專題03 弦圖模型與勾股樹模型（原卷版）

專題03弦圖模型與勾股樹模型趙爽弦圖分為內弦圖與外弦圖，是中國古代數(shù)學家趙爽發(fā)現(xiàn)，既可以證明勾股定理，也可以以此命題，相關的題目有一定的難度，但解題方法也常常是不唯一的。弦圖之美，美在簡約，然不失深厚，經典而久遠，被譽為“中國數(shù)學界的圖騰”。弦圖蘊含的割補思想，數(shù)形結合思想、圖形變換思想更是課堂教學中數(shù)學思想滲透的絕佳載體。一個弦圖集合了初中平面幾何線與形，位置與數(shù)量，方法與思想，小身板，大能量，它就是數(shù)學教育里的不老神話。廣受數(shù)學教師和數(shù)學愛好者研究，近年來也成為了各地中考的熱點問題。模型1、弦圖模型（1）內弦圖模型：如圖1，在正方形ABCD中，AE⊥BF于點E，BF⊥CG于點F，CG⊥DH于點G，DH⊥AE于點H，則有結論：△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH；S正方形ABCD=4S△EAB+S正方形EFGH。圖1圖2圖3（2）外弦圖模型：如圖2，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是正方形ABCD各邊上的點，且四邊形EFGH是正方形，則有結論：△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH；S正方形ABCD=4S△EAB+S正方形EFGH。（3）內外組合型弦圖模型：如圖3，2S正方形EFGH=S正方形ABCD+S正方形PQMN.例1．（2023春·廣西河池·八年級統(tǒng)考期末）如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成一個大正方形，設直角三角形較長直角邊長為，較短直角邊長為，若，大正方形的面積為129．則小正方形的邊長為（

）

A．7 B．8 C．9 D．10例2．（2023.成都市八年級期中）如圖，我國漢代數(shù)學家趙爽在注解《周髀算經》時給出的“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形．連結，交于點P，若正方形的面積為48，．則的值是__________．例3．（2023·山西八年級期末）如圖，圖1是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的，若，將四個直角三角形中的邊長為的直角邊分別向外延長一倍，得到圖2所示的“數(shù)學風車”，則這個風車的外圍周長是（）A． B． C． D．例4．（2022·杭州市九年級月考）我國漢代數(shù)學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”．如圖是由弦圖變化得到，它是用八個全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝12，則下列關于S1、S2、S3的說法正確的是（）A．S1＝2 B．S2＝3 C．S3＝6 D．S1+S3＝8例5．（2023春·浙江溫州·八年級校考階段練習）公元三世紀，我國漢代數(shù)學家趙爽在注解《周髀算經》題時給出了“趙爽弦圖”．將兩個“趙爽弦圖”（如圖）中的兩個正方形和八個直角三角形按圖方式擺放圍成正方形，記空隙處正方形，正方形的面積分別為，．若，，則正方形的面積為（）

A．144 B．104 C．72 D．52模型2.勾股樹模型例1．（2022·四川成都·八年級期末）如圖是株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形，，，的面積分別為3，7，1，3，則最大的正方形的面積是__________．例2．（2022·重慶涪陵·八年級期末）如圖，在四邊形ABCD中，，分別以四邊形ABCD的四條邊為邊長，向外作四個正方形，面積分別為，，和．若，，，則的值是（

）A．6 B．8 C．9 D．10例3．（2022秋·廣東佛山·八年級校聯(lián)考階段練習）如圖所示的是一種“羊頭”形圖案，全部由正方形與等腰直角三角形構成，其作法是從正方形①開始，以它的一條邊為斜邊，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角邊為邊，分別向外作正方形②和②’，再分別以正方形②和②’的一條邊為斜邊，向外作等腰直角三角形，...，若正方形⑤的面積為2cm2，則正方形①的面積為（

）A．8cm2 B．16cm2 C．32cm2 D．64cm2例4．（2023春·山西呂梁·八年級統(tǒng)考階段練習）“勾股樹”是以正方形－邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復這－過程所畫出來的圖形，因為重復數(shù)次后的形狀好似－－棵樹而得名．假設下圖分別是第一代勾股樹、第二代勾股樹、第三代勾股樹，按照勾股樹的作圖原理作圖，則第五代勾股樹中正方形的個數(shù)為（

）A． B． C． D．例5．（2023·浙江八年級期中）如圖，以的三邊為直徑，分別向外作半圓，構成的兩個月牙形面積分別為、，的面積．若，，則的值為________．例6．（2022·上饒市初二期中）已知如圖，以的三邊為斜邊分別向外作等腰直角三角形，若斜邊，則圖中陰影部分的面積為_______．例7．（2023·浙江·八年級專題練習）勾股定理是人類重大科學發(fā)現(xiàn)之一．我國古代數(shù)學書《周髀算經》記載，約公元前11世紀，我國古代勞動人民就知道“若勾三，股四，則弦五”，比西方早500多年．請你運用學到的知識、方法和思想探究以下問題．【探究一】我國漢代數(shù)學家趙爽創(chuàng)制了“趙爽弦圖”，通過圖形切割、拼接，巧妙地利用面積關系證明了勾股定理．古往今來，人們對勾股定理的證明一直保持著極大的熱情．意大利著名畫家達·芬奇用兩張一樣的紙片，拼出不一樣的空洞，利用空洞面積相等也成功地證明了勾股定理（如圖）．請你寫出這一證明過程（圖中所有的四邊形都是正方形，三角形都是直角三角形）．【探究二】在學習勾股定理的過程中，我們獲得了以下數(shù)學活動經驗：分別以直角三角形的三邊為邊向外側作正方形（如圖2），它們的面積，，之間滿足的等量關系是：__________．遷移應用：如圖3，圖中所有的四邊形都是正方形，三角形都是直角三角形．若正方形，，，的邊長分別是，，，，則正方形的面積是________．【探究三】如圖4，分別以直角三角形的三邊為直徑向外側作半圓，則它們的面積，，之間滿足的等量關系是________．遷移應用：如圖5，直角三角形的兩條直角邊長分別為，，斜邊長為，分別以三邊為直徑作半圓．若，，則圖中陰影部分的面積等于________．【探究四】《九章算術》卷九“勾股”中記載：今有立木，系索其末，委地三尺．引索卻行，去本八尺而索尺．問索長幾何．譯文：今有一豎立著的木柱，在木樁的上端系有繩索，繩索從木柱上端順木柱下垂后，堆在地面的部分尚有尺．牽著繩索（繩索與地面接觸）退行，在距木柱根部尺處時繩索用盡．問繩索長多少？課后專項訓練1．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·八年級期中）如圖，分別以直角△ABC的三邊AB、BC、CA為直徑向外作半圓，圖中陰影部分面積分別為S1，S2，S3，S1=13平方厘米，S2=10平方厘米，則S3的值為（

）A．6 B．5 C．4 D．32．（2022·云南九年級一模）如圖是按照一定規(guī)律“生長”的“勾股樹”：經觀察可以發(fā)現(xiàn)：圖（1）中共有3個正方形，圖（2）在圖（1）的基礎上增加了4個正方形，圖（3）在圖（2）的基礎上增加了8個正方形，……，照此規(guī)律“生長”下去，圖（6）應在圖（5）的基礎上增加的正方形的個數(shù)是（）A．12 B．32 C．64 D．1283．（2022·廣東揭陽·七年級期末）如圖所示，所有的四邊形都是正方形，所有三角形都是等腰直角三角形，且最大的正方形的邊長為4．若按照圖①至圖③的規(guī)律設計圖案，則在第個圖中所有等腰直角三角形的面積和為（）A． B． C． D．324．（2022·浙江初三學業(yè)考試）勾股定理是人類最偉大的科學發(fā)現(xiàn)之一，在我國古算書《周髀算經》中早有記載．如圖，以直角三角形的各邊為邊分別向外作正方形，再把較小的兩張正方形紙片按圖的方式放置在最大正方形內．若圖中陰影部分的面積為，且，則的長為（）圖1圖2A． B． C． D．5．（2022·青海西寧·八年級期末）如圖，直線上有三個正方形，若，的面積分別為5和11，則的面積為（

）A．13 B．16 C．36 D．556．（2023·浙江·杭州八年級階段練習）如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分別以△ABC的三邊為邊作正方形ABDE，正方形BCFG，正方形ACHI，AI交CF于點J．三個正方形沒有重疊的部分為陰影部分，設四邊形BGFJ的面積為S1，四邊形CHIJ的面積為S2，若S1﹣S2＝12，S△ABC＝4，則正方形BCFG的面積為（）A．16 B．18 C．20 D．227．（2022·渦陽縣初二月考）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學的驕傲，如圖所示的“趙爽弦圖”是由三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若（a＋b）2＝21，大正方形的面積為13，則小正方形的面積為（）A．3 B．4 C．5 D．68．（2022·河南南陽·八年級期末）如圖，我國古代的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形密鋪構成的大正方形，若小正方形的面積為1，大正方形的面積為13，則直角三角形較短的直角邊a與較長的直角邊b的比的值是（）A． B． C． D．9．（2023春·湖北黃岡·八年級統(tǒng)考期中）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學的驕傲，設直角三角形較長直角邊長為，較短直角邊長為．若，大正方形的面積為，則的長為（

）

A． B． C． D．10．（2022·重慶江津·八年級期中）如圖，分別以等腰Rt△ACD的邊AD，AC，CD為直徑畫半圓，AD＝2，則陰影部分的面積是__________11．（2022·貴州銅仁·八年級期中）如圖，以的三邊向外作正方形，其面積分別為且，則___________；以的三邊向外作等邊三角形，其面積分別為，則三者之間的關系為___________．12．（2023春·湖北孝感·八年級統(tǒng)考期中）下圖是“畢達哥拉斯樹”的“生長”過程：如圖①，一個邊長為的正方形，經過第一次“生長”后在它的上側長出兩個小正方形，且三個正方形所圍成的三角形是直角三角形；再經過一次“生長”后變成了②；如此繼續(xù)“生長”下去，則第2023次“生長”后，這棵“畢達哥拉斯樹”上所有正方形的面積和為．13．（2022·江蘇·八年級專題練習）如圖1，四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中間是一個小正方形，這個圖形是我國漢代趙爽在注解《周髀算經》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”．連接四條線段得到如圖2的新的圖案．如果圖1中的直角三角形的長直角邊為5，短直角邊為3，圖2中陰影部分的面積為S，那么S的值為______．14．（2023春·陜西西安·七年級高新一中?？茧A段練習）用八個全等的直角三角形拼接了一幅“弦圖”，記圖中正方形，正方形，正方形的面積分別為，，，若，則．

15．（2023·浙江臺州·八年級校考期中）如圖1，是一個封閉的勾股水箱，其中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ部分是可盛水的正方形，且相互聯(lián)通，已知∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，開始時Ⅲ剛好盛滿水，而Ⅰ，Ⅱ無水．（1）如圖2擺放時，Ⅰ剛好盛滿水，而Ⅱ無水，則Ⅲ中有水部分的面積為；（2）如圖3擺放時，水面剛好經過Ⅲ的中心O（正方形兩條對角線的交點），則Ⅱ中有水部分的面積為．16．（2022·廣東·八年級課時練習）如圖①，直角三角形的兩個銳角分別是40°和50°，其三邊上分別有一個正方形．執(zhí)行下面的操作：由兩個小正方形向外分別作銳角為40°和50°的直角三角形，再分別以所得到的直角三角形的直角邊為邊長作正方形，圖②是1次操作后的圖形．（1）試畫出2次操作后的圖形．（2）如果原來直角三角形斜邊長為，寫出2次操作后的圖形中所有正方形的面積和．（3）如果一直畫下去，你能想象出它的樣子嗎？（4）圖③是重復上述步驟若干次后得到的圖形，人們把它稱為“畢達哥拉斯樹”．如果最初的直角三角形是等腰直角三角形，你能想象出此時“畢達哥拉斯樹”的形狀嗎？17．（2022·湖南·八年級課時練習）如圖①，美麗的弦圖，蘊含著四個全等的直角三角形．(1)弦圖中包含了一大，一小兩個正方形，已知每個直角三角形較長的直角邊為a，較短的直角邊為b，斜邊長為c，結合圖①，試驗證勾股定理．(2)如圖②，將這四個直角三角形緊密地拼接，形成飛鏢狀，已知外圍輪廓（粗線）的周長24，，求該飛鏢狀圖案的面積．(3)如圖③，將八個全等的直角三角形緊密地拼接，記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為，若，求．18．（2022·山東濰坊·八年級期中）閱讀理解：我國是最早了解勾股