關于旋轉曲面方程的討論

關于旋轉曲面方程的討論

旋轉曲線是日常生活中常用的圖形。這也是高等數(shù)學必須研究的問題。旋轉曲線可以通過將某個固定的直線（稱為旋轉曲線的軸）旋轉一周，得到。由于曲線和直線在空間中的位置不同，空間曲線根據(jù)不同的格式給出，因此如何建立方程是值得探索的。1旋轉曲面方程的運用設在YOZ坐標面上有一已知曲線C,它的方程為:f(y,z)=0.把這條曲線繞Z軸旋轉一周,就得到一個以Z軸為中心的旋轉曲面(見圖1a),為建立其方程,我們在曲面上任取一點M(x,y,z),它必定是曲線C上某一點M1(0,y1,z1)繞Z軸旋轉而得到的.注意到在這個旋轉過程中有兩個不變量:其一,到Z軸的距離不變,始終為|y1|,其二,與XOY平面的相對位置不變,或者說豎坐標Z不變,再注意到M(x,y,z)到Z軸的距離為x2+y2??????√x2+y2,因此我們有:x2+y2??????√=|y1|?z=z1(1)x2+y2=|y1|?z=z1(1)由于M1在C上,故有:f(y1,z1)=0(2)將(1)代入(2)得f(±x2+y2??????√,z)=0(3)f(±x2+y2,z)=0(3)(3)式即是該旋轉曲面的方程.綜合以上討論,我們可得,坐標平面內(nèi)任一曲線繞該平面內(nèi)的一條坐標軸旋轉一周所得到的旋轉曲面的方程可依下列規(guī)律直接寫出:繞“誰”“誰”不變,另一作代換.其中第一個“誰”是指所環(huán)繞的坐標軸,例如在上面的問題中即表示Z軸,第二個“誰”是指曲線方程中與該坐標軸相對應的變量名稱,對上面問題,曲線方程f(y,z)=0中的變量z不變,而把另一變量y用±x2+y2??????√±x2+y2代換.按照這一規(guī)律,如果上面問題都改為C繞Y軸旋轉,那么所有旋轉曲面方程為f(y,±x2+z2??????√)=0f(y,±x2+z2)=02旋轉曲面方程的運用例(1998年研究生入學考試數(shù)學試題)求直線L:x?11=y1=z?11x-11=y1=z-11在平面x-y+2z-1=0上的投影直線L0繞y軸旋轉一周所成曲面的方程.在求出該直線在平面下上的投影后,由于該投影不在坐標平面內(nèi),剩余的問題就屬于我們本節(jié)要研究的問題,現(xiàn)在來討論更一般的情況,該空間曲線C:{F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0(4){F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0(4)繞Z軸旋轉一周所得旋轉曲面即為Σ(見圖1b)在Σ上任取一點M(x,y,z),它必是曲線C上某點旋轉而得,為找這一點,注意到Σ是由C繞Z軸旋轉而成,故過M作Z軸的垂面交C于一點M1(x1,y1,z1),則M點是由M1繞Z軸旋轉而得,由上一節(jié)的討論,因此,我們?nèi)杂?x2+y2=x12+y12,z=z1(5)又M1(x1,y1,z1)滿足方程(4),故由(4)解出:{x1=x(z1)y1=y(z1){x1=x(z1)y1=y(z1)于是有x12+y12=x2(z1)+y2(z1)(6)將(5)代換(6)中的相應部分,即有Σ的方程為:x2+y2=x2(z)+y2(z)一般情況下,欲求曲線(4)繞某坐標軸旋轉一周所得曲面的方程,先將(4)變成參數(shù)方程,其參數(shù)為與旋轉軸同名的變量,然后再把另兩個表達式求平方和即得.下面,我們來解本節(jié)開始所提的考題.利用平面方程我們可以比較容易的求得L0的方程為:{x?3y?2z+1=0x?y+2z?1=0(7){x-3y-2z+1=0x-y+2z-1=0(7)由于L0繞Y軸旋轉,故由(7)依y為參數(shù)解得:{x=2yz=12(1?y){x=2yz=12(1-y)依次由(6)得:x2+z2=(2y)2+[12(1?y)]2x2+z2=(2y)2+[12(1-y)]2化簡得:4x2-17y2+4z2+2y=1它即是要求的旋轉曲面的方程.若曲線C由參數(shù)方程給出:C:其z繞Z軸旋轉一周得到一旋轉曲面,依前邊的分析,我們需寫出:x2+y2=x2(t)+y2(t)(8)再由z=z(t)寫出t=t(z)(假設z=z(t)存在反函數(shù)),則(8)變成:x2+y2=x2(t(z))+y2(t(z))它即是旋轉曲面的方程.3旋轉曲面方程設空間曲線C:繞定直線Lx?x0l=y?y0m=z?z0nx-x0l=y-y0m=z-z0n旋轉一周所得旋轉曲面為Σ(見圖1c).為得到Σ的方程,我們在Σ上任取一點M(x,y,z),過M作L的垂面交C于一點M1(x1,y1,z1),那么M是由M1繞L旋轉而得到的,注意到在這個過程中,M、M1到L的距離相等,由點到直線的距離公式,則有:∣∣∣∣∣ix?x0ljy?y0mkz?z0n∣∣∣∣∣l2+m2+n2√=∣∣∣∣∣ix1?x0ljy1?y0mkz1?z0n∣∣∣∣∣l2+m2+n2√|ijkx-x0y-y0z-z0lmn|l2+m2+n2=|ijkx1-x0y1-y0z1-z0lmn|l2+m2+n2假設由{F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0{F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0可以確定隱函數(shù)則有我們得:∣∣∣∣ix?x0lj