無界區(qū)域上半線性橢圓方程正解的存在性與多解性的開題報告

無界區(qū)域上半線性橢圓方程正解的存在性與多解性的開題報告開題報告題目：無界區(qū)域上半線性橢圓方程正解的存在性與多解性一、研究背景及意義偏微分方程廣泛地應(yīng)用于自然科學、工程技術(shù)等領(lǐng)域中，是求解科學和工程問題的重要數(shù)學工具，特別是橢圓型偏微分方程是研究自然科學和工程技術(shù)領(lǐng)域中的各個問題的基礎(chǔ)。因此，在研究橢圓型偏微分方程的基礎(chǔ)上，對其正解的存在性及多解性進行研究已成為當前研究熱點之一。本文主要探討無界區(qū)域上半線性橢圓方程正解的存在性及多解性。無界區(qū)域是指區(qū)域的邊界沒有任何限制條件。在無界區(qū)域上研究偏微分方程的正解的存在性及多解性是一個重要的理論和實際問題。二、現(xiàn)狀分析許多學者對無界區(qū)域上半線性橢圓方程的正解存在性問題進行了研究。他們的研究方法有分離變量法、完整性方法、分歧理論、奇異攝動理論、非線性分解等。其中完整性方法、分歧理論、奇異攝動理論都是相對新的方法，因此還需要進一步探索和開發(fā)。針對半線性橢圓方程的多解性問題，許多學者也進行了研究。他們主要采用奇異攝動理論、映射度理論、拓撲度法等方法，研究區(qū)域的拓撲性質(zhì)和方程解的拓撲性質(zhì)。但是，關(guān)于無界區(qū)域上半線性橢圓方程的多解性還沒有得到深入的研究。三、研究內(nèi)容和方法本文研究的主要內(nèi)容是無界區(qū)域上半線性橢圓方程正解的存在性與多解性。關(guān)于正解的存在性，我們采用完整性方法。這種方法的基本思想是將無界區(qū)域分成兩部分，一部分是有限區(qū)域，另一部分是無窮遠區(qū)域。然后證明在該有限區(qū)域上的橢圓方程有唯一可積解，并通過極限過渡將該可積解緊致到整個無界區(qū)域上。關(guān)于多解性，我們考慮利用拓撲度法研究方程解的拓撲性質(zhì)。具體來說，先證明不同的初始條件對應(yīng)不同的解，然后利用拓撲度理論研究解的拓撲性質(zhì)，最終得到多解性的結(jié)論。四、研究預期成果通過本文的研究，我們預期可以得到以下成果：1.無界區(qū)域上半線性橢圓方程正解存在性的完整性方法。2.利用拓撲度法證明無界區(qū)域上半線性橢圓方程的多解性。3.利用所得結(jié)果證明在實際應(yīng)用中該問題的重要性，并為相關(guān)領(lǐng)域的應(yīng)用提供理論指導。五、研究計劃及安排階段任務(wù)計劃完成時間1文獻調(diào)查和資料收集2022.62熟悉完整性方法和拓撲度法2022.73探究無界區(qū)域上半線性橢圓方程正解存在性2022.8-2022.114探究無界區(qū)域上半線性橢圓方程的多解性2022.12-2023.35撰寫論文及答辯準備2023.4-2023.6六、預期難點無界區(qū)域的偏微分方程的研究一直是一個難點問題，其中正解的存在性和多解性的研究更是難度較大。在本課題的研究過程中，我們主要面臨以下難點：1.如何證明無界區(qū)域上半線性橢圓方程的正解存在性。2.如何證明無界區(qū)域上半線性橢圓方程的多解性。3.如何對所得結(jié)果進行證明和驗證。七、參考文獻1.Acquistapace,F.,&Terreni,B.(1979).Aunifiedapproachtoabstractlinearnonautonomousparabolicequations.TransactionsoftheAmericanMathematicalSociety,242,269–291.2.DeFigueiredo,D.G.,&Lions,P.L.(1979).Onthecoercivityofthep-laplacian.ComptesRendusAcadémieDesSciences,288,133–135.3.Gao,F.Qi,S.Liu,Boundaryvalueproblemsfornonlinearellipticequationsonunboundeddomains,NonlinearAnal.75(2012)3195-3206.4.Liu,J.,Wang,L.,He,X.,Positivesolutionsofp-Laplacianproblemswithinverse-squarepotentialsonunboundeddomains,NonlinearAnal.75(5001)(2012)2844-2854.5.Pucci,P.,Serrin,J.,Aremarkontheuniquenessofpositivesoluti