矩陣奇異值的矩陣刻畫

矩陣奇異值的矩陣刻畫

1矩陣異質性估計如何使用矩陣中的源來估計其特征值一直是矩陣分析的一個困難問題。在這方面,我們有著名的Gerschgorin圓盤定理以及與之相關的Ostrowski定理、Brauer定理等等可以對矩陣的特征值進行估計。但是如果僅僅是簡單的將上述定理應用于矩陣奇異值的估計,往往得不到很好的結果。因此,通過矩陣元素來對其奇異值進行估計也是近年來許多學者致力研究的一個課題。設A=(aij)∈Cm×n,不失一般性我們可以假設n≤m并將A的奇異值按照遞減次序排列為σ1(A)≥σ2(A)≥…≥σn(A)≥0,其中,A的奇異值σ(A)=√λ(AAΗ)?λ(AAΗ)σ(A)=λ(AAH)???????√?λ(AAH)表示矩陣AAH的特征值,AH表示A的共扼轉置。我們有:‖A‖F(xiàn)2=trAHA和│detA│表示矩陣A的Frobenius范數(shù)與行列式。有關矩陣奇異值的詳細論述可以參見參考文獻、。2u3000nn-1e1e,2,2,2,2,1e,2,2,2,2,2,2,2,2,1e,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,222,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2122,2,2,2,2,2,2,2,1e121e121212,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,221e1994年J.K.Merikoski,H.Sarria和P.Tarazaga利用矩陣的跡給出了如下的奇異值估計式:設A∈Cn×n(n≥3),且1≤k≤l≤n,則有0≤σk+?+σll-k+1≤√trAΗAl,(1.1)0≤σk+?+σll?k+1≤trAHAl??????√,(1.1)進一步又給出|trA|n-√k-1n-k+11n(trAΗA-|trA|2n)≤σk+?+σll-k+1,(1.2)|trA|n?k?1n?k+11n(trAHA?|trA|2n)?????????????????????√≤σk+?+σll?k+1,(1.2)且當|trA|2≥l?trAΗA?σk+?+σll-k+1≤|trA|n+√n-ll1n(trAΗA-|trA|2n)(1.3)且當|trA|2≥l?trAHA?σk+?+σll?k+1≤|trA|n+n?ll1n(trAHA?|trA|2n)???????????????????√(1.3)為了便于書寫,我們記σkl=σk+?+σll-k+1(1≤k≤l≤n)σkl=σk+?+σll?k+1(1≤k≤l≤n),并且規(guī)定00=1,0x=0.由代數(shù)-幾何均值不等式可得如下引理。引理1設A∈Cn×n(n≥3)是非奇異的,如果1≤k≤l≤n,則定理1設A∈Cn×n(n≥3)是非奇異的,且1≤k≤l≤n,則1l-k+1(σk2?σn2)1/(n-k+1)≤1l-k+1(σk2?σl2)1/(l-k+1)≤σk2+?+σl2(l-k+1)2≤(σk+?+σll-k+1)2≤σk2+?+σl2l-k+1≤σ12+?+σl2l≤∥A∥F2l-(nl-1((l∥A∥F2)l│detA│2)1/(n-l)及引理1可得(2.1)。定理2設A∈Cn×n(n≥3)是非奇異的,且1≤k≤l≤n,則1√(l-k+1)(n-k+1)[∥A∥F2-1│detA│2kk(k-1)k-1(∥A∥F2n+1)n+1]1/2≤σkl≤1│detA│(l+1l)(l+1)/2(∥A∥F2n+1)(n+1)/2(2.2)證明:令0<t<1,則(∥A∥F2n+1)n+1=(t(σ12+?+σk2)+(1-t)σ12+?+(1-t)σk2+σk+12+?+σn2n+1)n+1≥t(σ12+?+σk2)(1-t)kσ12?σn2=t(1-t)k(σ12+?+σk2)│detA│2,因此有σ12+?+σk2≤1t(1-t)k1│detA│2(∥A∥F2n+1)n+1。又當t0=1k+1時1t0(1-t0)k=min{1t(1-t)k∶0<t<1}=(k+1)k+1kk,固有σ12+?+σk2≤1│detA│2(k+1)k+1kk(∥A∥F2n+1)n+1(2.3)由σ12(A)+σ22(A)+…≥σn2(A)=‖A‖F(xiàn)2及(2.5),可以得到σn-k+12+?+σn2≥∥A∥F2-1|detA│2(n-k+1)n-k+1(n-k)n-k(∥A∥F2n+1)n+1(2.4)由(2.3)及(2.4)可得定理3。35.5下面用矩陣的跡與行列式來估計矩陣的奇異值。例1設A1=diag(8,7,…,1)由文(1.1)式可得σ3+σ4+σ5≤19.162,而由(2.1)有σ3+σ4+σ5≤18.816。由文(1.2)式可得σ6+σ7≥1.267,而由(2.1)有σ6+σ7≥2.205。例2令由文(1.2)式可得σ1+σ2+σ3≥1.5,由(2.1)式可得σ1+σ2+σ3≥5.1,由文(1.