新高考數學一輪復習7.7 空間幾何的外接球（精練）（基礎版）（解析版）

7.7空間幾何的外接球（精練）（基礎版）題組一題組一漢堡模型1．（2023·全國·高三專題練習）一個底面積為1的正四棱柱的頂點都在同一球面上，若此球的表面積為SKIPIF1<0，則該四棱柱的高為（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】設球的半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0設四棱柱的高為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0故選：C2．（2023·全國·高三專題練習）圓柱內有一個球SKIPIF1<0，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切，已知圓柱的體積為SKIPIF1<0，則球SKIPIF1<0的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】設球SKIPIF1<0的半徑為R，則圓柱的底面圓的半徑為R，高為2R，所以SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，則球SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0故選：A3．（2022·全國·模擬預測）已知在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SBC，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則該三棱錐外接球體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】如圖，將三棱錐SKIPIF1<0補成以AC為側棱的直棱柱，設△BCS外接圓圓心為SKIPIF1<0，半徑為r，設△ADE外接圓圓心為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的中點O，則點O為三棱錐SKIPIF1<0外接球球心，連接CO，設該三棱錐外接球半徑為R，在△BCS中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以該三棱錐外接球體積為SKIPIF1<0，故選：B.4．（2022·全國·高三專題練習）在三棱錐SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則該三棱錐外接球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，知三棱錐SKIPIF1<0可補形為以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為長寬高的長方體，三棱錐的外接球即長方體的外接球，設外接球的半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故選：A5．（2023·全國·高三專題練習（文））我國古代數學名著《九章算術》中給出了很多立體幾何的結論，其中提到的多面體“鱉臑”是四個面都是直角三角形的三棱錐．若一個“鱉臑”的所有頂點都在球SKIPIF1<0的球面上，且該“鱉臑”的高為SKIPIF1<0，底面是腰長為SKIPIF1<0的等腰直角三角形．則球SKIPIF1<0的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】如下圖所示：在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，三棱錐SKIPIF1<0的四個面都是直角三角形，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設線段SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以，點SKIPIF1<0為三棱錐SKIPIF1<0的外接球球心，設球SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因此，球SKIPIF1<0的表面積為SKIPIF1<0.故選：A.題組二題組二墻角模型1．（2022·沈陽市）（多選）一棱長等于1且體積為1的長方體的頂點都在同一球的球面上，則該球的體積可能是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BCD【解析】設長方體未知的兩棱長分別為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設外接球半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，球體積為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時等號成立，所以SKIPIF1<0．故選：BCD．2．（2022·黑龍江）長方體SKIPIF1<0的長、寬、高分別為2，2，1，其頂點都在球SKIPIF1<0的球面上，則球SKIPIF1<0的表面積為______.【答案】SKIPIF1<0【解析】因為長方體的外接球SKIPIF1<0的直徑為長方體的體對角線，長方體的長、寬、高分別為2，2，1，所以長方體的外接球SKIPIF1<0的直徑SKIPIF1<0，故長方體的外接球SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0，所以球SKIPIF1<0的表面積為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<03．（2022·貴溪市）棱長為SKIPIF1<0的正四面體的外接球體積為___________.【答案】SKIPIF1<0【解析】如圖，棱長為SKIPIF1<0的正四面體可以嵌入到棱長為SKIPIF1<0的立方體中，所以正四面體的外接球與所嵌入的立方體的外接球相同.設立方體的外接球半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以立方體外接球的體積SKIPIF1<0.故正四面體的外接球體積為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<04．（2022·云南）在三棱錐SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩兩垂直，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0的外接球的表面積為【答案】SKIPIF1<0【解析】以線段PA，PB，PC為相鄰三條棱的長方體SKIPIF1<0被平面ABC所截的三棱錐SKIPIF1<0符合要求，如圖：長方體SKIPIF1<0與三棱錐SKIPIF1<0有相同外接球，其外接球直徑為長方體體對角線SKIPIF1<0長，設外接球的半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則所求表面積SKIPIF1<0.5．（2022·吉林長春市）已知正四棱柱(底面為正方形且側棱與底面垂直的棱柱)的底面邊長為3，側棱長為4，則其外接球的表面積為【答案】SKIPIF1<0【解析】正四棱柱即長方體，其體對角線長為SKIPIF1<0，因此其外接球的半徑為SKIPIF1<0，則其表面積為SKIPIF1<0，故選:B.6．（2022·河南）在四面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，三內角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則該四面體的外接球的表面積為【答案】SKIPIF1<0【解析】由題意，內角SKIPIF1<0成等差數列，可得SKIPIF1<0,因為SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以該四面體的外接球與該長方體的外接球是相同的，根據長方體的對角線長等于其外接球的直徑，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以該四面體的外接球的表面積為SKIPIF1<0.題組三題組三斗笠模型1．（2022·黑龍江）某圓錐的側面展開后，是一個圓心角為SKIPIF1<0的扇形，則該圓錐的體積與它的外接球的體積之比為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】設圓錐的母線長為SKIPIF1<0，則展開后扇形的弧長為SKIPIF1<0，再設圓錐的底面圓半徑為SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，圓錐的高為SKIPIF1<0，設圓錐外接球的半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．圓錐的體積為SKIPIF1<0，圓錐外接球的體積SKIPIF1<0，∴該圓錐的體積與它的外接球的體積之比為SKIPIF1<0．故選：C．2．（2022廣西）已知圓錐的頂點和底面圓周都在球O的球面上，圓錐的母線長為3，側面展開圖的面積為SKIPIF1<0，則球O的表面積等于（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】設底面半徑為SKIPIF1<0，圓錐母線為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，如圖，SKIPIF1<0是圓錐軸截面，外接圓SKIPIF1<0是球的大圓，SKIPIF1<0是圓錐底面的圓心，設球半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，如圖1，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，不符合題意，當為如圖2時，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以球表面積為SKIPIF1<0．故選：A．3．（2022·寧夏銀川市）已知一個圓錐的底面圓面積為SKIPIF1<0，側面展開圖是半圓，則其外接球的表面積等于（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】設圓錐的底面圓半徑為SKIPIF1<0，高為SKIPIF1<0，母線長為SKIPIF1<0，圓錐的外接球半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，由于圓錐的側面展開圖是半圓，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由圓錐的幾何特征可知，圓錐的外接球心在圓錐的軸上，所以，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0,因此，該圓錐的外接球的表面積為SKIPIF1<0.故選：B.4．（2022·河南）一圓臺的兩底面半徑分別為SKIPIF1<0，高為SKIPIF1<0，則該圓臺外接球的表面積為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】設該圓臺的外接球的球心為SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以該圓臺的外接球的表面積為SKIPIF1<0.故選：C.5．（2022·浙江）已知圓錐的頂點和底面圓周都在球SKIPIF1<0面上，圓錐的側面展開圖的圓心角為SKIPIF1<0，面積為SKIPIF1<0，則球SKIPIF1<0的表面積等于（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】設圓錐母線為SKIPIF1<0，底面半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，如圖，SKIPIF1<0是圓錐軸截面，外接圓SKIPIF1<0是球的大圓，設球半徑為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以球表面積為SKIPIF1<0．故選：A．題組四題組四L模型1．（2022·安徽·巢湖市第一中學）已知三棱錐SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0外接球的表面積為（

）A．64π B．128π C．40π D．80π【答案】D【解析】由題意得，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，將三棱錐補成三棱柱SKIPIF1<0，如圖，則三棱柱SKIPIF1<0的外接球即為所求.設外接球的球心為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的外心為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則外接球的半徑SKIPIF1<0，表面積SKIPIF1<0，故選：D2．（2022·吉林·洮南市第一中學高三階段練習（理））已知三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面ABC，則三棱錐的外接球的表面積為______．【答案】SKIPIF1<0【解析】取SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，如圖所示：因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的外接圓圓心，又因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，所以SKIPIF1<0.因為平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以三棱錐SKIPIF1<0的外接球球心在直線SKIPIF1<0上.在SKIPIF1<0上取一點SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0為三棱錐SKIPIF1<0的外接球球心，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以三棱錐的外接球的表面積為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<03．（2023·全國·高三專題練習）在三棱錐SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則該三棱錐外接球的表面積是___________.【答案】SKIPIF1<0【解析】如圖所示：設點D為AB的中點，O為SKIPIF1<0外接圓的圓心，∵SKIPIF1<0，∴O在CD上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵平面SKIPIF1<0平面ABC，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面ABC，∴SKIPIF1<0平面PAB，又AB，SKIPIF1<0平面PAB，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，D為AB的中點，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴O即為三棱錐SKIPIF1<0外接球的球心，且外接球半徑SKIPIF1<0，∴該三棱錐外接球的表面積SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.4．（2022·新疆烏魯木齊·模擬預測（文））在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0外接球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由題意得，如圖，取BC的中點E，連接AE，DE，則SKIPIF1<0外接圓圓心SKIPIF1<0在DE上，且SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，設三棱錐SKIPIF1<0外接球球心為O，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0，由平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故四邊形SKIPIF1<0為矩形，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設三棱錐SKIPIF1<0外接球半徑為R，有SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以三棱錐SKIPIF1<0外接球的表面積為SKIPIF1<0.故選：D.5．（2022·重慶八中高三階段練習）在三棱錐SKIPIF1<0中、平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則三棱維SKIPIF1<0的外接球表面積是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由題意，SKIPIF1<0為直角三角形，故SKIPIF1<0在三棱維SKIPIF1<0的外接球的一個切面圓上，SKIPIF1<0為該圓直徑；又平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故外接球的球心SKIPIF1<0在SKIPIF1<0所在的平面內，又SKIPIF1<0