安徽省皖江名校聯(lián)盟2024屆高三上學(xué)期第二次聯(lián)考10月數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1安徽省皖江名校聯(lián)盟2024屆高三上學(xué)期第二次聯(lián)考（10月）數(shù)學(xué)試題一?選擇題1.若集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意得：，，所以，故選：D.2.的值等于（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意，.故選：C.3.已知向量，若向量的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)的范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意得：且與不共線，即，解得：且，所以實(shí)數(shù)的范圍是，故選：C.4.已知函數(shù)在區(qū)間上遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗令，則，因?yàn)樵诙x域上單調(diào)遞增，又函數(shù)在區(qū)間上遞增，所以，得到，故選：B.5.“為銳角三角形”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗充分性：若為銳角三角形，因?yàn)椋?，同理可得，，故．必要性：?dāng)，時(shí)，不等式成立，而此時(shí)并不是銳角三角形．故選：A6.若函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)（）A. B. C.1 D.-1〖答案〗B〖解析〗由題意知為定義在上的奇函數(shù)，所以，于是，解得：.經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)，，符合題意.故選：7.已知，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗，又，則，且，所以，則，，又，則，且，所以，則，綜上：，故選：A.8.已知函數(shù)不是常數(shù)函數(shù)，且滿足以下條件：①，其中；②，則（）A.0 B.1 C.2 D.〖答案〗D〖解析〗由題意令，得，又不是常數(shù)函數(shù)，所以，再令，得，即，則，即，故，所以函數(shù)的周期為，所以，故選：D.二?多選題9.設(shè)函數(shù)，若表示不超過(guò)的最大整數(shù)，則的函數(shù)值可能是（）A.0 B. C.1 D.2〖答案〗AB〖解析〗因?yàn)椋瑒t，所以函數(shù)的值域是，則的范圍是，于是的函數(shù)值可能是或，故選：.10.已知，若點(diǎn)滿足，則下列說(shuō)法正確的是（）A.點(diǎn)一定在內(nèi)部 B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗由，所以，設(shè)、分別是、的中點(diǎn)，所以，于是點(diǎn)是中位線上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則點(diǎn)一定在內(nèi)部，故A正確；又，所以，則，故B正確；由A可知，，且，所以，，即，故C正確；所以，故D錯(cuò)誤；故選：ABC11.若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則（）A.B.點(diǎn)是曲線的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心C.直線也是一條對(duì)稱(chēng)軸D.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)〖答案〗CD〖解析〗由題意函數(shù)，其對(duì)稱(chēng)軸為，即，所以令，解得，對(duì)于選項(xiàng)A,因此錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，該函數(shù)沒(méi)有對(duì)稱(chēng)中心，因此錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，令，解得，取，符合題意，因此C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，函數(shù)在單調(diào)遞增，即，當(dāng)時(shí)，函數(shù)區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此選項(xiàng)D正確.故選：CD12.若實(shí)數(shù)是方程的解，實(shí)數(shù)是方程的解，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于：函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以，故A正確；對(duì)于：如圖，是函數(shù)與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，實(shí)數(shù)是函數(shù)與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因?yàn)榕c關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，所以兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，所以且，于是，故B正確；對(duì)于C：由上，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：由B可知，，又在上為減函數(shù)，且，所以，而，所以成立，故D正確.故選：ABD.三?填空題13.設(shè)單位向量滿足，則值是__________.〖答案〗〖解析〗由題意可知：，將兩邊平方得，即，化簡(jiǎn)得，所以.故〖答案〗：.14.鈍角中，，則的面積是__________.〖答案〗〖解析〗由余弦定理得，代入數(shù)據(jù)，解得或，因?yàn)槭氢g角三角形，，所以，所以的面積是.故〖答案〗為：15.已知函數(shù)，設(shè)是四個(gè)互不相同的實(shí)數(shù)，滿足，則的取值范圍是__________.〖答案〗〖解析〗當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)圖象，如圖所示：當(dāng)時(shí)，，設(shè)，且，則由圖象得：，則由題意知，，且，，所以，即，則，所以的取值范圍是，故〖答案〗為：.16.已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則__________；的最大值是__________.〖答案〗2〖解析〗由題意得：，設(shè)函數(shù)與函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則，又，則，所以，，，即，又，所以當(dāng)時(shí)，的最大值是，故〖答案〗為：；.四?解答題17.已知函數(shù)最小值為，周期為.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域.解：（1）由題意，所以（2）由題意，因?yàn)椋?，于是，所以所以函?shù)的值域?yàn)?8.已知對(duì)應(yīng)關(guān)系.（1）若，求的值；（2）若對(duì)于區(qū)間內(nèi)的任意一個(gè)數(shù)，在區(qū)間內(nèi)都存在唯一確定的數(shù)和它對(duì)應(yīng)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）若，則，所以.（2）依題意，為從區(qū)間到區(qū)間的一個(gè)函數(shù)，其定義域?yàn)?，值域?yàn)榈淖蛹?，因此?wèn)題轉(zhuǎn)化為時(shí)，有恒成立，令，即當(dāng)時(shí)，恒成立，于是對(duì)一切恒成立，而當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，從而，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.19.已知是不共線的三點(diǎn)，且滿足，直線與交于點(diǎn)，若.（1）求的值；（2）過(guò)點(diǎn)任意作一條動(dòng)直線交射線于兩點(diǎn)，，求最小值.解：（1）由題意畫(huà)出圖像，因?yàn)?，所以且，注意到共線且共線，所以解得.（2）由（1）和圖象可知，結(jié)合.于是，所以.所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立.于是的最小值為.20.已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)的奇偶性并證明；（2）給定實(shí)數(shù)且，問(wèn)是否存在直線，使得函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)？若存在，求出的值（用表示）；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（1）當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為偶函數(shù)，證明如下：∴，又函數(shù)的定義域?yàn)?，∴函?shù)為偶函數(shù)；（2）假設(shè)存在直線，使得函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則，∴，即，即，∴，即，∴，∴，即，∵且，∴，故存在，使得函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)．21.如圖，已知是半徑為1，圓心角為的扇形，是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)，是扇形的內(nèi)接矩形，設(shè).（1）若，求線段的長(zhǎng)；（2）已知當(dāng)時(shí)，矩形的面積最大.求圓心角的大小，并求此時(shí)矩形面積的最大值是多少？解：（1），，.（2）由題意知，，，，所以當(dāng)，即時(shí)，面積最大，最大值為.22.已知函數(shù)，函數(shù).令函數(shù).（1）若曲線與直線相切，①求實(shí)數(shù)的值；②證明：；（2）若函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，證明：.（1）①解：設(shè)曲線在點(diǎn)處切線是，則，由于所以，由題意知：，于是；②證明：，當(dāng)時(shí)，，所以，即，當(dāng)時(shí)，，所以，即，于，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，其最小值是，所以，于是原不等式成立（2）證明：有且只有