貴州省黔西南州部分學(xué)校2024屆高三上學(xué)期9月高考適應(yīng)性月考一數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1貴州省黔西南州部分學(xué)校2024屆高三上學(xué)期9月高考適應(yīng)性月考（一）數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意知，，又因，所以，所以.故選：A.2.若，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗當(dāng)時由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時取得“=”當(dāng)時，則，可得即，解得；所以“”是“”的充要條件.故選：.3.若隨機(jī)變量，則下列選項錯誤的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗根據(jù)隨機(jī)變量可知正態(tài)分布曲線的對稱軸為，均值為2，方差為4，所以，故A正確，，故B正確，，C正確，，故D錯誤，故選：D.4.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗函數(shù)的定義域為，因為，所以函數(shù)為偶函數(shù)，故排除C；因為，故排除A；當(dāng)時，，則，因為，所以不是函數(shù)的極值點，故排除D.故選：B.5.若二次函數(shù)在上為減函數(shù)，則的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為二次函數(shù)在上為減函數(shù)，所以，解得，所以的取值范圍為，故選：D.6.若過雙曲線的一個焦點作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂線交軸于點（為雙曲線的半焦距），則此雙曲線的離心率是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗不妨設(shè)雙曲線的一個焦點為，漸近線為，則過點且與直線垂直的直線方程為，令，則，則，所以，所以此雙曲線的離心率是.故選：C.7.若，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，令，其中，因為函數(shù)、在上均為增函數(shù)，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，因為，即，故，則，所以，，則，A錯B對；無法確定與的大小，故與的大小無法確定，CD都錯.故選：B.8.已知可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若對任意的，都有，且，則不等式的解集為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗構(gòu)造函數(shù)，因為對任意的，都有，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，所以，由可得，即，所以.故選：A二、多項選擇題9.甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球.先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，分別以，和表示從甲罐取出的球是紅球、白球、黑球，再從乙罐中隨機(jī)取出一球，以表示從乙罐取出的球是紅球.則下列結(jié)論中正確的是（）A. B.C.事件與事件相互獨立 D.，，兩兩互斥〖答案〗BD〖解析〗由已知可得，，，，，，.對于A項，由全概率公式可得，，故A項錯誤；對于B項，根據(jù)已知，即可計算，故B項正確；對于C項，由已知可得，，，故C項錯誤；對于D項，由已知可知，，，兩兩互斥，故D項正確.故選：BD.10.提丟斯·波得定律是關(guān)于太陽系中行星軌道的一個簡單的幾何學(xué)規(guī)則，它是在1766年由德國的一位中學(xué)老師戴維斯·提丟斯發(fā)現(xiàn)的，后來被柏林天文臺的臺長波得歸納成一條定律，即數(shù)列：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，19.6…表示的是太陽系第顆行星與太陽的平均距離（以天文單位AU為單位）.現(xiàn)將數(shù)列的各項乘以10后再減4，得到數(shù)列，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)列從第3項起，每項是前一項的2倍，則下列說法正確的是（）A.數(shù)列的第2023項為 B.數(shù)列的通項公式為C.數(shù)列的前10項和為157.3 D.數(shù)列的前項和〖答案〗CD〖解析〗數(shù)列各項乘以后再減得到數(shù)列故該數(shù)列從第項起構(gòu)成公比為的等比數(shù)列，所以，則，故A錯誤；從而，故B錯誤；設(shè)數(shù)列的前項和為，當(dāng)時，；當(dāng)時，當(dāng)時，也符合上式，所以，所以，故C正確；因為，所以當(dāng)時，當(dāng)時，，兩式相減得，所以，又當(dāng)時也滿足上式，所以，故D正確故選：CD.11.定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，則下列說法正確的有（）A. B.為奇函數(shù)C.為增函數(shù) D.〖答案〗ABC〖解析〗對于A，令，得，所以，故A正確；對于B，令得：，再以代，得：，兩式相加得：，，即，定義在上的函數(shù)為奇函數(shù)，故B正確；對于C，函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，不妨設(shè)，則，因為，所以且因此，所以，則，即，故函數(shù)在上為增函數(shù)，C正確；對于D，令，因為，則，即，因為，且函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，即，故D錯誤.故選：ABC.12.雙曲線具有如下光學(xué)性質(zhì)：如圖，，是雙曲線左、右焦點，從發(fā)出的光線射在雙曲線右支上一點，經(jīng)點反射后，反射光線的反向延長線過；當(dāng)異于雙曲線頂點時，雙曲線在點處的切線平分.若雙曲線的方程為，則下列結(jié)論正確的是（）A.射線所在直線的斜率為，則B.當(dāng)時，C.當(dāng)過點時，光線由到再到所經(jīng)過的路程為5D.若點坐標(biāo)為，直線與相切，則〖答案〗ACD〖解析〗在雙曲線中，，，則，故、，設(shè)，，對于A選項，因為雙曲線的漸近線方程為，當(dāng)點在第一象限內(nèi)運動時，隨著的增大，射線慢慢接近于直線，此時，同理可知當(dāng)點在第四象限內(nèi)運動時，，當(dāng)點為雙曲線的右頂點時，，綜上所述，，A對；對于B選項，當(dāng)時，，，所以，B錯；對于C選項，，故過點時，光由到再到所經(jīng)過的路程為，C對；對于D選項，若，，因為，且，所以，即，解得，D對.故選：ACD.三、填空題13.展開式中含項的系數(shù)為______.〖答案〗〖解析〗展開式中含的項為，故〖答案〗為:.14.已知函數(shù)（且）過定點，且定點在直線上，則的最小值為______.〖答案〗〖解析〗由于（且）過點，故，將代入中可得，由于，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時等號成立，故最小值為，故〖答案〗為：.15.已知函數(shù)有兩個極值點，則實數(shù)的取值范圍為______.〖答案〗〖解析〗，要使函數(shù)有兩個極值點，只需要有兩個變號根，即方程有兩個變號根，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，又當(dāng)時，，當(dāng)時，且，作出函數(shù)的大致圖象，如圖所示，因為方程有兩個變號根，所有，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.故〖答案〗為：.16.“雪花曲線”是瑞典數(shù)學(xué)家科赫在1904年研究的一種分形曲線.如圖2是“雪花曲線”的一種形成過程：從一個正三角形開始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊，重復(fù)進(jìn)行這一過程.如圖，若第1個圖中三角形的邊長為1，則第3個圖形的周長為______；第個圖形的面積為______.〖答案〗〖解析〗記第n個圖形為，邊長為，邊數(shù)，周長為，面積為，有條邊，邊長；有條邊，邊長；有條邊，邊長；，分析可知，即；，即，當(dāng)?shù)?個圖中的三角形的邊長為1時，即，，所以，當(dāng)時，；由圖形可知是在每條邊上生成一個小三角形，即，即，，，，利用累加法可得，又，，所以.故〖答案〗為：；.四、解答題17.已知數(shù)列的首項為，且滿足.（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）若，求滿足條件的最大整數(shù).（1）證明：兩邊取倒數(shù)得，，即，又，故為首項為2，公比為2的等比數(shù)列；（2）解：由（1）得，故，所以，故，則，由于單調(diào)遞增，且，，故滿足條件的最大整數(shù)為9.18.某網(wǎng)紅冰淇淋公司計劃在貴陽市某區(qū)開設(shè)分店，為了確定在該區(qū)開設(shè)分店的個數(shù)，該公司對該市已開設(shè)分店的5個區(qū)域的數(shù)據(jù)作了初步處理后得到下列表格，記表示在5個區(qū)域開設(shè)分店的個數(shù)，表示這個分店的年收入之和.（個）12345（千萬元）11.622.43（1）該公司經(jīng)過初步判斷，可用經(jīng)驗回歸模型擬合與的關(guān)系，求關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程；（2）如果該公司最終決定在該區(qū)選擇兩個合適的地段各開設(shè)一個分店，根據(jù)市場調(diào)查得到如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)：第一分店每天的顧客平均為300人，其中180人會購買該品牌冰淇淋，第二分店每天的顧客平均為200人，其中150人會購買該品牌冰淇淋.依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析兩個店的顧客購買率有無差異.附：0.0100.0050.0016.6357.87910.828參考公式：，，，.解：（1），則，，所以，，所以關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程為；（2）由題意，得出列聯(lián)表如下表：買不買總計分店一180120300分店二15050200總計330170500則，所以依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，兩個店的顧客購買率有差異.19.如圖，已知圓柱的軸截面為正方形，，為圓弧上的兩個三等分點，，為母線，，分別為線段，上的動點（與端點不重合），經(jīng)過，，的平面與線段交于點.（1）證明：；（2）當(dāng)時，求平面與圓柱底面所成夾角的正弦值的最小值.（1）證明：因為，為圓弧上的兩個三等分點，所以.因為平面，所以平面.同理可得，平面.因為，平面，所以，平面平面.又平面平面，平面平面，所以.（2）解：不妨設(shè)圓柱底面半徑為2，如圖，以點為坐標(biāo)原點，在底面過點作的垂線為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，.設(shè)，則，，所以，，.設(shè)平面的一個法向量為，則，取.易知圓柱底面的一個法向量為，則，當(dāng)時，取得最大值為，所以，平面與圓柱底面所成夾角的正弦值的最小值.20.已知函數(shù).（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）若過點存在3條直線與曲線相切，求的取值范圍；（3）請問過點，，，，分別存在幾條直線與曲線相切？（請直接寫出結(jié)論，不需要證明）解：（1）因為，所以.又，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，函數(shù)在處的切線的斜率為，所以，切線方程為.（2）設(shè)切點為，則，切線方程為，整理可得，.又點在切線上，則.要使過點存在3條直線與曲線相切，則該方程有個解.令，則.解，可得，所以在上單調(diào)遞增；解，可得或，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減.所以，在處取得極小值，在處取得極大值.又，，由題意可知，.（3）設(shè)切點為，則，切線方程為.①當(dāng)點在切線上時，有，此時，即點為切點.由（1）知，切線為1條；②當(dāng)點在切線上時，由（2）知，在處取得極小值，且，所以，此時，只有1個解，即只存在1條切線；③當(dāng)在切線上時，由（2）知，，解得或.所以此時存在2條切線；④設(shè)切線過此時有.令，則.解，可得，所以在上單調(diào)遞增；解，可得或，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減.所以，在處取得極小值，在處取得極大值.又，，所以，當(dāng)時，有3條切線.所以，過點的切線有3條.又方程，可化為，解得或，所以，過點的切線有2條.21.馬爾科夫鏈?zhǔn)歉怕式y(tǒng)計中的一個重要模型，因俄國數(shù)學(xué)家安德烈·馬爾科夫得名，其過程具備“無記憶”的性質(zhì)，即第次狀態(tài)的概率分布只跟第次的狀態(tài)有關(guān)，與第，，，…次狀態(tài)無關(guān)，即.已知甲盒子中裝有2個黑球和1個白球，乙盒子中裝有2個白球，現(xiàn)從甲、乙兩個盒子中各任取一個球交換放入另一個盒子中，重復(fù)次這樣的操作.記甲盒子中黑球個數(shù)為，恰有2個黑球的概率為，恰有1個黑球的概率為.（1）求，和，；（2）證明：為等比數(shù)列（且）；（3）求的期望（用表示，且）.（1）解：若甲盒取黑，乙盒取白，此時互換，則甲盒中變?yōu)?黑2白，乙盒為1黑1白，概率為，若甲盒取白，乙盒取白，此時互換，則甲盒中變?yōu)?黑1白，乙盒為2白，概率為，所以，①當(dāng)甲盒1黑2白，乙盒為1黑1白，概率為，此時：若甲盒取黑，乙盒取白，此時互換，則甲盒中變?yōu)?白，概率為，若甲盒取黑，乙盒取黑，此時互換，則甲盒中變?yōu)?黑2白，概率為，若甲盒取白，乙盒取白，此時互換，則甲盒中變?yōu)?黑2白，概率為，若甲盒取白，乙盒取黑，此時互換，則甲盒中變?yōu)?黑1白，概率為，②當(dāng)甲盒2黑1白，乙盒為2白，概率為，此時：若甲盒取黑，乙盒取白，此時互換，則甲盒中變?yōu)?黑2白，概率為，若甲盒取白，乙盒取白，此時互換，則甲盒中變?yōu)?黑1白，概率為，綜上可知：，.（2）證明：經(jīng)過次這樣的操作.記甲盒子恰有2個黑1白的概率為，恰有1黑2白的概率為，3白的概率為，①當(dāng)甲盒1黑2白，乙盒為1黑1白，概率為，此時：若甲盒取黑，乙盒取白，此時互換，則甲盒中變?yōu)?白，概率為，若甲盒取黑，乙盒取黑，此時互換，則甲盒中變?yōu)?黑2白，概率為，若甲盒取白，乙盒取白，此時互換，則甲盒中變?yōu)?黑2白，概率為，若甲盒取白，乙盒取黑，此時互換，則甲盒中變?yōu)?黑1白，概率為，②當(dāng)甲盒2黑1白，乙盒為2白，概率為，此時：若甲盒取黑，乙盒取白，此時互換，則甲盒中變?yōu)?黑2白，概率為，若甲盒取白，乙盒取白，此時互換，則甲盒中變?yōu)?黑1白，概率為，③當(dāng)甲盒中3白，乙盒2黑，概率為，此時：若甲盒取白，乙盒取黑，此時互換，則甲盒中變?yōu)?黑2白，概率為，故.，因此，因此為等比數(shù)列，且公比為.（3）解：由（2）知為等比數(shù)列，且公比為，首項為，故，所