備戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專項(xiàng)訓(xùn)練專題02中線四大模型在三角形中的應(yīng)用(解析版)

專題02中線四大模型在三角形中的應(yīng)用（專項(xiàng)訓(xùn)練）1．如圖，△ABC中，AB＝6，AC＝4，D是BC的中點(diǎn)，AD的取值范圍為．【答案】1＜AD＜5【解答】解：延長AD到E，使DE＝AD，連接BE，在△ACD與△EBD中，，∴△BDE≌△CDA（SAS），∴BE＝AC，∵AB＝6，AC＝4，∴2＜AE＜10，∴1＜AD＜5．故答案為：1＜AD＜5．2．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AB邊上，AD＝BD，∠BDC＝45°，點(diǎn)E在BC邊上，AE交CD于點(diǎn)F，CE＝EF，若S△FAC＝4，則線段AD的長為．【答案】2【解答】解：延長CD到點(diǎn)G，使DG＝CD，連接AG，過點(diǎn)H作AH⊥CG，垂足為H，∵AD＝BD，∠BDC＝∠ADG，∴△BDC≌△ADG（SAS），∴∠G＝∠BCD，∵EF＝EC，∴∠BCD＝∠EFC，∴∠G＝∠EFC，∵∠EFC＝∠AFG，∴∠G＝∠AFG，∴AG＝AF，∵AH⊥FG，∴HG＝HF，∴S△AHG＝S△AHF，∵S△ADG＝S△BCD，S△BCD＝S△ADC，∴S△ADG＝S△ADC，∴S△AGH+S△ADH＝S△ADF+S△AFC，∴S△AFH+S△ADH＝S△ADF+S△AFC，∴S△ADH+S△ADF+S△ADH＝S△ADF+S△AFC，∴2S△ADH＝S△AFC，∵S△FAC＝4，∴S△ADH＝2，∵∠BDC＝45°，∴∠BDC＝∠ADH＝45°，∴AH＝DH，∴AH?DH＝2，∴AH＝2或AH＝﹣2（舍去），∴AD＝AH＝2，故答案為：2．3．如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，D是BC中點(diǎn)，∠CAD＝∠CBE，則AE＝．【答案】3【解答】解：過點(diǎn)B作BF∥AC，交AD的延長線于點(diǎn)F，∴∠CBF＝∠C，∠DAC＝∠F，∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，∴AC＝AB＝4，∵D是BC中點(diǎn)，∴BD＝CDBC＝2，∴△ADC≌△FDB（AAS），∴AC＝BF＝4，∵∠CAD＝∠CBE，∴∠CBE＝∠F，∴△BCE∽△FBD，∴＝，∴＝，∴CE＝，∴AE＝AC﹣CE＝3，故答案為：3．4．【閱讀理解】課外興趣小組活動時(shí)，老師提出了如下問題：如圖1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到點(diǎn)E，使DE＝AD，請根據(jù)小明的方法思考：（1）由已知和作圖能得到△ADC≌△EDB的理由是A．SSSB．SASC．AASD．HL（2）求得AD的取值范圍是A．6＜AD＜8B．6≤AD≤8C．1＜AD＜7D．1≤AD≤7【方法感悟】解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”字樣，可以考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個(gè)三角形中．【問題解決】（3）如圖2，已知：CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中線，求證：∠C＝∠BAE．【解答】（1）解：∵在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），故答案為：B；（2）解：∵由（1）知：△ADC≌△EDB，∴BE＝AC＝6，AE＝2AD，∵在△ABE中，AB＝8，由三角形三邊關(guān)系定理得：8﹣6＜2AD＜8+6，∴1＜AD＜7，故答案為：C．（3）證明：如圖，延長AE到F，使EF＝AE，連接DF，∵AE是△ABD的中線∴BE＝ED，在△ABE與△FDE中，，∴△ABE≌△FDE（SAS），∴AB＝DF，∠BAE＝∠EFD，∵∠ADB是△ADC的外角，∴∠DAC+∠ACD＝∠ADB＝∠BAD，∴∠BAE+∠EAD＝∠BAD，∠BAE＝∠EFD，∴∠EFD+∠EAD＝∠DAC+∠ACD，∴∠ADF＝∠ADC，∵AB＝DC，∴DF＝DC，在△ADF與△ADC中，，∴△ADF≌△ADC（SAS）∴∠C＝∠AFD＝∠BAE．5．某校數(shù)學(xué)課外興趣小組活動時(shí)，老師提出如下問題：【探究】如圖1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，試探究BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到E，使DE＝AD，請補(bǔ)充完整證明“△ADC≌△EDB”的推理過程．（1）求證：△ADC≌△EDB證明：∵延長AD到點(diǎn)E，使DE＝AD在△ADC和△EDB中AD＝ED（已作）∠ADC＝∠EDB（）CD＝BD（中點(diǎn)定義）∴△ADC≌△EDB（）（2）探究得出AD的取值范圍是；【感悟】解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”等字樣，可以考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個(gè)三角形中．【問題解決】（3）如圖2，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AC＝BF．求證：∠BFD＝∠CAD．【解答】（1）證明：∵延長AD到點(diǎn)E，使DE＝AD，在△ADC和△EDB中，AD＝ED，∠ADC＝∠EDB（對頂角相等），CD＝BD（中點(diǎn)定義），∴△ADC≌△EDB（SAS），故答案為：對頂角相等；SAS；（2）解：∵△ADC≌△EDB，∴BE＝AC＝6，∴AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即1＜AD＜7，故答案為：1＜AD＜7；（3）證明：延長AD到H，使DH＝AD，由（1）得，△ADC≌△HDB，∴BH＝AC，∠BHD＝∠CAD，∵AC＝BF，∴BH＝BF，∴∠BFD＝∠BHD，∴∠BFD＝∠CAD．6．（1）如圖1，AD是△ABC的中線，延長AD至點(diǎn)E，使ED＝AD，連接CE．①證明△ABD≌△ECD；②若AB＝5，AC＝3，設(shè)AD＝x，可得x的取值范圍是；（2）如圖2，在△ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，DE⊥DF，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF，求證：BE+CF＞EF．【解答】（1）①證明：∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，在△ADB和△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（SAS）；②解：由①知，△ABD≌△ECD，∴CE＝AB，∵AB＝5，∴CE＝5，∵ED＝AD，AD＝x，∴AE＝2AD＝2x，在△ACE中，AC＝3，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得，5﹣3＜2x＜5+3，∴1＜x＜4，故答案為：1＜x＜4；（2）證明：如圖2，延長FD，截取DH＝DF，連接BH，EH，∵DH＝DF，DE⊥DF，即∠EDF＝∠EDH＝90°，DE＝DE，∴△DEF≌△DEH（SAS），∴EH＝EF，∵AD是中線，∴BD＝CD，∵DH＝DF，∠BDH＝∠CDF，∴△BDH≌△CDF（SAS），∴CF＝BH，∵BE+BH＞EH，∴BE+CF＞EF．7．【教材呈現(xiàn)】如圖是華師版八年級上冊數(shù)學(xué)教材第69頁的部分內(nèi)容：（1）【方法應(yīng)用】如圖①，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，則BC邊上的中線AD長度的取值范圍是．（2）【猜想證明】如圖②，在四邊形ABCD中，AB∥CD，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，若AE是∠BAD的平分線，試猜想線段AB、AD、DC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（3）【拓展延伸】如圖③，已知AB∥CF，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D在線段AE上，∠EDF＝∠BAE，若AB＝5，CF＝2，直接寫出線段DF的長．【解答】解：（1）延長AD到E，使AD＝DE，連接BE，∵AD是BC邊上的中線，∴BD＝CD，在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴AC＝BE＝4，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∴6﹣4＜2AD＜6+4，∴1＜AD＜5，故答案為：1＜AD＜5．（2）結(jié)論：AD＝AB+DC．理由：如圖②中，延長AE，DC交于點(diǎn)F，∵AB∥CD，∴∠BAF＝∠F，在△ABE和△FCE中，，∴△ABE≌△FEC（AAS），∴CF＝AB，∵AE是∠BAD的平分線，∴∠BAF＝∠FAD，∴∠FAD＝∠F，∴AD＝DF，∵DC+CF＝DF，∴DC+AB＝AD．（3）如圖③，延長AE交CF的延長線于點(diǎn)G，∵E是BC的中點(diǎn)，∴CE＝BE，∵AB∥CF，∴∠BAE＝∠G，在△AEB和△GEC中，，∴△AEB≌△GEC（AAS），∴AB＝GC，∵∠EDF＝∠BAE，∴∠FDG＝∠G，∴FD＝FG，∴AB＝DF+CF，∵AB＝5，CF＝2，∴DF＝AB﹣CF＝3．8．如圖，已知AB＝12，AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD＝5，BC＝10．點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，則AE的長是．【解答】方法一：解：連接DB，延長DA到F，使AD＝AF．連接FC，∵AD＝5，∴AF＝5，又∵點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，∴EA為△DFC的中位線，則AE＝CF，在Rt△ABD中，AD2+AB2＝DB2，∴BD＝＝13，∵AB⊥BC，AB⊥AD，∴AD∥BC，又∵DF＝BC，∴四邊形DBCF是平行四邊形，∴FC＝DB＝13，∴AE＝．故答案為：．方法二：連接BE并延長，延長DA交BE延長線于點(diǎn)F，∵AB⊥BC，AB⊥AD，∴AD∥BC，∴∠D＝∠C，在△DEF和△CEB中，，∴△DEF≌△CEB（ASA），∴DF＝BC＝10，BE＝FE，∵DA＝5，∴AF＝5，在Rt△ABF中，AF2+AB2＝FB2，∴BF＝＝13，∴AE＝BF＝．故答案為：．9．如圖，已知AB＝12，AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD＝5，BC＝10．點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，求AE的長．【解答】解：如圖，延長AE交BC于F．∵AB⊥BC，AB⊥AD，∴AD∥BC∴∠D＝∠C，∠DAE＝∠CFE，又∵點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，∴DE＝CE．∵在△AED與△FEC中，，∴△AED≌△FEC（AAS），∴AE＝FE，AD＝FC．∵AD＝5，BC＝10．∴BF＝5在Rt△ABF中，，∴AE＝AF＝6.5．10．如圖，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為△ABC三邊的中點(diǎn)．若△ABC的周長為10，則△DEF的周長為．【答案】5【解答】解：∵D、E、F分別是AB、AC、BC的中點(diǎn)，∴FD、FE、DE為△ABC中位線，∴DF＝AC，F(xiàn)E＝AB，DE＝BC；∴DF+FE+DE＝AC+AB+BC＝（AB+AC+CB）＝×10＝5，故答案為：5．如圖，在四邊形ABCD中，P是對角線BD的中點(diǎn)，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，AD＝BC，∠FPE＝100°，則∠PFE的度數(shù)是．【解答】解：∵P是對角線BD的中點(diǎn)，E是AB的中點(diǎn)，∴EP＝AD，同理，F(xiàn)P＝BC，∵AD＝BC，∴PE＝PF，∵∠FPE＝100°，∴∠PFE＝40°，故答案為：40°．11．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，M、N分別是AB、AC的中點(diǎn)，延長BC至點(diǎn)D，使CD＝BC，連結(jié)DM、DN、MN，求DN的長．（1）求DN的長；（2）直接寫出△BDM的面積為．【考點(diǎn)】三角形中位線定理；勾股定理．【專題】等腰三角形與直角三角形；運(yùn)算能力．【解答】解：（1）連接CM，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，M是AB的中點(diǎn)，∴CM＝AB＝5，∵M(jìn)，N分別是AB、AC的中點(diǎn)，BC＝6，∴MN∥BC，MN＝BC＝3，∵CD＝BC，∴CD＝BC＝3，∴CD＝MN，∵M(jìn)N∥BC，∴四邊形NDCM為平行四邊形，∴DN＝CM＝5；（2）由（1）知，CD＝3，則BD＝CD+BC＝3+6＝9．在直角△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，則AC＝＝＝8．∵N是AC的中點(diǎn)，∴NC＝AC＝4．∴S△BDM＝BD?CN＝×9×4＝18．故答案為：18．12.【教材呈現(xiàn)】下面是華師版九年級上冊數(shù)學(xué)教材第78頁的部分內(nèi)容．例2：如圖，在△ABC中，D、E分別是邊BC、AB的中點(diǎn)，AD、CE相交于點(diǎn)G，求證：．證明：連結(jié)ED．請根據(jù)教材提示，結(jié)合圖①，寫出完整的證明過程．【結(jié)論應(yīng)用】如圖②，在△ABC中，D、F分別是邊BC、AB的中點(diǎn)，AD、CF相交于點(diǎn)G，GE∥AC交BC于點(diǎn)E，GH∥AB交BC于點(diǎn)H，則△EGH與△ABC的面積的比值為．【解答】解：【教材呈現(xiàn)】連接DE，如圖①，∵D、E分別為BC、BA的中點(diǎn)，∴DE為△ABC的中位線，∴DE∥AC，DE＝AC，∴△DEG∽△ACG，∴，∴，即；【結(jié)論應(yīng)用】∵D、F分別是邊BC、AB的中點(diǎn)，∴，BD＝CD，∵GE∥AC，∴△DEG∽△DCA，∴，∴，同理可得，，∴．故答案為：13．直角三角形兩邊的長為6和8，則該直角三角形斜邊上的中線長為．【解答】解：①當(dāng)6和8均為直角邊時(shí)，斜邊＝10，則斜邊上的中線＝5；②當(dāng)6為直角邊，