名校北師大版數(shù)學(xué)九年級下冊知識點(diǎn)歸納總結(jié)

[名校]北師大版數(shù)學(xué)九年級下冊知識點(diǎn)歸納總結(jié)第一章直角三角形邊的關(guān)系一．銳角三角函數(shù)1.正切：定義：在Rt△ABC中，銳角∠A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正切，記作tanA，即;①tanA是一個(gè)完整的符號，它表示∠A的正切，記號里習(xí)慣省去角的符號“∠”；②tanA沒有單位，它表示一個(gè)比值，即直角三角形中∠A的對邊與鄰邊的比；③tanA不表示“tan”乘以“A”；④初中階段，我們只學(xué)習(xí)直角三角形中，∠A是銳角的正切；⑤tanA的值越大，梯子越陡，∠A越大；∠A越大，梯子越陡，tanA的值越大。2.正弦：定義：在Rt△ABC中，銳角∠A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA，即;3.余弦：定義：在Rt△ABC中，銳角∠A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦，記作cosA，即;銳角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函數(shù)當(dāng)銳角A變化時(shí)，相應(yīng)的正弦、余弦和正切之也隨之變化。二．特殊角的三角函數(shù)值三．三角函數(shù)的計(jì)算1.仰角:當(dāng)從低處觀測高處的目標(biāo)時(shí)，視線與水平線所成的銳角稱為仰角2.俯角：當(dāng)從高處觀測低處的目標(biāo)時(shí)，視線與水平線所成的銳角稱為俯角3.規(guī)律：利用特殊角的三角函數(shù)值表，可以看出，(1)當(dāng)角度在0°～90°間變化時(shí)，正弦值、正切值隨著角度的增大(或減小)而增大(或減小)；余弦值隨著角度的增大(或減小)而減小(或增大)。(2)0≤sinα≤1，0≤cosα≤1。4.坡度：如圖2，坡面與水平面的夾角叫做坡角坡角的正切稱為坡度(或坡比)。用字母i表示，即5.方位角：從某點(diǎn)的指北方向按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角，叫做方位角。如圖3，OA、OB、OC的方位角分別為45°、135°、225°。6.方向角：指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如圖4，OA、OB、OC、OD的方向角分別是；北偏東30°，南偏東45°(東南方向)、南偏西為60°，北偏西60°。7.同角的三角函數(shù)間的關(guān)系：①互余關(guān)系sinA=cos(90°－A)、cosA=sin(90°－A)②平方關(guān)系：③商數(shù)關(guān)系：8.解直角三角形：在直角三角形中，除直角外，一共有五個(gè)元素，即三條邊和二個(gè)銳角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的過程，叫做解直角三角形（須知一條邊）。9.直角三角形變焦關(guān)系：在△ABC中，∠C為直角，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，則有(1)三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c2；(2)兩銳角的關(guān)系：∠A＋∠B=90°；(3)邊與角之間的關(guān)系：10.三角函數(shù)的應(yīng)用教材第18頁11.利用三角函數(shù)測高

教材第22頁第二章二次函數(shù)1.概念：一般地，若兩個(gè)變量x，y之間對應(yīng)關(guān)系可以表示成(a、b、c是常數(shù),≠0)的形式，則稱y是x的二次函數(shù)。自變量x的取值范圍是全體實(shí)數(shù)。在寫二次函數(shù)的關(guān)系式時(shí)，一定要尋找兩個(gè)變量之間的等量關(guān)系，列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，并確定自變量的取值范圍。2.圖像性質(zhì)：(1)二次函數(shù)y＝ax2的圖象：是一條頂點(diǎn)在原點(diǎn)且關(guān)于y軸對稱的拋物線。是二次函數(shù)的特例，此時(shí)常數(shù)b=c=0.（2）拋物線的描述：開口方向、對稱性、y隨x的變化情況、拋物線的最高（或最低）點(diǎn)、拋物線與x軸的交點(diǎn)。①函數(shù)的取值范圍是全體實(shí)數(shù)；②拋物線的頂點(diǎn)在(0，0)，對稱軸是y軸(或稱直線x＝0)。③當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線開口向上，并且向上方無限伸展。當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線開口向下，并且向下方無限伸展。④函數(shù)的增減性：⑤當(dāng)｜a｜越大，拋物線開口越??；當(dāng)｜a｜越小，拋物線的開口越大。⑥最大值或最小值：當(dāng)a＞0，且x＝0時(shí)函數(shù)有最小值，最小值是0；當(dāng)a＜0，且x＝0時(shí)函數(shù)有最大值，最大值是0。（3）二次函數(shù)的圖象：是一條頂點(diǎn)在y軸上且與y軸對稱的拋物線，二次函數(shù)的圖象中，a的符號決定拋物線的開口方向，|a|決定拋物線的開口程度大小，c決定拋物線的頂點(diǎn)位置，即拋物線位置的高低。（4）二次函數(shù)的圖象：是以直線為對稱軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（）的拋物線。（開口方向和大小由a來決定）|a|的越大，拋物線的開口程度越小，越靠近對稱軸y軸，y隨x增長（或下降）速度越快；|a|的越小，拋物線的開口程度越大，越遠(yuǎn)離對稱軸y軸，y隨x增長（或下降）速度越慢。（5）二次函數(shù)的圖象與y＝ax2的圖象的關(guān)系：的圖象可以由y＝ax2的圖象平移得到：（利用頂點(diǎn)坐標(biāo)）（6）二次函數(shù)的圖象：是以直線x=h為對稱軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，k）的拋物線。（開口方向和大小由a來決定）（7）二次函數(shù)的性質(zhì)：二次函數(shù)配方成則拋物線的①對稱軸：x=②頂點(diǎn)坐標(biāo)：（）③增減性：若a>0，當(dāng)x<時(shí)，y隨x的增大而減??；當(dāng)x>時(shí)，y隨x的增大而增大。若a<0，則當(dāng)x<時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x>時(shí)，y隨x的增大而減小。④最值：若a>0，則當(dāng)x=時(shí)，；若a<0，則當(dāng)x=時(shí)，3.確定二次函數(shù)的表達(dá)式：（待定系數(shù)法）（1）一般式：（2）頂點(diǎn)式：（2）交點(diǎn)式：y=a(x-x1)(x-x2)4.二次函數(shù)的應(yīng)用：教材第46頁幾何方面教材第48頁應(yīng)用題5.二次函數(shù)與一元二次方程（1）二次函數(shù)的圖象(拋物線)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1，x2是對應(yīng)一二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根（2）拋物線與x軸的交點(diǎn)情況可以由對應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：>0<===>拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；=0<===>拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；<0<===>拋物線與x軸有0個(gè)交點(diǎn)（無交點(diǎn)）；（3）當(dāng)>0時(shí)，設(shè)拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A、B，則這兩個(gè)點(diǎn)之間的距離：化簡后即為：這就是拋物線與x軸的兩交點(diǎn)之間的距離公式。第三章圓1.圓的定義：描述性定義：在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圓形叫做圓；固定的端點(diǎn)O叫做圓心；線段OA叫做半徑；以點(diǎn)O為圓心的圓，記作⊙O，讀作“圓O”集合性定義：圓是平面內(nèi)到定點(diǎn)距離等于定長的點(diǎn)的集合。其中定點(diǎn)叫做圓心，定長叫做圓的半徑，圓心定圓的位置，半徑定圓的大小，圓心和半徑確定的圓叫做定圓。對圓的定義的理解：①圓是一條封閉曲線，不是圓面；②圓由兩個(gè)條件唯一確定：一是圓心（即定點(diǎn)），二是半徑（即定長）。2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系及其數(shù)量特征：如果圓的半徑為r，點(diǎn)到圓心的距離為d，則①點(diǎn)在圓上<===>d=r;②點(diǎn)在圓內(nèi)<===>d<r;③點(diǎn)在圓外<===>d>r.其中點(diǎn)在圓上的數(shù)量特征是重點(diǎn)，它可用來證明若干個(gè)點(diǎn)共圓，方法就是證明這幾個(gè)點(diǎn)與一個(gè)定點(diǎn)、的距離相等。3.圓的對稱性:（1)與圓相關(guān)的概念：①弦和直徑：弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦。直徑：經(jīng)過圓心的弦叫做直徑。②弧、半圓、優(yōu)弧、劣?。夯。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡稱弧，用符號“⌒”表示，以CD為端點(diǎn)的弧記為“”，讀作“圓弧CD”或“弧CD”。半圓：直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分圓成兩條弧，每一條弧叫做半圓。優(yōu)?。捍笥诎雸A的弧叫做優(yōu)弧。劣?。盒∮诎雸A的弧叫做劣弧。(為了區(qū)別優(yōu)弧和劣弧，優(yōu)弧用三個(gè)字母表示。)③弓形：弦及所對的弧組成的圖形叫做弓形。④同心圓：圓心相同，半徑不等的兩個(gè)圓叫做同心圓。⑤等圓：能夠完全重合的兩個(gè)圓叫做等圓，半徑相等的兩個(gè)圓是等圓。⑥等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。⑦圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角.⑧弦心距:從圓心到弦的距離叫做弦心距.（2）.圓是軸對稱圖形，直徑所在的直線是它的對稱軸，圓有無數(shù)條對稱軸。圓是中心對稱圖形，對稱中心為圓心。定理：在同圓或等圓中,相等的圓心角所對的弧相等、所對的弦相等、所對的弦心距相等。推論:在同圓或等圓中,如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等,那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等.4.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。推論：平分一般弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。說明：根據(jù)垂徑定理與推論可知對于一個(gè)圓和一條直線來說，如果具備：①過圓心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所對的優(yōu)??；⑤平分弦所對的劣弧。上述五個(gè)條件中的任何兩個(gè)條件都可推出其他三個(gè)結(jié)論。5.圓周角和圓心角的關(guān)系:（1）圓周角：:頂點(diǎn)在圓上,并且兩邊都與圓相交的角,叫做圓周角.（2）圓周角定理:圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的的圓心角度數(shù)的一半.推論1:

同弧或等弧所對的圓周角相等。推論2:直徑所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑；（3）圓內(nèi)接四邊形：若四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上,這個(gè)四邊形叫做圓內(nèi)接四邊形.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì):

圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ);6確定圓的條件:（1）理解確定一個(gè)圓必備兩個(gè)條件:圓心和半徑,圓心決定圓的位置,半徑?jīng)Q定圓的大小.經(jīng)過一點(diǎn)可以作無數(shù)個(gè)圓,經(jīng)過兩點(diǎn)也可以作無數(shù)個(gè)圓,其圓心在這個(gè)兩點(diǎn)線段的垂直平分線上.（2）經(jīng)過三點(diǎn)作圓要分兩種情況:?經(jīng)過同一直線上的三點(diǎn)不能作圓.?經(jīng)過不在同一直線上的三點(diǎn),能且僅能作一個(gè)圓.定理:不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓.

(尺規(guī)作圖教材第85頁)7.三角形的外接圓、三角形的外心。(1)三角形的外接圓:經(jīng)過一個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做這個(gè)三角形的外接圓.(2)三角形的外心:三角形外接圓的圓心叫做這個(gè)三角形的外心.(3)三角形的外心的性質(zhì):三角形外心到三頂點(diǎn)的距離相等.8.直線與圓的位置關(guān)系(1)相交:

直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí),叫做直線和圓相交,這時(shí)直線叫做圓的割線.(2)相切:

直線和圓有惟一公共點(diǎn)時(shí),叫做直線和圓相切,這時(shí)直線叫做圓的切線,惟一的公共點(diǎn)做切點(diǎn).(3)相離:

直線和圓沒有公共點(diǎn)時(shí),叫做直線和圓相離.(4)直線與圓的位置關(guān)系的數(shù)量特征:設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線的距離為d；①d<r<===>直線L和⊙O相交.②d=r<===>直線L和⊙O相切.③d>r<===>直線L和⊙O相離.(5）切線的判定定理:經(jīng)過半徑的外端并且垂直于半徑的直線是圓的切線.切線的性質(zhì)定理:圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑.推論1經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn).推論2經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心.分析性質(zhì)定理及兩個(gè)推論的條件和結(jié)論間的關(guān)系,可得如下結(jié)論:如果一條直線具備下列三個(gè)條件中的任意兩個(gè),就可推出第三個(gè).①垂直于切線;②過切點(diǎn);③過圓心.(6）三角形的內(nèi)切圓、內(nèi)心.和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓,內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心.三角形內(nèi)心的性質(zhì):三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等.

(三角形的內(nèi)切圓作法尺規(guī)作圖教材第92頁)9.切線長定理：過圓外一點(diǎn)所畫的圓的兩條切線長想等，圓外切四邊形對邊相等，直角三角形內(nèi)切圓半徑公式.10.圓內(nèi)接正多邊形(1)定義：頂點(diǎn)都在同一圓上的正多邊形叫做圓內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓叫做該正多邊形的外接圓.(2)中心角、邊心距：11.弧長及扇形的面積(1)弧長公式:弧長(R表示圓的