杭州師范大學(xué)理學(xué)院727量子力學(xué)歷年考研真題匯編

目錄

2015年杭州師范大學(xué)721量子力學(xué)考研真題

2014年杭州師范大學(xué)721量子力學(xué)考研真題

2013年杭州師范大學(xué)722量子力學(xué)考研真題

2012年杭州師范大學(xué)719量子力學(xué)考研真題

2011年杭州師范大學(xué)726量子力學(xué)考研真題

2010年杭州師范大學(xué)716量子力學(xué)考研真題

2009年杭州師范大學(xué)715量子力學(xué)考研真題

2008年杭州師范大學(xué)715量子力學(xué)考研真題

2007年杭州師范學(xué)院715量子力學(xué)考研真題

2006年杭州師范學(xué)院量子力學(xué)考研真題

2015年杭州師范大學(xué)721量子力學(xué)考研真題

考試科目代碼：721

考試科目名稱：量子力學(xué)

一、填空題（每空3分，共30分）、

1．根據(jù)德布羅意波粒二象性，能量為E,動(dòng)量為p的微觀粒子，與

對(duì)應(yīng)的波動(dòng)的頻率和波長(zhǎng)的關(guān)系式分別是，。

2.完成對(duì)易關(guān)系：，。

3.量子力學(xué)中的薛定諤方程的形式為，定態(tài)薛定諤方程為，

從定態(tài)的解出發(fā)構(gòu)造薛定諤方程的一般解的表達(dá)形式為。

4.設(shè)兩力學(xué)量算符滿足對(duì)易關(guān)系，則力學(xué)量A和B的測(cè)

不準(zhǔn)關(guān)系式為。

5.全同粒子體系的波函數(shù)的特點(diǎn)是，原因是。

二、簡(jiǎn)答題（每題6分，共30分）

1．量子力學(xué)中微觀粒子的波粒二象性與光的波粒二象性有什么區(qū)

別?

2．?dāng)⑹隽孔恿W(xué)中物理量算符的性質(zhì)以及與力學(xué)量測(cè)量值之間的

關(guān)系。

3．說(shuō)明當(dāng)勢(shì)能是偶函數(shù)時(shí)，定態(tài)薛定諤方程的解總可以寫(xiě)

成偶函數(shù)或者奇函數(shù)的形式。

4．?dāng)⑹觯ɑ蛘咄ㄟ^(guò)變換關(guān)系式描述）你對(duì)量子力學(xué)中的表象變換

的理解。

5．如何理解電子的自旋？

三、計(jì)算題（90分）

1．（15分）質(zhì)量為的粒子，在一維無(wú)限深勢(shì)阱中

中運(yùn)動(dòng)。求

（1）求粒子的能量本征值和本征函數(shù)；（5分）

（2）若時(shí)，粒子處于狀態(tài)上，其中，

為粒子能量的第個(gè)本征態(tài)。求時(shí)能量的可測(cè)值與相應(yīng)的取值

幾率；（5分）

（3）求時(shí)的波函數(shù)及能量可測(cè)值與相應(yīng)的取值幾率。（5

分）

2．（10分）設(shè)為氫原子的能量為En定態(tài)波函數(shù)，

當(dāng)t=0時(shí)氫原子處于狀態(tài)

求：（1）氫原子能量及其幾率；（4分）

（2）軌道角動(dòng)量平方的可能值，可能值出現(xiàn)的幾率以及的平

均值；（4分）

（3）分量的可能值，可能值出現(xiàn)的幾率以及的平均值；（2

分）

3．（15分）假設(shè)量子系統(tǒng)的基態(tài)為，求：

（1）勢(shì)能的平均值；（5分）

（2）動(dòng)能的平均值；（5分）

（3）動(dòng)量的幾率分布函數(shù)。（5分）（提示：

）

4．（15分）一維諧振子的哈密頓量寫(xiě)成為，定義

如下的算符

求（1）證明。（4分）

（2）利用和表示。（4分）

（3）基態(tài)滿足，求基態(tài)波函數(shù)和基態(tài)能量。（7分）

5．（20分）設(shè)一量子體系的哈密頓量為：，且

，，,利用微擾法計(jì)算二級(jí)近似下的能量本征值。

6．（15分）設(shè)氦原子中的兩個(gè)電子都處于1s態(tài),兩個(gè)電子基態(tài)的空

間波函數(shù)為,求

（i）寫(xiě)出電子四個(gè)可能的自旋波函數(shù)；

（ii）寫(xiě)出兩個(gè)電子交換反對(duì)稱的總波函數(shù)（同時(shí)考慮空間自由度和

自旋自由度）。

2014年杭州師范大學(xué)721量子力學(xué)考研真題

考試科目代碼：721

考試科目名稱：量子力學(xué)

一、簡(jiǎn)答題（每題10分，共40分）

1．簡(jiǎn)述量子測(cè)量公設(shè)的基本內(nèi)容。

2．掃描隧道顯微鏡（STM）利用了何種量子效應(yīng)？簡(jiǎn)述其工作原

理。

3．請(qǐng)簡(jiǎn)要解釋“完備力學(xué)量組”概念，并列舉三組描述氫原子的完

備力學(xué)量組。

4．分別寫(xiě)出兩電子體系自旋單態(tài)與三重態(tài)在無(wú)耦合表象基矢下的

展開(kāi)式。

二、證明題（每題15分，共30分）

1．角動(dòng)量算符定義為，

（1）利用基本對(duì)易關(guān)系，證明；

（2）進(jìn)一步證明，其中為角動(dòng)量升降算符。

2．證明對(duì)于任意算符……及幺正變換，有

并由此說(shuō)明算符的跡不因表象而異。

三、計(jì)算題（每題20分，共80分）

1．一粒子位于一維方勢(shì)阱中，求其本征能譜

與本征態(tài)。

2．已知一維諧振子哈密頓為：，其本征波函數(shù)

記為構(gòu)成完備基（滿足正交歸一關(guān)系）。定義下降算符與上升算符

分別為

與，并滿足

，在狀態(tài)下，求：

（1）勢(shì)能的平均值；

（2）動(dòng)能的平均值；

（3）坐標(biāo)與動(dòng)量的不確定關(guān)系；

（4）最小不確定度對(duì)應(yīng)什么狀態(tài)（即n的取值）。

3．求算符的歸一化本征態(tài)，其中為Pauli矩陣，為指向

方向的單位矢量

4．對(duì)于原子序數(shù)較大的類氫原子，其最外層電子感受到的勢(shì)場(chǎng)為

，其中為一正常數(shù)，為Bohr半徑，求其基態(tài)

能量的一階微擾修正。

（注：氫原子基態(tài)能量為，基態(tài)波函數(shù)為

）.

2013年杭州師范大學(xué)722量子力學(xué)考研真題

考試科目代碼：722

考試科目名稱：量子力學(xué)

一、簡(jiǎn)答題（每題20分，共40分）

1．波函數(shù)是應(yīng)該滿足什么樣的自然條件？的物理含義是

什么？寫(xiě)出波函數(shù)所滿足的薛定諤方程。若勢(shì)能不含時(shí)，試推導(dǎo)出

所滿足的定態(tài)薛定諤方程？假設(shè)定態(tài)薛定諤方程給出能量本證值是量子

化的，從定態(tài)方程的解構(gòu)造出含時(shí)薛定諤方程的一般解。

2．簡(jiǎn)要說(shuō)明何為定態(tài)非簡(jiǎn)并微擾論（寫(xiě)出其二級(jí)近似能量與一級(jí)

近似波函數(shù)）及其適應(yīng)范圍與條件；并簡(jiǎn)要說(shuō)明變分法的原理。

二、證明題（每題15分，共30分）

1．證明坐標(biāo)算符與動(dòng)量算符之間的運(yùn)算關(guān)系：

2．定義算子，以及。

證明（1）；

（2）,

三、計(jì)算題（每題20分，共80分）

1．質(zhì)量為的粒子在一維無(wú)限深方勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)，勢(shì)阱可表示為：

（1）求解能量本征值和歸一化的本征函數(shù)；

（2）若已知時(shí)，該粒子狀態(tài)為：，求時(shí)

刻該粒子的波函數(shù)；

（3）求時(shí)刻測(cè)量到粒子的能量分別為和的幾率是多少？

（4）求時(shí)刻粒子的平均能量和平均位置。

2．已知一維諧振子哈密頓為：，其本征波函數(shù)記

為構(gòu)成完備基（滿足正交歸一關(guān)系）。定義下降算符與上升算符

分別為

與，并滿足

，在狀態(tài)下，求：

（1）勢(shì)能的平均值；

（2）動(dòng)能的平均值；

（3）坐標(biāo)與動(dòng)量的不確定關(guān)系；

（4）最小不確定度對(duì)應(yīng)什么狀態(tài)（即n的取值）。

3．設(shè)已知在的共同表象中，算符的矩陣分別為

;

求（1）它們的本征值和歸一化的本征函數(shù);

（2）從z表象到x表象以及從z表象到y(tǒng)表象的幺正矩陣;

（3）用求得的對(duì)應(yīng)的幺正矩陣將對(duì)角化.

4.考慮兩個(gè)電子組成的系統(tǒng)。它們空間部分波函數(shù)在交換電子空間

部分坐標(biāo)時(shí)可以是對(duì)稱的或是反對(duì)稱的。由于電子是費(fèi)米子，整體波函

數(shù)在交換全部坐標(biāo)變量（包括空間部分和自旋部分）時(shí)必須是反對(duì)稱

的?？傋孕惴x為：。

（1）假設(shè)空間部分波函數(shù)是反對(duì)稱的，求對(duì)應(yīng)自旋部分波函數(shù);

和的本征值；

（2）假設(shè)空間部分波函數(shù)是對(duì)稱的，求對(duì)應(yīng)自旋部分波函數(shù);和

的本征值.

2012年杭州師范大學(xué)719量子力學(xué)考研真題

考試科目代碼：719

考試科目名稱：量子力學(xué)

一、填空題（每空2.5分，共25分）

1．量子力學(xué)中力學(xué)量算符必須是算符，以保證它的本征值為

數(shù)。

對(duì)一個(gè)力學(xué)量進(jìn)行測(cè)量時(shí),所得到的測(cè)量值肯定是當(dāng)中某一個(gè),

測(cè)量結(jié)果一般是不確定的,除非體系處于_。測(cè)量結(jié)果的不確定性來(lái)

源于。

兩個(gè)力學(xué)量同時(shí)具有確定值的條件是。

2．自由粒子平面波波函數(shù)，則該自由粒子的動(dòng)量不確定

度，坐標(biāo)不確定度。

3．根據(jù)德布羅意波粒二象性，能量為E,動(dòng)量為p的微觀粒子，與

對(duì)應(yīng)的波動(dòng)的頻率和波長(zhǎng)的關(guān)系式分別是，。

二、簡(jiǎn)答題（每題5分，共30分）

1．寫(xiě)出含時(shí)薛定諤方程，當(dāng)時(shí)勢(shì)能與時(shí)間無(wú)關(guān)時(shí)，導(dǎo)出定態(tài)薛定

諤方程。假設(shè)定態(tài)薛定諤方程給出能量本證值是量子化的，從定態(tài)方程

的解構(gòu)造出含時(shí)薛定諤方程的一般解。

2．?dāng)⑹隽孔恿W(xué)中的測(cè)不準(zhǔn)原理，以動(dòng)量和坐標(biāo)為例給出具體測(cè)

不準(zhǔn)關(guān)系式。

3．?dāng)⑹隽孔恿W(xué)中物理量算符的性質(zhì)以及與力學(xué)量測(cè)量值之間的

關(guān)系。

4．?dāng)⑹觯ɑ蛘咄ㄟ^(guò)變換關(guān)系式描述）你對(duì)量子力學(xué)中的表象變換

的理解。

5．電子的自旋角動(dòng)量有什么特點(diǎn)？

6．?dāng)⑹鋈Ｗ硬ê瘮?shù)的性質(zhì)。

三、計(jì)算題（95分）

1．（16分）設(shè)粒子在一維無(wú)限深勢(shì)阱

中運(yùn)動(dòng)，

求：（1）.求解粒子能量本征值及對(duì)應(yīng)的狀態(tài)波函數(shù)。（6分）

（2）.粒子在一維空間的幾率分布函數(shù)。（5分）

（3）.在第n個(gè)能量激發(fā)態(tài)上，證明。（5分）

2．（15分）設(shè)氫原子處于狀態(tài)

式中為已知常數(shù)，且

求：（1）求科能測(cè)到氫原子能量值及其測(cè)量到的幾率。（5分）

（2）軌道角動(dòng)量平方的可能值，可能值出現(xiàn)的幾率以及的平

均值。（5分）

（3）分量的可能值，可能值出現(xiàn)的幾率以及的平均值。（5

分）

3．（10分）

（1）證明

式中花括號(hào)為反對(duì)易關(guān)系式，如：（5分）

（2）證明，，分別是下面三個(gè)角動(dòng)量分量

算符的本證態(tài)，本證值為.

，（5分）

杭州師范大學(xué)碩士研究生入學(xué)考試命題紙

4.（16分）設(shè)有一算符具有性質(zhì),,,求證:

（1）是一個(gè)厄秘算符;

（2）

（3）的本證值為0或者1

（4）,

5．（18分）一維諧振子的哈密頓為

假設(shè)它處在基態(tài)，若在加上一個(gè)彈性力作用，試用微擾論

計(jì)算H＇對(duì)能量的一級(jí)和二級(jí)修正，并與嚴(yán)格解比較。

[記諧振子的基態(tài)：；公式：；

]

6．（20分）兩個(gè)自旋為1/2,質(zhì)量為m的無(wú)相互作用的全同費(fèi)米子處

在線性諧振子勢(shì)場(chǎng)中。

計(jì)算體系的基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)的能量本征值和本征函數(shù)（同時(shí)考慮

空間自由度和自旋自由度），指出簡(jiǎn)并度。已知單粒子能級(jí)及本征函數(shù)

（空間部分）分別為和.

2011年杭州師范大學(xué)726量子力學(xué)考研真題

考試科目代碼：726

考試科目名稱：量子力學(xué)

一、填空題（每空3分，共30分）

1．寫(xiě)出含時(shí)薛定諤方程。

2．完成位置和動(dòng)量的對(duì)易關(guān)系：，其位置動(dòng)量不確定關(guān)

系的公式是。

3．量子力學(xué)中力學(xué)量算符必須是算符，以保證它的本征值為

數(shù)。

4．設(shè)設(shè)為氫原子的能量本征函數(shù)，完成下列積分：

，。

5．玻色子和費(fèi)米子自旋的特點(diǎn)是，費(fèi)米子服從統(tǒng)計(jì)，玻色子服

從統(tǒng)計(jì)。

二、簡(jiǎn)答題（每題5分，共30分）

1．?dāng)⑹瞿銓?duì)量子力學(xué)中微觀波粒二象性概念的理解。

2．?dāng)⑹隽孔恿W(xué)中物理量與厄米算符關(guān)系以及厄米算符與力學(xué)量

測(cè)量值之間的關(guān)系。

3．當(dāng)量子體系的勢(shì)能與時(shí)間無(wú)關(guān)時(shí)，從薛定諤方程出發(fā)推導(dǎo)出定

態(tài)薛定諤方程。

4．量子力學(xué)中微觀粒子的狀態(tài)對(duì)應(yīng)希爾伯特（Hilbert）空間的一

個(gè)矢量，敘述量子力學(xué)中的表象變換在希爾伯特空間對(duì)應(yīng)什么？

5．電子的自旋角動(dòng)量有什么特點(diǎn)？在Sz表象中，寫(xiě)出自旋角動(dòng)量

三個(gè)分量的矩陣表示。

6．什么是全同粒子，敘述全同粒子波函數(shù)的性質(zhì)。

三、計(jì)算題（90分）

1．（15分）設(shè)粒子在一維無(wú)限深勢(shì)阱

中運(yùn)動(dòng)，

求：（1），求坐標(biāo)的幾率分布和幾率最大的位置（4分）；

（2），證明（4分）；

（3），證明（4分）；

（4），求動(dòng)量的平均值（3分）

2．（10分）設(shè)氫原子處于狀態(tài)

求：（1）氫原子能量及其幾率。（4分）

（2）軌道角動(dòng)量平方的可能值，可能值出現(xiàn)的幾率。（4分）

（3）分量的可能值，可能值出現(xiàn)的幾率以及的平均值。（2

分）

3.（10分）證明：（1）是厄米算符：（5分），（2）

。（5分）

4.（15分）角動(dòng)量的定義，其中都是算符，并且有

，。證明如下的對(duì)易關(guān)系

（1），，；（5分）

（2）；（5分）

（3）。（5分）

5.（20分）設(shè)一量子體系的Hamilton量為其中：

，

求在二級(jí)近似下的能量本征值。

6．（20分）設(shè)氦原子中的兩個(gè)電子處于1s2p態(tài),兩個(gè)電子的空間波

函數(shù)分別為。

（i）寫(xiě)出電子兩個(gè)可能的空間波函數(shù)和四個(gè)可能的自旋波函數(shù);

（ii）寫(xiě)出兩個(gè)電子交換反對(duì)稱的總波函數(shù)（同時(shí)考慮空間自由度和

自旋自由度）。

2010年杭州師范大學(xué)716量子力學(xué)考研真題

2009年杭州師范大學(xué)715量子力學(xué)考研真題

2008年杭州師范大學(xué)715量子力學(xué)考研真題

2007年杭州師范學(xué)院715量子力學(xué)考研真題

考試科目代碼：715

考試科目名稱：量子力學(xué)

一、簡(jiǎn)答題（每題6分共48分）

1．什么是微觀粒子的波粒二象性？寫(xiě)出動(dòng)量為p的微觀粒子的德

布羅意波長(zhǎng)的表達(dá)式。

2．寫(xiě)出量子力學(xué)薛定諤方程，什么情況下薛定諤方程求解可以轉(zhuǎn)

化為定態(tài)薛定諤方程求解，寫(xiě)出定態(tài)薛定諤方程，并從定態(tài)薛定諤方程

的解出發(fā)構(gòu)造出薛定諤方程一般解的表達(dá)形式。

3．?dāng)⑹隽孔恿W(xué)的基本原理（或者說(shuō)量子力學(xué)的基本假設(shè)）、

（正確寫(xiě)出4條或4條以上給6分，少于4條每條1.5分）。

4．量子力學(xué)中力學(xué)量用厄米算符表示，那么力學(xué)量的測(cè)量值與力

學(xué)量對(duì)應(yīng)的厄米算符有什么關(guān)系。證明厄米算符的本征值為實(shí)數(shù)。

5．電子的自旋角動(dòng)量有什么特點(diǎn)？無(wú)外場(chǎng)情況下類氫原子