湖南省長沙市麓山教育共同體2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省長沙市麓山教育共同體2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一?單選題（每小題5分，共40分）1.已知，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗且，則；且，則，所以.故選：A.2.若不等式的解集為，則實數(shù)（）A.2 B. C.3D.〖答案〗B〖解析〗由題意可知和是方程的兩個根，且，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得.故選：B.3.若，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗解法一：因為，且，所以，即，即，所以，所以“”是“”的充要條件.解法二：充分性：因為，且，所以，所以，所以充分性成立，必要性：因為，且，所以，即，即，所以，所以必要性成立，所以“”是“”的充要條件.解法三：充分性：因為，且，所以，所以充分性成立，必要性：因為，且，所以，所以，所以，所以，所以必要性成立.所以“”是“”的充要條件.故選：C.4.若正數(shù)x，y滿足x+3y=5xy，則3x+4y的最小值是（）A. B. C.5 D.6〖答案〗C〖解析〗由已知可得，則，所以的最小值.故選：C．5.已知方程有兩個不相等的實數(shù)根，且兩個實數(shù)根都大于2，則實數(shù)m的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗令由題可知：則，即.故選：C.6.若關(guān)于x的不等式在時有解，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗不等式在時有解，等價于當(dāng)時，，由二次函數(shù)的圖象知，當(dāng)時，，所以.故選：A.7.若不等式對于恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗原不等式可化為，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，且，即時，函數(shù)有最小值為2，因為恒成立，所以.故選：C.8.定義：表示集合中元素的個數(shù)，.已知集合，集合，集合，若，則的取值范圍是（）A. B.C. D.且〖答案〗D〖解析〗，，，又，或，方程的解為；方程可能有0個解，2個相同的解，2個不同的解，或或，故只需要排除，若，①當(dāng)，即時，時方程的解為，時方程的解為，或，成立，②若是方程的根，則，方程的解為和，，成立，③若1是方程的根，則，方程的解為和，，成立，0不可能是方程的根，綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)或時，，故的取值范圍是且.故選：D．二?多選題（每小題5分，共20分，部分選對得2分，有錯選得0分，全部選對得5分）9.已知，那么下列結(jié)論正確的是（）A.若，，則 B.若，則C.若，則 D.若，則〖答案〗ACD〖解析〗選項A，∵，∴，，∴，故A正確；選項B，取，，滿足，但，故B錯誤；選項C，∵，∴，又∵，由成立，則，∴，則有，∴，故C正確；選項D，∵，∴，∴，故D正確.故選：ACD.10.下列說法中，以下是真命題的是（）A.存在實數(shù)，使 B.所有的素數(shù)都是奇數(shù)C.， D.，〖答案〗ACD〖解析〗對于A：因為方程有實數(shù)根，所以存在實數(shù)，使，所以A選項是真命題；對于B：因為素數(shù)2不是奇數(shù)，所以B選項是假命題；對于C：因為時有，當(dāng)時有，所以，，所以C選項是真命題；對于D：因為當(dāng)時有，所以，，所以D選項是真命題.故選：ACD.11.“關(guān)于的不等式對恒成立”的必要不充分條件有（）A. B. C.D.〖答案〗CD〖解析〗若關(guān)于的不等式對恒成立，當(dāng)時，不等式為，滿足題意；時，則必有且，解得，故的范圍為，故“關(guān)于的不等式對恒成立”的必要不充分條件的集合必真包含集合，考查選項知滿足條件.故選：12.若x，y滿足，則（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗因為（R），由可變形為，，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，，所以A錯誤，B正確；由可變形為，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以C正確；因為變形可得，設(shè)，所以，因此，所以當(dāng)時滿足等式，但是不成立，所以D錯誤．故選：BC．三?填空題（每小題5分，共20分）13.“?x∈R，x2+2x+1＞0”的否定是_____．〖答案〗〖解析〗因為全稱命題的否定是特稱命題，否定全稱命題時，一是要將全稱量詞改寫為存在量詞，二是否定結(jié)論，所以，命題“?x∈R，x2+2x+1＞0”的否定是“”.故〖答案〗為：.14.若，則的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗，故，則，又，故.故〖答案〗為：.15.已知正數(shù)，滿足，則的最小值是______.〖答案〗〖解析〗，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故〖答案〗為：.16.關(guān)于x的不等式的解集中恰有兩個整數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗關(guān)于x的不等式可化為，當(dāng)時，解得，要使解集中恰有兩個整數(shù)，則，當(dāng)時，不等式化為，此時無解，當(dāng)時，解得，要使解集中恰有兩個整數(shù)，則，綜上，實數(shù)a的取值范圍是.故〖答案〗為：.四?解答題（共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.解下列不等式．（1）；（2）.解：（1）不等式，即，解得，所以不等式解集為.（2）不等式，即，等價于，解得，所以不等式解集為.18.已知集合.（1）若“”是“”充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍；（2）若，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）由題意，，解得，，由“”是“”的充分不必要條件，得，則且等號不能同時取到，解得，故實數(shù)的取值范圍為.（2）當(dāng)時，得，即，符合題意；當(dāng)時，得，即，由，得或，解得或，或；綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.19.已知，.（1）若不等式恒成立，求的最大值；（2）若，求的最小值.解（1）因為，，則，而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，依題意，不等式恒成立，于是，所以m的最大值為12.（2）若，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，于是，而，解得，所以的最小值為4.20.某小區(qū)要建一座八邊形的休閑小區(qū)，它的主體造型的平面圖是由兩個相同的矩形ABCD和EFGH構(gòu)成的十字形地域，四個小矩形加一個正方形面積共為200平方米．計劃在正方形MNPQ上建一座花壇，造價為每平方米4200元，在四個相同的矩形上（圖中陰影部分）鋪設(shè)花崗巖地坪，造價為每平方米210元，再在四個角上鋪設(shè)草坪，造價為每平方米80元．（1）設(shè)AD長為x米，總造價為S元，試建立S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）問：當(dāng)x為何值時S最小，并求出這個S最小值.解：（1）由題意可得，，且，則，則（2）由（1）可知，，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，所以，當(dāng)米時，元.21.解關(guān)于的不等式:.解：（1）原不等式可化為.（1）當(dāng)時，有.（2）當(dāng)時，，∵，①當(dāng)時，，∴；②當(dāng)時，，，此時解集為；③當(dāng)時，.∴.（3）當(dāng)時，，∵，∴.∴或，綜上所述，原不等式的解集為:當(dāng)時，為或；當(dāng)時，為；當(dāng)時，為；當(dāng)時，為；當(dāng)時，為.22.已知一元二次函數(shù)的圖像與軸有兩個不同的交點,其中一個交點的坐標(biāo)為且當(dāng)時,恒有(1)求出不等式的解(用表示)；(2)若以二次函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸的三個交點為頂點的三角形的面積為8,求的取值范圍；(3)若不等式對所有恒成立,求實數(shù)的取值范圍.解：（1）依題意可知，