層次分析法中相對權(quán)重的確定方法

層次分析法中相對權(quán)重的確定方法

1算法的基本公式包括“和行”、“方根”和“20世紀70年代初，美國t.l.satt教授首次提出了一套三級分析理論（ahp），主要用于比較和分類特定問題的各種方案，并選擇方案。層次分析法的核心在于求解準則層的相對權(quán)重(排序向量),目前確定相對權(quán)重的算法主要有:和行歸一法、方根法和乘冪法。其中前2種算法的公式簡單,便于編程計算,但由于只是將判斷矩陣每行求和并進行歸一化或方根化處理,用以代替對應(yīng)準則的權(quán)重,所以算法精確度不高,特別當判斷矩陣不一致時,誤差比較大;乘冪法雖然采用迭代的方法,并且可以控制迭代次數(shù)、提高精度和減少誤差,是最常用的算法,但是該算法自身也存在以下2個問題:1)怎樣選取迭代初值直接影響迭代的次數(shù);2)算法本身的收斂速度是線性的,比較慢。筆者主要通過優(yōu)化迭代初值和應(yīng)用Aitken加速技術(shù)對層次分析中的乘冪法進行改進,試圖解決以上2個問題,取得更快的收斂效果。2ait坤加快乘用算法是優(yōu)化迭代基數(shù)的算法2.1改進乘常用乘物法迭代初始參考文獻中選取迭代初值的方法,首先利用和行歸一法和方根法分別求出2組近似相對權(quán)重,設(shè)比較矩陣為A=(aij)n×n,公式如下。和行歸一法:W1=(w1i)n×1,式中w1i=n∑j=1aij/n∑i=1n∑j=1aij?i=1,?,n;方根法:W2=(w2i)n×1,式中w2i=n√n∏j=1aij/n∑i=1n√n∏j=1aij?i=1,?,n.然后借助和行歸一法與方根法的結(jié)論,求出2者的平均值,作為改進乘冪算法的迭代初值,即令V0=(W1+W2)/2。文獻中只是二選一確定初值,而平均后不僅降低了可能產(chǎn)生的偏差,而且有效地減少了迭代次數(shù),一定程度上解決了迭代初值的選取問題。2.2城市濕地公園收斂明顯定義1:設(shè)數(shù)列{pn}∞n=0,稱Δpn=pn+1-pn,n≥0為向前微分,又稱Δkpn=Δk-1(Δpn),k≥2為k階向前微分。定義2:設(shè)數(shù)列{pn}∞n=0收斂到p,若有l(wèi)imn→∞p-pn+1p-pn=a成立,其中a≠0,則稱數(shù)列{pn}∞n=0線性收斂。在文獻中,作者已經(jīng)給出了Aitken加速定理,但未予證明。筆者參照該定理,在簡化已知條件之后,提出如下定理,并給予證明。定理:設(shè)數(shù)列{pn}∞n=0收斂到p,且?n≥0,都有p-pn≠0;如果該數(shù)列滿足:limn→∞p-pn+1p-pn=a且0<a<1,則定義新數(shù)列{qn}:qn=pn-(Δpn)2Δ2pn;然后可得到如下結(jié)論:{qn}∞n=0也收斂到p,且收斂速度比{pn}∞n=0快,即有l(wèi)imn→∞qn-ppn-p=0成立。證明:首先根據(jù)向前微分和數(shù)列{qn}的定義可知:qn=pn-(pn+1-pn)2pn+2-2pn+1+pn.其次由limn→∞p-pn+1p-pn=a?0＜a＜1,可知數(shù)列{pn}∞n=0是線性收斂的;且必然存在數(shù)列{εn}∞n=0收斂到0,使得pn+1-ppn-p=a+εn成立。同時令pn-p=en,則有en+1en=a+εn?en+1=aen+enεn?從而有en+1=aen+o(en),(1)同理en+2=a2en+ao(en)+o(en+1),(2)因此?qn-p=pn-p-(pn+1-pn)2pn+2-2pn+1+pn=pn-p-[(pn+1-p)-(pn-p)]2[(pn+2-p)-2(pn+1-p)+(pn-p)]?將式(1)、(2)帶入上式可得qn-p=en-[(a-1)en+o(en)]2[a2en+ao(en)+o(en+1)-2aen-2o(en)+en]=en-(a-1)2e2n+[o(en)]2+2(a-1)eno(en)(a2-2a+1)en+(a-2)o(en)+o(en+1),由?n≥0,都有pn-p=en≠0,可得qn-ppn-p=1-(a-1)2e2n+[o(en)]2+2(a-1)eno(en)(a2-2a+1)e2n+(a-2)eno(en)+eno(en+1)=1-(a-1)2+[o(en)]2/e2n+2(a-1)o(en)/en(a2-2a+1)+(a-2)o(en)/en+o(en+1)/en,又由當n→∞時,數(shù)列{en}∞n=0→0,可得(a-1)2+[o(en)]2/e2n+2(a-1)o(en)/en(a2-2a+1)+(a-2)o(en)/en+o(en+1)/en→(a-1)2(a2-2a+1)=1.從而有l(wèi)imn→∞qn-ppn-p=0,再由已知條件{pn}∞n=0→p,可得{qn}∞n=0也收斂到p,且序列{qn-p}∞n=0是序列{pn-p}∞n=0的高階無窮小,即{qn}∞n=0收斂速度快于{pn}∞n=0。證畢。2.3計算加速后的近似相對權(quán)重由參考文獻可知,利用乘冪法求出的序列收斂速度是線性的,且符合上述定理的條件,從而可以借助Aitken加速技術(shù)結(jié)合選取的迭代初值改進原乘冪法,得到優(yōu)化迭代初值的Aitken加速乘冪算法,步驟如下。1)確定決策層的比較矩陣An×n、相對權(quán)重和主特征值的絕對誤差限ε、最大迭代次數(shù)m。2)確定初始相對權(quán)重:W1=(w1i)n×1,W2=(w2i)n×1,i=1,…,n。令迭代初值V0=(W1+W2)/2,其中V0是n維列向量。3)利用迭代公式V*i+1=AVi計算出V*i+1和近似主特征值:μi+1=‖V*i+1‖∞,并規(guī)范迭代向量:Vi+1=V*i+1/μi+1,求出近似相對權(quán)重Vi+1;同理利用公式組:V*i+2=AVi+1,μi+2=‖V*i+2‖∞,Vi+2=V*i+2/μi+2,求出μi+2,Vi+2。4)利用Aitken加速技術(shù),計算出加速后的近似相對權(quán)重Wi=Vi-(Vi+1-Vi)2Vi+2-2Vi+1+Vi和近似主特征值λi=μi-(μi+1-μi)2μi+2-2μi+1+μi。5)利用公式組:V*i+3=AVi+2,μi+3=‖V*i+3‖∞,Vi+3=V*i+3/μi+3,求出μi+3,Vi+3;利用公式組:Wi+1=Vi+1-(Vi+2-Vi+1)2Vi+3-2Vi+2+Vi+1?λi+1=μi+1-(μi+2-μi+1)2μi+3-2μi+2+μi+1?求出Wi+1和λi+1。6)計算出最大誤差:Δ=maxk{|wi+1k-wik|,|λi+1-λi|}?其中wi+1k是列向量Wi+1的第k個分量,并判斷Δ<ε是否成立,若不等式成立,對Wi+1進行歸一化處理,求出準則層相對權(quán)重V=Wi+1/∑k=1nwi+1k,主特征值λ=λi+1,結(jié)束計算;若不然,令Vi=Vi+1,Vi+1=Vi+2,Vi+2=Vi+3,Wi=Wi+1,返回步驟5)求出新的Vi+3、Wi+1和λi+1,并帶入步驟6)重新判斷;若迭代次數(shù)超過m,停止計算。3迭代初始化計算考慮到判斷矩陣主要有互反、互補2種類型,下面將以互反型矩陣A1和模糊一致性互補矩陣A2為例,驗證上述加速算法。設(shè)互反型矩陣A1=[1.00001.07120.54401.31520.93351.00000.51001.22881.83831.90801.00002.41390.76030.81380.41431.0000],當判斷矩陣為A1時,首先設(shè)V0=T,計算精度為10-6,并利用和行歸一法和方根法求出W1=[0.2214140.2068740.4033620.168348]T,(W1+W2)/2=[0.2213680.2068730.4034280.168329]T。然后利用乘冪法計算相對權(quán)重,當?shù)踔禐閂0、W1、(W1+W2)/2時,迭代次數(shù)分別為5、4、3,相對權(quán)重為:[0.2213160.2068650.4035110.168306]T。最后利用改進的乘冪法計算相對權(quán)重,當?shù)踔禐閂0、(W1+W2)/2時,迭代次數(shù)分別為3和1,相對權(quán)重同上。設(shè)模糊一致性互補矩陣A2=[0.50.640.780.360.50.640.220.360.5],當判斷矩陣為A2時,首先設(shè)V0=T,計算精度為10-6,并利用和行歸一法和方根法求出(W1+W2)/2=[0.4293940.3336390.236966]T。然后利用乘冪法計算相對權(quán)重,當?shù)踔禐閂0、(W1+W2)/2時,迭代次數(shù)分別為7和6,相對權(quán)重為:[0.4321330.3333330.234533]T。最后利用改進的乘冪法