專題14 比例線段、黃金分割、平行線分線段成比例之六大考點(解析版)

專題14比例線段、黃金分割、平行線分線段成比例【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一成比例線段】 1【考點二比例的性質】 2【考點三利用黃金分割求線段的長】 3【考點四與黃金分割有關的證明】 5【考點五由平行判斷成比例的線段】 9【考點六由平行截線求相關線段的常或比值】 11【過關檢測】 14【典型例題】【考點一成比例線段】例題：（2023·廣東湛江·嶺師附中校聯(lián)考三模）下列四組線段中，成比例線段的是（

）A．4，1，3，8 B．3，4，5，6 C．4，8，3，5 D．15，5，6，2【答案】D【分析】根據(jù)成比例線段的定義進行判斷即可【詳解】解：A．∵，∴4，1，3，8不是成比例線段，不符合題意；B．∵，∴3，4，5，6不是成比例線段，不符合題意；C．∵，∴4，8，3，5不是成比例線段，不符合題意；D．∵，∴15，5，6，2是成比例線段，符合題意．故選：D．【點睛】此題考查了成比例線段，如果四條線段a、b、c、d滿足，則線段a、b、c、d成比例，熟練掌握成比例線段的定義是解題的關鍵．1．（2023秋·陜西咸陽·九年級統(tǒng)考期末）下列給出長度的四條線段中，是成比例線段的是（

）A．，，， B．，，， C．，，， D．，，，【答案】C【分析】根據(jù)比例線段的定義，分別計算各選項中最小的數(shù)與最大的數(shù)的積是否等于另外兩個數(shù)的積可判斷四條線段成比例．【詳解】、，此選項不符合題意，排除；、，此選項不符合題意，排除；、，此選項符合題意；、，此選項不符合題意，排除；故選：．【點睛】此題考查了比例線段，解題的關鍵是如何判定四條線段是否成比例，只要把四條線段按大小順序排列好，判斷前兩條線段之比與后兩條線段之比是否相等即可，求線段之比時，要先統(tǒng)一線段的長度單位，最后的結果與所選取的單位無關系．2．（2023秋·陜西渭南·九年級統(tǒng)考期末）已知a，b，c，d是成比例線段，其中，，，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由a、b、c、d四條線段是成比例的線段，根據(jù)成比例線段的定義計算即可．【詳解】解∶因為a，b，c，d是成比例線段，可得：，故選：D．【點睛】此題考查了成比例線段的定義．此題比較簡單，解題的關鍵是注意掌握比例線段的定義．【考點二比例的性質】例題：（2023春·江西九江·九年級校聯(lián)考階段練習）已知，則．【答案】3【分析】設，代入計算即可．【詳解】解：∵，設，∴；故答案為：3．【點睛】本題考查分式求值．熟練掌握設參法，是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2023秋·遼寧遼陽·九年級統(tǒng)考期末）已知，則．【答案】【分析】根據(jù)比例的性質，設，進而得出，代入代數(shù)式即可求解．【詳解】解：設，∴∴，故答案為：．【點睛】本題考查了比例的性質，熟練掌握比例的性質是解題的關鍵．2．（2023·湖南株洲·統(tǒng)考一模）已知，且，若，則．【答案】5【分析】根據(jù)已知條件求出，根據(jù)得出，再求出答案即可．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，等式兩邊都除以2，得，故答案為：5【點睛】本題考查了比例的性質，能選擇適當?shù)姆椒ㄇ蠼馐墙獯祟}的關鍵．【考點三利用黃金分割求線段的長】例題：（2023·全國·九年級假期作業(yè)）點P是長度為10的線段上的黃金分割點，則較短線段的長度為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)黃金分割的定義即把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項，這樣的線段分割叫做黃金分割，他們的比值叫做黃金比，分別進行計算即可．【詳解】解：點P是長度為10的線段上的黃金分割點，∴較長的線段的長度為，則較短的線段的長度為：；故選C．【點睛】此題考查了黃金分割，熟記黃金分割的公式：較短的線段原線段的，較長的線段原線段的是本題的關鍵．【變式訓練】1．（2023春·黑龍江大慶·八年級統(tǒng)考階段練習）在長度為1的線段上有一點P．滿足，則長為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)黃金分割點的定義，知是較長線段，代入數(shù)據(jù)即可得出的長，進而求出的長度．【詳解】解：是線段上的一點，且滿足，為線段的黃金分割點，且是較長線段，，．故選A．【點睛】本題考查了黃金分割的概念：如果一個點把一條線段分成兩條線段，并且較長線段是較短線段和整個線段的比例中項，那么就說這個點把這條線段黃金分割，這個點叫這條線段的黃金分割點．2．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）“黃金分割”給人以美感，它在建筑、藝術等領域有著廣泛的應用．如圖（1），點把線段分成兩部分，如果，那么稱點是線段的黃金分割點．如圖（2），點分別是線段的黃金分割點，（），若，則的長是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題中黃金分割點定義，在圖（1）中令，設，，即，解得，從而，得到黃金分割比由點分別是線段的黃金分割點，可知，，，則，，，根據(jù)，代入求解即可得到，，．【詳解】解：如圖（1），點把線段分成兩部分，如果，那么稱點是線段的黃金分割點，令，設，則，則由，代值得，解得，，，點分別是線段的黃金分割點，，，，，，，將，代入求解即可得到，，，故選：A．【點睛】本題查處黃金分割點定義，涉及黃金分割比求解及利用黃金分割比求線段長，讀懂題意，理解黃金分割點定義得到比例是解決問題的關鍵．【考點四與黃金分割有關的證明】例題：（2023·全國·九年級假期作業(yè)）中，D是上一點，若，則稱為的黃金分割線．(1)求證：若為的黃金分割線，則D是的黃金分割點；(2)若，求的面積．（結果保留根號）【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）先由等高的兩個三角形面積之比等于底之比，可得，，又因為，等量代換得出，根據(jù)黃金分割點的定義即可證明D是的黃金分割點；（2）由（1）知，那么，，又等高的兩個三角形面積之比等于底之比，將代入，即可求出的面積．【詳解】（1）證明：∵，，又∵，∴，∴D是的黃金分割點；（2）解：由（1）知，∴，∴，∵，∴．【點睛】本題考查了黃金分割的概念：把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項，這樣的線段分割叫做黃金分割，他們的比值（）叫做黃金比．也考查了三角形的面積．【變式訓練】1．（2022秋·九年級單元測試）如圖所示，以長為2的定線段為邊作正方形，取的中點P，連接，在的延長線上取點F，使，以AF為邊作正方形，點M在上．(1)求的長；(2)點M是的黃金分割點嗎？為什么？【答案】(1)的長為，的長為；(2)點M是的黃金分割點，理由見解析【分析】（1）要求AM的長，只需求得AF的長，又，，則；（2）根據(jù)（1）中的數(shù)據(jù)得：，根據(jù)黃金分割點的概念，則點M是AD的黃金分割點．【詳解】（1）在中，，由勾股定理知∶，∴，；故的長為，的長為；（2）點M是AD的黃金分割點．∵，∴點M是的黃金分割點．【點睛】此題綜合考查了正方形的性質、勾股定理和黃金分割的概念．先求得線段的長，然后求得線段和之間的比，根據(jù)黃金分割的概念進行判斷．2．（2023秋·山西運城·九年級統(tǒng)考期末）閱讀下列材料，并按要求完成相應的任務：黃金分割：兩千多年前，古希臘數(shù)學家歐多克索斯（Eudoxus，約前408年一前355年）發(fā)現(xiàn)：如圖1，將一條線段AB分割成長、短兩條線段AP、PB，若短段與長段的長度之比等于長段的長度與全長之比，即（此時線段AP叫做線段PB，AB的比例中項），則可得出這一比值等于（0.618…）．這種分割稱為黃金分割，這個比值稱為黃金比，點P叫做線段AB的黃金分割點．采用如下方法可以得到黃金分割點：如圖2，設AB是已知線段，經過點B作BD⊥AB于點B，且使BD＝AB，連接DA，在DA．上截取DE＝DB，在AB上截取AC＝AE，C就是線段AB的黃金分割點．任務：（1）求證：C是線段AB的黃金分割點．（2）若BD＝1，則BC的長為．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）在直角三角形△ABD中設則，利用勾股定理求出，再求出，即，則，即可得出結論；（2）若BD＝1，則，把AB代入到即可求出AC，進而可求出BC．【詳解】解：（1）∵BD⊥AB，∴△ABD是直角三角形，∵BD＝AB，∴設則，∴，∵DE＝DB，AC＝AE，∴，∴∴，∴，故C是線段AB的黃金分割點．（2）若BD＝1，則，由（1）知，∴，∴，∴．【點睛】本題考查黃金分割、勾股定理等知識，解題關鍵是正確理解題意，掌握黃金分割的定義．【考點五由平行判斷成比例的線段】例題：（2023春·山西臨汾·九年級統(tǒng)考開學考試）如圖，在中，，，則下列比例式中正確的是（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平行線分線段成比例判斷各項即可．【詳解】解：A．由，得，故A選項錯誤；B．由，得，又由，得，則，故B選項錯誤，D選項正確；C．由，得，故C選項錯誤；故選：D．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例，兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例，平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，截得的對應線段成比例．【變式訓練】1．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考三模）如圖，在平行四邊形中，E是上一點，連接并延長交的延長線于點F，則下列結論錯誤的是（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平行四邊形的性質得出，，，，利用平行線分線段成比例定理逐項進行判斷即可．【詳解】解：A．∵四邊形為平行四邊形，∴，，，，∵，∴，∵，∴，故A正確，不符合題意；B．∵，∴，∵，∴，故B正確，不符合題意；C．∵，∴，故C正確，不符合題意；D．∵，∴，即，∵，∴，∴，故D錯誤，符合題意．故選：D．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質，平行線分線段成比例定理，解題的關鍵是靈活運用平行線分線段成比例定理．2．（2023秋·廣東佛山·九年級統(tǒng)考期末）如圖，直線，分別交直線m、n于點A、C、E、B、D、F，下列結論不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用平行線分線段成比例定理解決問題即可．【詳解】解：，，，，；∴選項A、C、D正確，故選：B．【點睛】本題考查平行線分線段成比例定理，熟練運用平行線分線段成比例定理是解題的關鍵．【考點六由平行截線求相關線段的?；虮戎怠坷}：（2023春·吉林長春·九年級統(tǒng)考階段練習）如圖，、相交于點，點、分別在、上，，如果，，，，那么．【答案】10【分析】利用平行線分線段成比例定理即可解決問題．【詳解】解：，，，，，，，，．故答案為：10．【點睛】本題考查平行線分線段成比例定理，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．【變式訓練】1．（2023·江蘇南京·南師附中樹人學校校考三模）如圖，已知直線，如果，，那么線段的長是．

【答案】6【分析】由平行線所截線段對應成比例可知，然后代入求解即可．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，故答案為：6．【點睛】本題主要考查平行線所截線段對應成比例，熟練掌握比例線段的計算是解決本題的關鍵．2．（2023秋·河南周口·九年級統(tǒng)考期末）如圖，點分別在的邊上，且，過點作，分別交、的平分線于點．若，平分線段，則．【答案】//【分析】設、交于點，結合可得；由平行線分線段成比例定理可得，即有，再證明，進一步可得，易知，可得，即可獲得答案．【詳解】解：如下圖，設、交于點，∵，平分線段，∴，∵，∴，∴，∵，∴，，∵平分，平分，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了平行線分線段成比例定理、平行線的判定、角平分線的定義等知識，熟練運用平行線分線段定理是解題關鍵．【過關檢測】一、單選題1．（2023春·安徽·九年級校聯(lián)考階段練習）下列各組種的四條線段成比例的是（

）A．、、、 B．、、、C．、、、 D．、、、【答案】C【分析】根據(jù)比例線段的定義和比例的性質，利用每組數(shù)中最大和最小數(shù)的積與另兩個數(shù)之積是否相等進行判斷．【詳解】解：A.，所以四條線段不成比例，故A選項不符合題意；B.，所以四條線段不成比例，故B選項不符合題意；C.，所以四條線段成比例，故C選項符合題意；D.，所以四條線段不成比例，故D選項不符合題意．故選：C．【點睛】本題考查成比例線段的概念，關鍵是理解比例線段的定義，兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積，則四條線段叫成比例線段．2．（2023春·湖南株洲·九年級統(tǒng)考開學考試）已知，那么的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)，可設，則，代入所求的式子即可求解．【詳解】解：，設，則，則原式．故選：D．【點睛】本題考查了比例的性質，根據(jù)，正確設出未知數(shù)是本題的關鍵．3．（2023秋·福建莆田·九年級?？奸_學考試）如圖，在中，點D在邊上，，若，則的值是(

)

A． B． C． D．【答案】A【分析】直接運用平行線分線段成比例定理得出比例式求解即可．【詳解】解：∵，∴．故選：A．【點睛】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，熟記平行線分線段成比例定理是解決問題的關鍵．4．（2023春·河北邢臺·九年級統(tǒng)考開學考試）如圖，是葉脈的黃金分割點，則（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)黃金分割數(shù)的性質（如果把一條線段分為兩部分，使其中較長一段與整個線段的比是黃金分割數(shù)，那么較短一段與較長一段的比也是黃金分割數(shù)）求解即可．【詳解】根據(jù)黃金分割數(shù)的性質可知．故選：A．【點睛】本題主要考查黃金分割數(shù)，牢記黃金分割數(shù)的性質（如果把一條線段分為兩部分，使其中較長一段與整個線段的比是黃金分割數(shù)，那么較短一段與較長一段的比也是黃金分割數(shù)）是解題的關鍵．5．（2023秋·湖南益陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，是平行四邊形對角線上的點，若，，則的長為（

）

A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】可證，從而可求，即可求解．【詳解】解：四邊形是平行四邊形，，，，，，，．故選：C．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質，平行線分線段成比例定理，掌握性質及定理是解題的關鍵．二、填空題6．（2023·上海嘉定·模擬預測）已知：，則．【答案】7【分析】根據(jù)比例的性質交叉相乘得到即可求解．【詳解】解：∵，∴，則即，則．故答案為：7．【點睛】本題考察了比例的性質，屬于基礎題，計算過程細心即可．7．（2023春·安徽·九年級專題練習）已知三條線段a、b、c，其中，c是a、b的比例中項，則cm．【答案】2【分析】由c是a、b的比例中項，根據(jù)比例中項的定義，列出比例式即可得出線段c的長，注意線段不能為負．【詳解】解：根據(jù)比例中項的概念結合比例的基本性質，得：比例中項的平方等于兩條線段的乘積．所以，解得：（線段是正數(shù)，負值舍去）．則cm．故答案為：2．【點睛】此題考查了比例線段；理解比例中項的概念是關鍵，這里注意線段不能是負數(shù)．8．（2023·北京·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線AD，BC交于點O，.若，，.則的值為．

【答案】【分析】由平行線分線段成比例可得，，，得出，，從而.【詳解】，

，，，，，，；故答案為：.【點睛】本題考查了平行線分線段成比例的知識點，根據(jù)平行線分線段成比例找出線段之間的關系是解決本題的關鍵.9．（2023·廣東深圳·模擬預測）如圖，在中，D為邊的中點，點E在線段上，的延長線交邊于點F，若，，則線段的長為．

【答案】【分析】過點作于點,由平行線分線段成比例定理得，求得，再結合中點進一步可得，從而得到答案．【詳解】解：如圖，過點作于點；則；而，，；為邊的中點，，，故答案為：．

【點睛】本題考查平行線分線段成比例定理，正確構造平行線是解決此題的關鍵．10．（2023春·安徽·九年級專題練習）鸚鵡螺是一類古老的軟體動物．鸚鵡螺曲線的每個半徑和后一個半徑的比都是黃金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如圖，P是的黃金分割點（），若線段的長為8cm，則的長為cm．（結果保留根號）【答案】【分析】根據(jù)黃金分割的定義進行計算即可解答．【詳解】解：∵點P是的黃金分割點（），線段的長為，∴，∴，∴故答案為：．【點睛】本題考查了黃金分割的比例線段，熟練掌握黃金分割的定義是解題的關鍵．三、解答題11．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）如圖，，，，，求、的長．【答案】【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理可得，代入數(shù)值后解決問題．【詳解】解：，∴，，，∴，解得：，則．【點睛】本題考查平行線分線段成比例定理的應用，其中掌握平行線分線段成比例定理（三條平行線截兩條直線，所得對應線段成比例）是關鍵．12．（2022秋·安徽六安·九年級校考階段練習）已知，且．(1)求的值；(2)若，求的值．【答案】(1)2(2)10【分析】（1）利用等比性質，進行計算即可解答；（2）利用等比性質，進行計算即可解答．【詳解】（1）解：，且，，的值為2；（2）解：，，，，，的值為10．【點睛】本題考查了比例的性質，熟練掌握等比性質是解題的關鍵．13．（2022秋·九年級單元測試）與在網格中的位置如圖所示，且每個小正方形的邊長都是．

(1)求，，的值(2)在，，，，，這六條線段中，指出其中三組成比例的線段．【答案】(1)，，(2)見解析【分析】（1）根據(jù)網格和勾股定理求出、、、、、的長度即可解答；（2）根據(jù)兩條線段的比與另兩條線段的比相等找出成比例的線段．【詳解】（1）解：由圖可知：，，，，，，，，；（2），、、、是成比例的線段；，、、、是成比例的線段；，、、、是成比例的線段．【點睛】本題考查的是成比例線段、勾股定理的應用，根據(jù)格點求出線段的長度是解題的關鍵．14．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考三模）小明在學習角平分線知識的過程中，做了進一步探究：如圖，在中，的平分線交于點，發(fā)現(xiàn)．小明想通過證明來驗證這個結論．

證明：延長至，使得，請你完成上述證明過程：結論應用：已知在中，，，邊上有一動點，連接，點關于的對稱點為點，連接交于點．(1)如圖2，當，，求的值．(2)如圖3，當，與的邊垂直時，求的值．

【答案】證明：見解析；結論應用：(1)；(2)1或或【分析】延長至，使得，連接，證明，可得，而，則；（1）由，，可得，依題意：：，由結論可得，則（2）①，則，②，則，點恰與點重合，③，，分別根據(jù)結論列出比例式，進而即可求解．【詳解】延長至，使得，連接，

，，又平分，．，，，，