎn)品編號2483653216又則核定該產(chǎn)品為一等品，故一等品共有6個，所以一等品率為；【小問2詳解】由題意，一等品中隨機抽取2件產(chǎn)品有，共15種，其中事件為，共10種所以．20.如圖四邊形是平行四邊形，，四邊形是梯形，，且，，，沿將四邊形翻折后使得平面平面．（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形的邊角關系，可由余弦定理以及勾股定理證明線線垂直，進而根據(jù)面面垂直的性質(zhì)即可求證，（2）建立空間直角坐標系，利用法向量的夾角即可求解.【小問1詳解】連接，，由于，，所以，由余弦定理得，，，，，，,由于，，平面平面，平面平面，平面，平面，平面,，，平面,平面；【小問2詳解】以為原點建立空間直角坐標系，，，，，，，，，設平面和平面的法向量分別為，，，取，，，取，，，設二面角的平面角為，，即二面角的正弦值為．21.某中學參加成都市數(shù)學競賽初賽結束后，為了解競賽成績情況，從所有學生中隨機抽取100名學生，得到他們的成績，將數(shù)據(jù)整理后分成五組：，，，，，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．（1）補全頻率分布直方圖，若只有的人能進決賽，入圍分數(shù)應設為多少分（保留兩位小數(shù)）；（2）采用分層隨機抽樣的方法從成績?yōu)?0~100的學生中抽取容量為6的樣本，再從該樣本中隨機抽取3名學生進行問卷調(diào)查，求至少有1名學生成績不低于90的概率；（3）進入決賽的同學需要再經(jīng)過考試才能參加冬令營活動．考試分為兩輪，第一輪為筆試，需要考2門學科，每科筆試成績從高到低依次有，，，，五個等級．若兩科筆試成績均為，則直接參加；若一科筆試成績?yōu)椋硪豢乒P試成績不低于，則要參加第二輪面試，面試通過也將參加，否則均不能參加．現(xiàn)有甲、乙、丙三人報名參加，三人互不影響．甲在每科筆試中取得，，，，的概率分別為，，，，；乙在每科筆試中取得，，，，的概率分別為，，，，；丙在每科筆試中取得，，，，的概率分別為，，，，；甲、乙、丙在面試中通過的概率分別為，，．求甲、乙、丙能同時參加冬令營的概率．【答案】21.圖形見解析，78.7522.23.【解析】【分析】（1）首先求出的頻率，再根據(jù)百分位數(shù)計算規(guī)則計算可得；（2）首先求出各組的人數(shù)，再根據(jù)古典概型及對立事件的概率公式計算可得；（3）首先求出甲、乙、丙能參加冬令營的概率，再根據(jù)相互獨立事件的概率公式計算可得.【小問1詳解】由