人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)同步講義第04講 平面向量的數(shù)乘運(yùn)算（原卷版）

第4課平面向量的數(shù)乘運(yùn)算目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀1.了解向量數(shù)乘的概念.2.理解并掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算律，會(huì)運(yùn)用向量數(shù)乘的運(yùn)算律進(jìn)行向量運(yùn)算.3.理解并掌握向量共線定理及其判定方法．1.在熟悉課本知識(shí)的基礎(chǔ)上，了解并充分掌握向量數(shù)乘的概念.2.在掌握向量加減與數(shù)乘定義的基礎(chǔ)上，理解并掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算律，會(huì)運(yùn)用向量數(shù)乘的運(yùn)算律進(jìn)行向量運(yùn)算.3.準(zhǔn)確理解并掌握向量共線定理及其判定方法．知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)01向量數(shù)乘的定義一般地，我們規(guī)定實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)，這種運(yùn)算叫做向量的，記作λa，其長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：(1)|λa|＝|λ||a|.(2)λa(a≠0)的方向eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(當(dāng)λ>0時(shí)，與a的方向相同；,當(dāng)λ<0時(shí)，與a的方向相反.))特別地，當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0.當(dāng)λ＝－1時(shí)，(－1)a＝－a.【即學(xué)即練1】設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為不共線向量，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則下列關(guān)系式中正確的是（

）SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0知識(shí)點(diǎn)02向量數(shù)乘的運(yùn)算律1．設(shè)λ，μ為實(shí)數(shù)，那么(1)λ(μa)＝(λμ)a.(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa.(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.特別地，(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.2．向量的線性運(yùn)算向量的、、運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算，對(duì)于任意向量a，b，以及任意實(shí)數(shù)λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.【即學(xué)即練2】設(shè)SKIPIF1<0是兩個(gè)不共線的向量，若向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的方向相同，則SKIPIF1<0________.知識(shí)點(diǎn)03向量共線定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λa.【即學(xué)即練3】已知點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0所在平面內(nèi)，滿SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0依次是SKIPIF1<0的（

）A．重心，外心 B．內(nèi)心，外心 C．重心，內(nèi)心 D．垂心，外心答疑解惑向量共線定理中為什么規(guī)定a≠0?答案若將條件a≠0去掉，即當(dāng)a＝0時(shí)，顯然a與b共線．(1)若b≠0，則不存在實(shí)數(shù)λ，使b＝λa.(2)若b＝0，則對(duì)任意實(shí)數(shù)λ，都有b＝λa.能力拓展能力拓展考法01向量的線性運(yùn)算【典例1】(1)若a＝2b＋c，則化簡(jiǎn)3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)等于()A．－a B．－bC．－c D．以上都不對(duì)反思感悟向量線性運(yùn)算的基本方法(1)類比法：向量的數(shù)乘運(yùn)算類似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算，例如，實(shí)數(shù)運(yùn)算中的去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、提取公因式等變形手段在數(shù)與向量的乘積中同樣適用，但是這里的“同類項(xiàng)”“公因式”是指向量，實(shí)數(shù)看作是向量的系數(shù)．(2)方程法：向量也可以通過(guò)列方程來(lái)解，把所求向量當(dāng)作未知數(shù)，利用解方程的方法求解，同時(shí)在運(yùn)算過(guò)程中多注意觀察，恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)用運(yùn)算律，簡(jiǎn)化運(yùn)算．【變式訓(xùn)練】若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，則x＝________.考法02用已知向量表示其他向量【典例2】設(shè)D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點(diǎn)，AD＝eq\f(1,2)AB，BE＝eq\f(2,3)BC.若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，則eq\o(DE,\s\up6(→))＝________.(用a，b表示)反思感悟用已知向量表示其他向量的兩種方法(1)直接法(2)方程法當(dāng)直接表示比較困難時(shí)，可以首先利用三角形法則和平行四邊形法則建立關(guān)于所求向量和已知向量的等量關(guān)系，然后解關(guān)于所求向量的方程．【變式訓(xùn)練】如圖，在?ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，則eq\o(DE,\s\up6(→))等于()A.eq\f(1,2)a－b B.eq\f(1,2)a＋bC．a(chǎn)＋eq\f(1,2)b D．a(chǎn)－eq\f(1,2)b考法03向量共線的判定及應(yīng)用【典例3】在△ABC中，若點(diǎn)D滿足eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，則eq\o(AD,\s\up6(→))等于()A.eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→)) B.eq\f(5,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→)) D.eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))反思感悟(1)證明或判斷三點(diǎn)共線的方法一般來(lái)說(shuō)，要判定A，B，C三點(diǎn)是否共線，只需看是否存在實(shí)數(shù)λ，使得eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))(或eq\o(BC,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))等)即可．(2)利用向量共線求參數(shù)的方法已知向量共線求λ，常根據(jù)向量共線的條件轉(zhuǎn)化為相應(yīng)向量系數(shù)相等求解．【變式訓(xùn)練】設(shè)a，b是不共線的兩個(gè)向量．(1)若eq\o(OA,\s\up6(→))＝2a－b，eq\o(OB,\s\up6(→))＝3a＋b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝a－3b，求證：A，B，C三點(diǎn)共線；(2)若8a＋kb與ka＋2b共線，求實(shí)數(shù)k的值．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練一、單選題1．如圖，E，F(xiàn)分別是矩形ABCD的邊CD，BC的中點(diǎn)，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．在SKIPIF1<0中，點(diǎn)D在BC邊上，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．在△ABC中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．如圖所示，在SKIPIF1<0中，點(diǎn)SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0上靠近A的三等分點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．SKIPIF1<0是SKIPIF1<0所在平面內(nèi)一點(diǎn)，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0點(diǎn)必在（

）A．SKIPIF1<0內(nèi)部 B．在直線SKIPIF1<0上C．在直線SKIPIF1<0上 D．在直線SKIPIF1<0上6．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是任意三個(gè)空間向量，SKIPIF1<0，則下列關(guān)系式中不成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．在SKIPIF1<0中，D為BC上一點(diǎn).若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．已知等邊SKIPIF1<0的邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0，D為SKIPIF1<0中點(diǎn)，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<09．（多選）《易經(jīng)》是闡述天地世間關(guān)于萬(wàn)象變化的古老經(jīng)典，其中八卦深邃的哲理解釋了自然、社會(huì)現(xiàn)象.如圖1所示的是八卦模型圖，其平面圖形SKIPIF1<0圖SKIPIF1<0中的正八邊形ABCDEFGH，其中O為正八邊形的中心，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0和SKIPIF1<0能構(gòu)成一組基底10．（多選）莊嚴(yán)美麗的國(guó)旗和國(guó)徽上的五角星是革命和光明的象征，正五角星（5個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成正五邊形）是一個(gè)非常優(yōu)美的幾何圖形，且與黃金分割有著密切的聯(lián)系在如圖所示的正五角星中，SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<011．古代典籍《周易》中的“八卦”思想對(duì)我國(guó)的建筑有一定影響．圖1是受“八卦”啟示設(shè)計(jì)的正八邊形的八角窗．在正八邊形SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______．12．如圖，已知SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0_________，SKIPIF1<0_________.題組B能力提升練1．已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不共線，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（

）A．A，B，C三點(diǎn)共線 B．A，B，D三點(diǎn)共線C．A，C，D三點(diǎn)共線 D．B，C，D三點(diǎn)共線2．在SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0邊上一點(diǎn)，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．2 B．１C．-2 D．－13．已知SKIPIF1<0中，點(diǎn)SKIPIF1<0為邊SKIPIF1<0中點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則“SKIPIF1<0”為“點(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0重心”（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要4．已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不共線，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0反向共線，則實(shí)數(shù)λ的值為（）A．1 B．SKIPIF1<0C．1或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<05．已知SKIPIF1<0是平面上的4個(gè)定點(diǎn)，SKIPIF1<0不共線，若點(diǎn)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡一定經(jīng)過(guò)SKIPIF1<0的（

）A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心6．設(shè)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．已知向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不共線，且SKIPIF1<0與SKIPIF1<0共線，則SKIPIF1<0___________．8．在△ABC中，點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AD上，且滿足AE＝2ED，若SKIPIF1<0，則λ＋μ＝_________．9．P是梯形ABCD外一點(diǎn)，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0_____．10．（1）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是兩個(gè)不共線的向量，向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0（用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示）.（2）設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是不共線的兩個(gè)非零向量.若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0共線，求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的值.題組C培優(yōu)拔尖練1．點(diǎn)P是SKIPIF1<0所在平面上一點(diǎn)，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的面積之比是（

）A．SKIPIF1<0 B．3 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．已知SKIPIF1<0為△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，若滿足SKIPIF1<0則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．已知SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的平分線上一點(diǎn)，且SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0內(nèi)（不包含邊界）的一點(diǎn)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．設(shè)O是SKIPIF1<0的外心，滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的面積是A．4 B．SKIPIF1<0 C．8 D．65．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為邊SKIPIF1<0上任