2021年浙江省杭州市中考數(shù)學(xué)真題含詳解

2021年浙江省杭州市中考數(shù)學(xué)真題含詳解

姓名：班級：考號：

一、選擇題(共10題)

1、-(-23=()

11

A.-2021B.2021C.-2021D.2021

2、“奮斗者”號載人潛水器此前在馬里亞納海溝創(chuàng)造了10909米的我國載人深潛紀(jì)錄，

數(shù)據(jù)10909用科學(xué)記數(shù)法可表示為()

A.0.10909X105B.1.0909xl04c.10.909X103D.109.09xl02

3、因式分解：I7/=()

A.(l-2y)(l+2y)B.(2-y)(2+用

C(1-2J)(2+7)D(2-ty)(l+2y)

4、如圖，設(shè)點(diǎn)F是直線，外一點(diǎn)，PQ5垂足為點(diǎn)0,點(diǎn)7是直線/上的一個動點(diǎn),

連接PT,則()

A.FT±2PQBPT<2PQC.PT>PQ^PT<PQ

5、下列計(jì)算正確的是（）

A,萬=2B.=-2g..=±2口.=±2

6、某景點(diǎn)今年四月接待游客25萬人次，五月接待游客60.5萬人次，設(shè)該景點(diǎn)今年四月

到五月接待游客人次的增長率為x(x>0),則()

A60.5(1-X)=25B25(1-X)=60,5

c60.5(1+x)=25D25(l+x)=60,5

7、某軌道列車共有3節(jié)車廂，設(shè)乘客從任意一節(jié)車廂上車的機(jī)會均等，某天甲、乙兩位乘

客同時(shí)乘同一列軌道列車，則甲和乙從同一節(jié)車廂上車的概率是()

1211

A.5B.4C.3D.2

8、在“探索函數(shù)y=a/+5x+c的系數(shù)。，白，c與圖象的關(guān)系”活動中，老師給

出了直角坐標(biāo)系中的四個點(diǎn)：掰°2),5(1,0),523,同學(xué)們探索了經(jīng)過這

四個點(diǎn)中的三個點(diǎn)的二次函數(shù)的圖象，發(fā)現(xiàn)這些圖象對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式各不相同，其中”的

值最大為()

9、已知線段AB,按如下步驟作圖：①作射線AC,使ACA.AB,②作/孫。的平

分線心；③以點(diǎn)A為圓心，A?長為半徑作弧，交皿于點(diǎn)E；④過點(diǎn)總作

屈于點(diǎn)P,則AP,AB=()

A.1：有B.l：2c.1：4D,1：0

10、已知》和乃均是以x為自變量的函數(shù)，當(dāng)X■求時(shí)，函數(shù)值分別為此和AG,若

存在實(shí)數(shù)活，使得M+a=0,則稱函數(shù)乃和為具有性質(zhì)P.以下函數(shù)必和乃具有

性質(zhì)P的是()

A,必=/+2x和y2=-x-l

B.必=/+2工和乃=一1+1

__

C.乃=一1和g=一彳1

_1

D.乃一x和乃=一了+1

二、解答題(共7題)

1、以下是圓圓解不等式組

2(l+x)>-1①

-(1-x)>-2②

的解答過程.

解：由①，得2+x>-l,

所以工>一3.

由②，得1-芯>2,

所以-x>l,

所以x>-l.

所以原不等式組的解是x>-l.

圓圓的解答過程是否有錯誤？如果有錯誤，寫出正確的解答過程.

2、為了解某校某年級學(xué)生一分鐘跳繩情況，對該年級全部360名學(xué)生進(jìn)行一分鐘跳繩次數(shù)

的測試，并把測得數(shù)據(jù)分成四組，繪制成如圖所示的頻數(shù)表和未完成的頻數(shù)直方圖(每一組

不含前一個邊界值，含后一個邊界值).

某校某年級360名學(xué)生一分仲蹺堤

次數(shù)的分?jǐn)?shù)直方圖

某校某年級360名學(xué)生一分鐘跳繩次數(shù)的頻數(shù)表

組別(次)頻數(shù)

100^13048

130^16096

160~190a

190^22072

(1)求。的值.

(2)把頻數(shù)直方圖補(bǔ)充完整.

(3)求該年級一分鐘跳繩次數(shù)在190次以上的學(xué)生數(shù)占該年級全部學(xué)生數(shù)的百分比.

3、在①AD=AE,②ZABE=ZACD,③郎=EC這三個條件中選擇其中一個，補(bǔ)

充在下面的問題中，并完成問題的解答.

問題：如圖，在ASBC中，=44cB，點(diǎn)D在A5邊上（不與點(diǎn)A,點(diǎn)B重合），

點(diǎn)后在5C邊上（不與點(diǎn)A,點(diǎn)C重合），連接BE,CD,BE與8相交于點(diǎn)尸.若

,求證：BE=CD.

注：如果選擇多個條件分別作答，按第一個解答計(jì)分.

4、在直角坐標(biāo)系中，設(shè)函數(shù)必x（占是常數(shù)，片x>0）與函數(shù)為=￡'（總

是常數(shù)，月?！悖┑膱D象交于點(diǎn)/,點(diǎn)4關(guān)于丁軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)B.

（1）若點(diǎn)&的坐標(biāo)為（72）,

①求占，占的值.

②當(dāng)當(dāng)<乃時(shí)，直接寫出x的取值范圍.

（2）若點(diǎn)8在函數(shù)為=?。ㄔ率浅?shù)，能。°）的圖象上，求用+總的值.

5、如圖，在“EC中，乙4RC的平分線BD交加邊于點(diǎn)D,于點(diǎn)E.已

知ZA5C=60°,ZC=45°.

(1)求證：AB=BD.

(2)若AE=3,求的面積

6、在直角坐標(biāo)系中，設(shè)函數(shù)丁=。/+左+1(*3是常數(shù)，.

(1)若該函數(shù)的圖象經(jīng)過U°i和(2/)兩點(diǎn)，求函數(shù)的表達(dá)式，并寫出函數(shù)圖象的頂點(diǎn)

坐標(biāo).

(2)寫出一組a,5的值，使函數(shù)V=a/+以+1的圖象與x軸有兩個不同的交點(diǎn)，并

說明理由.

(3)已知a=b=\,當(dāng)x=p,q(P,<7是實(shí)數(shù)，…)時(shí)，該函數(shù)對應(yīng)的函數(shù)值分

別為P,Q.若P"=2,求證F+O>6.

7、如圖，銳角三角形3c內(nèi)接于OO,/班。的平分線NG交OO于點(diǎn)G,交BC邊

于點(diǎn)尸，連接BG.

⑴求證：“BGSAAFC.

⑵已知奶=a,AC=AF=b,求線段咫的長（用含a,8的代數(shù)式表示）.

（3）已知點(diǎn)后在線段〃1上（不與點(diǎn)A,點(diǎn)F重合），點(diǎn)。在線段AS上（不與點(diǎn)A,

點(diǎn)5重合），ZABD=ZCBE,求證：BGi=GEGD.

三、填空題（共6題）

1、sin30°的值為.

2、計(jì)算：2a+3a=.

3、如圖，已知0。的半徑為1,點(diǎn)P是0。外一點(diǎn)，且。產(chǎn)=2.若FT是O。的切

線，7為切點(diǎn)，連接0T,則PT=.

4、現(xiàn)有甲、乙兩種糖果的單價(jià)與千克數(shù)如下表所示.

1甲種糖果乙種糖果

單元（元/千克）3020

千克數(shù)23

將這2千克甲種糖果和3千克乙種糖果混合成5千克什錦糖果，若商家用加權(quán)平均數(shù)來確

定什錦糖果的單價(jià)，則這5千克什錦糖果的單價(jià)為元/千克.

5、如圖，在直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)33,1）為端點(diǎn)的四條射線AB9AC>AD,4E分別

過點(diǎn)見1/），點(diǎn)⑶，點(diǎn)044）,點(diǎn)即5,2）,則㈤0______乙DAE（填

“>”?=”?<”中的一個），

6、如圖是一張矩形紙片加8,點(diǎn)舷是對角線RC的中點(diǎn)，點(diǎn)￡■在3C邊上，把^DCE

沿直線改折疊，使點(diǎn)C落在對角線公上的點(diǎn)F處，連接DF,EF.若MF=AB,

則/DAF=度.

===========參考答案======

一、選擇題

1、B

【分析】

由去括號法則，即可得到答案.

【詳解】

解.-(-2021)=2021

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了去括號法則，解題的關(guān)鍵是掌握去括號法則進(jìn)行計(jì)算.

2、B

【分析】

用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值大于1的數(shù)，形如司＜1°速為正整數(shù)，據(jù)此解題.

【詳解】

解：10909用科學(xué)記數(shù)法可表示為1.0909x104,

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值大于1的數(shù)，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識是解

題關(guān)鍵.

3、A

【分析】

利用平方差公式因式分解即可.

【詳解】

解：1-41y2=門-2丁)(1+2的，

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用平方差公式進(jìn)行因式分解，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

4、C

【分析】

根據(jù)垂線段距離最短可以判斷得出答案.

【詳解】

解：根據(jù)點(diǎn)F是直線/外一點(diǎn)，垂足為點(diǎn)Q,

?FQ是垂線段，即連接直線外的點(diǎn)p與直線上各點(diǎn)的所有線段中距離最短,

當(dāng)點(diǎn)T與點(diǎn)。重合時(shí)有PQ=PT,

綜上所述：PTNPQ,

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了垂線段最短的定義，解題的關(guān)鍵是：理解垂線段最短的定義.

5、A

【分析】

由二次根式的性質(zhì)，分別進(jìn)行判斷，即可得到答案.

【詳解】

解："="=2,故A正確，C錯誤；

庖故B、D錯誤；

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次根式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握性質(zhì)進(jìn)行判斷.

6、D

【分析】

根據(jù)題意可直接列出方程進(jìn)行排除選項(xiàng)即可.

【詳解】

解：由題意得：

25(l+xi=60.5,

?

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查一元一次方程的應(yīng)用，熟練掌握一元一次方程的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

7、C

【分析】

用樹狀圖表示所有等可能的結(jié)果，再求得甲和乙從同一節(jié)車廂上車的概率.

【詳解】

解：將3節(jié)車廂分別記為1號車廂，2號車廂，3號車廂，用樹狀圖表示所有等可能的

結(jié)果，

甲123

乙］23123123

共有9種等可能的結(jié)果，其中，甲和乙從同一節(jié)車廂上車的有3可能，

3_1

即甲和乙從同一節(jié)車廂上車的概率是

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查概率，涉及畫樹狀圖求概率，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

8、A

【分析】

分四種情況討論，利用待定系數(shù)法，求過工(°，2),8(M>),C(3,l),￡)(2,3)中的三個點(diǎn)

的二次函數(shù)解析式，繼而解題.

【詳解】

解：設(shè)過三個點(diǎn)山°，2],8(1,0),C(3,l)的拋物線解析式為：y=a/+"+c

分別代入40,21,5(1,0),C(3,l)得

c=2

<a+b+c=0

9a+3b+c=1

5

c=2

解得；

設(shè)過三個點(diǎn)掰°，2),見L0),92,3)的拋物線解析式為：y=ax2+bx+c

分別代入8(1叫02,3)得

c=2

<以+3+c=0

4a+26+c=3

r5

c=2

解得.

設(shè)過三個點(diǎn)山°，2),C(3,l),2(2,3)的拋物線解析式為：y=a/+3x+c

分別代入他2),C(3,l)>D(2,3)得

c=2

<9a+33+c=1

4a+2&+c=3

a=--

6

,13

b=—

6

c=2

解得

2

設(shè)過三個點(diǎn)冽助，C（3J）,0（23的拋物線解析式為：y=ax+bx+c

分別代入現(xiàn)刈,C（"）,以2,3）得

?+8+c=0

<9々+33+c=1

4a2b-he=3

5

a=—-

2

,21

o----

2

c=-8

解得

5555

—>->—>—

2662

5

a最大為2,

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)

鍵.

9、D

【分析】

由題意易得ZBAD=45°,AB=AE,進(jìn)而可得△APE是等腰直角三角形，然后根據(jù)等

腰直角三角形的性質(zhì)可求解.

【詳解】

解：：ACLAB,

：.ZC45=90°,

AD平分^BAC,

：.ZBAD=45°,

EPLAB,

/.△4處是等腰直角三角形，

AP=PE,

：.AE=y/AP2+PE2=^2AP,

'：AB=AE,

：.AB=42AP,

:.AP:AB=1:y/2.

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)與判定、勾股定理及角平分線的定義，熟練掌握等腰直

角三角形的性質(zhì)與判定、勾股定理及角平分線的定義是解題的關(guān)鍵.

10、A

【分析】

根據(jù)題中所給定義及一元二次方程根的判別式可直接進(jìn)行排除選項(xiàng).

【詳解】

解：當(dāng)X■求時(shí)，函數(shù)值分別為M和瑟2,若存在實(shí)數(shù)陰，使得M]+峪=0,

對于A選項(xiàng)則有演2+加一1=0,由一元二次方程根的判別式可得：4ac=l+4=5>0,

所以存在實(shí)數(shù)m,故符合題意；

對于B選項(xiàng)則有I1+也+1=0,由一元二次方程根的判別式可得：/_4第=1-4=-3<0,

所以不存在實(shí)數(shù)m,故不符合題意；

———羽一1=0

對于C選項(xiàng)則有陽，化簡得：制20+冽+1=0,由一元二次方程根的判別式可得:

/-4.=1-4=-3<0,所以不存在實(shí)數(shù)加，故不符合題意；

對于D選項(xiàng)則有W,化簡得：活2-活+1=0,由一元二次方程根的判別式可得:

/-4公=1-4=-3<0,所以不存在實(shí)數(shù)加，故不符合題意；

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查一元二次方程根的判別式、二次函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握一元二次

方程根的判別式、二次函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

二、解答題

1、有錯誤，正確的過程見解析

【分析】

利用一元一次不等式的性質(zhì)、去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、化系數(shù)為1等解題.

【詳解】

解：圓圓的解答過程有錯誤，

正確的解答過程如下：

由①，得2+2x>-l,

所以2x>-3,

3

x>

所以2；

由②，得-l+x>-2,

所以l-x<2,

所以-x<l,

所以x>-l,

將不等式組的解集表示在數(shù)軸上：

-I—?—I—>1—?—LX

-4^3=23^10123<

2

所以原不等式組的解是了>-1.

【點(diǎn)睛】

本題考查解一元一次不等式組，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

2、(1)144；(2)見解析；(3)20%

【分析】

(1)根據(jù)各組頻數(shù)之和等于總數(shù)求出a的值即可得出答案；

(2)根據(jù)頻數(shù)分布表中的數(shù)據(jù)，即可將頻數(shù)分布直方圖補(bǔ)充完整;

(3)用總?cè)藬?shù)乘以樣本中第4組頻數(shù)和占總?cè)藬?shù)的比例即可.

【詳解】

解：(1)a=360—48—96—72=144；

則。的值為144；

(2)補(bǔ)全頻數(shù)直方圖，如圖.

某校某年級360名學(xué)生一分片趣纜

(3)因?yàn)?2+360xlOO%=20%,

所以該年級一分鐘跳繩次數(shù)在190次以上的學(xué)生數(shù)占該年級全部學(xué)生數(shù)的20%.

【點(diǎn)睛】

本題考查了頻數(shù)分布直方圖、頻數(shù)分布表、用樣本估計(jì)總體，解答本題的關(guān)鍵是明確題意,

利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

3、見解析

【分析】

根據(jù)全等三角形的判定方法解答即可.

【詳解】

解：選擇條件①的證明：

因?yàn)閊ABC=ZACB,

所以AB=AC,

又因?yàn)锳D=AE,乙4=4,

所以XABEg/\ACD,

所以BE=CD.

選擇條件②的證明：

因?yàn)?ABe=&CB,

所以AB=AC,

又因?yàn)橐?=乙4,ZABE=AACD,

所以△刈￡0^ACD,

所以BE=CD,

選擇條件③的證明：

因?yàn)镕B=FC,

所以AFBC=ZFCB,

又因?yàn)閆.ABC=￡ACB,BC=CB,

所以△血絲△BCD,

所以BE=CD

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了全等三角形的判定方法，證明兩個三角形全等的方法有：SSS,A4S,SAS,

ASA,HL

4、（1）①片=2,抬=2；②x>l；（2）0

【分析】

（1）①根據(jù)點(diǎn)A關(guān)于丁軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)是（L2）,再將點(diǎn)A的

坐標(biāo)分別代入反比例函數(shù)、正比例函數(shù)的解析式中，即可求得占=2,占=2；②觀察圖

象可解題；

=殳

（2）將點(diǎn)3代入為一二，解得用的值即可解題.

【詳解】

解（1）①由題意得，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（L2）,

_用

必=—

因?yàn)楹瘮?shù)X的圖象過點(diǎn)力，

所以用=2,

同理上2=2.

②由圖象可知，當(dāng)與<%時(shí)，反比例函數(shù)的圖象位于正比例函數(shù)圖象的下方，

即當(dāng)必<為時(shí)，X>1.

（2）設(shè)點(diǎn)力的坐標(biāo)是5J。），則點(diǎn)方的坐標(biāo)是（一而，為1,

所以占=xo&,/=一而必），

所以互+&=°.

【點(diǎn)睛】

本題考查關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的特征、待定系數(shù)法求反比例函數(shù)、正比例函數(shù)的解析式等知識,

是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

9+3出

5、(1)見解析；(2)2

【分析】

(1)根據(jù)題意證明443=乙438即可；

(2)根據(jù)特殊角的銳角三角函數(shù)求得BE、比的長，用三角形面積公式計(jì)算即可.

【詳解】

解：(1)因?yàn)橛?平分ZABC,

ZDBC=-ZABC=30°

所以2

所以^ADB=ADBC+Z.C=15°,

又因?yàn)锳BAC=180O-ZABC-AC=15°,

所以ABAC=AADB,

所以AB=BD.

BE=———=“EC=-AE=3

(2)由題意，得tanZABC,tanZC

所以BC=3+》,

-BCAE=9+3y^-

所以的面積22

【點(diǎn)睛】

本題主要考查等腰三角形的判定，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)求邊長，正確記憶特殊角的銳角三

角函數(shù)值是解題關(guān)鍵.

6、（1）丁=/-21+1,頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，叫（2）。=1,5=3,理由見解析；（3）

見解析.

【分析】

（1）把點(diǎn)3°，和（2』代入二次函數(shù)解析式進(jìn)行求解，然后把一般式化為頂點(diǎn)式即可求

解頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）根據(jù)二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系可直接進(jìn)行求解；

（3）由題意，得尸=/+「+1，0=/+q+l,則有尸+。=2（"記+6,進(jìn)而問題可

求解.

【詳解】

4+3+1=0

解：（1）把點(diǎn)（1期和（2J）代入得：〔加+25+1=1,

d=1

《

解得9=-2,

...y='-21+1,則化為頂點(diǎn)式為y=（x-記，

該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是U°i；

（2）例如"1,b=3,此時(shí)丁=/+3x+l；

因?yàn)閎2—Aac=5>0,

所以函數(shù)V=/+3x+l圖象與x軸有兩個不同的交點(diǎn)；

（3）由題意，得尸=/+「+1,。=/+9+1,

,/p+q=2

...P+e=p2+p+l+^2+<7+l

=p2+<72+4

=(2--+/+4

2

=2(^-1)+6>6J

由題意，知4W1,

所以尸+Q>6.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查二次函數(shù)的綜合，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

7、(1)見解析；(2)FG=a-b.(3)見解析

【分析】

(1)由題目已知角平分線相等得到兩個相等，同弧所對的兩個圓周角相等，從而證明兩三角

形相似；

(2)由(1)中的相似可以得到線段成比例,再由FG=/G-肅即可求得；

(3)要證BG2=G￡GZ)即證2GBSXBGE,已知條件有一對角相等，利用外角關(guān)系可以

證明ZBDG=ZEBG,從而得證.

【詳解】

(1)因?yàn)樗?平分/BAC,

所以ABAG=AFAC,

又因?yàn)?G=NC,

所以^ABG^AAFC.

AB_AG

(2)由(1),知AFAC,

因?yàn)锳C=AF,

所以AG=AB,

所以FG=AG-AF=a-b,

(3)因?yàn)锳CAG=ZCBG,

又因?yàn)?BAG=/CAG,

所以^BAG=ZCBG,

因?yàn)閆ABD=ZCBE,

所以Z.BDG=ABAG+AABD=ACBG+/LCBE=AEBG,

又因?yàn)閆DG5=Z5G?,

所以ADGBS^BGE,

GD_BG

所以BG=GE,

所以BG2=GEGD,

【點(diǎn)睛】

本題考查了圓的圓周角概念，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識點(diǎn)，解題

關(guān)鍵是要根據(jù)已知條件找到相似的兩個三角形并通過角度的轉(zhuǎn)換從而證明相似?

三、填空題

1

1、2

【詳解】

1_

試題分析：根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算即可：sin30°=2.

2、5a

【分析】

根據(jù)同類項(xiàng)運(yùn)算的加法法則進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】

原式=(2+3)a

=5a.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查的是同類項(xiàng)運(yùn)算的加法法則，熟練掌握法則是本題的解題關(guān)鍵?

3、出

【分析】

根據(jù)圓的切線的性質(zhì)，得/。螫=90。,根據(jù)圓的性質(zhì)，得5=1,再通過勾股定理計(jì)算,

即可得到答案.

【詳解】

FT是。。的切線，丁為切點(diǎn)

NO7P=90°

PT=y/OP2-OT2

'：的半徑為1

0T=\

：,PT=&）尸-O72=/-1=6

故答