干摩擦duffing振子的動態(tài)分析

干摩擦duffing振子的動態(tài)分析

基于粘滯-滑移軌線的滑動分岔干摩擦振動一直是廣泛研究的非線性模型。其中，滑動現(xiàn)象是一個獨特的典型現(xiàn)象，在鏈、鉆、小提琴、建筑結(jié)構(gòu)、太陽能涂層板等各種工程系統(tǒng)中得到了廣泛的研究。de貝爾等人提出了滑動分離主義的概念。galvanet等人將滑動分離主義的概念與干摩擦振動的粘度、位移線聯(lián)系起來。福建柳條系統(tǒng)地是一個非光滑系統(tǒng)?；瑒臃蛛x器是該系統(tǒng)的特有分離器。本研究中確定了系統(tǒng)參數(shù)變化時粘滯滑移軌道的轉(zhuǎn)化過程，并根據(jù)邊緣和流量之間的關(guān)系確定了四種滑動分離器。本文第1部分首先簡要介紹Filippov系統(tǒng)與粘滯-滑移軌線(stick-slip)和滑動分岔(slidingbifurcations)的概念和定義.第2部分簡要介紹一個皮帶驅(qū)動引入干摩擦力的Duffing振子,定義兩種Poincaré映射.第3部分則研究該振子不同運動狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)換,尤其是粘滯軌線與非粘滯軌線指將相互轉(zhuǎn)換導致的滑動分岔.所得結(jié)論總結(jié)在第4部分.1dibern鞣線定義為“滑動分岔”一個Fillipov系統(tǒng)的狀態(tài)方程可寫為x˙=?????F1(x)H(x)＞0coˉˉˉ{F1,F2}H(x)=0F2(x)H(x)＜0(1)x˙={F1(x)Η(x)＞0coˉ{F1,F2}Η(x)=0F2(x)Η(x)＜0(1)其中邊界Σ:={H(x)=0}將系統(tǒng)狀態(tài)空間劃分為S1:={H(x)>0}和S2:={H(x)<0}兩部分,而邊界上向量場是邊界兩側(cè)向量場的一個多值集合.根據(jù)Fillipov凸方法,可寫為coˉˉˉ{F1,F2}=Fs=(1?α)F1+αF2(2)coˉ{F1,F2}=Fs=(1-α)F1+αF2(2)其中0≤α≤1定義為α(x)=HxF1Hx(F1?F2)(3)α(x)=ΗxF1Ηx(F1-F2)(3)根據(jù)Utkin等價控制法,可表示為coˉˉˉ{F1,F2}=Fs=F1+F22+βF2?F12(4)coˉ{F1,F2}=Fs=F1+F22+βF2-F12(4)其中-1≤β≤1定義為β(x)=?HxF1+HxF2HxF2?HxF1(5)β(x)=-ΗxF1+ΗxF2ΗxF2-ΗxF1(5)這兩種表示方法是代數(shù)等價的β=2α-1,僅在某些特殊情況下有少許不同.diBernardo主要基于第二種方法,Σ?Σ^:={x∈Σ:-1≤β≤1}將稱為滑動區(qū)域(slidingregion),如圖1灰色部分所示.系統(tǒng)軌線一旦進入該區(qū)域?qū)⒁恢碧幱谶吔缟?一般文獻中又稱為粘滯狀態(tài)(sticking);其他部分稱為滑移狀態(tài)(slipping),同時存在兩種狀態(tài)的軌線稱為粘滯-滑移軌線(stick-slip).針對不同類型軌線隨系統(tǒng)參數(shù)變化而發(fā)生轉(zhuǎn)換的過程,如圖1所示diBernardo定義了四種分岔:·圖1(a)定義crossing-slidingbifurcation,我們稱之為“穿越滑動分岔”,又稱“第Ⅰ類滑動分岔”;·圖1(b)定義grazing-slidingbifurcation,我們稱之為“擦邊滑動分岔”;·圖1(c)定義switching-slidingbifurcation,我們稱之為“切換滑動分岔”,又稱“第Ⅱ類滑動分岔”;·圖1(d)定義adding-slidingbifurcation(“加滑動分岔”),又定義multi-slidingbifurcation(“多滑動分岔”),本文我采用第二種定義.2粘滯時的pt、ps映射對于一個周期激勵的Duffing系統(tǒng)y¨+2ξy˙?y+y3+fr=pcosωt(6)y¨+2ξy˙-y+y3+fr=pcosωt(6)由于增加了一個速度恒定為vdr的皮帶驅(qū)動,從而引入了摩擦系數(shù)為μ(假設(shè)靜摩擦系數(shù)和動摩擦系數(shù)相同)的干摩擦力fr=????????????μν＞0fexν=0,|fex|＜μμsign(fex)ν=0,|fex|≥μμν＜0(7)fr={-μν＞0fexν=0,|fex|＜μμsign(fex)ν=0,|fex|≥μμν＜0(7)其中fex=pcosωt?2ξy˙+y?y3,ν=y˙?νdrfex=pcosωt-2ξy˙+y-y3,ν=y˙-νdr可見粘滯狀態(tài)的摩擦力是隨系統(tǒng)狀態(tài)而變化的一組數(shù)值.令x1=y,x2=y˙x1=y,x2=y˙,基于定相位面ΦT:={mod(ωt,2π)=mod(t,T)=0}可定義映射PT:ΦT→ΦT(8)基于邊界Σ:={x2-νdr=0}可定義映射PS:Σ→Σ(9)對于這兩種Poincaré映射,PT映射用以描述系統(tǒng)軌線的周期性,PS映射則用以描述系統(tǒng)軌線與邊界的關(guān)系.當出現(xiàn)粘滯的周期1軌時,PT映射是1個點,PS映射則是連續(xù)點.文獻中研究了具有干摩擦的線性振子,沒有考慮出現(xiàn)混沌的情況,因此只用邊界Poincaré映射進行了分岔研究.而本文通過定義這兩種Poincaré映射,既可以研究Duffing系統(tǒng)無摩擦時可能出現(xiàn)的混沌;又可以研究有摩擦時可能出現(xiàn)的粘滯-滑移軌線.3duffing系統(tǒng)參數(shù)在此主要研究摩擦力對于系統(tǒng)行為的影響,因此系統(tǒng)參數(shù)給定為ξ=0.075,p=0.258,ω=1,該參數(shù)下無摩擦的Duffing系統(tǒng)會出現(xiàn)混沌.3.1混沌運動裝置固定驅(qū)動速度vdr=0.1,然后讓摩擦系數(shù)μ在0～1.3之間變化.取固定初始值為(x1,x2)=(0,0),得到如圖2所示分岔圖.如圖2(a)所示,從PT映射分岔圖上來看,當摩擦系數(shù)μ接近于0時,系統(tǒng)保持為混沌運動;隨著摩擦系數(shù)μ增大,突然轉(zhuǎn)換為周期軌線.如圖2(b)所示,從PS映射分岔圖上來看,周期穿越軌線經(jīng)歷了不同形式的粘滯,最后轉(zhuǎn)換為非穿越軌線.為了詳細分析從穿越軌線到非穿越軌線間的轉(zhuǎn)換過程,將PS映射分岔圖進行局部放大,如圖2(c)表示從穿越軌線到粘滯-滑移軌線間的轉(zhuǎn)換,圖2(d)表示從粘滯-滑移軌線到非穿越軌線間的轉(zhuǎn)換.對應(yīng)的各種運動形式如圖3所示,(a)表示無摩擦時的混沌運動;隨著摩擦系數(shù)的增大,從(b)所示穿越軌線轉(zhuǎn)換到(c)所示兩段粘滯-滑移軌線,經(jīng)歷了相鄰的兩次穿越滑動分岔;接著轉(zhuǎn)換到(d)所示粘滯-滑移軌線,經(jīng)歷了一次多滑動分岔;然后經(jīng)(e)所示擦邊滑動分岔,最終轉(zhuǎn)換為(f)所示非穿越軌線.3.2非穿越軌線的轉(zhuǎn)換固定摩擦系數(shù)μ=0.1,然后讓驅(qū)動速度vdr在-0.3～0.3之間變化.一開始取初始值為(x1,x2)=(0,0),然后每次計算時取上一個參數(shù)的穩(wěn)態(tài)值為下一次計算初始值,得到如圖4所示分岔圖.藍色表示參數(shù)逐漸增加的分岔圖,紅色表示參數(shù)逐漸減小的分岔圖,可以看出明顯的共存現(xiàn)象.僅從圖4(b)所示PS映射來看,有四處都出現(xiàn)了連續(xù)映射點,但配合圖4(a)所示PT映射來看,兩處為粘滯軌線,另外兩處對應(yīng)混沌軌線,因此如果只用一種映射就無法正確反映系統(tǒng)行為的變化過程.從圖4(a)所示的PT映射來看,經(jīng)歷了共存區(qū)之后,混沌穿越軌線突然轉(zhuǎn)變?yōu)橐詫ΨQ平衡點為中心的周期穿越軌線,然后一直保持周期不變,混沌運動和周期運動之間的轉(zhuǎn)換是一種突然的跳躍.但從圖4(b)所示的PS映射來看,穿越軌線最終要轉(zhuǎn)換為非穿越軌線.將這部分細化分析,如圖4(c)表示以(-1,0)為中心的穿越軌線,經(jīng)歷了粘滯-滑移軌線后變成了非穿越軌線;如圖4(d)則表示以(1,0)為中心的穿越軌線,經(jīng)歷了粘滯-滑移軌線后變成了非穿越軌線.由于二者完全對稱,因此僅對后者分析具體的軌線轉(zhuǎn)換.從PT映射和PS映射都可以看出兩種運動的共存區(qū),在vdr=-0.15～-0.1之間以(-1,0)為中心的周期穿越軌線,和以(1,0)為中心的混沌穿越軌線共存,如圖5(a)(b)所示;在vdr=-0.1～0.1之間分別以(-1,0)和(1,0)為中心的周期穿越軌線共存,如圖5(c)(d)所示;在vdr=0.1～0.15之間則以(-1,0)為中心的混沌穿越軌線,和以(1,0)為中心的周期穿越軌線共存,如圖5(e)(f)所示.圖6表示圖4(d)所示分岔圖的軌線轉(zhuǎn)換,而圖4(c)所示分岔圖是一個完全對稱的轉(zhuǎn)換的過程,在此不再贅述.如圖6所示,從(a)所示以(1,0)為中心穿越軌線轉(zhuǎn)換到(b)所示一側(cè)粘滯-滑移軌線,在右側(cè)粘滯區(qū)域的邊界點必然要經(jīng)歷一個穿越滑動分岔;接著轉(zhuǎn)換到(c)所示粘滯-滑移軌線,則在左側(cè)粘滯區(qū)域的邊界點必然經(jīng)歷一個切換滑動分岔;然后必然要經(jīng)歷(d)所示的擦邊滑動分岔,然后轉(zhuǎn)換為近似以(1.1,0)為中心的非穿越軌線.由于皮帶驅(qū)動速度vdr的改變相當于改變了邊界,即使軌線不變,軌線與邊界之間的關(guān)系也會改變,如vdr=0.25對應(yīng)的是擦邊軌線,vdr>0.25之后對應(yīng)的就是非穿越軌線.在達到非穿越軌線以后,無論驅(qū)動速度vdr如何變化,該軌線保持不變.從物理意義來說,具有恒定速度vdr的皮帶驅(qū)動是依靠摩擦力來實現(xiàn)的,當速度較小時會出現(xiàn)粘滯和滑移運動之間的轉(zhuǎn)換,皮帶驅(qū)動速度會影響系統(tǒng)軌線;當速度較大時完全保持滑移運動,不會出現(xiàn)粘滯現(xiàn)象,皮帶驅(qū)動速度對于運動軌線則沒有影響,此時摩擦力是一個常數(shù),僅改變原系統(tǒng)的平衡點.如圖6(d)和圖5(d)所示軌線形狀基本一致,但軌線中心向右移動了一定距離.4poincar映射本文介紹了Fillipov系統(tǒng)發(fā)生粘滯現(xiàn)象的數(shù)學描述,并介紹了diBernardo定義的四種滑動分岔,用以研究粘滯-滑移軌線與其它軌線之間的轉(zhuǎn)換.本文引入了基于定相位面的PT映射和基于邊界的PS映射兩種Poincaré映射,PT映射用以描述系統(tǒng)軌線的周期性,PS映射則用以描述系統(tǒng)軌線與邊界的關(guān)系.當出現(xiàn)粘滯的周期1軌時,PT映射是1個點,PS映射則是連續(xù)點.而針對一個具有干摩擦的Duffing振子,應(yīng)用這兩種Poincaré映射,