線性空間上的兩個(gè)空間

線性空間上的兩個(gè)空間

首先，在數(shù)域p中，線性空間pn={（a1，a2，……a）、ai、p，i.1，2，…，n}中進(jìn)行討論。定理1對(duì)矩陣A作初等行變換化為B,則A與B的任何對(duì)應(yīng)的列向量組有相同的線性關(guān)系。定理21)兩個(gè)向量組生成相同子空間的充分必要條件是這兩個(gè)向量組等價(jià);2)L(α1,α2,…,αr)的維數(shù)等于向量組α1,α2,…,αr的秩。定理3如果V1、V2是線性空間V的兩個(gè)子空間,那么維(V1)+維(V2)=維(V1+V2)+維(V1∩V2)。定理4設(shè)α1,α2,…,αs與β1,β2,…,βt是線性空間Pn中兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量組,其中αi=(a1i,a2i,…,ani),i=1,2,…,s;βj=(b1j,b2j,…,bnj),j=1,2,…,t,依次以α1,α2,…,αs;β1,β2,…,βt為列向量構(gòu)成矩陣A=(a11a12?a1sb11b12?b1ta21a22?a2sb21b22?b2t????????an1an2?ansbn1bn2?bnt)對(duì)A施行一系列初等行變換,不妨假設(shè)最后把A化為:α′1α′2…α′rα′r+1…α′sβ′1β′2…β′lβ′l+1…β′tB=(10?0a′1,r+1?a′1s00?0b′1,l+1?b′1t01?0a′2,r+1?a′2s00?0b′2,l+1?b′2t??????????????00?1a′r,r+1?a′rs00?0b′r,l+1?b′rt00?0a′r+1,r+1?a′r+1,s10?0b′r+1,l+1?b′r+1,t00?0a′r+2,r+1?a′r+2,s01?0b′r+2,l+1?b′r+2,t??????????????00?0a′r+l,r+1?a′r+l,s00?1b′r+l,l+1?b′r+l,t00?00?000?00?0??????????00?00?000?00?0)則有以下結(jié)論:1)α1,α2,…,αr,β1,β2,…,βl是和空間L(α1,α2,…,αs)+L(β1,β2,…,βt)的一組基,且和空間的維數(shù)是r+l.2)向量組{γ1=αr+1-a′1,r+1α1-?-a′r,r+1αr=a′r+1,r+1β1+?+a′r+l,r+1βl?γs-r=αs-a′1sα1-?-a′rsαr=a′r+1,sβ1+?+a′r+l,sβlγs-r+1=-b′1,l+1α1-?-b′r,l+1αr=b′r+1,l+1β1+?+b′r+l,l+1βl-βl+1?γ(s+t)-(r+l)=-b′1tα1-?-b′rtαr=b′r+1,tβ1+?+b′r+l,tβl-βt(1)是交空間L(α1,α2,…,αs)∩L(β1,β2,…,βt)的一組基,且交空間的維數(shù)是(s+t)-(r+l)。證明1)容易看到,B的前r個(gè)列向量α′1,α′2,…,α′r與第s+1列到第s+l列的向量β′1,β′2,…,β′l構(gòu)成的向量組α′1,α′2,…,α′r,β′1,β′2,…,β′l線性無(wú)關(guān),且B的其余列向量都是向量組α′1,α′2,…,α′r,β′1,β′2,…,β′l的線性組合,因而α′1,α′2,…,α′r,β′1,β′2,…,β′l是B的列向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。由定理1知α1,α2,…,αr,β1,β2,…,βl是A的列向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組,于是向量組α1,α2,…,αr,αr+1,…αs,β1,…,βl,βl+1,…,βs與向量組α1,α2,…,αr,β1,…,βl等價(jià)。再由定理2的1)有L(α1,…,αr,αr+1,…,αs)+L(β1,…,βl,βl+1,…,βt)=L(α1,…,αr,αr+1,…,αs,β1,…,βl,βl+1,…,βt)=L(α1,…,αr,β1,…,βl)所以α1,α2,…,αr,β1,β2,…,βl是和空間L(α1,α2,…,αs)+L(β1,β2,…,βt)的一組基,和空間的維數(shù)為r+l。2)由定理3,維(L(α1,α2,…,αs)∩L(β1,β2,…,βt))=維(L(α1,α2,…,αs))+維(L(β1,β2,…,βt))-維(L(α1,α2,…,αs)+L(β1,β2,…,βt))=(s+t)-(r+l)顯然向量組(1)中的(s+t)-(r+l)個(gè)向量都是交空間中的向量,要證明它們是交空間L(α1,α2,…,αs)∩L(β1,β2,…,βt)的一組基,只需證明它們線性無(wú)關(guān)即可。設(shè)有一組數(shù)k1,k2,…,ks+t-(r+l)使得k1γ1+…+ks-rγs-r+ks-r+1γs-r+1+…+ks+t-(r+l)γs+t-(r+l)=0(2)由(1)整理得k1αr+1+…+ks-rαs+C1α1+…+Crαr=0(3)d1β1+…+dlβl-ks-r+1βl+1-…-ks+t-(r+l)βt=0(4)其中{C1=k1(-a′1,r+1)+?+ks-r(-a′1s)+ks-r+1(-b′1,l+1)+?+ks+t-(r+l)(-b′1t)?Cr=k1(-a′r,r+1)+?+ks-r(-a′rs)+ks-r+1(-b′r,l+1)+?+ks+t-(r+l)(-b′rt){d1=k1a′r+1,r+1+?+ks-ra′r+1,s+ks-r+1b′r+1,l+1+?+ks+t-(r+l)b′r+1,t?dl=k1a′r+l,r+1+?+ks-ra′r+l,s+ks-r+1b′r+l,l+1+?+ks+t-(r+l)b′r+l,t因?yàn)棣?,α2,…,αs與β1,β2,…,βt都是線性無(wú)關(guān)向量組,所以由(3)、(4)得k1=…=ks-r=ks-r+1=…=ks+t-(r+l)=0故向量組γ1,…,γs-r,γs-r+1,…,γs+t-(r+l)線性無(wú)關(guān),因而是交空間L(α1,α2,…,αs)∩L(β1,β2,…,βt)的一組基證畢例1求子空間L(α1,α2)與子空間L(β1,β2,β3)的和與交的基和維數(shù)。其中{α1=(1?0?1?1)α2=(1?1?-1?0){β1=(4?5?-1?-1)β2=(4?3?-2?1)β3=(1?1?0?0)解易知向量組α1,α2和β1,β2,β3都是線性無(wú)關(guān)向量組,依次以α1,α2,β1,β2,β3為列構(gòu)成矩陣A,施行和等行變換得矩陣B,即α1α2β1β2β3A=(11441015311-1-1-2010-110)①+②(-1)ˉ(10-110015311-1-1-2010-110)③+①(-1)④+①(-1)ˉ(10-110015310-10-3000000)③(-1)ˉα′1α′2β′1β′2β′3(10-110015310103000000)②+③(-1)ˉ(10-110005010103000000)(2?3)ˉ(10-110010300050100000)=B由定理4,從矩陣B立即得到:1)和空間L(α1,α2)+L(β1,β2,β3)的維數(shù)是3,α1,α2,β3是它的一組基;2)交空間L(α1,α2)∩L(β1,β2,β3)的維數(shù)為2,又因{β1=-α1+5β3β2=α1+3α2所以交空間的一組基為{α1=-β1+5β3α1+3α2=β2按照定理4求子空間L(α1,α2,…,αs)與L(β1,β2,…,βt)的和與交空間的維數(shù)與基,首先要求判別向量組α1,α2,…,αs與向量組β1,β2,…,βt是否都是線性無(wú)關(guān)向量組。如果這兩個(gè)向量組不全是線性無(wú)關(guān)的,則要分別求出它們各自的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。不妨假設(shè)α1,α2,…,αs的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組為αi1,αi2,…,αir(r≤s),而β1,β2,…,βt的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組為βj1,βj2,…,βjp(p≤t),于是向量組α1,α2,…,αs與αi1,αi2,…,αir等價(jià),向量組β1,β2,…,βt與βj1,βj2,…,βjp等價(jià),由定理2有L(α1,α2,…,αs)=L(αi1,αi2,…,αir),L(β1,β2,…,βt)=L(βj1,βj2,…,βjp),于是把求子空間L(α1,α2,…,αs)與子空間L(β1,β2,…,βt)的和與交的基和維數(shù)的問題就轉(zhuǎn)化為求子空間L(αi1,αi2,…,αir)與子空間L(βj1,βj2,…,βjp)的和與交的基和維數(shù)的問題。例2求子空間L(α1,α2,α3)與L(β1,β2,β3,β4)的和與交的基和組數(shù)。其中{α1=(1?0?1?1)α2=(1?1?-1?0)α3=(1?3?-5?-2){β1=(4?5?-1?-1)β2=(4?3?-2?1)β3=(1?1?0?0)β4=(7?5?4?2)α1α2α3解A=(1110131-1-510-2)③+①(-1)④+①(-1)ˉ(1110130-2-60-1-3)③+②?2④+②ˉ(111013000000)由定理1得α1,α2是向量組α1,α2,α3的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組,同理可求得β1,β2,β3是向量組β1,β2,β3,β4的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組,再由定理2得L(α1,α2,α3)=L(α1,α2);L(β1,β2,β3,β4)=L(β1,β2,β3)從而轉(zhuǎn)化為例1。下面在一般數(shù)域上n維線性空間V中討論由兩組向量α1,α2,…,αs與β1,β2,…,βt生成的子空間的和與交的維數(shù)與基的求法。設(shè)ε1,ε2,…,εn是數(shù)域p上n維線性空間V的一組基,那么?α∈V,都有α=a1ε1+a2ε2+…+anεn,作法則σ:V∈α=a1ε1+a2ε2+?+anεn→(a1,a2,?,an)∈Ρn,則可以證明σ是V到Pn的一個(gè)同構(gòu)映射。于是要求L(α1,α2,…,αs)與L(β1,β2,…,βt)的和與交的維數(shù)與基,就可以把α1,α2,…,αs與β1,β2,…,βt在V的基ε1,ε2,…,εn下的坐標(biāo)分別作Pn的兩組向量,不妨設(shè)為X1,X2,…,Xs與Y1,Y2,…,Yt在Pn中求出L(X1,X2,…,Xs)與L(Y1,Y2,…,Yt)的和與交的維數(shù)與基。由于V與Pn同構(gòu),利用同構(gòu)映射的性質(zhì)維(L(α1,α2,…,αs)+L(β1,β2,…,βt))=維(L(X1,X2,…,Xs)+L(Y1,Y2,…,Yt)),維(L(α1,α2,…,αs)∩L(β1,β2,…,βt))=維(L(X1,X2,…,Xs)∩L(Y1,Y2,…,Yt));至于和空間L(α1,α2,…,αs)+L(β1,β2,…,βt)與交空間L(α1,α2,…,αs)∩L(β1,β2,…,βt)的基,則是以L(X1,X2,…,Xs)+L(Y1,Y2,…,Yt)與L(X1,X2,…,Xs)∩L(Y1,Y2,…,Yt)的基向量的分量作為在V的基ε1,ε2,…,εn下的坐標(biāo)求得。例3在P2×2中,求L(α1,α2,α3)與L(β1,β2,β3,β4)的和與交的維數(shù)與基。其中{α1=α2=[11-10]α3=[13-5-2]{β1=[45-1-1]β2=[43-21]β3=β4=解易知E11=?E12=?E21=?E22=是線性空間P2×2的一組基,于是α1==E11+0?E12+E21+E22即α1在基E11、E12、E21、E22下的坐標(biāo)為X1=(1,0,1,1)。同理可以分別求出向量α2,α3,β1,β2,β3,β4在基E11,E12,E21,E22下的坐標(biāo)為X2=(1,1,-1,0),X3=(1,3,-5,-2),Y1=(4,5,-1,-1),Y2=(4,3,-2,1),Y3=(1,1,0,0),Y4=(7,5,4,2),由例1、例2知1)L(X1,X2,X3)+L(Y1,Y2,Y3,Y4)的維數(shù)為3,而X1,X2,Y3是它的一組基。2)L(X1,X2,X3)∩L(Y1,Y2,Y3,Y4)的維數(shù)為2,而{X1=-Y1+5Y3X1+3X2=Y2是它的一組基。由前面的討論知1)L(α1,α2,α3)+L(β1,β2,β3,β4)的維數(shù)為3;L(α1,α2,α3)∩L(β1,β2,β3,β4