2022-2023學(xué)年遼寧省北票市第三高級中學(xué)高考數(shù)學(xué)試題模擬卷（三）

2022-2023學(xué)年遼寧省北票市第三高級中學(xué)高考數(shù)學(xué)試題模擬卷（三）

考生請注意：

1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知集合例={》|%2=1}.N為自然數(shù)集，則下列表示不正確的是（）

A.leMB.M={-1,1}C.0^MD.M<^N

2.已知橢圓C:「+4=l的短軸長為2,焦距為2百，耳、鳥分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)P為C上的任意一點(diǎn),

67b~

1

則西+忸^的取值范圍為（)

A.[1,2]B.[6行|C.[V2,4]D.[1,4]

3.設(shè)i為數(shù)單位，5為z的共輾復(fù)數(shù)，若2=」一，則zq=（）

3+i

2+log,x,-<x<1

6.已知函數(shù)/(x)=18，若/(。)=/(3(。<份，貝心浴的最小值為()

2v,l<x<2

參考數(shù)據(jù)：ln2?0.69,ln22?0.48

j_V2?,p；n&

AA.BR.-----C?102^73D.-----

24口2

7.已知集合4={1,3,5,7},B={2,3,4,5},則AB=

A.{3}B.{5}C.{3,5}D.{123,4,5,7}

8.某校在高一年級進(jìn)行了數(shù)學(xué)競賽（總分100分），下表為高一?一班40名同學(xué)的數(shù)學(xué)競賽成績:

55575961686462598088

98956073887486777994

971009997898180607960

82959093908580779968

如圖的算法框圖中輸入的《為上表中的學(xué)生的數(shù)學(xué)競賽成績，運(yùn)行相應(yīng)的程序，輸出加，〃的值，則加-〃=()

A.6B.8C.10D.12

9.為比較甲、乙兩名高中學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，對課程標(biāo)準(zhǔn)中規(guī)定的數(shù)學(xué)六大素養(yǎng)進(jìn)行指標(biāo)測驗(yàn)（指標(biāo)值滿分為10（）分,

分值高者為優(yōu)），根據(jù)測驗(yàn)情況繪制了如圖所示的六大素養(yǎng)指標(biāo)雷達(dá)圖，則下面敘述不正確的是（）

A.甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于乙B.乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)

C.甲的六大素養(yǎng)整體水平優(yōu)于乙D.甲的六大素養(yǎng)中數(shù)學(xué)運(yùn)算最強(qiáng)

10.設(shè)i為虛數(shù)單位，z為復(fù)數(shù)，若曰+1?為實(shí)數(shù)機(jī)，則〃?=（）

z

A.-1B.0C.1D.2

11.在正方體ABC。—A4GR中，點(diǎn)P、。分別為A3、AO的中點(diǎn)，過點(diǎn)。作平面a使用尸〃平面a,平

MD.

面a若直線平面a=M,則謁的值為（）

1112

A.—B.-C.-D.一

4323

12.袋中裝有標(biāo)號為I,2,3,4,5,6且大小相同的6個小球，從袋子中一次性摸出兩個球，記下號碼并放回，如果

兩個號碼的和是3的倍數(shù)，則獲獎，若有5人參與摸球，則恰好2人獲獎的概率是（）

40708038

A.-----B.------C.------D.------

243243243243

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

x+y-2<Q

13.設(shè)x、，滿足約束條件<x—y+220,若z=2x+y的最小值是一1，則旭的值為.

y+m>0

14.已知。為矩形ABC。的對角線的交點(diǎn)，現(xiàn)從AB,。,。,。這5個點(diǎn)中任選3個點(diǎn)，則這3個點(diǎn)不共線的概率為

15.不等式GT<i的解集為

16.在三棱錐尸-ABC中，AB=5,BC=3,C4=4,三個側(cè)面與底面所成的角均為60°,三棱錐的內(nèi)切球的表面

積為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

x=1+Gcos0

17.（12分）平面直角坐標(biāo)系X。），中，曲線G的參數(shù)方程為廠（。為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的

y=J3sin0

n

非負(fù)半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系，曲線。2的極坐標(biāo)方程為夕=1（夕〉0），直線/的極坐標(biāo)方程為

夕sin（6?+2）=3,點(diǎn)

（1）求曲線G的極坐標(biāo)方程與直線/的直角坐標(biāo)方程；

（2）若直線/與曲線交于點(diǎn)A,曲線G與曲線G交于點(diǎn)8,求△PAS的面積.

18.（12分）如圖，在底面邊長為1,側(cè)棱長為2的正四棱柱ABC。-A/C。中，P是側(cè)棱CG上的一點(diǎn)，CP=m.

AB

(1)若m=Y5,求直線AP與平面4所成角;

3

(2)在線段4G上是否存在一個定點(diǎn)Q，使得對任意的實(shí)數(shù)%都有2QLAP,并證明你的結(jié)論.

19.(12分)如圖，在三棱柱ADE-BCF中,ABCD是邊長為2的菱形，且Z?4￡)=60。，COEE是矩形，ED=\,

且平面8石五，平面ABC。，。點(diǎn)在線段8C上移動(P不與。重合)，〃是AE的中點(diǎn).

(1)當(dāng)四面體EDPC的外接球的表面積為5兀時，證明：HB〃.平面EDP

(2)當(dāng)四面體E0PC的體積最大時，求平面"DP與平面EPC所成銳二面角的余弦值.

20.(12分)已知/(x)=x-](lnx)2—左lnx-1(ZeR).

(D若/(x)是(0,+8)上的增函數(shù)，求A的取值范圍；

(2)若函數(shù)/(幻有兩個極值點(diǎn)，判斷函數(shù)八幻零點(diǎn)的個數(shù).

21.(12分)已知拋物線/=2PMp>0),過點(diǎn)C(-2,0)的直線I交拋物線于A8兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)為。，Q4.OB=12.

(1)求拋物線的方程；

(2)當(dāng)以AB為直徑的圓與)'軸相切時，求直線/的方程.

22.(10分)已知/(x)=|x+l|+|x—2|.

(1)已知關(guān)于x的不等式/(力<。有實(shí)數(shù)解，求"的取值范圍；

⑵求不等式“X)2V—2》的解集.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、D

【解析】

集合M={x|f=l}={_l,l}.N為自然數(shù)集，由此能求出結(jié)果.

【詳解】

解：集合"={#犬=]}={_1,1}.N為自然數(shù)集，

在A中，leA/,正確；

在B中，M=正確；

在C中，0=M,正確；

在D中，M不是N的子集，故D錯誤.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查命題真假的判斷、元素與集合的關(guān)系、集合與集合的關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

2、D

【解析】

先求出橢圓方程，再利用橢圓的定義得到歸用+|尸段=4,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求1引「用|P周〈4,從而可得

向'+向的取值范圍.

【詳解】

由題設(shè)有b=l,c=6，故a=2,故橢圓C:土?+=1,

4

因?yàn)辄c(diǎn)P為。上的任意一點(diǎn),故忸制+|產(chǎn)用=4.

1?1=附|+|尸用_4-4

乂附I囪\PF.\\PF2\附|熙|附|(4一附『

因?yàn)?一百《閥|<2+百，故囚尸用(4-附|)44,

所以1V17+1-------T<4

斯"|「用

\PF2\,

故選：D.

【點(diǎn)睛】

22

本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，一般地，如果橢圓。：鼻+方的左、右焦點(diǎn)分別是耳、點(diǎn)為。上的

=1(a>〃>0)F2,P

任意一點(diǎn)，則有|P制+|PK|=2a,我們常用這個性質(zhì)來考慮與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的問題，本題屬于基礎(chǔ)題.

3、A

【解析】

由復(fù)數(shù)的除法求出z,然后計算zi

【詳解】

13-z31.

Z=----------------------------------------------------1.

3+i(3+/)(3-01010

—3131/3”/1、2

Z-Z-(---------z)(--1---1)-(——)~+(—)-=

10101010101010

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算，考查共朝復(fù)數(shù)的概念，掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.

4、C

【解析】

判斷函數(shù)的性質(zhì)，和特殊值的正負(fù)，以及值域，逐一排除選項(xiàng).

【詳解】

/(-x)=-/(x),二函數(shù)是奇函數(shù)，排除。，

時，/(x)>0,時，/(x)<0,排除B,

當(dāng)》€(wěn)(0,二］時，sin2xe(0,l),G-,-e^cz(0,l)

k2J8188,

時，/(x)e(O,l),排除A，

C符合條件，故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖象，屬于基礎(chǔ)題型，一般根據(jù)選項(xiàng)判斷函數(shù)的奇偶性，零點(diǎn)，特殊值的正負(fù),

以及單調(diào)性，極值點(diǎn)等排除選項(xiàng).

5、B

【解析】

分別作出各個選項(xiàng)中的函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象觀察可得結(jié)果.

【詳解】

對于A,y=|ig1+i)|圖象如下圖所示:

則函數(shù)y=|ig(x+i)|在定義域上不單調(diào)，A錯誤;

對于8,y==6的圖象如下圖所示：

則y=?在定義域上單調(diào)遞增，且值域?yàn)椋?,+8),8正確

對于C,y=2”的圖象如下圖所示：

則函數(shù)y=2,單調(diào)遞增，但值域?yàn)?0,+力)，。錯誤;

對于。，y=ln|x|的圖象如下圖所示：

則函數(shù)y=In兇在定義域上不單調(diào)，。錯誤.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)單調(diào)性和值域的判斷問題，屬于基礎(chǔ)題.

6、A

【解析】

首先/(x)的單調(diào)性，由此判斷出,由/(a)=/S)求得。力的關(guān)系式.利用導(dǎo)數(shù)求得log2的最小值，由

\<b<2

此求得,活的最小值.

【詳解】

2+log,x,-<x<1,、「1、

由于函數(shù)/(x)=28,所以/(x)在京,1上遞減，在［1,2］上遞增.由于/(a)=/S)(a<8),

2(,l<x<21,

/1］=2+log，=5,〃2)=22=4,令2+logy=4,解得％=1,所以且2+log|a=2〃，化簡

⑻鼻824［］52Z

b

得log2a=2-2,所以log?ab=log2a+log26=2-2"+log,b,構(gòu)造函數(shù)g(x)=2-2'+Iog2x(l<x<2),

g'(x)=-2"ln2+—=1一二2,曲2.構(gòu)造函數(shù)〃⑴=l-x-2'-In22(l<x<2),

xln2xln2

/z(x)=-(l+Jtln2)-2xln22<0,所以/z(x)在區(qū)間(1,2］上遞減，W/i(l)=l-21n22?l-2x0.48=0.04>0,

/?(2)=l-81n22?1-8x0.48=-2.84<0,所以存在%?1,2),使九5)=0.所以g(x)在。，用)上大于零,在

(%,2)上小于零.所以g(x)在區(qū)間(1,%)上遞增，在區(qū)間(％，2)上遞減.而g(1)=0,g(2)=2-22+log22=-l,所

以g(x)在區(qū)間(1,2］上的最小值為一1，也即log?"的最小值為一1，所以"的最小值為2T=1.

故選：A

本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，考查分段函數(shù)的圖像與性質(zhì)，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.

7、C

【解析】

分析：根據(jù)集合A={1,3,5,7},3={2,3,4,5}可直接求解48={3,5}.

詳解：A={1,3,5,7},3={2,3,4,5},

二.AcB={3,5},

故選C

點(diǎn)睛：集合題也是每年高考的必考內(nèi)容，一般以客觀題形式出現(xiàn)，一般解決此類問題時要先將參與運(yùn)算的集合化為最

簡形式，如果是“離散型”集合可采用Venn圖法解決，若是“連續(xù)型”集合則可借助不等式進(jìn)行運(yùn)算.

8、D

【解析】

根據(jù)程序框圖判斷出〃，機(jī)的意義，由此求得加，〃的值，進(jìn)而求得的值.

【詳解】

由題意可得〃的取值為成績大于等于90的人數(shù)，m的取值為成績大于等于60且小于90的人數(shù)，故〃?=24,〃=12,

所以，〃一”=24—12=12.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本小題考查利用程序框圖計算統(tǒng)計量等基礎(chǔ)知識；考查運(yùn)算求解能力，邏輯推理能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用意識.

9、D

【解析】

根據(jù)所給的雷達(dá)圖逐個選項(xiàng)分析即可.

【詳解】

對于A,甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為100分，乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為80分,

故甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于乙，故A正確;

對于B,乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為80分，數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)為60分,

故乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，故B正確；

對于C,甲的六大素養(yǎng)整體水平平均得分為

100+80+100+80+100+80310

6-亍

80+60+80+60+60+100250.十3

乙的六大素養(yǎng)整體水平均得分為---＞故C正確;

63

對于D,甲的六大素養(yǎng)中數(shù)學(xué)運(yùn)算為80分，不是最強(qiáng)的，故D錯誤;

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查了樣本數(shù)據(jù)的特征、平均數(shù)的計算，考查了學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題.

10、B

【解析】

可設(shè)z=a+勿將目+，化簡，得到"("八"一由復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，可得而行-人=0,解方程即

z6+/

可求解

【詳解】

設(shè)z=a+0i(a,0eR),則忖?:?,=:舊+、(；萬)門=4+:.

za+bia2+b2

由題意有\(zhòng)la2+b~-b=0=>a=0，所以m=0?

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的模長、除法運(yùn)算，由復(fù)數(shù)的類型求解對應(yīng)參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題

11、B

【解析】

作出圖形，設(shè)平面a分別交42、GA于點(diǎn)E、F,連接。E、DF、EF,取8的中點(diǎn)G,連接PG、C,G,

連接AG交4A于點(diǎn)N,推導(dǎo)出AP〃GG,由線面平行的性質(zhì)定理可得出GG〃。/7,可得出點(diǎn)尸為GA的中點(diǎn)，

MD.

同理可得出點(diǎn)E為4A的中點(diǎn)，結(jié)合中位線的性質(zhì)可求得笳的值.

【詳解】

如下圖所示:

設(shè)平面夕分別交AO、于點(diǎn)￡、F,連接￡>E、DF、EF,取8的中點(diǎn)G,連接PG、C.G,連接4G交

BQ1于點(diǎn)N,

四邊形ABC。為正方形，P、G分別為A3、CO的中點(diǎn)，則BP〃CG且3P=CG,

四邊形BCGP為平行四邊形，,PG〃BC且PG=BC,

B.CJIBC且B,C,=BC，:.PG〃B\C,且PG=B.C,,則四邊形B￡GP為平行四邊形，

B.PUC.G,〃平面a,則存在直線au平面a,使得用尸〃a,

若GGu平面a,則Ge平面a,又￡>e平面a,則CDu平面a,

此時，平面a為平面CQAG，直線4Q不可能與平面a平行，

所以，GGz平面a,:.GG//a,〃平面a,

GGu平面CORG，平面CDQG平面a=DF,：.DF〃C。,

QF//DG,所以，四邊形GG。尸為平行四邊形，可得￡￡=OG=gc￡>=；CA，

11MD.1

L

.?.￡為GR的中點(diǎn)，同理可證E為AR的中點(diǎn)，BREF=M,:.MD^-D}N=-B,Dif因此，訴=§?

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查線段長度比值的計算，涉及線面平行性質(zhì)的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵就是找出平面。與正方體各棱的交點(diǎn)位置，考

查推理能力與計算能力，屬于中等題.

12、C

【解析】

先確定摸一次中獎的概率，5個人摸獎，相當(dāng)于發(fā)生5次試驗(yàn)，根據(jù)每一次發(fā)生的概率，利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的公式得

到結(jié)果.

【詳解】

從6個球中摸出2個，共有C：=15種結(jié)果，

兩個球的號碼之和是3的倍數(shù)，共有(1,2),(1,5),(2,4),(3,6),(4,5)

摸一次中獎的概率是a=」，

153

5個人摸獎，相當(dāng)于發(fā)生5次試驗(yàn)，且每一次發(fā)生的概率是,，

3

71on

，有5人參與摸獎，恰好有2人獲獎的概率是C；.(1)3?(?2=王，

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了〃次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率，考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率，解題時主要是看清摸獎5次，

相當(dāng)于做了5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，利用公式做出結(jié)果，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、-1

【解析】

畫出滿足條件的平面區(qū)域，求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，由z=2x+y得)，=-2x+z,顯然直線過A(T〃—2,一〃2)時，z最小,

代入求出機(jī)的值即可.

【詳解】

x+y-240

作出不等式組x-y+220所表示的可行域如下圖所示：

y+m>0

x-y+2=0\x=-m-2/、

聯(lián)立｛c,解得《，則點(diǎn)4（一/"-2,-〃?）.

y+m=O[y=-nt

由z=2x+y得y=-2x+z,顯然當(dāng)直線y=-2x+z過4（-加一2,-〃?）時，該直線y軸上的截距最小，此時二最小,

,解得加=-1.

故答案為：一1.

【點(diǎn)睛】

本題考查了簡單的線性規(guī)劃問題，考查數(shù)形結(jié)合思想，是一道中檔題.

4

14、-

5

【解析】

基本事件總數(shù)〃=盤=10,這3個點(diǎn)共線的情況有兩種AOC和80。，由此能求出這3個點(diǎn)不共線的概率.

【詳解】

解：。為矩形A3CD的對角線的交點(diǎn)，

現(xiàn)從A，B,C,D,。這5個點(diǎn)中任選3個點(diǎn)，

基本事件總數(shù)〃=《=10,

這3個點(diǎn)共線的情況有兩種AOC和BOD,

這3個點(diǎn)不共線的概率,為p=\~2=^4.

4

故答案為：）.

【點(diǎn)睛】

本題考查概率的求法，考查對立事件概率計算公式等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

15、［1,2)

【解析】

通過平方，將無理不等式化為有理不等式求解即可。

【詳解】

由1得解得lWx<2,

所以解集是U,2)。

【點(diǎn)睛】

本題主要考查無理不等式的解法。

4萬

16、——

3

【解析】

先確定頂點(diǎn)在底面的射影，再求出三棱錐的高以及各側(cè)面三角形的高，利用各個面的面積和乘以內(nèi)切球半徑等于三棱

錐的體積的三倍即可解決.

【詳解】

設(shè)頂點(diǎn)在底面上的射影為H,”是三角形A8C的內(nèi)心，內(nèi)切圓半徑r=1.三個側(cè)面與底面所

成的角均為60°,APAB，PBC,R4c的高產(chǎn)。=尸￡=尸產(chǎn)=2，PH=6設(shè)內(nèi)

切球的半徑為/?,(-(3+4+5)x2+-x3x4)x/?=3x-xix3x4xV3=6^

2232

:.R=B,內(nèi)切球表面積S=4TTR2=..

33

4萬

故答案為：

3

【點(diǎn)睛】

本題考查三棱錐內(nèi)切球的表面積問題，考查學(xué)生空間想象能力，本題解題關(guān)鍵是找到內(nèi)切球的半徑，是一道中檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

3

17、(1)p2_2pcos6-2=0.%++一6=0⑵-

【解析】

(1)根據(jù)題意代入公式化簡即可得到.(2)聯(lián)立極坐標(biāo)方程通過極坐標(biāo)夕的幾何意義求解IAB|,再求點(diǎn)p到直線AB的距

離即可算出三角形面積.

【詳解】

解：(1)曲線G：(犬一1)2+丁=3,即1+/一2彳一2=0.

_2pcos。-2=0.曲線G的極坐標(biāo)方程為—2pcos?！?=0.

直線/的極坐標(biāo)方程為夕sin=3,即G0sin6+pcosO=6,

工直線I的直角坐標(biāo)方程為x+#＞一6=0.

（2）設(shè)'

（兀JIA

???pAsinly+-1=3.解得0=3.

又夕;_2°BCOsq_2=0,二/^=？（PB=一］舍去）.

.?.IA8|=3-2=1.

點(diǎn)尸到直線AB的距離為6*5垣（0一￡）=3,

,13

?**/\PAR的面積為一x1x3=—.

22

【點(diǎn)睛】

此題考查參數(shù)方程，極坐標(biāo)，直角坐標(biāo)之間相互轉(zhuǎn)化，注意參數(shù)方程只能先轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)，屬于較

易題目.

■7T

18、（1）y；（2）存在，。為線段AC中點(diǎn)

【解析】

解法一：（1）作出平面APC與平面BDD&1的交線OM,可證AO_L平面，計算aw,A0,得出tanZAMO,

從而得出NAMO的大?。唬?）證明四。J_平面ACC4,故而可得當(dāng)。為線段AG的中點(diǎn)時。QLAP.

（兀\\AP-AC\

解法二，以。為原點(diǎn)，以D4,OC,。。為x，y，z建立空間直角坐標(biāo)系：（1）由sine=cosj—e-n—~L利

（2）|AP|-|AC|

用空間向量的數(shù)量積可求線面角；（2）設(shè)4G上存在一定點(diǎn)0，設(shè)此點(diǎn)的橫坐標(biāo)為X，可得。（X,l-X,2）,由向量垂

直，數(shù)量積等于零即可求解.

【詳解】

（1）解法一：連接AC交BO于。,

設(shè)AP與平面BDQ的公共點(diǎn)為M,連接OM,

則平面APC\平面BDD,B]=OM,

四邊形ABC。是正方形，

.J_平面ABCD,ACu平面ABCD,

：.ACLBB],又BB]CBD=B,

AC，平面8。。4,

ZAMO為直線AP與平面BDQB]所成角，

CP//平面BDD,4,CPU平面APC,平面APC平面BDD,g=OM,

：.CP//OM,又。為AC的中點(diǎn)，

:.0M^-PC^—,AO=-AC=—，

2622

AI--rr

tanZAMO=-=y/3,:.ZAMO=-,

OM3

直線AP與平面BDQ耳所成角為?.

(2)四邊形正方形，

AG，BQ1,

?/AA,_L平面，BRU平面ABC。，

A41J,gA,又A,C,'AA,=A,,

.?.々A，平面AGCA,又APU平面4CC4,

BQ±AP,

二當(dāng)。為線段AG中點(diǎn)時，對于任意的實(shí)數(shù)m,都有2Q_LAP.

解法二：（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則A（l,O,O）,B（l,l,O）,P（O,l,m）,

C（0,l,0）,D（0,0,0）,B,（l,l,l）,D,（0,0,2）,

uuu

所以8。=（一1,-1,0）,8片=（0,0,2）,AP=（-l,l,m）,AC=（-1,1,0）

又由AC.8O=（）,ACBB]=0,則AC為平面34。。的一個法向量，

設(shè)直線AP與平面BDD,4所成角為3,

…A（"二\AP'AC\2G

則sm6=cos--0=J~n_L=-廠—,=—,

12J|AP|.|AC|V2.V2W2

故當(dāng)機(jī)=邁時，直線AP與平面所成角為g.

33

（2）若在4G上存在一定點(diǎn)。，設(shè)此點(diǎn)的橫坐標(biāo)為X，

則0（x,l-x,2）,D,Q=（x,l-x,0）,

依題意，對于任意的實(shí)數(shù)，〃要使AQJ-AP,

等價于DQ，AP=OQ-AP=(),

即-x+l-x=0,解得

2

即當(dāng)。為線段4G中點(diǎn)時，對于任意的實(shí)數(shù)心，都有AQLAP.

【點(diǎn)睛】

本題考查了線面垂直的判定定理、線面角的計算，考查了空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，屬于中檔題.

7

19、(1)證明見解析(2)-

【解析】

(1)由題意，先求得P為8C的中點(diǎn)，再證明平面“M3//平面EDP,進(jìn)而可得結(jié)論；

(2)由題意，當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)8時，四面體EQPC的體積最大，再建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量運(yùn)算即可.

【詳解】

(1)證明：當(dāng)四面體EOPC的外接球的表面積為5兀時.

則其外接球的半徑為由.

2

因?yàn)锳BC。時邊長為2的菱形，CDEF是矩形.

皮)=1,且平面CDEF_L平面ABCD.

則平面ABC。，EC=#).

則EC為四面體EOPC外接球的直徑.

所以N￡P(guān)C=90°,即CBJ_￡P(guān).

由題意，CBLED,EPED=E,所以C5J_OP.

因?yàn)镹BA。=NBC。=60°,所以P為的中點(diǎn).

記AD的中點(diǎn)為“，連接MH,MB.

則MHPDE,DEcDP=D,所以平面HWB//平面￡￡用.

因?yàn)镠Bu平面”MB,所以“3//平面EOP.

(2)由題意，a_L平面ABCD,則三棱錐E—DPC的高不變.

當(dāng)四面體￡。尸。的體積最大時，△DPC的面積最大.

所以當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)8時，四面體EDPC的體積最大.

以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。一孫z.

字高/0(。20).

則0(0,0,0),￡(0,0,1),.),1,0),H

與,fC=(O,2,-l),EB

所以。3=(6,1,0),DH=

設(shè)平面//E厲的法向量為加=(X[,y,zJ.

DB?m=6x\+y=0,

則〈

DH-m=-xl--yi+-zl=0,

令X]=l,得，〃=(1,一石,-26).

設(shè)平面EBC的一個法向量為〃=(工2，%，22)?

EC-n=2y2-z2=0,

則

EB?n-V3X2+y2-z2=0,

令%=3,得〃=(百,3,6卜

mn7

設(shè)平面"DP與平面EPC所成銳二面角是。，貝Icoss

m^n8

7

所以當(dāng)四面體EDPC的體積最大時，平面HDP與平面EPC所成銳二面角的余弦值為-.

8

【點(diǎn)睛】

本題考查平面與平面的平行、線面平行，考查平面與平面所成銳二面角的余弦值，正確運(yùn)用平面與平面的平行、線面

平行的判定，利用好空間向量是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

20、(1)(fl](2)三個零點(diǎn)

【解析】

(1)由題意知/'(x)20恒成立，構(gòu)造函數(shù)-x)=x-lnx-Z,對函數(shù)求導(dǎo)，求得函數(shù)最值，進(jìn)而得到結(jié)果；(2)當(dāng)%>1

時先對函數(shù)求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性可得到函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，再證/(內(nèi))>0,/(x2)<0.

【詳解】

(1)由/(x)=x-g(lnx)2-Zdru-l得/z(x)=—~~,

由題意知/'(￡)?()恒成立，即x—lnx—k20,設(shè)/?(x)=x-lnx-Z:,F,(x)=l--,

xe(O,l)時廣(力<0,尸(x)遞減，xe(l,+oo)時，F(xiàn)(x)>0,F(x)遞增;

故尸即ZV1,故左的取值范圍是(—[].

(2)當(dāng)ZW1時，/(X)單調(diào)，無極值；

當(dāng)左>1時，尸(1)=1一攵<0,

一方面，尸(e")=e">0,且網(wǎng)力在(0,1)遞減，所以廠(力在區(qū)間卜Fl)有一個零點(diǎn).

另一方面，F(xiàn){ek^=ek-2k,設(shè)g(Z)=e*—2Z(左>1),則g")=eJ2>0,從而g(攵)

在(1,y)遞增，則g(Z)>g⑴=e-2>0,即*e*)〉0,又尸(x)在(1,+(6)遞增，所以

*x)在區(qū)間(1,才)有一個零點(diǎn).

因此，當(dāng)%>1時/'(X)在卜"』)和(l,e*)各有一個零點(diǎn)，將這兩個零點(diǎn)記為西，

x2(jq<1<x2),當(dāng)xe(O,xJ時/(x)>。，即/'(x)>0；當(dāng)工式再,々)時/x)<0，即

/,(x)<0；當(dāng)孫+oo)時F(x)>0,即/'(x)>0：從而J、(x)在(0,3)遞增，在(%,%2)

遞減，在(馬，+8)遞增；于是*是函數(shù)的極大值點(diǎn)，々是函數(shù)的極小值點(diǎn).

下面證明：/(看)>0,/(%2)<0

12

由/''(xj=0得百一In%]一左=0,即左=X]-lrLX],由/(七)二百一5(111匹)——0nxi-I

得/(%,)=x1-(%)-lox,)Inx,-1=x1+；(lnxj2—xJuX1-1,

令加(x)=x+g(lnx)~/、(l-x)lnx

-xlnx-1,則〃?'((x)=，

①當(dāng)X€(0,l)時加(x)<0,〃?(x)遞減，則加(x)>〃2⑴=0,而X]<1,故f(%)>0；

②當(dāng)XG(1,+OO)時加(X)<O