高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)

PAGE第72頁共74頁高一數(shù)學(xué)必修1各章知識點(diǎn)總第一章集合與函數(shù)概念注意：常用數(shù)集及其記法：非負(fù)整數(shù)集（即自然數(shù)集）記作：N正整數(shù)集N*或N+整數(shù)集Z有理數(shù)集Q實(shí)數(shù)集R集合間的基本關(guān)系1.“包含”關(guān)系—子集注意：有兩種可能（1）A是B的一部分，；（2）A與B是同一集合。反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作AB或BA2．“相等”關(guān)系：A=B(5≥5，且5≤5，則5=5)實(shí)例：設(shè)A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同則兩集合相等”即：①任何一個(gè)集合是它本身的子集。AA②真子集:如果AB,且AB那就說集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA)③如果AB,BC,那么AC④如果AB同時(shí)BA那么A=B3.不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ規(guī)定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。有n個(gè)元素的集合，含有2n個(gè)子集，2n-1個(gè)真子集三、集合的運(yùn)算運(yùn)算類型交集并集補(bǔ)集定義由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集．記作AB（讀作‘A交B’），即AB=｛x|xA，且xB｝．由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，叫做A,B的并集．記作：AB（讀作‘A并B’），即AB={x|xA，或xB})．設(shè)S是一個(gè)集合，A是S的一個(gè)子集，由S中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補(bǔ)集（或余集）SA記作，即SACSA=韋恩圖示SSA性質(zhì)AA=AAΦ=ΦA(chǔ)B=BAABAABBAA=AAΦ=AAB=BAABＡABB(CuA)(CuB)=Cu(AB)(CuA)(CuB)=Cu(AB)A(CuA)=UA(CuA)=Φ．

二、函數(shù)的有關(guān)概念1．函數(shù)的概念：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個(gè)確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)．記作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．注意：1．定義域：能使函數(shù)式有意義的實(shí)數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域。求函數(shù)的定義域時(shí)列不等式組的主要依據(jù)是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零；(3)對數(shù)式的真數(shù)必須大于零；(4)指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于1.(5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運(yùn)算結(jié)合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.(6)指數(shù)為零底不可以等于零，(7)實(shí)際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實(shí)際問題有意義.相同函數(shù)的判斷方法：①表達(dá)式相同（與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān)）；②定義域一致(兩點(diǎn)必須同時(shí)具備)2.函數(shù)圖象知識歸納(1)定義：在平面直角坐標(biāo)系中，以函數(shù)y=f(x),(x∈A)中的x為橫坐標(biāo)，函數(shù)值y為縱坐標(biāo)的點(diǎn)P(x，y)的集合C，叫做函數(shù)y=f(x),(x∈A)的圖象．C上每一點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)對x、y為坐標(biāo)的點(diǎn)(x，y)，均在C上.3．映射一般地，設(shè)A、B是兩個(gè)非空的集合，如果按某一個(gè)確定的對應(yīng)法則f，使對于集合A中的任意一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)f：AB為從集合A到集合B的一個(gè)映射。記作“f（對應(yīng)關(guān)系）：A（原象）B（象）”對于映射f：A→B來說，則應(yīng)滿足：(1)集合A中的每一個(gè)元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；(2)集合A中不同的元素，在集合B中對應(yīng)的象可以是同一個(gè)；(3)不要求集合B中的每一個(gè)元素在集合A中都有原象。6.分段函數(shù)(1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)。(2)各部分的自變量的取值情況．(3)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的集。補(bǔ)充：復(fù)合函數(shù)如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),則y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)稱為f、g的復(fù)合函數(shù)。二．函數(shù)的性質(zhì)1.函數(shù)的單調(diào)性(局部性質(zhì))（1）增函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果對于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1，x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2)，那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù).區(qū)間D稱為y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間.如果對于區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)＞f(x2)，那么就說f(x)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù).區(qū)間D稱為y=f(x)的單調(diào)減區(qū)間.注意：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)；（2）圖象的特點(diǎn)如果函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的，減函數(shù)的圖象從左到右是下降的.(3).函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法(A)定義法：eq\o\ac(○,1)任取x1，x2∈D，且x1<x2；eq\o\ac(○,2)作差f(x1)－f(x2)；eq\o\ac(○,3)變形（通常是因式分解和配方）；eq\o\ac(○,4)定號（即判斷差f(x1)－f(x2)的正負(fù)）；eq\o\ac(○,5)下結(jié)論（指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性）．(B)圖象法(從圖象上看升降)(C)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(x)，y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān)，其規(guī)律：“同增異減”注意：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集.8．函數(shù)的奇偶性（整體性質(zhì)）（1）偶函數(shù)一般地，對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函數(shù)．（2）．奇函數(shù)一般地，對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函數(shù)．（3）具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱．利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟：eq\o\ac(○,1)首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其是否關(guān)于原點(diǎn)對稱；eq\o\ac(○,2)確定f(－x)與f(x)的關(guān)系；eq\o\ac(○,3)作出相應(yīng)結(jié)論：若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，則f(x)是偶函數(shù)；若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，則f(x)是奇函數(shù)．注意：函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件．首先看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，若不對稱則函數(shù)是非奇非偶函數(shù).若對稱，(1)再根據(jù)定義判定;(2)由f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1來判定;(3)利用定理，或借助函數(shù)的圖象判定.9、函數(shù)的解析表達(dá)式（1）.函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法，要求兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系時(shí)，一是要求出它們之間的對應(yīng)法則，二是要求出函數(shù)的定義域.10．函數(shù)最大（小）值eq\o\ac(○,1)利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（?。┲礶q\o\ac(○,2)利用圖象求函數(shù)的最大（?。┲礶q\o\ac(○,3)利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（?。┲担喝绻瘮?shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞減則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b)；第二章基本初等函數(shù)一、指數(shù)函數(shù)（一）指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算1．根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中>1，且∈*．負(fù)數(shù)沒有偶次方根；0的任何次方根都是0，記作。當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，2．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義，規(guī)定：，0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義3．實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)（1）· ；（2） ；（3） ．（二）指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)1、指數(shù)函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域?yàn)镽．注意：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍，底數(shù)不能是負(fù)數(shù)、零和1．2、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)a>10<a<1定義域R定義域R值域y＞0值域y＞0在R上單調(diào)遞增在R上單調(diào)遞減非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)函數(shù)圖象都過定點(diǎn)（0，1）函數(shù)圖象都過定點(diǎn)（0，1）注意：利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖象還可以看出：

（1）在[a，b]上，值域是或；

（2）若，則；取遍所有正數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)；

（3）對于指數(shù)函數(shù)，總有；二、對數(shù)函數(shù)（一）對數(shù)1．對數(shù)的概念：一般地，如果，那么數(shù)叫做以為底的對數(shù)，記作：（—底數(shù)，—真數(shù)，—對數(shù)式）說明：eq\o\ac(○,1)注意底數(shù)的限制，且；eq\o\ac(○,2)；eq\o\ac(○,3)注意對數(shù)的書寫格式．兩個(gè)重要對數(shù)：eq\o\ac(○,1)常用對數(shù)：以10為底的對數(shù)；eq\o\ac(○,2)自然對數(shù)：以無理數(shù)為底的對數(shù)的對數(shù)．指數(shù)式與對數(shù)式的互化冪值真數(shù)＝N＝b底數(shù)指數(shù)對數(shù)（二）對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果，且，，，那么：eq\o\ac(○,1)·＋；eq\o\ac(○,2)－；eq\o\ac(○,3)．注意：換底公式 （，且；，且；）．利用換底公式推導(dǎo)下面的結(jié)論（1）；（2）．（二）對數(shù)函數(shù)1、對數(shù)函數(shù)的概念：函數(shù)，且叫做對數(shù)函數(shù)，其中是自變量，函數(shù)的定義域是（0，+∞）．注意：eq\o\ac(○,1)對數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似，都是形式定義，注意辨別。如：，都不是對數(shù)函數(shù)，而只能稱其為對數(shù)型函數(shù)．eq\o\ac(○,2)對數(shù)函數(shù)對底數(shù)的限制：，且．2、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：a>10<a<1定義域x＞0定義域x＞0值域?yàn)镽值域?yàn)镽在R上遞增在R上遞減函數(shù)圖象都過定點(diǎn)（1，0）函數(shù)圖象都過定點(diǎn)（1，0）（三）冪函數(shù)1、冪函數(shù)定義：一般地，形如的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中為常數(shù)．2、冪函數(shù)性質(zhì)歸納．（1）所有的冪函數(shù)在（0，+∞）都有定義并且圖象都過點(diǎn)（1，1）；（2）時(shí)，冪函數(shù)的圖象通過原點(diǎn)，并且在區(qū)間上是增函數(shù)．特別地，當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)的圖象下凸；當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)的圖象上凸；（3）時(shí)，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間上是減函數(shù)．在第一象限內(nèi)，當(dāng)從右邊趨向原點(diǎn)時(shí)，圖象在軸右方無限地逼近軸正半軸，當(dāng)趨于時(shí)，圖象在軸上方無限地逼近軸正半軸．第三章函數(shù)的應(yīng)用一、方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)1、函數(shù)零點(diǎn)的概念：對于函數(shù)，把使成立的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn)。2、函數(shù)零點(diǎn)的意義：函數(shù)的零點(diǎn)就是方程實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。即：方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn)．3、函數(shù)零點(diǎn)的求法：eq\o\ac(○,1)（代數(shù)法）求方程的實(shí)數(shù)根；eq\o\ac(○,2)（幾何法）對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)．4、二次函數(shù)的零點(diǎn)：二次函數(shù)．（1）△＞０，方程有兩不等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．（2）△＝０，方程有兩相等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與軸有一個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn)．（3）△＜０，方程無實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與軸無交點(diǎn)，二次函數(shù)無零點(diǎn)．一、直線與方程（1）直線的傾斜角定義：x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí),我們規(guī)定它的傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值范圍是0°≤α＜180°（2）直線的斜率①定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示。即。斜率反映直線與軸的傾斜程度。當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，不存在。②過兩點(diǎn)的直線的斜率公式：注意下面四點(diǎn)：(1)當(dāng)時(shí)，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角為90°；(2)k與P1、P2的順序無關(guān)；(3)以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)直接求得；(4)求直線的傾斜角可由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)先求斜率得到。（3）直線方程①點(diǎn)斜式：直線斜率k，且過點(diǎn)注意：當(dāng)直線的斜率為0°時(shí)，k=0，直線的方程是y=y1。當(dāng)直線的斜率為90°時(shí)，直線的斜率不存在，它的方程不能用點(diǎn)斜式表示．但因l上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于x1，所以它的方程是x=x1。②斜截式：，直線斜率為k，直線在y軸上的截距為b③兩點(diǎn)式：（）直線兩點(diǎn)，④截矩式：其中直線與軸交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn),即與軸、軸的截距分別為。⑤一般式：（A，B不全為0）注意：eq\o\ac(○,1)各式的適用范圍eq\o\ac(○,2)特殊的方程如：平行于x軸的直線：（b為常數(shù)）；平行于y軸的直線：（a為常數(shù)）；（5）直線系方程：即具有某一共同性質(zhì)的直線（一）平行直線系平行于已知直線（是不全為0的常數(shù)）的直線系：（C為常數(shù)）（二）過定點(diǎn)的直線系（?。┬甭蕿閗的直線系：，直線過定點(diǎn)；（ⅱ）過兩條直線，的交點(diǎn)的直線系方程為（為參數(shù)），其中直線不在直線系中。（6）兩直線平行與垂直當(dāng)，時(shí)，；注意：利用斜率判斷直線的平行與垂直時(shí)，要注意斜率的存在與否。（7）兩條直線的交點(diǎn)相交交點(diǎn)坐標(biāo)即方程組的一組解。方程組無解；方程組有無數(shù)解與重合（8）兩點(diǎn)間距離公式：設(shè)是平面直角坐標(biāo)系中的兩個(gè)點(diǎn)，則（9）點(diǎn)到直線距離公式：一點(diǎn)到直線的距離（10）兩平行直線距離公式在任一直線上任取一點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離進(jìn)行求解。二、圓的方程1、圓的定義：平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合叫圓，定點(diǎn)為圓心，定長為圓的半徑。2、圓的方程（1）標(biāo)準(zhǔn)方程，圓心，半徑為r；（2）一般方程當(dāng)時(shí)，方程表示圓，此時(shí)圓心為，半徑為當(dāng)時(shí)，表示一個(gè)點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，方程不表示任何圖形。（3）求圓方程的方法：一般都采用待定系數(shù)法：先設(shè)后求。確定一個(gè)圓需要三個(gè)獨(dú)立條件，若利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F(xiàn)；另外要注意多利用圓的幾何性質(zhì)：如弦的中垂線必經(jīng)過原點(diǎn)，以此來確定圓心的位置。3、直線與圓的位置關(guān)系：直線與圓的位置關(guān)系有相離，相切，相交三種情況，基本上由下列兩種方法判斷：（1）設(shè)直線，圓，圓心到l的距離為，則有；；（2）設(shè)直線，圓，先將方程聯(lián)立消元，得到一個(gè)一元二次方程之后，令其中的判別式為，則有；；注：如果圓心的位置在原點(diǎn)，可使用公式去解直線與圓相切的問題，其中表示切點(diǎn)坐標(biāo)，r表示半徑。(3)過圓上一點(diǎn)的切線方程：①圓x2+y2=r2，圓上一點(diǎn)為(x0，y0)，則過此點(diǎn)的切線方程為(課本命題)．②圓(x-a)2+(y-b)2=r2，圓上一點(diǎn)為(x0，y0)，則過此點(diǎn)的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2(課本命題的推廣)．4、圓與圓的位置關(guān)系：通過兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來確定。設(shè)圓，兩圓的位置關(guān)系常通過兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來確定。當(dāng)時(shí)兩圓外離，此時(shí)有公切線四條；當(dāng)時(shí)兩圓外切，連心線過切點(diǎn)，有外公切線兩條，內(nèi)公切線一條；當(dāng)時(shí)兩圓相交，連心線垂直平分公共弦，有兩條外公切線；當(dāng)時(shí)，兩圓內(nèi)切，連心線經(jīng)過切點(diǎn)，只有一條公切線；當(dāng)時(shí)，兩圓內(nèi)含；當(dāng)時(shí)，為同心圓。三、立體幾何初步1、空間幾何體的直觀圖——斜二測畫法斜二測畫法特點(diǎn)：①原來與x軸平行的線段仍然與x平行且長度不變；②原來與y軸平行的線段仍然與y平行，長度為原來的一半。2、柱體、錐體、臺體的表面積與體積（1）幾何體的表面積為幾何體各個(gè)面的面積的和。（2）特殊幾何體表面積公式（c為底面周長，h為高，為斜高，l為母線）（3）柱體、錐體、臺體的體積公式（4）球體的表面積和體積公式：V=；S=四、空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系（1）平面①平面的概念：A.描述性說明；B.平面是無限伸展的；②平面的表示：通常用希臘字母α、β、γ表示，如平面α（通常寫在一個(gè)銳角內(nèi)）；也可以用兩個(gè)相對頂點(diǎn)的字母來表示，如平面BC。③點(diǎn)與平面的關(guān)系：點(diǎn)A在平面內(nèi)，記作；點(diǎn)不在平面內(nèi)，記作點(diǎn)與直線的關(guān)系：點(diǎn)A的直線l上，記作：A∈l；點(diǎn)A在直線l外，記作Al；直線與平面的關(guān)系：直線l在平面α內(nèi)，記作lα；直線l不在平面α內(nèi)，記作lα。（2）公理1：如果一條直線的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線是所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)。（即直線在平面內(nèi)，或者平面經(jīng)過直線）應(yīng)用：檢驗(yàn)桌面是否平；判斷直線是否在平面內(nèi)用符號語言表示公理1：（3）公理2：經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。推論：一直線和直線外一點(diǎn)確定一平面；兩相交直線確定一平面；兩平行直線確定一平面。公理2及其推論作用：①它是空間內(nèi)確定平面的依據(jù)②它是證明平面重合的依據(jù)（4）公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線符號：平面α和β相交，交線是a，記作α∩β＝a。符號語言：公理3的作用： ①它是判定兩個(gè)平面相交的方法。②它說明兩個(gè)平面的交線與兩個(gè)平面公共點(diǎn)之間的關(guān)系：交線必過公共點(diǎn)。③它可以判斷點(diǎn)在直線上，即證若干個(gè)點(diǎn)共線的重要依據(jù)。（5）公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行（6）空間直線與直線之間的位置關(guān)系①異面直線定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線②異面直線性質(zhì)：既不平行，又不相交。③異面直線判定：過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不過該店的直線是異面直線④異面直線所成角：直線a、b是異面直線，經(jīng)過空間任意一點(diǎn)O，分別引直線a’∥a，b’∥b，則把直線a’和b’所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角。兩條異面直線所成角的范圍是（0°，90°]，若兩條異面直線所成的角是直角，我們就說這兩條異面直線互相垂直。說明：（1）判定空間直線是異面直線方法：①根據(jù)異面直線的定義；②異面直線的判定定理（2）在異面直線所成角定義中，空間一點(diǎn)O是任取的，而和點(diǎn)O的位置無關(guān)。②求異面直線所成角步驟：A、利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置，頂點(diǎn)選在特殊的位置上。B、證明作出的角即為所求角C、利用三角形來求角（7）等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩角相等或互補(bǔ)。（8）空間直線與平面之間的位置關(guān)系直線在平面內(nèi)——有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)．三種位置關(guān)系的符號表示：aαa∩α＝Aa∥α（9）平面與平面之間的位置關(guān)系：平行——沒有公共點(diǎn)；α∥β相交——有一條公共直線。α∩β＝b5、空間中的平行問題（1）直線與平面平行的判定及其性質(zhì)線面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行,則該直線與此平面平行。線線平行線面平行線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行。線面平行線線平行（2）平面與平面平行的判定及其性質(zhì)兩個(gè)平面平行的判定定理（1）如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行（線面平行→面面平行），（2）如果在兩個(gè)平面內(nèi)，各有兩組相交直線對應(yīng)平行，那么這兩個(gè)平面平行。（線線平行→面面平行），（3）垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理（1）如果兩個(gè)平面平行，那么某一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面平行。（面面平行→線面平行）（2）如果兩個(gè)平行平面都和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。（面面平行→線線平行）7、空間中的垂直問題（1）線線、面面、線面垂直的定義①兩條異面直線的垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，就說這兩條異面直線互相垂直。②線面垂直：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線垂直，就說這條直線和這個(gè)平面垂直。③平面和平面垂直：如果兩個(gè)平面相交，所成的二面角（從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形）是直二面角（平面角是直角），就說這兩個(gè)平面垂直。（2）垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)定理①線面垂直判定定理和性質(zhì)定理判定定理：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直這個(gè)平面。性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行。②面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直。性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于他們的交線的直線垂直于另一個(gè)平面。9、空間角問題（1）直線與直線所成的角①兩平行直線所成的角：規(guī)定為。②兩條相交直線所成的角：兩條直線相交其中不大于直角的角，叫這兩條直線所成的角。③兩條異面直線所成的角：過空間任意一點(diǎn)O，分別作與兩條異面直線a，b平行的直線，形成兩條相交直線，這兩條相交直線所成的不大于直角的角叫做兩條異面直線所成的角。（2）直線和平面所成的角①平面的平行線與平面所成的角：規(guī)定為。②平面的垂線與平面所成的角：規(guī)定為。③平面的斜線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角。求斜線與平面所成角的思路類似于求異面直線所成角：“一作，二證，三計(jì)算”。在“作角”時(shí)依定義關(guān)鍵作射影，由射影定義知關(guān)鍵在于斜線上一點(diǎn)到面的垂線，在解題時(shí)，注意挖掘題設(shè)中兩個(gè)主要信息：（1）斜線上一點(diǎn)到面的垂線；（2）過斜線上的一點(diǎn)或過斜線的平面與已知面垂直，由面面垂直性質(zhì)易得垂線。（3）二面角和二面角的平面角①二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面。②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為頂點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫二面角的平面角。③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。兩相交平面如果所組成的二面角是直二面角，那么這兩個(gè)平面垂直；反過來，如果兩個(gè)平面垂直，那么所成的二面角為直二面角④求二面角的方法定義法：在棱上選擇有關(guān)點(diǎn)，過這個(gè)點(diǎn)分別在兩個(gè)面內(nèi)作垂直于棱的射線得到平面角垂面法：已知二面角內(nèi)一點(diǎn)到兩個(gè)面的垂線時(shí)，過兩垂線作平面與兩個(gè)面的交線所成的角為二面角的平面角7、空間直角坐標(biāo)系（1）定義：如圖，是單位正方體.以A為原點(diǎn)，分別以O(shè)D,O,OB的方向?yàn)檎较?，建立三條數(shù)軸。這時(shí)建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系Oxyz.1）O叫做坐標(biāo)原點(diǎn)2）x軸，y軸，z軸叫做坐標(biāo)軸.3）過每兩個(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)面。（2）右手表示法：令右手大拇指、食指和中指相互垂直時(shí)，可能形成的位置。大拇指指向?yàn)閤軸正方向，食指指向?yàn)閥軸正向，中指指向則為z軸正向，這樣也可以決定三軸間的相位置。（3）任意點(diǎn)坐標(biāo)表示：空間一點(diǎn)M的坐標(biāo)可以用有序?qū)崝?shù)組來表示，有序?qū)崝?shù)組叫做點(diǎn)M在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作（x叫做點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，y叫做點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，z叫做點(diǎn)M的豎坐標(biāo)）（4）空間兩點(diǎn)距離坐標(biāo)公式：高中數(shù)學(xué)必修3知識點(diǎn)算法初步程序框圖（一）構(gòu)成程序框的圖形符號及其作用程序框名稱功能起止框表示一個(gè)算法的起始和結(jié)束，是任何流程圖不可少的。輸入、輸出框表示一個(gè)算法輸入和輸出的信息，可用在算法中任何需要輸入、輸出的位置。處理框賦值、計(jì)算，算法中處理數(shù)據(jù)需要的算式、公式等分別寫在不同的用以處理數(shù)據(jù)的處理框內(nèi)。判斷框判斷某一條件是否成立，成立時(shí)在出口處標(biāo)明“是”或“Y”；不成立時(shí)標(biāo)明“否”或“N”。學(xué)習(xí)這部分知識的時(shí)候，要掌握各個(gè)圖形的形狀、作用及使用規(guī)則，畫程序框圖的規(guī)則如下：1、使用標(biāo)準(zhǔn)的圖形符號。2、框圖一般按從上到下、從左到右的方向畫。3、除判斷框外，大多數(shù)流程圖符號只有一個(gè)進(jìn)入點(diǎn)和一個(gè)退出點(diǎn)。判斷框具有超過一個(gè)退出點(diǎn)的唯一符號。4、判斷框分兩大類，一類判斷框“是”與“否”兩分支的判斷，而且有且僅有兩個(gè)結(jié)果；另一類是多分支判斷，有幾種不同的結(jié)果。5、在圖形符號內(nèi)描述的語言要非常簡練清楚。（三）、算法的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)。1、順序結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)是最簡單的算法結(jié)構(gòu)，語句與語句之間，框與框之間是按從上到下的順序進(jìn)行的，它是由若干個(gè)依次執(zhí)行的處理步驟組成的，它是任何一個(gè)算法都離不開的一種基本算法結(jié)構(gòu)。順序結(jié)構(gòu)在程序框圖中的體現(xiàn)就是用流程線將程序框自上而下地連接起來，按順序執(zhí)行算法步驟。如在示意圖中，A框和B框是依次執(zhí)行的，只有在執(zhí)行完A框指定的操作后，才能接著執(zhí)ABAB2、條件結(jié)構(gòu)：條件結(jié)構(gòu)是指在算法中通過對條件的判斷根據(jù)條件是否成立而選擇不同流向的算法結(jié)構(gòu)。條件P是否成立而選擇執(zhí)行A框或B框。無論P(yáng)條件是否成立，只能執(zhí)行A框或B框之一，不可能同時(shí)執(zhí)行A框和B框，也不可能A框、B框都不執(zhí)行。一個(gè)判斷結(jié)構(gòu)可以有多個(gè)判斷框。3、循環(huán)結(jié)構(gòu)：在一些算法中，經(jīng)常會出現(xiàn)從某處開始，按照一定條件，反復(fù)執(zhí)行某一處理步驟的情況，這就是循環(huán)結(jié)構(gòu)，反復(fù)執(zhí)行的處理步驟為循環(huán)體，顯然，循環(huán)結(jié)構(gòu)中一定包含條件結(jié)構(gòu)。循環(huán)結(jié)構(gòu)又稱重復(fù)結(jié)構(gòu)，循環(huán)結(jié)構(gòu)可細(xì)分為兩類：（1）、一類是當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)，如下左圖所示，它的功能是當(dāng)給定的條件P成立時(shí)，執(zhí)行A框，A框執(zhí)行完畢后，再判斷條件P是否成立，如果仍然成立，再執(zhí)行A框，如此反復(fù)執(zhí)行A框，直到某一次條件P不成立為止，此時(shí)不再執(zhí)行A框，離開循環(huán)結(jié)構(gòu)。（2）、另一類是直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)，如下右圖所示，它的功能是先執(zhí)行，然后判斷給定的條件P是否成立，如果P仍然不成立，則繼續(xù)執(zhí)行A框，直到某一次給定的條件P成立為止，此時(shí)不再執(zhí)行A框，離開循環(huán)結(jié)構(gòu)。A成立A成立不成立P不成立P成立App當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)注意：1循環(huán)結(jié)構(gòu)要在某個(gè)條件下終止循環(huán)，這就需要條件結(jié)構(gòu)來判斷。因此，循環(huán)結(jié)構(gòu)中一定包含條件結(jié)構(gòu)，但不允許“死循環(huán)”。2在循環(huán)結(jié)構(gòu)中都有一個(gè)計(jì)數(shù)變量和累加變量。計(jì)數(shù)變量用于記錄循環(huán)次數(shù)，累加變量用于輸出結(jié)果。計(jì)數(shù)變量和累加變量一般是同步執(zhí)行的，累加一次，計(jì)數(shù)一次。輸入、輸出語句和賦值語句賦值語句變量＝表達(dá)式圖形計(jì)算器格式變量＝表達(dá)式圖形計(jì)算器格式表達(dá)式變量（2）賦值語句的作用是將表達(dá)式所代表的值賦給變量；（3）賦值語句中的“＝”稱作賦值號，與數(shù)學(xué)中的等號的意義是不同的。賦值號的左右兩邊不能對換，它將賦值號右邊的表達(dá)式的值賦給賦值號左邊的變量；（4）賦值語句左邊只能是變量名字，而不是表達(dá)式，右邊表達(dá)式可以是一個(gè)數(shù)據(jù)、常量或算式；（5）對于一個(gè)變量可以多次賦值。注意：①賦值號左邊只能是變量名字，而不能是表達(dá)式。如：2=X是錯(cuò)誤的。②賦值號左右不能對換。如“A=B”“B=A”的含義運(yùn)行結(jié)果是不同的。③不能利用賦值語句進(jìn)行代數(shù)式的演算。（如化簡、因式分解、解方程等）④賦值號“=”與數(shù)學(xué)中的等號意義不同。1．2．2條件語句1、條件語句的一般格式有兩種：（1）IF—THEN—ELSE語句；（2）IF—THEN語句。2、IF—THEN—ELSE語句IF—THEN—ELSE語句的一般格式為圖1，對應(yīng)的程序框圖為圖2。否是滿足條件？否是滿足條件？語句1語句2IF條件THEN語句1ELSE語句2ENDIF圖1圖2分析：在IF—THEN—ELSE語句中，“條件”表示判斷的條件，“語句1”表示滿足條件時(shí)執(zhí)行的操作內(nèi)容；“語句2”表示不滿足條件時(shí)執(zhí)行的操作內(nèi)容；ENDIF表示條件語句的結(jié)束。計(jì)算機(jī)在執(zhí)行時(shí)，首先對IF后的條件進(jìn)行判斷，如果條件符合，則執(zhí)行THEN后面的語句1；若條件不符合，則執(zhí)行ELSE后面的語句2。3、IF—THEN語句滿足條件？語句是否滿足條件？語句是否（圖4）IFIF條件THEN語句ENDIF（圖3）注意：“條件”表示判斷的條件；“語句”表示滿足條件時(shí)執(zhí)行的操作內(nèi)容，條件不滿足時(shí)，結(jié)束程序；ENDIF表示條件語句的結(jié)束。計(jì)算機(jī)在執(zhí)行時(shí)首先對IF后的條件進(jìn)行判斷，如果條件符合就執(zhí)行THEN后邊的語句，若條件不符合則直接結(jié)束該條件語句，轉(zhuǎn)而執(zhí)行其它語句。1．2．3循環(huán)語句循環(huán)結(jié)構(gòu)是由循環(huán)語句來實(shí)現(xiàn)的。對應(yīng)于程序框圖中的兩種循環(huán)結(jié)構(gòu)，一般程序設(shè)計(jì)語言中也有當(dāng)型（WHILE型）和直到型（UNTIL型）兩種語句結(jié)構(gòu)。即WHILE語句和UNTIL語句。1、WHILE語句滿足條件？循環(huán)體滿足條件？循環(huán)體否是WHILE條件WHILE條件循環(huán)體WEND（2）當(dāng)計(jì)算機(jī)遇到WHILE語句時(shí)，先判斷條件的真假，如果條件符合，就執(zhí)行WHILE與WEND之間的循環(huán)體；然后再檢查上述條件，如果條件仍符合，再次執(zhí)行循環(huán)體，這個(gè)過程反復(fù)進(jìn)行，直到某一次條件不符合為止。這時(shí)，計(jì)算機(jī)將不執(zhí)行循環(huán)體，直接跳到WEND語句后，接著執(zhí)行WEND之后的語句。因此，當(dāng)型循環(huán)有時(shí)也稱為“前測試型”循環(huán)。2、UNTIL語句（1）UNTIL語句的一般格式是對應(yīng)的程序框圖是滿足條件？循環(huán)體滿足條件？循環(huán)體是否DO循環(huán)體LOOPUNTIL條件（2）直到型循環(huán)又稱為“后測試型”循環(huán)，從UNTIL型循環(huán)結(jié)構(gòu)分析，計(jì)算機(jī)執(zhí)行該語句時(shí)，先執(zhí)行一次循環(huán)體，然后進(jìn)行條件的判斷，如果條件不滿足，繼續(xù)返回執(zhí)行循環(huán)體，然后再進(jìn)行條件的判斷，這個(gè)過程反復(fù)進(jìn)行，直到某一次條件滿足時(shí)，不再執(zhí)行循環(huán)體，跳到LOOPUNTIL語句后執(zhí)行其他語句，是先執(zhí)行循環(huán)體后進(jìn)行條件判斷的循環(huán)語句。分析：當(dāng)型循環(huán)與直到型循環(huán)的區(qū)別：當(dāng)型循環(huán)先判斷后執(zhí)行，直到型循環(huán)先執(zhí)行后判斷；在WHILE語句中，是當(dāng)條件滿足時(shí)執(zhí)行循環(huán)體，在UNTIL語句中，是當(dāng)條件不滿足時(shí)執(zhí)行循環(huán)1.3.1輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)1、輾轉(zhuǎn)相除法。也叫歐幾里德算法，用輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)的步驟如下：（1）：用較大的數(shù)m除以較小的數(shù)n得到一個(gè)商和一個(gè)余數(shù)；（2）：若＝0，則n為m，n的最大公約數(shù)；若≠0，則用除數(shù)n除以余數(shù)得到一個(gè)商和一個(gè)余數(shù)；（3）：若＝0，則為m，n的最大公約數(shù)；若≠0，則用除數(shù)除以余數(shù)得到一個(gè)商和一個(gè)余數(shù)；……依次計(jì)算直至＝0，此時(shí)所得到的即為所求的最大公約數(shù)。2、更相減損術(shù)我國早期也有求最大公約數(shù)問題的算法，就是更相減損術(shù)。在《九章算術(shù)》中有更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的步驟：可半者半之，不可半者，副置分母?子之?dāng)?shù)，以少減多，更相減損，求其等也，以等數(shù)約之。翻譯為：（1）：任意給出兩個(gè)正數(shù)；判斷它們是否都是偶數(shù)。若是，用2約簡；若不是，執(zhí)行第二步。（2）：以較大的數(shù)減去較小的數(shù)，接著把較小的數(shù)與所得的差比較，并以大數(shù)減小數(shù)。繼續(xù)這個(gè)操作，直到所得的數(shù)相等為止，則這個(gè)數(shù)（等數(shù)）就是所求的最大公約數(shù)。例2用更相減損術(shù)求98與63的最大公約數(shù).分析：3、輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的區(qū)別：（1）都是求最大公約數(shù)的方法，計(jì)算上輾轉(zhuǎn)相除法以除法為主，更相減損術(shù)以減法為主，計(jì)算次數(shù)上輾轉(zhuǎn)相除法計(jì)算次數(shù)相對較少，特別當(dāng)兩個(gè)數(shù)字大小區(qū)別較大時(shí)計(jì)算次數(shù)的區(qū)別較明顯。（2）從結(jié)果體現(xiàn)形式來看，輾轉(zhuǎn)相除法體現(xiàn)結(jié)果是以相除余數(shù)為0則得到，而更相減損術(shù)則以減數(shù)與差相等而得到1.3.2秦九韶算法與排序1、秦九韶算法概念：f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0求值問題f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0=(anxn-1+an-1xn-2+….+a1)x+a0=((anxn-2+an-1xn-3+….+a2)x+a1)x+a0==(...(anx+an-1)x+an-2)x+...+a1)x+a0求多項(xiàng)式的值時(shí)，首先計(jì)算最內(nèi)層括號內(nèi)依次多項(xiàng)式的值，即v1=anx+an-1然后由內(nèi)向外逐層計(jì)算一次多項(xiàng)式的值，即v2=v1x+an-2v3=v2x+an-3vn=vn-1x+a0、這樣，把n次多項(xiàng)式的求值問題轉(zhuǎn)化成求n個(gè)一次多項(xiàng)式的值的問題。2、兩種排序方法：直接插入排序和冒泡排序1、直接插入排序基本思想：插入排序的思想就是讀一個(gè)，排一個(gè)。將第１個(gè)數(shù)放入數(shù)組的第１個(gè)元素中，以后讀入的數(shù)與已存入數(shù)組的數(shù)進(jìn)行比較，確定它在從大到小的排列中應(yīng)處的位置．將該位置以及以后的元素向后推移一個(gè)位置，將讀入的新數(shù)填入空出的位置中．（由于算法簡單，可以舉例說明）2、冒泡排序基本思想：依次比較相鄰的兩個(gè)數(shù),把大的放前面,小的放后面.即首先比較第1個(gè)數(shù)和第2個(gè)數(shù),大數(shù)放前,小數(shù)放后.然后比較第2個(gè)數(shù)和第3個(gè)數(shù)直到比較最后兩個(gè)數(shù).第一趟結(jié)束,最小的一定沉到最后.重復(fù)上過程,仍從第1個(gè)數(shù)開始,到最后第2個(gè)數(shù)由于在排序過程中總是大數(shù)往前,小數(shù)往后,相當(dāng)氣泡上升,所以叫冒泡排序.1.3.3進(jìn)位制1、概念：進(jìn)位制是一種記數(shù)方式，用有限的數(shù)字在不同的位置表示不同的數(shù)值?？墒褂脭?shù)字符號的個(gè)數(shù)稱為基數(shù)，基數(shù)為n，即可稱n進(jìn)位制，簡稱n進(jìn)制。現(xiàn)在最常用的是十進(jìn)制，通常使用10個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字0-9進(jìn)行記數(shù)。對于任何一個(gè)數(shù)，我們可以用不同的進(jìn)位制來表示。比如：十進(jìn)數(shù)57，可以用二進(jìn)制表示為111001，也可以用八進(jìn)制表示為71、用十六進(jìn)制表示為39，它們所代表的數(shù)值都是一樣的。一般地，若k是一個(gè)大于一的整數(shù)，那么以k為基數(shù)的k進(jìn)制可以表示為：，而表示各種進(jìn)位制數(shù)一般在數(shù)字右下腳加注來表示,如111001(2)表示二進(jìn)制數(shù),34(5)表示5進(jìn)制數(shù)第二章統(tǒng)計(jì)2.1.1簡單隨機(jī)抽樣1．總體和樣本總體：在統(tǒng)計(jì)學(xué)中,把研究對象的全體叫做總體．個(gè)體：把每個(gè)研究對象叫做個(gè)體．總體容量：把總體中個(gè)體的總數(shù)叫做總體容量．為了研究總體的有關(guān)性質(zhì)，一般從總體中隨機(jī)抽取一部分：，，，研究，我們稱它為樣本．其中個(gè)體的個(gè)數(shù)稱為樣本容量。2．簡單隨機(jī)抽樣，也叫純隨機(jī)抽樣。就是從總體中不加任何分組、劃類、排隊(duì)等，完全隨機(jī)地抽取調(diào)查單位。特點(diǎn)是：每個(gè)樣本單位被抽中的可能性相同（概率相等），樣本的每個(gè)單位完全獨(dú)立，彼此間無一定的關(guān)聯(lián)性和排斥性。簡單隨機(jī)抽樣是其它各種抽樣形式的基礎(chǔ)。通常只是在總體單位之間差異程度較小和數(shù)目較少時(shí)，才采用這種方法。3．簡單隨機(jī)抽樣常用的方法：（1）抽簽法；⑵隨機(jī)數(shù)表法；⑶計(jì)算機(jī)模擬法；⑷使用統(tǒng)計(jì)軟件直接抽取。在簡單隨機(jī)抽樣的樣本容量設(shè)計(jì)中，主要考慮：①總體變異情況；②允許誤差范圍；③概率保證程度。4．抽簽法:（1）給調(diào)查對象群體中的每一個(gè)對象編號；（2）準(zhǔn)備抽簽的工具，實(shí)施抽簽（3）對樣本中的每一個(gè)個(gè)體進(jìn)行測量或調(diào)查2.1.2系統(tǒng)抽樣1．系統(tǒng)抽樣（等距抽樣或機(jī)械抽樣）：把總體的單位進(jìn)行排序，再計(jì)算出抽樣距離，然后按照這一固定的抽樣距離抽取樣本。第一個(gè)樣本采用簡單隨機(jī)抽樣的辦法抽取。K（抽樣距離）=N（總體規(guī)模）/n（樣本規(guī)模）前提條件：總體中個(gè)體的排列對于研究的變量來說，應(yīng)是隨機(jī)的，即不存在某種與研究變量相關(guān)的規(guī)則分布?？梢栽谡{(diào)查允許的條件下，從不同的樣本開始抽樣，對比幾次樣本的特點(diǎn)。如果有明顯差別，說明樣本在總體中的分布承某種循環(huán)性規(guī)律，且這種循環(huán)和抽樣距離重合。2．系統(tǒng)抽樣，即等距抽樣是實(shí)際中最為常用的抽樣方法之一。因?yàn)樗鼘Τ闃涌虻囊筝^低，實(shí)施也比較簡單。更為重要的是，如果有某種與調(diào)查指標(biāo)相關(guān)的輔助變量可供使用，總體單元按輔助變量的大小順序排隊(duì)的話，使用系統(tǒng)抽樣可以大大提高估計(jì)精度。2.1.3分層抽樣1．分層抽樣（類型抽樣）：先將總體中的所有單位按照某種特征或標(biāo)志（性別、年齡等）劃分成若干類型或?qū)哟?，然后再在各個(gè)類型或?qū)哟沃胁捎煤唵坞S機(jī)抽樣或系用抽樣的辦法抽取一個(gè)子樣本，最后，將這些子樣本合起來構(gòu)成總體的樣本。兩種方法：1．先以分層變量將總體劃分為若干層，再按照各層在總體中的比例從各層中抽取。2．先以分層變量將總體劃分為若干層，再將各層中的元素按分層的順序整齊排列，最后用系統(tǒng)抽樣的方法抽取樣本。2．分層抽樣是把異質(zhì)性較強(qiáng)的總體分成一個(gè)個(gè)同質(zhì)性較強(qiáng)的子總體，再抽取不同的子總體中的樣本分別代表該子總體，所有的樣本進(jìn)而代表總體。分層標(biāo)準(zhǔn)：（1）以調(diào)查所要分析和研究的主要變量或相關(guān)的變量作為分層的標(biāo)準(zhǔn)。（2）以保證各層內(nèi)部同質(zhì)性強(qiáng)、各層之間異質(zhì)性強(qiáng)、突出總體內(nèi)在結(jié)構(gòu)的變量作為分層變量。（3）以那些有明顯分層區(qū)分的變量作為分層變量。3．分層的比例問題：（1）按比例分層抽樣：根據(jù)各種類型或?qū)哟沃械膯挝粩?shù)目占總體單位數(shù)目的比重來抽取子樣本的方法。（2）不按比例分層抽樣：有的層次在總體中的比重太小，其樣本量就會非常少，此時(shí)采用該方法，主要是便于對不同層次的子總體進(jìn)行專門研究或進(jìn)行相互比較。如果要用樣本資料推斷總體時(shí)，則需要先對各層的數(shù)據(jù)資料進(jìn)行加權(quán)處理，調(diào)整樣本中各層的比例，使數(shù)據(jù)恢復(fù)到總體中各層實(shí)際的比例結(jié)構(gòu)。2.2.2用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征1、本均值：2、．樣本標(biāo)準(zhǔn)差：3．用樣本估計(jì)總體時(shí)，如果抽樣的方法比較合理，那么樣本可以反映總體的信息，但從樣本得到的信息會有偏差。在隨機(jī)抽樣中，這種偏差是不可避免的。雖然我們用樣本數(shù)據(jù)得到的分布、均值和標(biāo)準(zhǔn)差并不是總體的真正的分布、均值和標(biāo)準(zhǔn)差，而只是一個(gè)估計(jì)，但這種估計(jì)是合理的，特別是當(dāng)樣本量很大時(shí)，它們確實(shí)反映了總體的信息。4．（1）如果把一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上或減去同一個(gè)共同的常數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差不變（2）如果把一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)乘以一個(gè)共同的常數(shù)k，標(biāo)準(zhǔn)差變?yōu)樵瓉淼膋倍（3）一組數(shù)據(jù)中的最大值和最小值對標(biāo)準(zhǔn)差的影響，區(qū)間的應(yīng)用；“去掉一個(gè)最高分，去掉一個(gè)最低分”中的科學(xué)道理2.3.2兩個(gè)變量的線性相關(guān)1．直線回歸方程的應(yīng)用（1）描述兩變量之間的依存關(guān)系；利用直線回歸方程即可定量描述兩個(gè)變量間依存的數(shù)量關(guān)系（2）利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測；把預(yù)報(bào)因子（即自變量x）代入回歸方程對預(yù)報(bào)量（即因變量Y）進(jìn)行估計(jì)，即可得到個(gè)體Y值的容許區(qū)間。（3）利用回歸方程進(jìn)行統(tǒng)計(jì)控制規(guī)定Y值的變化，通過控制x的范圍來實(shí)現(xiàn)統(tǒng)計(jì)控制的目標(biāo)。如已經(jīng)得到了空氣中NO2的濃度和汽車流量間的回歸方程，即可通過控制汽車流量來控制空氣中NO2的濃度。2．應(yīng)用直線回歸的注意事項(xiàng)（1）做回歸分析要有實(shí)際意義；（2）回歸分析前,最好先作出散點(diǎn)圖；（3）回歸直線不要外延。第三章概率3.1.1—3.1.2隨機(jī)事件的概率及概率的意義1、基本概念：（1）必然事件：在條件S下，一定會發(fā)生的事件，叫相對于條件S的必然事件；（2）不可能事件：在條件S下，一定不會發(fā)生的事件，叫相對于條件S的不可能事件；（3）確定事件：必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為相對于條件S的確定事件；（4）隨機(jī)事件：在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫相對于條件S的隨機(jī)事件；（5）頻數(shù)與頻率：在相同的條件S下重復(fù)n次試驗(yàn)，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)；稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)=為事件A出現(xiàn)的概率：對于給定的隨機(jī)事件A，如果隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)上，把這個(gè)常數(shù)記作P（A），稱為事件A的概率。（6）頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系：隨機(jī)事件的頻率，指此事件發(fā)生的次數(shù)nA與試驗(yàn)總次數(shù)n的比值，它具有一定的穩(wěn)定性，總在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，且隨著試驗(yàn)次數(shù)的不斷增多，這種擺動(dòng)幅度越來越小。我們把這個(gè)常數(shù)叫做隨機(jī)事件的概率，概率從數(shù)量上反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小。頻率在大量重復(fù)試驗(yàn)的前提下可以近似地作為這個(gè)事件的概率3.1.3概率的基本性質(zhì)1、基本概念：（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件（2）若A∩B為不可能事件，即A∩B=ф，那么稱事件A與事件B互斥；（3）若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件；（4）當(dāng)事件A與B互斥時(shí)，滿足加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)；若事件A與B為對立事件，則A∪B為必然事件，所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)2、概率的基本性質(zhì)：1）必然事件概率為1，不可能事件概率為0，因此0≤P(A)≤1；2）當(dāng)事件A與B互斥時(shí)，滿足加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)；3）若事件A與B為對立事件，則A∪B為必然事件，所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)；4）互斥事件與對立事件的區(qū)別與聯(lián)系，互斥事件是指事件A與事件B在一次試驗(yàn)中不會同時(shí)發(fā)生，其具體包括三種不同的情形：（1）事件A發(fā)生且事件B不發(fā)生；（2）事件A不發(fā)生且事件B發(fā)生；（3）事件A與事件B同時(shí)不發(fā)生，而對立事件是指事件A 與事件B有且僅有一個(gè)發(fā)生，其包括兩種情形；（1）事件A發(fā)生B不發(fā)生；（2）事件B發(fā)生事件A不發(fā)生，對立事件互斥事件的特殊情形。3.2.1—3.2.2古典概型及隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生1、（1）古典概型的使用條件：試驗(yàn)結(jié)果的有限性和所有結(jié)果的等可能性。（2）古典概型的解題步驟；①求出總的基本事件數(shù)；②求出事件A所包含的基本事件數(shù)，然后利用公式P（A）=3.3.1—3.3.2幾何概型及均勻隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生1、基本概念：（1）幾何概率模型：如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型；（2）幾何概型的概率公式：P（A）=；（3）幾何概型的特點(diǎn)：1）試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果（基本事件）有無限多個(gè)；2）每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等．高中數(shù)學(xué)必修4知識點(diǎn)第一章三角函數(shù)2、角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱為第幾象限角．第一象限角的集合為第二象限角的集合為第三象限角的集合為第四象限角的集合為終邊在軸上的角的集合為終邊在軸上的角的集合為終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合為3、與角終邊相同的角的集合為4、長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做弧度．5、半徑為的圓的圓心角所對弧的長為，則角的弧度數(shù)的絕對值是．6、弧度制與角度制的換算公式：，，．7、若扇形的圓心角為，半徑為，弧長為，周長為，面積為，則，，．PvxyAOMT8、設(shè)是一個(gè)任意大小的角，的終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)是，它與原點(diǎn)的距離是，則，，PvxyAOMT9、三角函數(shù)在各象限的符號：第一象限全為正，第二象限正弦為正，第三象限正切為正，第四象限余弦為正．10、三角函數(shù)線：，，．11、角三角函數(shù)的基本關(guān)系：；．12、函數(shù)的誘導(dǎo)公式：，，．，，．，，．，，．口訣：函數(shù)名稱不變，符號看象限．，．，．口訣：正弦與余弦互換，符號看象限．13、①的圖象上所有點(diǎn)向左（右）平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象．②數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)向左（右）平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象．14、函數(shù)的性質(zhì)：=1\*GB3①振幅：；=2\*GB3②周期：；=3\*GB3③頻率：；=4\*GB3④相位：；=5\*GB3⑤初相：．函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得最小值為；當(dāng)時(shí)，取得最大值為，則，，．15、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)：函數(shù)函數(shù)性質(zhì)圖象定義域值域最值當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．既無最大值也無最小值周期性奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)．在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)．在上是增函數(shù)．對稱性對稱中心對稱軸對稱中心對稱軸對稱中心無對稱軸第二章平面向量16、向量：既有大小，又有方向的量．?dāng)?shù)量：只有大小，沒有方向的量．有向線段的三要素：起點(diǎn)、方向、長度．零向量：長度為的向量．單位向量：長度等于個(gè)單位的向量．平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量與任一向量平行．相等向量：長度相等且方向相同的向量．17、向量加法運(yùn)算：=1\*GB2⑴三角形法則的特點(diǎn)：首尾相連．=2\*GB2⑵平行四邊形法則的特點(diǎn)：共起點(diǎn)．=3\*GB2⑶三角形不等式：．=4\*GB2⑷運(yùn)算性質(zhì)：=1\*GB3①交換律：；=2\*GB3②結(jié)合律：；=3\*GB3③．=5\*GB2⑸坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)，，則．18、向量減法運(yùn)算：=1\*GB2⑴三角形法則的特點(diǎn)：共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，方向指向被減向量．=2\*GB2⑵坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)，，則．設(shè)、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，則．19、向量數(shù)乘運(yùn)算：=1\*GB2⑴實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量的運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作．=1\*GB3①；=2\*GB3②當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相同；當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相反；當(dāng)時(shí)，．=2\*GB2⑵運(yùn)算律：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③．=3\*GB2⑶坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)，則．20、向量共線定理：向量與共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使．設(shè)，，其中，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，向量、共線．21、平面向量基本定理：如果、是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量，有且只有一對實(shí)數(shù)、，使．（不共線的向量、作為這一平面內(nèi)所有向量的一組基底）*22、分點(diǎn)坐標(biāo)公式：設(shè)點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，、的坐標(biāo)分別是，，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是．（當(dāng)23、平面向量的數(shù)量積：=1\*GB2⑴．零向量與任一向量的數(shù)量積為．=2\*GB2⑵性質(zhì)：設(shè)和都是非零向量，則=1\*GB3①．=2\*GB3②當(dāng)與同向時(shí)，；當(dāng)與反向時(shí)，；或．=3\*GB3③．=3\*GB2⑶運(yùn)算律：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③．=4\*GB2⑷坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)兩個(gè)非零向量，，則．若，則，或．設(shè)，，則．設(shè)、都是非零向量，，，是與的夾角，則．第三章三角恒等變換24、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式：=1\*GB2⑴；=2\*GB2⑵；=3\*GB2⑶；=4\*GB2⑷；=5\*GB2⑸（）；=6\*GB2⑹（）．25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：=1\*GB2⑴．=2\*GB2⑵升冪公式降冪公式，．=3\*GB2⑶．*26、（后兩個(gè)不用判斷符號，更加好用）27、合一變形把兩個(gè)三角函數(shù)的和或差化為“一個(gè)三角函數(shù)，一個(gè)角，一次方”的形式。，其中．28、三角變換是運(yùn)算化簡的過程中運(yùn)用較多的變換，提高三角變換能力，要學(xué)會創(chuàng)設(shè)條件，靈活運(yùn)用三角公式，掌握運(yùn)算，化簡的方法和技能．常用的數(shù)學(xué)思想方法技巧如下：（1）角的變換：在三角化簡，求值，證明中，表達(dá)式中往往出現(xiàn)較多的相異角，可根據(jù)角與角之間的和差，倍半，互補(bǔ)，互余的關(guān)系，運(yùn)用角的變換，溝通條件與結(jié)論中角的差異，使問題獲解，對角的變形如：①是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍；③；④；⑤；等等（2）函數(shù)名稱變換：三角變形中，常常需要變函數(shù)名稱為同名函數(shù)。如在三角函數(shù)中正余弦是基礎(chǔ)，通常化切為弦，變異名為同名。（3）常數(shù)代換：在三角函數(shù)運(yùn)算，求值，證明中，有時(shí)需要將常數(shù)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值，高中數(shù)學(xué)必修5知識點(diǎn)第一章：解三角形1、正弦定理：在中，、、分別為角、、的對邊，為的外接圓的半徑，則有．2、正弦定理的變形公式：=1\*GB3①，，；=2\*GB3②，，；（正弦定理的變形經(jīng)常用在有三角函數(shù)的等式中）=3\*GB3③；=4\*GB3④．3、三角形面積公式：．4、余定理：在中，有，，．5、余弦定理的推論：，，．6、設(shè)、、是的角、、的對邊，則：=1\*GB3①若，則為直角三角形；=2\*GB3②若，則為銳角三角形；=3\*GB3③若，則為鈍角三角形．第二章：數(shù)列1、數(shù)列：按照一定順序排列著的一列數(shù)．2、數(shù)列的項(xiàng)：數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)．3、有窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列．4、無窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列．5、遞增數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列．6、遞減數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列．7、常數(shù)列：各項(xiàng)相等的數(shù)列．8、擺動(dòng)數(shù)列：從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列．9、數(shù)列的通項(xiàng)公式：表示數(shù)列的第項(xiàng)與序號之間的關(guān)系的公式．10、數(shù)列的遞推公式：表示任一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系的公式．11、如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列稱為等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)稱為等差數(shù)列的公差．12、由三個(gè)數(shù)，，組成的等差數(shù)列可以看成最簡單的等差數(shù)列，則稱為與的等差中項(xiàng)．若，則稱為與的等差中項(xiàng)．13、若等差數(shù)列的首項(xiàng)是，公差是，則．通項(xiàng)公式的變形：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③；=4\*GB3④；=5\*GB3⑤．14、若是等差數(shù)列，且（、、、），則；若是等差數(shù)列，且（、、），則；下角標(biāo)成等差數(shù)列的項(xiàng)仍是等差數(shù)列；連續(xù)m項(xiàng)和構(gòu)成的數(shù)列成等差數(shù)列。15、等差數(shù)列的前項(xiàng)和的公式：=1\*GB3①；=2\*GB3②．16、等差數(shù)列的前項(xiàng)和的性質(zhì)：=1\*GB3①若項(xiàng)數(shù)為，則，且，．=2\*GB3②若項(xiàng)數(shù)為，則，且，（其中，）．17、如果一個(gè)數(shù)列從第項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列稱為等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)稱為等比數(shù)列的公比．18、在與中間插入一個(gè)數(shù)，使，，成等比數(shù)列，則稱為與的等比中項(xiàng)．若，則稱為與的等比中項(xiàng)．19、若等比數(shù)列的首項(xiàng)是，公比是，則．20、通項(xiàng)公式的變形：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③；=4\*GB3④．21、若是等比數(shù)列，且（、、、），則；若是等比數(shù)列，且（、、），則；下角標(biāo)成等差數(shù)列的項(xiàng)仍是等比數(shù)列；連續(xù)m項(xiàng)和構(gòu)成的數(shù)列成等比數(shù)列。22、等比數(shù)列的前項(xiàng)和的公式：．時(shí)，，即常數(shù)項(xiàng)與項(xiàng)系數(shù)互為相反數(shù)。23、等比數(shù)列的前項(xiàng)和的性質(zhì)：=1\*GB3①若項(xiàng)數(shù)為，則．=2\*GB3②．=3\*GB3③，，成等比數(shù)列．24、與的關(guān)系：一、求通項(xiàng)公式的方法：1、由數(shù)列的前幾項(xiàng)求通項(xiàng)公式：待定系數(shù)法①若相鄰兩項(xiàng)相減后為同一個(gè)常數(shù)設(shè)為，列兩個(gè)方程求解；②若相鄰兩項(xiàng)相減兩次后為同一個(gè)常數(shù)設(shè)為，列三個(gè)方程求解；③若相鄰兩項(xiàng)相減后相除后為同一個(gè)常數(shù)設(shè)為，q為相除后的常數(shù)，列兩個(gè)方程求解；2、由遞推公式求通項(xiàng)公式：①若化簡后為形式，可用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式代入求解；②若化簡后為形式，可用疊加法求解；③若化簡后為形式，可用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式代入求解；④若化簡后為形式，則可化為，從而新數(shù)列是等比數(shù)列，用等比數(shù)列求解的通項(xiàng)公式，再反過來求原來那個(gè)。（其中是用待定系數(shù)法來求得）3、由求和公式求通項(xiàng)公式：①②③檢驗(yàn)，若滿足則為，不滿足用分段函數(shù)寫。4、其他（1）形式，便于求和，方法：迭加；例如：有：（2）形式，同除以，構(gòu)造倒數(shù)為等差數(shù)列；例如：，則，即為以-2為公差的等差數(shù)列。（3）形式，，方法：構(gòu)造：為等比數(shù)列；例如：，通過待定系數(shù)法求得：，即等比，公比為2。（4）形式：構(gòu)造：為等比數(shù)列；（5）形式，同除，轉(zhuǎn)化為上面的幾種情況進(jìn)行構(gòu)造；因?yàn)?，則，若轉(zhuǎn)化為（1）的方法，若不為1，轉(zhuǎn)化為（3）的方法二、等差數(shù)列的求和最值問題：（二次函數(shù)的配方法；通項(xiàng)公式求臨界項(xiàng)法）①若，則有最大值，當(dāng)n=k時(shí)取到的最大值k滿足②若，則有最小值，當(dāng)n=k時(shí)取到的最大值k滿足三、數(shù)列求和的方法：①疊加法：倒序相加，具備等差數(shù)列的相關(guān)特點(diǎn)的，倒序之后和為定值；②錯(cuò)位相減法：適用于通項(xiàng)公式為等差的一次函數(shù)乘以等比的數(shù)列形式，如：；③分式時(shí)拆項(xiàng)累加相約法：適用于分式形式的通項(xiàng)公式，把一項(xiàng)拆成兩個(gè)或多個(gè)的差的形式。如：，等；④一項(xiàng)內(nèi)含有多部分的拆開分別求和法：適用于通項(xiàng)中能分成兩個(gè)或幾個(gè)可以方便求和的部分，如：等；四、綜合性問題中①等差數(shù)列中一些在加法和乘法中設(shè)一些數(shù)為類型，這樣可以相加約掉，相乘為平方差；②等比數(shù)列中一些在加法和乘法中設(shè)一些數(shù)為類型，這樣可以相乘約掉。第三章：不等式1、；；．比較兩個(gè)數(shù)的大小可以用相減法；相除法；平方法；開方法；倒數(shù)法等等。2、不等式的性質(zhì)：；；；，；；；；．3、一元二次不等式：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是的不等式．4、二次函數(shù)的圖象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集間的關(guān)系：判別式二次函數(shù)的圖象一元二次方程的根有兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根沒有實(shí)數(shù)根一元二次不等式的解集5、二元一次不等式：含有兩個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是的不等式．6、二元一次不等式組：由幾個(gè)二元一次不等式組成的不等式組．7、二元一次不等式（組）的解集：滿足二元一次不等式組的和的取值構(gòu)成有序數(shù)對，所有這樣的有序數(shù)對構(gòu)成的集合．8、在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線，坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)．=1\*GB3①若，，則點(diǎn)在直線的上方．=2\*GB3②若，，則點(diǎn)在直線的下方．9、在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線．=1\*GB3①若，則表示直線上方的區(qū)域；表示直線下方的區(qū)域．=2\*GB3②若，則表示直線下方的區(qū)域；表示直線上方的區(qū)域．10、線性約束條件：由，的不等式（或方程）組成的不等式組，是，的線性約束條件．目標(biāo)函數(shù)：欲達(dá)到最大值或最小值所涉及的變量，的解析式．線性目標(biāo)函數(shù)：目標(biāo)函數(shù)為，的一次解析式．線性規(guī)劃問題：求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值問題．可行解：滿足線性約束條件的解．可行域：所有可行解組成的集合．最優(yōu)解：使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解．11、設(shè)、是兩個(gè)正數(shù)，則稱為正數(shù)、的算術(shù)平均數(shù)，稱為正數(shù)、的幾何平均數(shù)．12、均值不等式定理：若，，則，即．13、常用的基本不等式：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③；=4\*GB3④．14、極值定理：設(shè)、都為正數(shù)，則有=1\*GB2⑴若（和為定值），則當(dāng)時(shí)，積取得最大值．=2\*GB2⑵若（積為定值），則當(dāng)時(shí)，和取得最小值．高二數(shù)學(xué)選修2－1知識點(diǎn)第一章常用邏輯用語1、命題：用語言、符號或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句.真命題：判斷為真的語句.假命題：判斷為假的語句.2、“若，則”形式的命題中的稱為命題的條件，稱為命題的結(jié)論.3、對于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件，則這兩個(gè)命題稱為互逆命題.其中一個(gè)命題稱為原命題，另一個(gè)稱為原命題的逆命題.若原命題為“若，則”，它的逆命題為“若，則”.4、對于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的條件的否定和結(jié)論的否定，則這兩個(gè)命題稱為互否命題.中一個(gè)命題稱為原命題，另一個(gè)稱為原命題的否命題.若原命題為“若，則”，則它的否命題為“若，則”.5、對于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的結(jié)論的否定和條件的否定，則這兩個(gè)命題稱為互為逆否命題.其中一個(gè)命題稱為原命題，另一個(gè)稱為原命題的逆否命題.若原命題為“若，則”，則它的否命題為“若，則”.6、四種命題的真假性：原命題逆命題否命題逆否命題真真真真真假假真假真真真假假假假

四種命題的真假性之間的關(guān)系：兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系．7、若，則是的充分條件，是的必要條件．若，則是的充要條件（充分必要條件）．8、用聯(lián)結(jié)詞“且”把命題和命題聯(lián)結(jié)起來，得到一個(gè)新命題，記作．當(dāng)、都是真命題時(shí)，是真命題；當(dāng)、兩個(gè)命題中有一個(gè)命題是假命題時(shí)，是假命題．用聯(lián)結(jié)詞“或”把命題和命題聯(lián)結(jié)起來，得到一個(gè)新命題，記作．當(dāng)、兩個(gè)命題中有一個(gè)命題是真命題時(shí)，是真命題；當(dāng)、兩個(gè)命題都是假命題時(shí)，是假命題．對一個(gè)命題全盤否定，得到一個(gè)新命題，記作．若是真命題，則必是假命題；若是假命題，則必是真命題．9、短語“對所有的”、“對任意一個(gè)”在邏輯中通常稱為全稱量詞，用“”表示．含有全稱量詞的命題稱為全稱命題．全稱命題“對中任意一個(gè)，有成立”，記作“，”．短語“存在一個(gè)”、“至少有一個(gè)”在邏輯中通常稱為存在量詞，用“”表示．含有存在量詞的命題稱為特稱命題．特稱命題“存在中的一個(gè)，使成立”，記作“，”．10、全稱命題：，，它的否定：，．全稱命題的否定是特稱命題．第二章圓錐曲線與方程11、平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡稱為橢圓．這兩個(gè)定點(diǎn)稱為橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離稱為橢圓的焦距．12、橢圓的幾何性質(zhì)：焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在軸上焦點(diǎn)在軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程范圍且且頂點(diǎn)、、、、軸長短軸的長長軸的長焦點(diǎn)、、焦距對稱性關(guān)于軸、軸、原點(diǎn)對稱離心率準(zhǔn)線方程13、設(shè)是橢圓上任一點(diǎn)，點(diǎn)到對應(yīng)準(zhǔn)線的距離為，點(diǎn)到對應(yīng)準(zhǔn)線的距離為，則．14、平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之差的絕對值等于常數(shù)（小于）的點(diǎn)的軌跡稱為雙曲線．這兩個(gè)定點(diǎn)稱為雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離稱為雙曲線的焦距．15、雙曲線的幾何性質(zhì)：焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在軸上焦點(diǎn)在軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程范圍或，或，頂點(diǎn)、、軸長虛軸的長實(shí)軸的長焦點(diǎn)、、焦距對稱性關(guān)于軸、軸對稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對稱離心率準(zhǔn)線方程漸近線方程16、實(shí)軸和虛軸等長的雙曲線稱為等軸雙曲線．17、設(shè)是雙曲線上任一點(diǎn)，點(diǎn)到對應(yīng)準(zhǔn)線的距離為，點(diǎn)到對應(yīng)準(zhǔn)線的距離為，則．18、平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡稱為拋物線．定點(diǎn)稱為拋物線的焦點(diǎn)，定直線稱為拋物線的準(zhǔn)線．19、過拋物線的焦點(diǎn)作垂直于對稱軸且交拋物線于、兩點(diǎn)的線段，稱為拋物線的“通徑”，即．20、焦半徑公式：若點(diǎn)在拋物線上，焦點(diǎn)為，則；若點(diǎn)在拋物線上，焦點(diǎn)為，則；若點(diǎn)在拋物線上，焦點(diǎn)為，則；若點(diǎn)在拋物線上，焦點(diǎn)為，則．21、拋物線的幾何性質(zhì)：標(biāo)準(zhǔn)方程圖形頂點(diǎn)對稱軸軸軸焦點(diǎn)準(zhǔn)線方程離心率范圍第三章空間向量與立體幾何22、空間向量的概念：在空間，具有大小和方向的量稱為空間向量．向量可用一條有向線段來表示．有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向．向量的大小稱為向量的模（或長度），記作．模（或長度）為的向量稱為零向量；模為的向量稱為單位向量．與向量長度相等且方向相反的向量稱為的相反向量，記作．方向相同且模相等的向量稱為相等向量．23、空間向量的加法和減法：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算稱為向量的加法，它遵循平行四邊形法則．即：在空間以同一點(diǎn)為起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量、為鄰邊作平行四邊形，則以起點(diǎn)的對角線就是與的和，這種求向量和的方法，稱為向量加法的平行四邊形法則．求兩個(gè)向量差的運(yùn)算稱為向量的減法，它遵循三角形法則．即：在空間任取一點(diǎn)，作，，則．24、實(shí)數(shù)與空間向量的乘積是一個(gè)向量，稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算．當(dāng)時(shí)，與方向相同；當(dāng)時(shí)，與方向相反；當(dāng)時(shí)，為零向量，記為．的長度是的長度的倍．25、設(shè)，為實(shí)數(shù)，，是空間任意兩個(gè)向量，則數(shù)乘運(yùn)算滿足分配律及結(jié)合律．分配律：；結(jié)合律：．26、如果表示空間的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量稱為共線向量或平行向量，并規(guī)定零向量與任何向量都共線．27、向量共線的充要條件：對于空間任意兩個(gè)向量，，的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使．28、平行于同一個(gè)平面的向量稱為共面向量．29、向量共面定理：空間一點(diǎn)位于平面內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對，，使；或?qū)臻g任一定點(diǎn)，有；或若四點(diǎn)，，，共面，則．30、已知兩個(gè)非零向量和，在空間任取一點(diǎn)，作，，則稱為向量，的夾角，記作．兩個(gè)向量夾角的取值范圍是：．31、對于兩個(gè)非零向量和，若，則向量，互相垂直，記作．32、已知兩個(gè)非零向量和，則稱為，的數(shù)量積，記作．即．零向量與任何向量的數(shù)量積為．33、等于的長度與在的方向上的投影的乘積．34、若，為非零向量，為單位向量，則有；；，，；；．35、向量數(shù)乘積的運(yùn)算律：；；．36、若，，是空間三個(gè)兩兩垂直的向量，則對空間任一向量，存在有序?qū)崝?shù)組，使得，稱，，為向量在，，上的分量．37、空間向量基本定理：若三個(gè)向量，，不共面，則對空間任一向量，存在實(shí)數(shù)組，使得．38、若三個(gè)向量，，不共面，則所有空間向量組成的集合是．這個(gè)集合可看作是由向量，，生成的，稱為空間的一個(gè)基底，，，稱為基向量．空間任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底．39、設(shè)，，為有公共起點(diǎn)的三個(gè)兩兩垂直的單位向量（稱它們?yōu)閱挝徽换祝?，以，，的公共起點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系．則對于空間任意一個(gè)向量，一定可以把它平移，使它的起點(diǎn)與原點(diǎn)重合，得到向量．存在有序?qū)崝?shù)組，使得．把，，稱作向量在單位正交基底，，下的坐標(biāo)，記作．此時(shí)，向量的坐標(biāo)是點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)．40、設(shè)，，則．．．．若、為非零向量，則．若，則．．．，，則．41、在空間中，取一定點(diǎn)作為基點(diǎn)，那么空間中任意一點(diǎn)的位置可以用向量來表示．向量稱為點(diǎn)的位置向量．42、空間中任意一條直線的位置可以由上一個(gè)定點(diǎn)以及一個(gè)定方向確定．點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，向量表示直線的方向向量，則對于直線上的任意一點(diǎn)，有，這樣點(diǎn)和向量不僅可以確定直線的位置，還可以具體表示出直線上的任意一點(diǎn)．43、空間中平面的位置可以由內(nèi)的兩條相交直線來確定．設(shè)這兩條相交直線相交于點(diǎn)，它們的方向向量分別為，．為平面上任意一點(diǎn)，存在有序?qū)崝?shù)對，使得，這樣點(diǎn)與向量，就確定了平面的位置．44、直線垂直，取直線的方向向量，則向量稱為平面的法向量．45、若空間不重合兩條直線，的方向向量分別為，，則，．46、若直線的方向向量為，平面的法向量為，且，則，．47、若空間不重合的兩個(gè)平面，的法向量分別為，，則，．48、設(shè)異面直線，的夾角為，方向向量為，，其夾角為，則有．49、設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，與所成的角為，與的夾角為，則有．50、設(shè)，是二面角的兩個(gè)面，的法向量，則向量，的夾角（或其補(bǔ)角）就是二面角的平面角的大?。舳娼堑钠矫娼菫椋瑒t．51、點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離可以轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)對應(yīng)向量的模計(jì)算．52、在直線上找一點(diǎn)，過定點(diǎn)且垂直于直線的向量為，則定點(diǎn)到直線的距離為．53、點(diǎn)是平面外一點(diǎn)，是平面內(nèi)的一定點(diǎn)，為平面的一個(gè)法向量，則點(diǎn)到平面的距離為．?dāng)?shù)學(xué)選修2-2知識點(diǎn)總結(jié)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用導(dǎo)數(shù)概念的引入導(dǎo)數(shù)的物理意義：瞬時(shí)速率。一般的，函數(shù)在處的瞬時(shí)變化率是，我們稱它為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，記作或，即=在高臺跳水運(yùn)動(dòng)中，運(yùn)動(dòng)員相對于水面的高度h（單位：m）與起跳后的時(shí)間t(單位：s)存在函數(shù)關(guān)系運(yùn)動(dòng)員在t=2s時(shí)的瞬時(shí)速度是多少？解：根據(jù)定義即該運(yùn)動(dòng)員在t=2s是13.1m/s,符號說明方向向下導(dǎo)數(shù)的幾何意義：曲線的切線.通過圖像,我們可以看出當(dāng)點(diǎn)趨近于時(shí)，直線與曲線相切。容易知道，割線的斜率是，當(dāng)點(diǎn)趨近于時(shí)，函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)就是切線PT的斜率k，即導(dǎo)函數(shù)：當(dāng)x變化時(shí)，便是x的一個(gè)函數(shù)，我們稱它為的導(dǎo)函數(shù).的導(dǎo)函數(shù)有時(shí)也記作,即二.導(dǎo)數(shù)的計(jì)算1.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)3.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)4.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式:1若(c為常數(shù))，則；2若,則;3若,則4若,則;5若,則6若,則7若,則8若,則導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則1.2.3.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)和,稱則可以表示成為的函數(shù),即為一個(gè)復(fù)合函數(shù)三.導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用1.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù):一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系：在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減.2.函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)極值反映的是函數(shù)在某一點(diǎn)附近的大小情況.求函數(shù)的極值的方法是:如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值;如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值;4.函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)函數(shù)極大值與最大值之間的關(guān)系.求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟求函數(shù)在內(nèi)的極值；將函數(shù)的各