廣東省陽江市2024屆高三上學(xué)期第一次階段調(diào)研數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省陽江市2024屆高三上學(xué)期第一次階段調(diào)研數(shù)學(xué)試題一?選擇題1.已知集合，，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)榧?，，所以，故選：D.2.設(shè)函數(shù)，不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)，即，因?yàn)椋裕?，由，所以函?shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為單調(diào)遞減函數(shù)，因?yàn)樵谏虾愠闪ⅲ?，根?jù)函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性得，，又因?yàn)椋?，即，即，又因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，所以，故選：D.3.已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有零點(diǎn)，但有極值點(diǎn)，則的取值范圍（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗,其中（取為銳角），，其中（取為銳角），設(shè)，由，可得.在區(qū)間內(nèi)沒有零點(diǎn)，但有極值點(diǎn)時(shí)，,可得.所以.因?yàn)?，，所?所以，所以在上的最大值在取得，故.又，,所以的取值范圍是.故選:A.4.三棱錐中，，則直線與平面所成角的正弦值是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗取中點(diǎn)，連接，，≌，，，，是邊長為的正三角形，，面，面，作于，面，面，面，在中，由余弦定理得，，，，，，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由得，即，解得，所以直線與平面所成角的正弦值為.故選：A.5.四棱柱中，側(cè)棱底面，，，，側(cè)面為正方形，設(shè)點(diǎn)O為四棱錐外接球的球心，E為上的動點(diǎn)，則直線與所成的最小角的正弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如圖所示：以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，球心在平面的投影坐標(biāo)為，則設(shè)球心，則，即，解得，則.設(shè)，，，，設(shè)，則，，則，當(dāng)時(shí)，有最大值為，此時(shí)直線與所成的角最小，對應(yīng)的正弦值為.故選：D.6.已知雙曲線（）的左焦點(diǎn)為F，過F的直線交E的左支于點(diǎn)P，交E的漸近線于點(diǎn)M，N，且P，M恰為線段FN的三等分點(diǎn)，則雙曲線E的離心率為（）A.2 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意，點(diǎn)在漸近線上，點(diǎn)在漸近線上，設(shè)，因?yàn)镻，M恰為線段FN的三等分點(diǎn)，所以為線段的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，則，則，即，又點(diǎn)在漸近線上，所以，所以，故，因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線，所以，所以，所以.故選：D.7.已知實(shí)數(shù)滿足：，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗令，，故在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，故，即，，所以，，令，，則在上恒成立，故，所以，設(shè)，則，故，所以，即，由于，，故，取得：.所以.故選：A.8.直角中，，，D是斜邊AC上的一動點(diǎn)，沿BD將翻折到，使二面角為直二面角，當(dāng)線段的長度最小時(shí)，四面體的外接球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗作，，，，設(shè)，，，．在中，，在中，，．當(dāng)時(shí)最?。O(shè)，的外接圓半徑分別為，∴，，∴，，．∴∴.故選:B．二?多選題9.若函數(shù)（）的最小正周期為，則（）A. B.在上單調(diào)遞減C.在內(nèi)有5個零點(diǎn) D.在上的值域?yàn)椤即鸢浮紹C〖解析〗．因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，所以，故.對于A，，故A錯誤；對于B，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，故B正確；對于C，，∴，，當(dāng)時(shí)，滿足要求的有，，，，，共有5個零點(diǎn)，故C正確；對于D，當(dāng)時(shí)，，則，故，∴D錯誤．故選：BC.10.在邊長為2的菱形ABCD中，，將菱形ABCD沿對角線BD折成空間四邊形A'BCD，使得．設(shè)E，F(xiàn)分別為棱BC，A'D的中點(diǎn)，則（）A. B.直線A'C與EF所成角的余弦值為C.直線A'C與EF的距離為 D.四面體A'BCD的外接球的表面積為〖答案〗AC〖解析〗設(shè)菱形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，取CD中點(diǎn)G，連接EG、FG，得到如下圖所示四面體.在菱形ABCD中，，，則為等邊三角形，所以，.在空間四邊形中，，，則.因?yàn)锳BCD是菱形，所以、，即在空間四邊形中，、，則平面，所以.對于A項(xiàng)：因?yàn)镋、F、G分別為BC、、CD，所以且，且，因，所以，則，故A項(xiàng)正確；對于B項(xiàng)：因?yàn)?，所以直線與EF所成角為，又因?yàn)?，所以，直線與EF所成角的余弦值為，故B項(xiàng)錯誤；對于C項(xiàng)：因?yàn)?，平面，所以平面，設(shè)與OC交于點(diǎn)H，因?yàn)闉榈冗吶切?、，所以CO為的中線，又因?yàn)镋G為中位線，所以H為中點(diǎn).作于點(diǎn)M、于點(diǎn)N，則且、，又因?yàn)槠矫?、，所以平?平面，所以，則平面，即HN為到平面距離.如下圖所示，在等腰中，，則點(diǎn)H到直線距離，即直線與平面距離為，又因?yàn)槠矫妫灾本€與EF的距離為，故C項(xiàng)正確；對于D項(xiàng)：因?yàn)?、，所以均為直角三角形，取中點(diǎn)P，由直角三角形性質(zhì)可得，則P點(diǎn)為四面體的外接球球心，外接球半徑，則外接球表面積為，故D項(xiàng)錯誤.故選：AC.11.拋物線C：，AB是C的焦點(diǎn)弦（）A.點(diǎn)P在C的準(zhǔn)線上，則的最小值為0B.以AB為直徑的所有圓中，圓面積的最小值為9πC.若AB的斜率，則△ABO的面積D.存在一個半徑為的定圓與以AB為直徑的圓都內(nèi)切〖答案〗ABD〖解析〗由題意可知：拋物線C：的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，對于選項(xiàng)A：根據(jù)拋物線的性質(zhì)可知：以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切，若點(diǎn)P是以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線的切點(diǎn)，則，所以；若點(diǎn)P不是以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線的切點(diǎn)，則為銳角，所以；綜上所述：的最小值為0，故A正確；對于選項(xiàng)B：設(shè)直線，聯(lián)立方程，消去y得，則，可得，當(dāng)時(shí)，取到最小值6，此時(shí)以AB為直徑的圓的面積最小，最小值為，故B正確；對于選項(xiàng)C：若AB的斜率，則，直線，即，由選項(xiàng)B可得：，點(diǎn)到直線直線距離，所以△ABO的面積，故C錯誤；對于選項(xiàng)D：由選項(xiàng)B可知：以AB為直徑的圓的圓心為，半徑，設(shè)圓圓心為，半徑，若圓與圓內(nèi)切，則，即，整理得，因?yàn)閷θ我獾暮愠闪?，則，解得，即圓心為，半徑的圓恒與以AB為直徑的圓都內(nèi)切，故D正確；故選：ABD.12.設(shè)定義在R上，若對任意實(shí)數(shù)t，存在實(shí)數(shù)，使得成立，則稱滿足“性質(zhì)T”，下列函數(shù)不滿足“性質(zhì)T”的有（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗變形為：，即在R上至少有2個根，所以在R上不單調(diào)，即可滿足“性質(zhì)T”，A選項(xiàng)，，定義域?yàn)镽，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)恒成立，所以此時(shí)在R上單調(diào)，不滿足“性質(zhì)T”；B選項(xiàng)，，定義域?yàn)镽，則，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以此時(shí)在R上單調(diào)，不滿足“性質(zhì)T”；C選項(xiàng)，，定義域?yàn)镽，，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，滿足“性質(zhì)T”；D選項(xiàng)，，定義域?yàn)镽，，當(dāng)時(shí)，，令，則，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在處取得極小值，且當(dāng)時(shí)，恒成立，又，所以在R上恒成立，故在R上單調(diào)遞增，不滿足“性質(zhì)T”；故選：ABD.三?填空題13.設(shè)函數(shù)，若存在最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_______．〖答案〗〖解析〗①當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，故趨近于時(shí)，趨近于，故不存在最大值；②當(dāng)時(shí)，，故不存在最大值；③當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故若存在最大值，則，即；綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為；故〖答案〗為：．14.在菱形ABCD中，，，AC與BD的交點(diǎn)為G，點(diǎn)M，N分別在線段AD，CD上，且，，將沿MN折疊到，使，則三棱錐的外接球的表面積為__________．〖答案〗〖解析〗如圖所示，因?yàn)?，，所以，設(shè)MN與BD的交點(diǎn)為H，連接，因?yàn)?，，所以，則，，所以，又，則，則，又，，平面ABC，所以平面ABC，設(shè)的外接圓圓心為，的外接圓圓心為，過，分別作平面ABC，平面的垂線，設(shè)兩垂線交于點(diǎn)O，則O是三棱錐外接球的球心，且四邊形為矩形，設(shè)的外接圓半徑為，在中，由，解得，同理可得的外接圓半徑，所以，設(shè)三棱錐的外接球半徑為R，則，則三棱錐的外接球的表面積.故〖答案〗為：．15.已知點(diǎn)在拋物線上，為拋物線的焦點(diǎn)，圓與直線相交于兩點(diǎn)，與線段相交于點(diǎn)，且．若是線段上靠近的四等分點(diǎn)，則拋物線的方程為________．〖答案〗〖解析〗由可知，設(shè)，則，則，故，即①；又點(diǎn)在拋物線上，故②，且，即③，②聯(lián)立得，得或，由于，故，結(jié)合③，解得，故拋物線方程為，故〖答案〗為：.16.已知函數(shù)，若在區(qū)間上有零點(diǎn)，則的最大值為__________.〖答案〗〖解析〗設(shè)，則，此時(shí)，則，令，當(dāng)時(shí)，，記，則，所以在上遞增，在上遞減，故,所以，所以的最大值為.故〖答案〗為：.四?解答題17.在中，為邊上一點(diǎn)，且平分．（1）若，求與；（2）若，設(shè)，求．解：（1）如下圖所示：因?yàn)槠椒?，所以，又因?yàn)樵谏?，所以，因此，又，所以．在中，，可得．在中，由余弦定理可得，故．?）如下圖所示：因?yàn)槠椒?，，又，所以，在中，由正弦定理可得，又，所以，展開并整理得，解得．18.已知數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.（1）解：，又，是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，.（2）證明：由（1），，，，.19.如圖，四棱錐的底面為直角梯形，底面，，，，為棱上一點(diǎn).（1）證明：平面平面；（2）若，求點(diǎn)到平面的距離.（1）證明：由題意可知，因?yàn)榈酌妫矫?，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平?（2）解：由題意可知，所以為等邊三角形，且，連接，設(shè)中點(diǎn)為，作，作于交AC于H，連接，，EF，因?yàn)?，且，可知平面EFH，故平面EFH平面PAD，從而，，所以有平面ABCD，，又因?yàn)?，所以H是AB中點(diǎn)，進(jìn)而E、F分別是PC、AC中點(diǎn)，在中，，的面積，的面積，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，得，則，故點(diǎn)到平面的距離為.20.已知橢圓的中心為O，左、右焦點(diǎn)分別為，，M為橢圓C上一點(diǎn)，線段與圓相切于該線段的中點(diǎn)N，且的面積為4.（1）求橢圓C的方程；（2）橢圓C上是否存在三個點(diǎn)A，B，P，使得直線AB過橢圓C的左焦點(diǎn)，且四邊形是平行四邊形？若存在，求出直線AB的方程；若不存在.請說明理由.解：（1）連接，則，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以，故，，，解得，由橢圓定義可知，，解得，由勾股定理得，即，解得，故，故橢圓方程為；（2）由題意得，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，即，此時(shí)，解得，設(shè)，由于，由對稱性可知，為橢圓左頂點(diǎn)，但，故不合要求，舍去，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)為，聯(lián)立得，，，設(shè)，則，，則中點(diǎn)坐標(biāo)為，假設(shè)存在點(diǎn)P，使得四邊形是平行四邊形，則，將代入橢圓中，得，解得，此時(shí)直線AB的方程為.21.部分高校開展基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點(diǎn)工作（強(qiáng)基計(jì)劃）的?？加稍圏c(diǎn)高校自主命題，校考過程中達(dá)到筆試優(yōu)秀才能進(jìn)入面試環(huán)節(jié).已知兩所大學(xué)的筆試環(huán)節(jié)都設(shè)有三門考試科目且每門科目是否達(dá)到優(yōu)秀相互獨(dú)立.若某考生報(bào)考大學(xué)，每門科目達(dá)到優(yōu)秀的概率均為，若該考生報(bào)考大學(xué)，每門科目達(dá)到優(yōu)秀的概率依次為，，，其中.（1）若，分別求出該考生報(bào)考兩所大學(xué)在筆試環(huán)節(jié)恰好有一門科目達(dá)到優(yōu)秀的概率；（2）強(qiáng)基計(jì)劃規(guī)定每名考生只能報(bào)考一所試點(diǎn)高校，若以筆試過程中達(dá)到優(yōu)秀科目個數(shù)的期望為依據(jù)作出決策，該考生更有希望進(jìn)入大學(xué)的面試環(huán)節(jié)，求的范圍.解：（1）設(shè)該考生報(bào)考大學(xué)恰好有一門筆試科目優(yōu)秀為事件，則；該考生報(bào)考大學(xué)恰好有一門筆試科目優(yōu)秀為事件，則.（2）該考生報(bào)考大學(xué)達(dá)到優(yōu)秀科目的個數(shù)設(shè)為，則，；該考生報(bào)考大學(xué)達(dá)到優(yōu)秀科目的個數(shù)設(shè)為，則所有可能的取值為，；；；；隨機(jī)變量的分布列：；該考生更有希望進(jìn)入大學(xué)的面試環(huán)節(jié)，，即，解得：，的范圍為.22.已知函數(shù)．（1）若，證明：恒成立．（2）若存在零點(diǎn)，求a的取值范圍．（1）證明：當(dāng)時(shí)，，可得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可得，所以當(dāng)時(shí)，恒成立