變厚度梁的靜力荷載應(yīng)力分析

變厚度梁的靜力荷載應(yīng)力分析

動(dòng)態(tài)變形力學(xué)平面求解眾所周知，在航空、機(jī)械、土木工程等領(lǐng)域，梁結(jié)構(gòu)得到了廣泛應(yīng)用。在實(shí)際設(shè)計(jì)中，除了相同厚度的梁外，變厚梁通常也被使用。因此，研究變厚梁在靜力負(fù)荷下的力學(xué)特性具有重要意義。通常,有兩種理論可用于梁的受力分析,一種是經(jīng)典的材料力學(xué)理論,另一種是更為精確的彈性力學(xué)理論.在材料力學(xué)理論中,通過引入假定,使得描述問題的微分方程得到簡(jiǎn)化,相應(yīng)地使得求解也較為容易,典型的有適用于長(zhǎng)細(xì)梁的Euler梁理論和適用于中厚度梁的Timoshenko梁理論.然而,由于采用了人為假定,材料力學(xué)理論不可避免地帶來誤差,應(yīng)力分布的計(jì)算精度往往較低,尤其以厚梁更為顯著.現(xiàn)代工業(yè)中,特別是在一些高科技領(lǐng)域,如航空航天工程和微型機(jī)械的設(shè)計(jì),經(jīng)常要求對(duì)梁的應(yīng)力分布做精細(xì)分析,此時(shí),材料力學(xué)理論的精度往往不夠,需使用更為精確的二維彈性力學(xué)理論進(jìn)行分析.平面應(yīng)力問題的彈性力學(xué)解早就受到科學(xué)家和工程設(shè)計(jì)人員的關(guān)注,對(duì)于等厚度梁,對(duì)各向同性和各向異性材料以及各種不同邊界條件下的彈性力學(xué)解,已有大量的研究成果.而對(duì)于變厚度梁,研究仍基于Euler梁理論和Timoshenko梁理論,其中傳遞矩陣法是一種較為常見的分析方法.到目前為止,尚未發(fā)現(xiàn)有人采用彈性力學(xué)理論分析變厚度梁的應(yīng)力和位移分布.本文根據(jù)變厚度梁的特點(diǎn),研究梁的一端為固支的情況,引入單位脈沖函數(shù)和Dirac函數(shù),將固支端等效為簡(jiǎn)支端加上未知的水平反力,取位移函數(shù)使其直接滿足左右兩端的簡(jiǎn)支邊界條件,對(duì)上下表面的邊界方程作Fourier正弦級(jí)數(shù)展開,并利用固支端位移為0的條件共同確定待定系數(shù),從而使問題得到解決.1平衡方程的求解考慮如圖1所示的變厚度梁.梁的左端固支,右端簡(jiǎn)支.梁長(zhǎng)L,梁的左端厚度為H,梁的上下表面用連續(xù)函數(shù)f1(x)和f2(x)表示.上邊界承受的水平載荷和豎向載荷分別為q1(x)和q2(x),下邊界承受的水平載荷和豎向載荷分別為q3(x)和q4(x).首先引入單位脈沖函數(shù)H(x)和Dirac函數(shù)(即δ-函數(shù)):{Η(x)={1?當(dāng)x=0時(shí)?0?當(dāng)x≠0時(shí)?δ(x)=-dΗ(x)dx={∞?當(dāng)x=0時(shí)?0?當(dāng)x≠0時(shí).(1)令水平應(yīng)力為σx=ˉσx+Η(x)p(0)(y),(2)其中,ˉσx是兩端簡(jiǎn)支梁的水平應(yīng)力,p(0)(y)是固支端的水平應(yīng)力.忽略體力,將式(1)和式(2)代入平面應(yīng)力問題的平衡方程得到?ˉσx?x+?τxy?y=δ(x)p(0)(y)??σy?y+?τxy?x=0.(3)上式中,如果把δ(x)p(0)(y)看作是沿x方向的體力,則對(duì)應(yīng)于x方向的正應(yīng)力為ˉσx.此時(shí),梁域內(nèi)的本構(gòu)關(guān)系為{ˉσx=E1-μ2(?u?x+μ?v?y),σy=E1-μ2(?v?y+μ?u?x),τxy=E2(1+μ)(?v?x+?u?y).(4)將式(4)帶入式(3),得到用位移表示的平衡微分方程E1-μ2(?2u?x2+1-μ2?2u?y2+1+μ2?2v?x?y)=δ(x)p(0)(y),(5)E1-μ2(?2v?y2+1-μ2?2v?x2+1+μ2?2u?x?y)=0，(6)取位移函數(shù)為u=∞∑m=1Um(y)cosmπxL+U0(y),(7)v=∞∑m=0Vm(y)sinmπxL，(8)這時(shí)下列邊界條件可直接得到滿足:x=0:ˉσx=0,v=0,(9)x=L:ˉσx=0,v=0，(10)在固支端x=0處,σx=p(0)(y)，作Fourier余弦展開,得到:p(0)(y)=EL2(1+μ)Μ∑k=0RkcoskπyΗ，(11)將δ函數(shù)展開成級(jí)數(shù)函數(shù)δ(x)=1L+2L∞∑m=1cosmπxL，(12)將式(7)、(8)、(11)、(12)帶入式(5)和(6),聯(lián)立求解u(x,y)和v(x,y),最后得到:u(x,y)=∞∑m=1{(Am+3-μ1+μLmπDm)coshmπyL+(Bm+3-μ1+μLmπCm)sinhmπyL+CmycoshmπyL+DmysinhmπyL+Μ∑k=1[(μ-1)m2π2/L2-2k2π2/Η2](k2π2/Η2+m2π2/L2)2RkcoskπyΗ}cosmπxL-Η2k2π2Μ∑k=1RkcoskπyΗ,(13)v(x,y)=∞∑m=1[AmsinhmπyL+BmcoshmπyL+CmysinhmπyL+DmycoshmπyL-Μ∑k=1(1+μ)mkπ2/(LΗ)(k2π2/Η2+m2π2/L2)2RksinkπyΗ]sinmπxL.(14)以上2式中,前4項(xiàng)(含有Am、Bm、Cm、Dm)為方程的齊次解,其他項(xiàng)(含有對(duì)k的求和)為方程的特解.由邊界條件(9)和(10)可知,在梁的兩端,豎直位移為0.因此,R0=0.將式(13)和式(14)帶回到式(4)中得到σx=E1+μ∞∑m=1{-[mπLcoshmπyLAm+mπLsinhmπyLBm+(3+μ1+μsinhmπyL+mπLycoshmπyL)Cm+(3+μ1+μcoshmπyL+mπLysinhmπyL)Dm]+Μ∑k=1(mπ/L)[m2π2/L2+(μ+2)k2π2/Η2](k2π2/Η2+m2π2/L2)2RkcoskπyΗ}sinmπyL,(15)σy=E1+μ∞∑m=1{[mπLcoshmπyLAm+mπLsinhmπyLBm+(1-μ1+μsinhmπyL+mπLycoshmπyL)Cm+(1-μ1+μcoshmπyL+mπLysinhmπyL)Dm]+Μ∑k=1(mπ/L)[μm2π2/L2-k2π2/Η2](k2π2/Η2+m2π2/L2)2RkcoskπyΗ}sinmπxL,(16)τxy=E1+μ∞∑m=1{[mπLsinhmπyLAm+mπLcoshmπyLBm+(21+μcoshmπyL+mπLysinhmπyL)Cm+(21+μsinhmπyL+mπLycoshmπyL)Dm]+Μ∑k=1(kπ/Η)[k2π2/Η2-μm2π2/L2](k2π2/Η2+m2π2/L2)2RksinkπyΗ}cosmπyL+E1+μΗ2kπΜ∑k=1sinkπyΗRk,(17)其中Am、Bm、Cm、Dm、Rk為待定系數(shù).2y下表面y.2.2固支生長(zhǎng)及邊界條件上表面y=f1(x)的邊界條件為l1(x)σx+m1(x)τxy=q1(x),(18)m1(x)σy+l1(x)τxy=q2(x),(19)其中{l1(x)=cos(Ν1,x)=-df1(x)dx/√1+(df1(x)dx)2,m1(x)=cos(Ν1,y)=-1/√1+(df1(x)dx)2.(20)下表面y=f2(x)的邊界條件為l2(x)σx+m2(x)τxy=q3(x),(21)m2(x)σy+l2(x)τxy=q4(x),(22)其中{l2(x)=cos(Ν2,x)=-df2(x)dx/√1+(df2(x)dx)2,m2(x)=cos(Ν2,y)=1/√1+(df2(x)dx)2.(23)在式(7)和式(8)的基礎(chǔ)上,固支端的水平方向位移為0,即∞∑m=1{(Am+3-μ1+μLmπDm)coshmπyL+(Bm+3-μ1+μLmπCm)sinhmπyL+CmycoshmπyL+DmysinhmπyL+Μ∑k=1([(μ-1)m2π2/L2-2k2π2/Η2](k2π2/Η2+m2π2/L2)2-Η2k2π2)RkcoskπyΗ}=0.(24)將固支端的邊界條件近似為:在x=0處,沿y方向上有M個(gè)點(diǎn)的水平位移為0.為簡(jiǎn)便起見,不妨設(shè)這些點(diǎn)在固支邊上等距分布,其坐標(biāo)值分別為,H/(M+1),2H/(M+1),…,MH/(M+1),這樣,由式(24)得到M個(gè)代數(shù)方程.3gauss矩陣方程的求解聯(lián)立式(15)～式(23),對(duì)每個(gè)方程作Fourier正弦展開,即∫L0sinnπxL[l1(x)σx+m1(x)τxy]dx=∫L0sinnπxLq1(x)dx,(25)∫L0sinnπxL[m1(x)σy+l1(x)τxy]dx=∫L0sinnπxLq2(x)dx,(26)∫L0sinnπxL[l2(x)σx+m2(x)τxy]dx=∫L0sinnπxLq3(x)dx,(27)∫L0sinnπxL[m2(x)σy+l2(x)τxy]dx=∫L0sinnπxLq4(x)dx，(28)截?cái)郚+1階以上的級(jí)數(shù)項(xiàng)(即取n=1,2,3,…,N),并結(jié)合式(24),得到如下的矩陣方程:矩陣中每個(gè)元素的表達(dá)式參見附錄,由Gauss數(shù)值積分給出數(shù)值.式(29)為(4N+M)×(4N+M)的線性代數(shù)方程組,可以唯一地解出A1,…,AN,B1,…,BN,C1,…,CN,D1,…,DN,R1,…,RM這4N+M個(gè)未知系數(shù).將這些系數(shù)代回到方程式(13)～(17),則可以求得梁上任意一點(diǎn)處的應(yīng)力和位移.4高剛度梁的彈性力學(xué)和位移在下面的算例中,均取彈性模量E=2.2×1011Pa,Poisson比μ=0.3.首先考察如圖2所示的一端固支另一端簡(jiǎn)支的等厚度梁,梁的厚跨比為H/L=0.10,梁承受均布的垂直壓力q.取3個(gè)不同的水平零位移約束點(diǎn)數(shù)M=5,10,20以及4個(gè)不同的級(jí)數(shù)項(xiàng)N=40,60,80,100,計(jì)算梁在x=L/2,y=0處的應(yīng)力和位移,表1給出了它們的收斂性.從表1中看到,當(dāng)M=10和N=80時(shí),本文方法可以保證3位有效數(shù)字的精度.考察如圖3所示的一端固支一端簡(jiǎn)支下表面線性變化的楔形梁,梁的最小厚跨比為H/L=0.05,梁的上表面水平且承受均布的垂直壓力q.取M=10和4個(gè)不同的級(jí)數(shù)項(xiàng)N=40,60,80,100,計(jì)算3個(gè)不同厚度比H1/H=1,1.25,1.5時(shí)的應(yīng)力和位移.表2給出了梁在x=L/2,y=0處應(yīng)力和位移的收斂性.從表2中看出,當(dāng)級(jí)數(shù)項(xiàng)分別取N=80和N=100時(shí),各力學(xué)量收斂一致,精度可以達(dá)到3位有效數(shù)字,由此說明本文的解法有著很好的收斂性,在本文以后的算例中,均取M=10,N=80.下面計(jì)算2種典型結(jié)構(gòu)的彈性力學(xué)解,同時(shí)給出ANSYS有限元解以供比較,ANSYS求解時(shí)采用的單元類型為Solid8node82單元.圖4為一下表面拋物線變化的外凸梁,梁的最小厚跨比為H/L=0.05.梁的上表面水平且承受均布?jí)毫奢dq,設(shè)梁的中截面厚度為H1,從上到下依次取11個(gè)等距點(diǎn)分析應(yīng)力和位移沿高度的分布情況,圖5給出了3種不同厚度比λ=H1/H=1.1,1.3,1.5時(shí)梁的中截面上水平應(yīng)力σx和垂直位移v的分布情況.從圖5可以看出本文彈性力學(xué)解和ANSYS解十分吻合.位移v隨坐標(biāo)y的變化很小,應(yīng)力的最大值和縱向位移的最大值均隨厚度比λ的增大而減小.圖6為一下表面拋物線變化的內(nèi)凹梁,梁的最大厚跨比為H/L=0.05,梁的上表面水平且承受均布的豎直荷載q,表3給出了3種不同厚度比λ=H1/H=0.7,0.8,0.9時(shí)中截面上水平應(yīng)力、剪切應(yīng)力和垂直位移的分布情況.從表3可以看出本文采用的彈性力學(xué)解與ANSYS解非常接近,再次證明了本文方法的正確性和高精度.5般n添加量配置q2/2/l,c2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/3,又導(dǎo)致又2/3.1xsin社區(qū)4.1xsinfps.大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力添加1x又半氧fps.大力大力大力大力大力大力大力添加1x又半氧fps.大力大力大力大力添加1xsinfps.大力大力大力添加1xsinfps.大力大力大力大力添加1x又半氧fps.大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力大力fps.大力大力大力大力大力大力大力大力fps.大力fps.大力大力fps.大力大力添加1x又半氧fps.大力大力fps.大力fps.本文研究一端固支另一端簡(jiǎn)支連續(xù)變厚度梁在靜力荷載作用下的彈性力學(xué)解,通過引入單位脈沖函數(shù)和Dirac函數(shù),將固支端等效為簡(jiǎn)支端加上未知的水平反力,取位移函數(shù)使其直接滿足左右兩端簡(jiǎn)支的邊界條件,對(duì)上下表面的邊界方程作Fourier正弦級(jí)數(shù)展開,利用固支端位移為0的條件共同確定待定系數(shù).收斂性和比較研究證明了本文方法的正確性和高精度,本文方法可直接應(yīng)用于對(duì)應(yīng)力分析要求較高的工程問題,如航空航天工程和微型機(jī)械的設(shè)計(jì)等.附錄式(29)中各元素的表達(dá)式為A(1)mn=mπL∫L0[-l1(x)sinnπxLsinmπxLcoshmπf1(x)L+m1(x)sinnπxLcosmπxLsinhmπf1(x)L]dx,B(1)mn=mπL∫L0[-l1(x)sinnπxLsinmπxLsinhmπf1(x)L+m1(x)sinnπxLcosmπxLcoshmπf1(x)L]dx,C(1)mn=∫L0{-l1(x)sinnπxLsinmπxL[3+μ1+μsinhmπf1(x)L+mπLf1(x)coshmπf1(x)L]+m1(x)sinnπxLcosmπxL[21+μcoshmπf1(x)L+mπLf1(x)sinhmπf1(x)L]}dx?D(1)mn=∫L0{-l1(x)sinnπxLsinmπxL[3+μ1+μcoshmπf1(x)L+mπLf1(x)sinhmπf1(x)L]+m1(x)sinnπxLcosmπxL[21+μsinhmπf1(x)L+mπLf1(x)coshmπf1(x)L]}dx?R(1)nk=Ν∑m=1∫L0{l1(x)(mπ/L)[m2π2/L2+(μ+2)k2π2/Η2](k2π2/Η2+m2π2/L2)2coskπf1(x)ΗsinmπxLsinnπxL+m1(x)(kπ/Η)[k2π2/Η2-μm2π2/L2](k2π2/Η2+m2π2/L2)2sinkπf1(x)ΗcosmπxLsinnπxL+Η2kπm1(x)sinkπf1(x)ΗsinnπxL}dx?A(2)mn=mπL∫L0[m1(x)sinnπxLsinmπxLcoshmπf1(x)L+l1(x)sinnπxLcosmπxLsinhmπf1(x)L]dx,B(2)mn=mπL∫L0[m1(x)sinnπxLsinmπxLsinhmπf1(x)L+l1(x)sinnπxLcosmπxLcoshmπf1(x)L]dx,C(2)mn=∫L0{m1(x)sinnπxLsinmπxL[1-μ1+μsinhmπf1(x)L+mπLf1(x)coshmπf1(x)L]+l1(x)sinnπxLcosmπxL[21+μcoshmπf1(x)L+mπLf1(x)sinhmπf1(x)L]}dx?D(2)mn=∫L0{m1(x)sinnπxLsinmπxL[1-μ1+μcoshmπf1(x)L+mπLf1(x)sinhmπf1(x)L]+l1(x)sinnπxLcosmπxL[21+μsinhmπf1(x)L+mπf1(x)Lcoshmπf1(x)L]}dx?R(2)nk=Ν∑m=1∫L0{m1(x)(mπ/L)[μm2π2/L2-k2π2/Η2](k2π2/Η2+m2π2/L2)2coskπf1(x)ΗsinmπxLsinnπxL+l1(x)(kπ/Η)[k2π2/Η2-μm2π2/L2](k2π2/Η2+m2π2/L2)2sinkπf1(x)ΗcosmπxLsinnπxL+Η2kπl(wèi)1(x)sinkπf1(x)LsinnπxL}dx?A(3)mn=mπL∫L0[-l2(x)sinnπxLsinmπxLcoshmπf2(x)L+m2(x)sinnπxLcosmπxLsinhmπf2(x)L]dx,Bmn(3)=mπL∫0L[-l2(x)sinnπxLsinmπxLsinhmπf2(x)L+m2(x)sinnπxLcosmπxLcoshmπf2(x)L]dx,Cmn(3)=∫0L{-l2(x)sinnπxLsinmπxL[3+μ1+μsinhmπf2(x)L+mπLf2(x)coshmπf2(x)L]+m2(x)sinnπxLcosmπxL[21+μcoshmπf2(x)L+mπLf2(x)sinhmπf2(x)L]}dx?Dmn(3)=∫0L{-l2(x)sinnπxLsinmπxL[3+μ1+μcoshmπf2(x)L+mπLf2(x)sinhmπf2(x)L]+m2(x)sinnπxLcosmπxL[21+μsinhmπf2(x)L+mπLf2(x)coshmπf2(x)L]}dx?Rnk(3)=∑m=1Ν∫0L{l2(x)(mπ/L)[m2π2/L2+(μ+2)k2π2/Η2](k2π2/Η2+m2π2/L2)2coskπf2(x)ΗsinmπxLsinnπxL+m2(x)(kπ/Η)[k2π2/Η2-μm2π2/L2](k2π2/Η2+m2π2/L2)2sinkπf2(x)ΗcosmπxLsinnπxL+Η2kπm2(x)sinkπf2(x)ΗsinnπxL}dx?Amn(4)=mπL∫0L[m2(x)sinnπxLsinmπxLcoshmπf2(x)L+l2(x)sinnπxLcosmπxLsinhmπf2(x)L]dx,Bmn(4)=mπL∫0L[m2(x)sinnπxLsinmπxLsinhmπf2(x)L+l2(x)sinnπxLcosmπxLcoshmπf2(x)L]dx,Cmn(4)=∫0L