人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)同步講義第24講 棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積（原卷版）

第24課棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀1.了解棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積與體積的計(jì)算公式.2.理解并掌握側(cè)面展開圖與幾何體的表面積之間的關(guān)系，并能利用計(jì)算公式求幾何體的表面積與體積．1.通過閱讀課本培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力和抽象思維能力.2.柱、錐、臺(tái)的側(cè)面積和體積問題是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，現(xiàn)就柱、錐、臺(tái)的側(cè)面積和體積的常見問題分類解析以下。對(duì)于棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積，多采用面積累加的方式求解.3.特別地，若為正棱柱（錐、臺(tái)），各側(cè)面積相等，可用乘法計(jì)算；計(jì)算其體積時(shí)，關(guān)鍵是求底面積和高，并注意公式的運(yùn)用知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)01棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積圖形表面積多面體多面體的表面積就是圍成多面體各個(gè)面的面積的和，也就是的面積【即學(xué)即練1】已知長(zhǎng)方體全部棱長(zhǎng)的和為36，表面積為52，則其體對(duì)角線的長(zhǎng)為（）A．4 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0知識(shí)點(diǎn)02棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積幾何體體積說明棱柱V棱柱＝ShS為棱柱的，h為棱柱的棱錐V棱錐＝eq\f(1,3)ShS為棱錐的，h為棱錐的棱臺(tái)V棱臺(tái)＝eq\f(1,3)(S′＋eq\r(S′S)＋S)hS′，S分別為棱臺(tái)的，h為棱臺(tái)的【即學(xué)即練2】已知長(zhǎng)方體過一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)的比是SKIPIF1<0，體對(duì)角線的長(zhǎng)為SKIPIF1<0，則這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是（

）A．48 B．24 C．12 D．6能力拓展能力拓展考法01棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積【典例1】棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)均為1的正四棱錐的側(cè)面積為A．SKIPIF1<0 B．2 C．3 D．SKIPIF1<0【變式訓(xùn)練】若正三棱臺(tái)上、下底面邊長(zhǎng)分別是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，棱臺(tái)的高為SKIPIF1<0，則此正三棱臺(tái)的側(cè)面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【變式訓(xùn)練】已知四棱臺(tái)的上、下底面分別是邊長(zhǎng)為4和8的正方形，側(cè)面是腰長(zhǎng)為8的等腰梯形，求該四棱臺(tái)的表面積.反思感悟(1)棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積求法①多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和．②棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積等于它們的側(cè)面積與各自底面積的和．(2)求解正棱臺(tái)的表面積時(shí)注意棱臺(tái)的四個(gè)基本量：底面邊長(zhǎng)、高、斜高、側(cè)棱，并注意兩個(gè)直角梯形的應(yīng)用：①高、側(cè)棱、上下底面多邊形的中心與頂點(diǎn)連線所成的直角梯形．②高、斜高、上下底面邊心距所成的直角梯形．考法02棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積【典例2】棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)均為1的正四棱錐的體積為

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0反思感悟求解正棱臺(tái)的體積時(shí)，注意棱臺(tái)的五個(gè)基本量(上、下底面邊長(zhǎng)、高、斜高、側(cè)棱)．常用兩種解題思路：一是把基本量轉(zhuǎn)化到直角梯形中解決問題；二是把正棱臺(tái)還原成正棱錐．利用正棱錐的有關(guān)知識(shí)來解決問題．【變式訓(xùn)練】已知正六棱柱的高為SKIPIF1<0，底面邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0，則它的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0考法03簡(jiǎn)單組合體的表面積與體積【典例3】如圖，在幾何體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，側(cè)棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均垂直于底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求該幾何體的體積.【變式訓(xùn)練】如圖，已知正方體ABCD–A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，則四棱錐A1–BB1D1D的體積為__________．考法04幾何體體積的求法【典例4】等積變換法如圖，已知ABCD－A1B1C1D1是棱長(zhǎng)為a的正方體，E為AA1的中點(diǎn)，F(xiàn)為CC1上一點(diǎn)，求三棱錐A1－D1EF的體積．【典例5】分割法如圖，在多面體ABCDEF中，已知四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一點(diǎn)到平面ABCD的距離均為3，求該多面體的體積．反思感悟(1)轉(zhuǎn)換頂點(diǎn)和底面是求三棱錐體積的一種常用的方法．(2)對(duì)于給出的一個(gè)不規(guī)則的幾何體不能直接套用公式，常常需要運(yùn)用分割法．(3)通過識(shí)別幾何體的結(jié)構(gòu)特征，提升直觀想象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練一、單選題1．正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為2，最長(zhǎng)的一條對(duì)角線長(zhǎng)為SKIPIF1<0，則它的表面積為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．已知長(zhǎng)方體全部棱長(zhǎng)的和為SKIPIF1<0，表面積為SKIPIF1<0，則其體對(duì)角線的長(zhǎng)為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．魯班鎖起源于中國(guó)古代建筑的榨卯結(jié)構(gòu)．這種三維的拼插器具內(nèi)部的凹凸部分（即榫卯結(jié)構(gòu)）嚙合，十分巧妙，魯班鎖類玩具比較多，形狀和內(nèi)部的構(gòu)造各不相同，一般都是易拆難裝，如圖（1），這是一種常見的魯班鎖玩具，圖（2）是該魯班鎖玩具的直觀圖．已知該魯班鎖玩具每條棱的長(zhǎng)均為1，則該魯班鎖玩具的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體SKIPIF1<0中，P在線段SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，M為線段SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐SKIPIF1<0的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．與點(diǎn)M的位置有關(guān)5．如圖，“十字歇山”是由兩個(gè)直三棱柱重疊后的景象，重疊后的底面為正方形，直三棱柱的底面是頂角為SKIPIF1<0，腰為3的等腰三角形，則該幾何體的體積為（

）A．23 B．24 C．26 D．27二、多選題6．正三棱錐底面邊長(zhǎng)為3，側(cè)棱長(zhǎng)為SKIPIF1<0，則下列敘述正確的是（

）A．正三棱錐高為3 B．正三棱錐的斜高為SKIPIF1<0C．正三棱錐的體積為SKIPIF1<0 D．正三棱錐的側(cè)面積為SKIPIF1<07．如圖，四邊形SKIPIF1<0為正方形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，記三棱錐SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的體積分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0三、填空題8．玉璧是我國(guó)傳統(tǒng)的玉禮器之一，也是“六瑞”之一，象征著吉祥等寓意.穿孔稱作“好”，邊緣器體稱作“肉”.《爾雅?釋器》“肉倍好謂之璧，好倍肉謂之璦，肉好“若一謂之環(huán)”.一般把體形扁平?周邊圓形?中心有一上下垂直相透的圓孔的器物稱為璧.如圖所示，某玉璧通高SKIPIF1<0，孔徑SKIPIF1<0.外徑SKIPIF1<0，則該玉璧的體積為_____________9．如圖，一個(gè)正四棱錐（底面為正方形且側(cè)棱均相等的四棱錐）的底面的邊長(zhǎng)為4，高與斜高的夾角為30°，則正四棱錐的側(cè)面積為___________.10．側(cè)面均為面積為4的正方形的正三棱柱的表面積為______．【答案】SKIPIF1<0##SKIPIF1<011．已知三棱錐SKIPIF1<0的三條側(cè)棱兩兩垂直，且它們的長(zhǎng)度分別為1，1，SKIPIF1<0，則此三棱錐的高為_________．四、解答題12．已知四棱臺(tái)的上、下底面分別是邊長(zhǎng)為4和8的正方形，側(cè)面是腰長(zhǎng)為8的等腰梯形，求該四棱臺(tái)的表面積.13．用一張正方形的紙把一個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體禮品盒完全包住，不將紙撕開，求所需紙的最小面積．14．如圖所示，在長(zhǎng)方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且E為SKIPIF1<0中點(diǎn)．求SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離．題組B能力提升練一、單選題1．如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為2，以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．8 D．122．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．將一個(gè)斜邊為2的等腰直角三角形繞直角邊旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．下圖是一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面展開圖，若兩個(gè)半圓的半徑分別是1和2，則該圓臺(tái)的體積是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．正三棱錐P﹣ABC的三條棱兩兩互相垂直，則該正三棱錐的內(nèi)切球與外接球的半徑之比為（）A．1：3 B．1：SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．用半徑為2，弧長(zhǎng)為SKIPIF1<0的扇形紙片卷成一個(gè)圓錐，則這個(gè)圓錐的體積等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多選題7．正三棱錐SKIPIF1<0的外接球半徑為2，底面邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0，則此三棱錐的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．如圖，在多面體SKIPIF1<0中，四邊形SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均是邊長(zhǎng)為1的正方形，點(diǎn)SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上，則（

）A．該幾何體的體積為SKIPIF1<0 B．點(diǎn)SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0內(nèi)的射影為SKIPIF1<0的垂心C．SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0 D．存在點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0三、填空題9．若正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為5，側(cè)棱長(zhǎng)為4，則此正四棱柱的體積為______．10．已知四棱臺(tái)的上、下底面分別是邊長(zhǎng)為4和8的正方形，側(cè)面是腰長(zhǎng)為8的等腰梯形，則該四棱臺(tái)的表面積為________．11．正多面體被古希臘圣哲認(rèn)為是構(gòu)成宇宙的基本元素，加上它們的多種變體，一直是科學(xué)、藝術(shù)、哲學(xué)靈感的源泉之一.如圖，該幾何體是一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正八面體，則此正八面體