hg的c補(bǔ)子群與g的h

hg的c補(bǔ)子群與g的h

1hkhg存在hg的補(bǔ)子群本研究中的組為有限組，口號(hào)為標(biāo)準(zhǔn)化。定義1.1設(shè)H為G的子群,若存在G的子群K,使G=ΗΚ,Η∩Κ≤ΗG?G=HK,H∩K≤HG?這里HG表示G在H中的核,稱H為G的C_補(bǔ)子群,簡(jiǎn)稱C_補(bǔ).性質(zhì)1.2設(shè)H為G的子群,則(1)若H為G的C_補(bǔ),又H≤K,則H也為K的C_補(bǔ).(2)設(shè)N?G,N≤H,若H為G的C_補(bǔ),則H/N也為G/N的C_補(bǔ).(3)設(shè)π為質(zhì)數(shù)集合,令N?G,N為π′_子群,H為π_子群,若H為G的C_補(bǔ),則HN/N也為G/N的C_補(bǔ).2基于p、k、k的級(jí)哈子群定理2.1設(shè)G為偶階群,π為π(G)中的一些質(zhì)數(shù)集合,2∈π,若G中有可解的π_Hall子群H,且H中的素?cái)?shù)冪階子群為G的C_補(bǔ),則G可解.證明對(duì)|G|進(jìn)行歸納.因2∈π,故H中有階2的子群L,由條件知L為G的C_補(bǔ),因而?K≤G,使G=LΚ,Κ∩L≤LG.若LG≠1,則L=LG?G,作ˉG=G/L,由性質(zhì)1.2知道ˉG滿足定理?xiàng)l件,再由對(duì)|G|的歸納假設(shè)知ˉG可解,又L可解,從而G可解.下設(shè)L∩K=1,因?yàn)閨L|=2,故K?G,而|G|=|L||Κ|,Η=L(Η∩Κ)?|Η|=|L||Η∩Κ|?|G|/|Η|=|Κ|/|Η∩Κ|?所以H∩K為K的π_Hall子群,若2?|H∩K|,則G的2_sylow子群為2階子群L,從而G可解,當(dāng)2||H∩K|時(shí),由性質(zhì)1.2知K滿足定理?xiàng)l件,由對(duì)|G|的歸納假設(shè)知K可解,又G/K?L,從而G可解.推論2.2設(shè)P為G的2_sylow子群,若P的子群均為G的C_補(bǔ),則G可解.定理2.3若G的兩個(gè)sylow子群均為G的C_補(bǔ),則G可解.證明對(duì)|G|進(jìn)行歸納.設(shè)π(G)={p1,…,pr},?Pi∈sylpiG,由條件?K≤G,使G=ΡiΚ,Ρi∩Κ≤(Ρi)G,若(Pi)G≠1,則ˉG=G/(Ρi)G,根據(jù)性質(zhì)1.2知ˉG滿足定理?xiàng)l件,由對(duì)|G|的歸納假設(shè)ˉG可解,進(jìn)而G可解.下設(shè)G=ΡiΚ?(Ρi)G=1,i=1,?,r,K為G的P′i_Hall子群,由PHall定理知G可解.推論2.4若G的真子群均為G的C_補(bǔ),則G可解.定理2.5設(shè)M<·G,[G:M]=p,π(G)={p,p1,…,pr},若M的Sylow子群均為G的C_補(bǔ),則G可解.證明對(duì)|G|進(jìn)行歸納.首先r≤1時(shí)G為可解群,因而設(shè)r≥2.由性質(zhì)1.2及定理2.3知M為可解子群.設(shè)Pi∈SylpiM,則Pi∈SylpiG,由Pi為G的C_補(bǔ)子群,因而存在K≤G,使G=ΡiΚ,Ρi∩Κ≤(Ρi)G,若(Pi)G≠1,作ˉG=G/(Ρi)G,由性質(zhì)1.2知ˉG滿足定理?xiàng)l件,由對(duì)|G|的歸納假設(shè)知ˉG可解,從而G可解.下設(shè)(Pi)G=1,i=1,2,…,r,這樣|G|=|Ρi||Κ|,由于M的pi_Sylow子群也為G的,從而K為G的p′i_Hall子群,i=1,2,…,r.若p?|M|,則M為G的p′_Hall子群.由PHall定理知道G為可解群.現(xiàn)設(shè)p||M|,令?Ρ∈SylpM,由?Ρ為G的C_補(bǔ),知?K≤G,使G=?ΡΚ,?Ρ∩Κ≤?ΡG?易得?ΡG≠1時(shí),G為可解群,當(dāng)?ΡG=1時(shí)|G|=|?Ρ||Κ|,Μ=?Ρ(Μ∩Κ)?|Μ|=|?Ρ||Μ∩Κ|?|G|/|Μ|=|Κ|/|Μ∩Κ|=p,得M∩K<·K,M∩K的pi_Sylow子群也為M的,由性質(zhì)1.2知為K的C_子群.由對(duì)|G|的歸納假設(shè)知K為可解群,從而K中有p′_Hall子群,也為G的p′_Hall子群,由上證明,再由PHall定理知G為可解群.定理2.6設(shè)π為π(G)中素?cái)?shù)集合,2∈π,H為G的可解的π_Hall子群,若G為π_可解的且H為G的C_補(bǔ),則G可解.證明對(duì)|G|進(jìn)行歸納.因H為G的C_補(bǔ),故存在K≤G,使G=ΗΚ,Η∩Κ≤ΗG?若HG≠1,作ˉG=G/ΗG,由性質(zhì)1.2知ˉG滿足定理?xiàng)l件,由對(duì)|G|歸納假設(shè)知ˉG可解,又HG可解,進(jìn)而G可解.下設(shè)HG=1,令N為G的極小正規(guī)子群,因而N或?yàn)棣衉群或?yàn)棣小鋉群.由于HG=1,故N一定為π′_群,進(jìn)而N為奇階群,由Feit_Thompso