江蘇省常州市聯(lián)盟學(xué)校2024屆高三上學(xué)期10月學(xué)情調(diào)研數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省常州市聯(lián)盟學(xué)校2024屆高三上學(xué)期10月學(xué)情調(diào)研數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由得，所以，又，所以.故選：A.2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗的解集是，反之不成立.所以“”是“”的必要不充分條件．故選：B.3.設(shè)，，是三條不同的直線，，，是三個不同的平面，有下列命題中，真命題為（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則〖答案〗C〖解析〗對于A選項：不妨設(shè)平面，，平面，平面，則有，，但與不垂直，故A選項錯誤.對于B選項：若，，則或與相交，即與不一定垂直，故B選項錯誤.對于C選項：設(shè)平面且，若，則有，又，所以，結(jié)合、平面，所以有，故C選項正確.對于D選項：若，，則或，故D選項錯誤.故選：C.4.已知圓臺的上下底面半徑分別為1和2，側(cè)面積為，則該圓臺的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗圓臺的側(cè)面展開圖是個扇環(huán)，，所以圓臺的高，則，故選：B.5.“幸福感指數(shù)”是指某個人主觀地評價他對自己目前生活狀態(tài)滿意程度的指標(biāo)，常用區(qū)間內(nèi)的一個數(shù)來表示，該數(shù)越接近10表示幸福感指數(shù)越高．已知甲、乙、丙、丁4人的幸福感指數(shù)分別為：；；；，則這4人的幸福感指數(shù)最高的是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁〖答案〗B〖解析〗，，，所以，，所以這4人的幸福感指數(shù)最高的是乙.故選：B.6.如圖，該圖象是下列四個函數(shù)中的某個函數(shù)的大致圖象，則該函數(shù)是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由圖可知，當(dāng)或時，函數(shù)值都大于零，對A：當(dāng)時，，故排除A；對B：當(dāng)時，，故排除B；對C：當(dāng)時，，，故排除C；故選：D.7.已知直線與曲線相切，則實(shí)數(shù)為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)切點(diǎn)為，則，故切線方程為，即，由于是切線，所以，故，化簡得，解得，所以，故選：A8.已知函數(shù)，設(shè)，若關(guān)于x的不等式在R上恒成立，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗已知函數(shù)，設(shè)，若關(guān)于x的不等式在上恒成立，當(dāng)時，，，，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，則.當(dāng)時，，則，，，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，則；，，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，則，所以.綜上，.故選：A.二、多選題9.下列命題正確的是（）A.若隨機(jī)變量的方差為，則B.對于隨機(jī)事件與，若，，則事件與獨(dú)立C.設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則D.根據(jù)分類變量與的成對樣本數(shù)據(jù)，計算得到，根據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，有的把握認(rèn)為與有關(guān)〖答案〗BC〖解析〗對于A，由，得，故A錯誤；對于B，由,而，則,所以,即事件與相互獨(dú)立，故B正確；對于C，因?yàn)殡S機(jī)變量服從正態(tài)分布，所以正態(tài)曲線關(guān)于直線對稱，又因?yàn)?，所以，所以，故C正確；對于D，由，所以沒有的把握認(rèn)為與有關(guān)，故D錯誤.故選：BC.10.下列命題中正確的是（）A.若冪函數(shù)的圖像過點(diǎn)，則B.若函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是C.已知，，且，則的最小值為D.已知函數(shù)滿足，且與的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)依次為，則〖答案〗AC〖解析〗A選項，，將代入得，，解得，故，A正確；B選項，當(dāng)時，，其圖象如下：滿足在R上單調(diào)遞增，故B錯誤；C選項，已知，，且，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，則的最小值為，C正確；D選項，，故關(guān)于中心對稱，又，，故關(guān)于中心對稱，所以與的圖象的交點(diǎn)關(guān)于中心對稱，則，，，D錯誤.故選：AC.11.已知函數(shù)，其中，則（）A.不等式對恒成立B.若關(guān)于x的方程有且只有兩個實(shí)根，則k的取值范圍C.方程恰有3個實(shí)根D.若關(guān)于x的不等式恰有1個正整數(shù)解，則a的取值范圍為〖答案〗AD〖解析〗對于選項A，，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴在出取得極小值，，在處取得極大值，，而時，恒有成立，∴的最小值是，即，對恒成立，故A正確；對于B選項，方程有且只有兩個實(shí)根，即曲線與直線有且只有兩個交點(diǎn)，由A選項分析，曲線與直線圖像如下，由圖知，當(dāng)或時，曲線與直線有且只有兩個交點(diǎn)，故B錯誤；對于C選項，由，得，解得，令，和，而，由圖像知，和分別有兩解：綜上，方程共有4個根，C錯誤；對于D選項，直線過原點(diǎn)，且，，，記，，，易判斷，，不等式恰有1個正整數(shù)解，即曲線在的圖像上方對應(yīng)的x值恰有1個正整數(shù)，由圖可得，即，故D正確．故選：AD12.已知函數(shù)滿足：對于任意實(shí)數(shù)，都有，且，則（）A.是奇函數(shù) B.是偶函數(shù)C.是曲線的一個對稱中心 D.〖答案〗BCD〖解析〗取得到，解得，故A錯誤；取得到，故，函數(shù)為偶函數(shù)，B正確；取得到，故，取，則，故是曲線的一個對稱中心，C正確；，即，，故，是函數(shù)的一個周期，，D正確.故選：BCD.三、填空題13.牛頓曾經(jīng)提出了常溫環(huán)境下的溫度冷卻模型：，其中為時間（單位：為環(huán)境溫度，為物體初始溫度，為冷卻后溫度．假設(shè)在室內(nèi)溫度為的情況下，一杯飲料由降低到需要，則此飲料從降低到需要___________min．〖答案〗60〖解析〗由題設(shè)，所以.故〖答案〗為：60.14.已知函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)開_________．〖答案〗〖解析〗由于，由，得，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)?．，又，，，故函數(shù)的值域?yàn)?，故〖答案〗為?5.甲箱中有兩個白球三個紅球，乙箱中有一個白球三個紅球，先從甲箱中取一球放入乙箱，再從乙箱中任取一球，則從乙箱中取得的為白球的概率為____________．〖答案〗〖解析〗設(shè)事件A表示從甲箱中隨機(jī)取出一紅球放入乙箱中，事件B表示從甲箱中隨機(jī)取出一白球放入乙箱中，設(shè)事件表示從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱中，再從乙箱中隨機(jī)取出一球，則取出的球是白球，則有,所以，故〖答案〗為:16.在四棱錐中，底面是正方形，底面.若四棱錐的體積為9，且其頂點(diǎn)均在球上，則當(dāng)球的體積取得最小值時，______________，此時球心到平面的距離是______________.〖答案〗3〖解析〗如下圖所示，設(shè)四棱錐底面邊長為，則該四棱錐的體積，所以；設(shè)四棱錐的外接球半徑為，通過構(gòu)造長方體可知滿足；即令，則，令,即；所以，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；即函數(shù)在處取最小值，此時外接球的半徑最小，體積最??；所以，，半徑；此時四棱錐可以看成是由棱長為3的正方體截取的一部分，則球心應(yīng)在正方體對角線的中點(diǎn)，設(shè)平面由正方體中的幾何關(guān)系可知，且平面；所以即為球心O到平面的距離.又因?yàn)?，即所以球心O到平面的距離為.故〖答案〗為：.四、解答題17.已知，全集，集合，函數(shù)的定義域?yàn)锽．（1）當(dāng)時，求；（2）若是成立的充分不必要條件，求a的取值范圍．解：（1），即．當(dāng)時，由，得，解得，即,∴．（2）由是的充分不必要條件，可知集合是集合的真子集．所以（且兩等號不能同時成立），解得，經(jīng)檢驗(yàn)符合集合是集合的真子集，所以a的取值范圍是．18.設(shè)函數(shù)為偶函數(shù)．（1）求k的值；（2）寫出函數(shù)的單調(diào)性（不需證明），并解不等式．解：（1）∵為定義在R上的偶函數(shù)，∴，即，故，即，解得；（2）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，理由如下：，設(shè)任取，且，則，因?yàn)?，且，所以，，故，所以在單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)同增異減可得，在單調(diào)遞增，又在R上為偶函數(shù)，故在上單調(diào)遞減，，∴，解得或，∴不等式解集為.19.已知函數(shù)，其中．（1）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求的值；（2）若討論函數(shù)的單調(diào)性．解：（1），因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，所以，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，故．（2），當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，令，解得或，當(dāng)時，因當(dāng)時，當(dāng)或時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．當(dāng)時，因?yàn)楫?dāng)時，當(dāng)或時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．當(dāng)時，時，所以在上單調(diào)遞減綜上，當(dāng)時在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．20.四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，AB//CD，AB⊥BC，AB=2，BC=1，平面PAD⊥底面ABCD，△PAD為等腰直角三角形，PA=PD，M為PC上一點(diǎn)，PM=2MC，平面MBD．（1）求CD的長度；（2）求證：PA⊥平面PBD；（3）求PA與平面PBC所成角的正弦值．（1）解：連接AC交BD于O，連結(jié)MO．∵平面MBD，PA平面PAC，平面平面，∴，則，由題設(shè)易知，得，故．（2）證明：由題意得，故，即BD⊥AD．平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD平面ABCD，所以BD⊥平面PAD，PA平面PAD，則BD⊥PA，又PA⊥PD，PD、BD平面PBD，PD∩BD=D，所以PA⊥平面PBD.（3）解：取AB中點(diǎn)E，以DE為x軸，DC為y軸，過D作z軸⊥底面ABCD，則，取AD中點(diǎn)F，由△PAD為正三角形，則PF⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PE平面APD，所以PF⊥平面ABCD，則，故，設(shè)為平面PBC的一個法向量，則，令，則，又，所以，故PA與平面PBC所成角的正弦值為．21.甲、乙兩名學(xué)生進(jìn)行“趣味投籃比賽”，制定比賽規(guī)則如下：每輪比賽中甲、乙兩人各投一球，兩人都投中或者都未投中則均記0分；一人投中而另一人未投中，則投中的記1分，未投中的記分設(shè)每輪比賽中甲投中的概率為，乙投中的概率為，甲、乙兩人投籃相互獨(dú)立，且每輪比賽互不影響．（1）經(jīng)過1輪比賽，記甲的得分為，求的分布列和期望；（2）經(jīng)過3輪比賽，用表示第n輪比賽后甲累計得分低于乙累計得分概率，研究發(fā)現(xiàn)點(diǎn)均在函數(shù)的圖象上，求實(shí)數(shù)m，s，t的值．解：（1）的可能取值為，則；；，的分布列為：01．（2）由（1）知，經(jīng)過兩輪比賽，甲累計得分低于乙累計得分有兩種情況：一是甲兩輪得分都為；二是兩輪中甲有一輪得0分，另一輪得分，則．經(jīng)過三輪比賽，甲累計得分低于乙累計得分有四種情況：三輪中甲得分都為；三輪中甲有兩輪得分，另一輪得0分；三輪中甲有一輪得分，另兩輪得0分；三輪中甲有兩輪得分，另一輪得1分，則，由題意，點(diǎn)均在函數(shù)的圖象上，則，②－①得④，③－②得⑤，⑤÷④得⑥，將⑥代入④得⑦，將⑥⑦代入①得，綜上，，，．22.已知函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）當(dāng)時，判斷在零點(diǎn)的個數(shù)，并說明理由．解：（1）由可得，此