2023-2024學(xué)年四川省成都市高二下冊(cè)期中數(shù)學(xué)（理）質(zhì)量檢測(cè)模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年四川省成都市高二下冊(cè)期中數(shù)學(xué)（理）質(zhì)量檢測(cè)模擬試題一、單選題1．命題“，”的否定為（

）A．， B．，C．， D．，【正確答案】A【分析】含有一個(gè)量詞的命題的否定步驟為：改量詞，否結(jié)論.【詳解】改量詞：改為，否結(jié)論：否定為，所以，的否定形式為：，.故選：A.2．已知復(fù)數(shù)，則的虛部為（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)，進(jìn)而求其共軛復(fù)數(shù)，即可求解.【詳解】，故，故的虛部為，故選：C3．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A．() B．(1，+) C．(1，1) D．(0，1)【正確答案】D【分析】利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即得.【詳解】∵函數(shù)，，∴，由，，解得，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：D.4．用數(shù)學(xué)歸納法證明“≥(N*）”時(shí)，由到時(shí)，不等試左邊應(yīng)添加的項(xiàng)是（

）A． B．C． D．【正確答案】D【分析】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的證明過程求解.【詳解】數(shù)學(xué)歸納法的證明過程如下：當(dāng)時(shí)，左邊，原不等式成立；設(shè)當(dāng)時(shí)，原不等式成立，即

…①成立，則當(dāng)時(shí)，左邊，即要證明左邊也成立，即證

，由①知即證；故選：D.5．已知，分別是平面，的法向量，則平面，交線的方向向量可以是（

）A． B． C． D．【正確答案】B【分析】根據(jù)平面的交線都與兩個(gè)平面的法向量垂直求解.【詳解】因?yàn)樗膫€(gè)選項(xiàng)中，只有，，所以平面，交線的方向向量可以是故選：B6．設(shè)，“”是“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件【正確答案】A【分析】利用充分條件和必要條件的定義判斷.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，為純虛數(shù)，故充分；當(dāng)復(fù)數(shù)為純虛數(shù)時(shí)，，解得或，故不必要，故選：A7．下列三句話按“三段論”模式排列順序正確的是（）①（）是三角函數(shù)：②三角函數(shù)是周期函數(shù)；③（）是周期函數(shù)A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③②①【正確答案】B【分析】按照三段論的形式：大前提，小前提，結(jié)論的形式排序即可.【詳解】解：三段論為：大前提，小前提，結(jié)論，所以排序?yàn)椋孩谌呛瘮?shù)是周期函數(shù)；①（）是三角函數(shù)；③（）是周期函數(shù).故選：B.8．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，下圖所示的是函數(shù)的圖像，下列說法正確的是（

）A．是的零點(diǎn)B．是的極大值點(diǎn)C．在區(qū)間上單調(diào)遞增D．在區(qū)間上不存在極小值【正確答案】B【分析】由函數(shù)圖像判斷的符號(hào)，進(jìn)而判斷的單調(diào)性和極值情況，即可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，而，故；當(dāng)時(shí)，，而，故；當(dāng)時(shí)，，而，故；所以上遞減；上遞增，則、分別是的極小值點(diǎn)、極大值點(diǎn).故A、C、D錯(cuò)誤，B正確.故選：B9．若函數(shù)的圖象上存在兩點(diǎn)，使得函數(shù)的圖象在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直，則稱具有性質(zhì)．下列函數(shù)中具有性質(zhì)的是A． B． C． D．【正確答案】A【分析】若函數(shù)y＝f（x）的圖象上存在兩點(diǎn)，使得函數(shù)的圖象在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直，則函數(shù)y＝f（x）的導(dǎo)函數(shù)上存在兩點(diǎn)，使這點(diǎn)的導(dǎo)函數(shù)值乘積為﹣1，進(jìn)而可得答案．【詳解】解：函數(shù)y＝f（x）的圖象上存在兩點(diǎn)，使得函數(shù)的圖象在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直，則函數(shù)y＝f（x）的導(dǎo)函數(shù)上存在兩點(diǎn)，使這點(diǎn)的導(dǎo)函數(shù)值乘積為﹣1，當(dāng)y＝sinx時(shí)，y′＝cosx，滿足條件；當(dāng)y＝lnx時(shí)，y′0恒成立，不滿足條件；當(dāng)y＝ex時(shí)，y′＝ex＞0恒成立，不滿足條件；當(dāng)y＝x3時(shí)，y′＝3x2＞0恒成立，不滿足條件；故選A．導(dǎo)數(shù)及其性質(zhì).10．設(shè)雙曲線（）的半焦距為c，直線l過兩點(diǎn)，且原點(diǎn)到直線l的距離為，則雙曲線的離心率（

）A．2 B． C．2和 D．2和【正確答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用直角三角形面積公式列式，結(jié)合雙曲線離心率定義求解作答.【詳解】令，依題意，在中，，且，如圖，顯然，由，得，整理得，而，解得，所以雙曲線的離心率.故選：A11．作為平面直角坐標(biāo)系的發(fā)明者，法國數(shù)學(xué)家笛卡爾也研究了不少優(yōu)美的曲線，如笛卡爾葉形線，其在平面直角坐標(biāo)系xOy下的一般方程為x3+y3－3axy=0.某同學(xué)對(duì)a=1情形下的笛卡爾葉形線的性質(zhì)進(jìn)行了探究，得到了下列結(jié)論，其中錯(cuò)誤的是（

）A．曲線不經(jīng)過第三象限 B．曲線關(guān)于直線y=x對(duì)稱C．曲線與直線x+y=－1有公共點(diǎn) D．曲線與直線x+y=－1沒有公共點(diǎn)【正確答案】C【分析】對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，判斷是否可能成立即可；對(duì)于B：將點(diǎn)代入方程，判斷與原方程是否相同即可；對(duì)于C、D：聯(lián)立直線和曲線方程，判斷方程組是否有解即可.【詳解】當(dāng)，則方程為對(duì)于A：若，則，所以，即曲線不經(jīng)過第三象限，故A正確；對(duì)于B：將點(diǎn)代入方程得，所以曲線關(guān)于直線y=x對(duì)稱，故B正確；對(duì)于C、D：聯(lián)立方程，由可得，將代入方程可得，所以方程組無解，即曲線與直線x+y=－1沒有公共點(diǎn)，故C錯(cuò)誤，D正確；故選：C.12．芯片制作的原料是晶圓，晶圓是硅元素加以純化，晶圓越薄，生產(chǎn)的成本越低，但對(duì)工藝要求就越高．某大學(xué)為鼓勵(lì)更多的有志青年投入到芯片事業(yè)中，成立個(gè)科研小組，用、、三種不同的工藝制作芯片原料，其厚度分別為，，（單位：毫米），則三種芯片原料厚度的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【正確答案】A【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)在上的單調(diào)性可得出、的關(guān)系，利用余弦函數(shù)的單調(diào)性可得出與的大小關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，可得出與的大小關(guān)系，綜合可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】令，其中，則，令，其中，則，所以，函數(shù)在上為減函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，，即，所以，函數(shù)在上為減函數(shù)，因?yàn)?，則，所以，，即，即，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，且，所以，，令，其中，則，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，則，即，所以，，則，綜上所述，故選：A.二、填空題13．若方程的圖形是雙曲線，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是__________.【正確答案】【分析】根據(jù)雙曲線方程的特點(diǎn)求解.【詳解】由于是雙曲線方程，；故14．在平面上，點(diǎn)到直線的距離公式為，通過類比的方法，可求得：在空間中，點(diǎn)到平面的距離為______.【正確答案】【分析】通過類比推理可知,空間中點(diǎn)到平面的距離為,進(jìn)而代入求解即可.【詳解】通過類比推理可知,空間中點(diǎn)到平面的距離為,所以點(diǎn)到平面的距離為,故答案為:本題考查類比推理,考查運(yùn)算能力.15．如圖，在棱長為1的正方體中，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，是側(cè)面內(nèi)一點(diǎn)，若平面，則下列說法正確的是__________.①線段的最大值是②③與一定異面④三棱錐的體積為定值【正確答案】①④【分析】過點(diǎn)作出與平面平行的平面，找出其與面的交線，從而確定點(diǎn)在線段上.選項(xiàng)①中線段的最大值可直接得到為；選項(xiàng)②通過建系求向量數(shù)量積來說明與平面不垂直，從而不一定成立；選項(xiàng)③通過構(gòu)造平面來確定位置關(guān)系；選項(xiàng)④通過證明平面，來說明三棱錐即的體積為定值.【詳解】如圖，延長至，使得，則有取的中點(diǎn)，連接，則有，連接并延長交于點(diǎn)，則點(diǎn)為的中點(diǎn).因?yàn)?，平面，平面所以平?同理可得平面.又，在平面內(nèi)，且相交于點(diǎn)，所以平面平面.故點(diǎn)在線段上.由圖知，，故選項(xiàng)①正確；以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，，.，，.因?yàn)?，所以與不垂直，而點(diǎn)在線段上，所以條件不一定成立，故選項(xiàng)②錯(cuò)誤；如圖，連接，，，則有，且，故四邊形為梯形，與為相交直線，故選項(xiàng)③錯(cuò)誤；因?yàn)辄c(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，所以.又平面，平面，所以平面.故線段上的點(diǎn)到平面的距離都相等.又點(diǎn)在線段上，所以三棱錐的體積為定值，即三棱錐的體積為定值，故選項(xiàng)④正確.故①④.立體幾何問題中與動(dòng)點(diǎn)相關(guān)問題，可以從一下幾點(diǎn)考慮：(1)先作輔助線，找出動(dòng)點(diǎn)所在的線段或軌跡.(2)判斷與動(dòng)點(diǎn)相關(guān)的條件是否成立常需結(jié)合動(dòng)點(diǎn)所在的線段或軌跡，利用線線、線面、面面位置關(guān)系求解，或線線、線面、面面位置關(guān)系的判定或性質(zhì)求解，或建立空間直角坐標(biāo)系利用向量法求解.16．已知，，若不等式對(duì)恒成立，則的取值范圍是______．【正確答案】【分析】易得，分和兩種情況討論，當(dāng)時(shí)，由恒成立，得，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，分析即可得出答案.【詳解】解：顯然，若，當(dāng)時(shí)，有，而，矛盾，∴，令，則恒成立，即，，因?yàn)榕c在都是增函數(shù)，所以函數(shù)在是增函數(shù)，又，當(dāng)時(shí)，，所以存在使得，在上，，單調(diào)遞減，在上，，單調(diào)遞增，且，，∴，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的取值范圍是．故．本題考查了利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立的問題，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問題，考查了分類討論思想及隱零點(diǎn)問題，有一定的難度.三、解答題17．設(shè)F為拋物線的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線l與拋物線C相交于A、B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為1，.求點(diǎn)D到拋物線C的準(zhǔn)線的距離和拋物線C的方程.【正確答案】【分析】根據(jù)拋物線的定義結(jié)合幾何性質(zhì)可得點(diǎn)D到拋物線C的準(zhǔn)線的距離.解法一：根據(jù)拋物線的定義分析求解p=1；解法二：利用弦長公式結(jié)合韋達(dá)定理分析運(yùn)算.【詳解】由題意可得拋物線C的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，過A、B分別向拋物線C的準(zhǔn)線作垂線，垂足為E、H，則根據(jù)拋物線的定義，有AF=AE，BF=BH，所以AE+BH=AF+BF=AB=3.因此在直角梯形ABHE中，點(diǎn)D到拋物線C的準(zhǔn)線的距離.解法一：設(shè)，根據(jù)拋物線的定義有，，∴，而x1+x2=2，∴p=1，故拋物線C的方程y2=2x.解法二：顯然直線l的斜率k存在且不為0，設(shè)方程為，，聯(lián)立方程，消去y整理得，∴，，于是，代入整理得，①注意到，②所以由①②解得，因此拋物線C的方程為y2=2x.18．已知函數(shù).（1）當(dāng)，求證；（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【正確答案】(1)見證明；(2)【分析】（1）將代入函數(shù)解析式，之后對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得到其單調(diào)性，從而求得其最小值為，從而證得結(jié)果.（2）通過時(shí)，時(shí)，利用函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)，列出不等式即可求解的取值范圍，也可以構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合函數(shù)圖象的走向得到結(jié)果.【詳解】（1）證明：當(dāng)時(shí)，，得，知在遞減，在遞增，，綜上知，當(dāng)時(shí)，.（2）法1：，，即，令，則，知在遞增，在遞減，注意到，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，且，由函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，即直線與函數(shù)圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，得.法2：由得，，當(dāng)時(shí)，，知在上遞減，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，，知在遞減，在遞增.，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為，即，綜上，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則.該題考查的是有關(guān)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，以及研究其零點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題，屬于中檔題目.19．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求在點(diǎn)處的切線方程；(2)時(shí)，求證.【正確答案】(1)y=2x－2ln2(2)證明見解析【分析】（1）將代入的解析式，求出和，再運(yùn)用點(diǎn)斜式直線方程求解；（2）運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求出的最小值，只要證明最小值即可.【詳解】（1）當(dāng)a=1時(shí)，，x＞0，則，，而，所以在點(diǎn)處的切線方程為，即；（2）對(duì)求導(dǎo)得，x＞0，當(dāng)a＞0時(shí)，令得，當(dāng)時(shí)，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，所以，只需證明≥

，即≥0

恒成立；設(shè)，，則，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；所以是的最小值，故，表明≥0（a＞0）恒成立，故.20．已知四棱錐中，.(1)求證：平面平面；(2)若，線段上是否存在一點(diǎn)，使二面角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【正確答案】(1)證明見解析(2)存在，【分析】（1）由線線垂直證線面垂直，再證面面垂直；（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立如圖所示坐標(biāo)系，設(shè)線段上存在一點(diǎn)，即滿足條件，利用向量法對(duì)二面角的余弦值列式求解即可判斷.【詳解】（1）由已知可知，，所以因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)槠矫?，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）因?yàn)?，所以，所以，故兩兩垂直，所以以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立如圖所示坐標(biāo)系，則：，設(shè)線段上存在一點(diǎn)，即，使二面角的余弦值為，因?yàn)?，則，所以，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面的法向量為方向的單位向量，設(shè)平面的法向量，則，令，得，因?yàn)槎娼堑钠矫娼菫殇J角，所以，解得舍去故線段上存在一點(diǎn)使二面角的余弦值為，此時(shí).21．設(shè)函數(shù)，，其中、(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若存在極值點(diǎn)，且，其中，求的值.【正確答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）求出，對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，分析導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化，由此可得出函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；（2）由極值點(diǎn)的定義可得出，再由以及結(jié)合作差法可求得的值.【詳解】（1）解：因?yàn)楹瘮?shù)，，其中、，則，則.①當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，且不恒為零，此時(shí)，函數(shù)的遞增區(qū)間為；②當(dāng)時(shí)，，由可得，由可得或，此時(shí)函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為.綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為.（2）解：因?yàn)楹瘮?shù)存在極值點(diǎn)，由（1）可知，且，由題意可得，可得，由且，可得，即，即，所以，.22．如圖，A、F是橢圓C：（）的左頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，P是C上在第一象限內(nèi)的點(diǎn).(1)若，軸，求橢圓C的方程；(2)若橢圓C的離心率為，，求直線PA的傾斜角的正弦.【正確答案】(1)(2)【分析】（1）首