蘇教版2023學(xué)年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)四邊形(解析版)

四邊形一．選擇題（共10小題）1．八邊形的外角和是（）A．360° B．720° C．1080° D．1440°2．若一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都等于40°,則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是（）A．7 B．8 C．9 D．103．如圖,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝（）A．90° B．180° C．360° D．540°4．矩形ABCD中,AB＝3,AC＝5,則BD的長為（）A．5 B．4 C．3 D．25．已知菱形ABCD的周長為36cm,則此菱形的邊長為（）A．9cm B．18cm C．3cm D．20cm6．如圖,小明從A點(diǎn)出發(fā),沿直線前進(jìn)16米后向左轉(zhuǎn)45°,又向左轉(zhuǎn)45°,…,照這樣走下去,他第一次回到點(diǎn)A時(shí),共走路程為（）A．96米 B．128米 C．160米 D．192米7．一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后,形成的另一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是1440°,則原來多邊形的邊數(shù)是（）A．9 B．10 C．8或9或10 D．9或10或118．正八邊形的一個(gè)外角度數(shù)是（）A．45° B．135° C．108° D．125°9．長方形ABCD中,AB＝12,AD＝17,E,F分別在邊BC,CD上,BE＝5,DF＝7,則∠AEB+∠AFD等于（）A．105° B．120° C．90° D．135°10．如圖,在四邊形ABCD中,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,且OA＝OC,OB＝OD,下列說法錯(cuò)誤的是（）A．若AC⊥BD,四邊形ABCD是菱形 B．若AC＝BD,四邊形ABCD是矩形 C．若AC⊥BD且AC＝BD,四邊形ABCD是正方形 D．若∠ABC＝90°,四邊形ABCD是正方形二．填空題（共5小題）11．如圖,在菱形ABCD中,對(duì)角線AC,BD的交點(diǎn)為O,AC＝6,CD＝5．若點(diǎn)E在BC上,且AE⊥BC,則AE的長為．12．?dāng)?shù)學(xué)家迪爾卡在《幾何》一書中闡述了坐標(biāo)幾何的思想,主張取代數(shù)和幾何中最好的東西,互相以長不短．在菱形ABCD中,AB＝2,∠DAB＝120°．如圖建立平面直角坐標(biāo)系xOy,使得邊AB在x軸正半軸上,點(diǎn)D在y軸正半軸上,則C的坐標(biāo)是．13．如圖,某人從點(diǎn)A出發(fā)沿直線前進(jìn)5m到達(dá)點(diǎn)B后向左旋轉(zhuǎn)的角度為α,再沿直線前進(jìn)5m,到達(dá)點(diǎn)C后,又向左旋轉(zhuǎn)α,照這樣走下去,第一次回到出發(fā)地點(diǎn)時(shí),他共走了60m,則每次旋轉(zhuǎn)的角度α為．14．如圖,在Rt△ABC中,∠B＝90°,點(diǎn)D在線段AC上,過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)B,DF⊥BC于點(diǎn)F,若四邊形DEBF為正方形,AD＝5cm,CD＝12cm,則陰影部分的面積為cm2．（提示：線段DE可看作由DF繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到）15．如圖,在矩形ABCD中,AB＝5,AD＝12,P是AD上不與A和D重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P分別作AC和BD的垂線,垂足分別為E、F．則PE+PF＝．三．解答題（共6小題）16．如圖,小華有一塊三角板ABC,其中∠ACB＝90°,AC＝BC,過點(diǎn)C作直線l,分別過A,B作l的垂線,垂足分別是D,E．（1）求證：△ACD≌△CBE；（2）若DE＝6,求梯形ABED的面積．17．如圖,E,F是正方形ABCD的對(duì)角線BD上的兩點(diǎn),且BE＝DF．（1）求證：△ABE≌△CDF；（2）若AB＝4,BE＝2,求四邊形AECF的面積．18．我們發(fā)現(xiàn),用不同的方式表示同一圖形的面積可以解決線段長度之間關(guān)系的有關(guān)問題,這種方法稱為等面積法,這是一種重要的數(shù)學(xué)方法,請(qǐng)你用等面積法來探究下列兩個(gè)問題：（1）如圖①是著名的“趙爽弦圖”,由四個(gè)全等的直角三角形拼成,請(qǐng)用它驗(yàn)證勾股定理；（2）如圖②,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,CD是AB邊上的高,AC＝4,BC＝3,求CD的長度；（3）如圖①,若大正方形的面積是13,小正方形的面積是1,求（a+b）2的值．19．如圖①,在△ABC中,∠ACB＝90°,BC＝6,AC＝8,D為AB的中點(diǎn),點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā),沿折線CB﹣BA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),點(diǎn)P在CB邊上以每秒3個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng),在BA邊上以每秒5個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng),在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中,連結(jié)PD,將△PDC繞線段PD的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到△PDC',設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t＜4）．（1）AB的長為；（2）用含t的代數(shù)式表示線段PB的長；（3）當(dāng)四邊形CPC'D是軸對(duì)稱圖形時(shí),求出t的值；（4）連結(jié)CC',如圖②,當(dāng)CC'將△ABC的面積分成2：3兩部分時(shí),直接寫出t的值．20．如圖,平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,BD＝24cm,AC＝12cm,點(diǎn)E在線段BO上從點(diǎn)B以1cm/s的速度向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng),點(diǎn)F在線段OD上從點(diǎn)O以2cm/s的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．（1）若點(diǎn)E、F同時(shí)運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,當(dāng)t為何值時(shí),四邊形AECF是平行四邊形；（2）在（1）的條件下,當(dāng)AB為何值時(shí),平行四邊形AECF是菱形；（3）求（2）中菱形AECF的面積．21．已知正方形ABCD,邊長為4,動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度從點(diǎn)B出發(fā)沿線段BC方向運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)以每秒4個(gè)單位速度從A點(diǎn)出發(fā)沿正方形的邊AD﹣DC﹣CB﹣BA方向順時(shí)針作折線運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)Q回到A點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng),設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．（1）當(dāng)t＝時(shí),證明：△ABP≌△BCQ；（2）當(dāng)S△ADQ＝6時(shí),S△ABP的面積是多少？（3）S△ADQ是否有最大值？如果有,請(qǐng)直接寫出3個(gè)滿足的t的值；如果沒有,請(qǐng)說明理由．

2023年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)--四邊形參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．八邊形的外角和是（）A．360° B．720° C．1080° D．1440°【分析】利用n邊形的外角和是360°即可求解．【解答】解：∵n邊形的外角和是360°,∴八邊形的外角和是360°,故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查多邊形的外角和,解題關(guān)鍵是掌握多邊形的外角和是360°．2．若一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都等于40°,則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是（）A．7 B．8 C．9 D．10【分析】根據(jù)任何多邊形的外角和都是360°,利用360°除以外角的度數(shù)就可以求出多邊形的邊數(shù)．【解答】解：∵360÷40＝9,∴這個(gè)多邊形的邊數(shù)是9．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多邊形內(nèi)角與外角,根據(jù)外角和的大小與多邊形的邊數(shù)無關(guān),由外角和求正多邊形的邊數(shù),是常見的題目,需要熟練掌握．3．如圖,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝（）A．90° B．180° C．360° D．540°【分析】根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和∠BFC＝∠A+∠B,∠DGF＝∠C+∠BFC,再根據(jù)三角形內(nèi)角和公式即可求解．【解答】解：如圖所示：延長BE交AC于點(diǎn)F,∵∠BFC＝∠A+∠B,∠DGF＝∠C+∠BFC,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝∠BFC+∠C+∠D+∠E＝∠DGF+∠D+∠E＝180°．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】考查了多邊形內(nèi)角與外角,本題運(yùn)用三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和,將已知角轉(zhuǎn)化在同一個(gè)三角形中,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解．4．矩形ABCD中,AB＝3,AC＝5,則BD的長為（）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】根據(jù)矩形的對(duì)角線相等即可解決問題．【解答】解：因?yàn)榫匦蜛BCD中,BD＝AC＝5,所以BD的長為5．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì),解決本題的關(guān)鍵是掌握矩形的對(duì)角線相等．5．已知菱形ABCD的周長為36cm,則此菱形的邊長為（）A．9cm B．18cm C．3cm D．20cm【分析】根據(jù)菱形的四條邊相等即可解決問題．【解答】解：∵菱形ABCD的周長為36cm,∴菱形的邊長＝36÷4＝9（cm）．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì),解決本題的關(guān)鍵是掌握菱形的四條邊都相等．6．如圖,小明從A點(diǎn)出發(fā),沿直線前進(jìn)16米后向左轉(zhuǎn)45°,又向左轉(zhuǎn)45°,…,照這樣走下去,他第一次回到點(diǎn)A時(shí),共走路程為（）A．96米 B．128米 C．160米 D．192米【分析】根據(jù)多邊形的外角和即可求出答案．【解答】解：根據(jù)題意可知,他需要轉(zhuǎn)360÷45＝8次才會(huì)回到原點(diǎn),所以一共走了8×16＝128（米）．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了利用多邊形的外角和定理求多邊形的邊數(shù)．任何一個(gè)多邊形的外角和都是360°．7．一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后,形成的另一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是1440°,則原來多邊形的邊數(shù)是（）A．9 B．10 C．8或9或10 D．9或10或11【分析】首先求得內(nèi)角和為1440°的多邊形的邊數(shù),即可確定原多邊形的邊數(shù)．【解答】解：設(shè)內(nèi)角和為1440°的多邊形的邊數(shù)是n,則（n﹣2）?180＝1440,解得：n＝10．則原多邊形的邊數(shù)為9或10或11故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多邊形的內(nèi)角和定理,理解分三種情況是關(guān)鍵．8．正八邊形的一個(gè)外角度數(shù)是（）A．45° B．135° C．108° D．125°【分析】利用正八邊形的外角和等于360度即可求出答案．【解答】解：360°÷8＝45°,故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了多邊形的外角和定理,任何一個(gè)多邊形的外角和都是360°．9．長方形ABCD中,AB＝12,AD＝17,E,F分別在邊BC,CD上,BE＝5,DF＝7,則∠AEB+∠AFD等于（）A．105° B．120° C．90° D．135°【分析】根據(jù)題意畫出圖形,證明△ABE≌△ECF（SAS）,可得∠EAB＝∠CEF,AE＝FE,∠AEB＝∠EFC,然后證明△AEF是等腰直角三角形,進(jìn)而可以解決問題．【解答】解：如圖,連接EF,在長方形ABCD中,DC＝AB＝12,BC＝AD＝17,∵BE＝5,DF＝7,∴CE＝12,CF＝5,∴AB＝EC,BE＝CF,∵∠B＝∠C＝90°,在△ABE和△ECF中,,∴△ABE≌△ECF（SAS）,∴∠EAB＝∠CEF,AE＝FE,∠AEB＝∠EFC,∵∠EAB+∠AEB＝90°,∴∠CEF+∠AEB＝90°,∴∠AEF＝90°,∴△AEF是等腰直角三角形,∴∠AFE＝45°,∴∠AEB+∠AFD＝∠EFC+∠AFD＝180°﹣45°＝135°．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì),解決本題的關(guān)鍵是得到△ABE≌△ECF．10．如圖,在四邊形ABCD中,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,且OA＝OC,OB＝OD,下列說法錯(cuò)誤的是（）A．若AC⊥BD,四邊形ABCD是菱形 B．若AC＝BD,四邊形ABCD是矩形 C．若AC⊥BD且AC＝BD,四邊形ABCD是正方形 D．若∠ABC＝90°,四邊形ABCD是正方形【分析】由平行四邊形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、菱形的判定以及正方形的判定分別對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【解答】解：∵OA＝OC,OB＝OD,∴四邊形ABCD是平行四邊形,A、若AC⊥BD,則平行四邊形ABCD是菱形,故選項(xiàng)A不符合題意；B、若AC＝BD,則平行四邊形ABCD是矩形,故選項(xiàng)B不符合題意；C、若AC⊥BD且AC＝BD,則平行四邊形ABCD是正方形,故選項(xiàng)C不符合題意；D、若∠ABC＝90°,則平行四邊形ABCD是矩形,故選項(xiàng)D符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、菱形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)以及正方形的判定等知識(shí),熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共5小題）11．如圖,在菱形ABCD中,對(duì)角線AC,BD的交點(diǎn)為O,AC＝6,CD＝5．若點(diǎn)E在BC上,且AE⊥BC,則AE的長為．【分析】利用菱形的性質(zhì)即可計(jì)算得出BC的長,再根據(jù)面積法即可得到AE的長．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形,∴CO＝AC＝3,OD＝BO＝BD,AO⊥BO,∵BC＝CD＝5．∴OD＝＝4,∴BD＝2OD＝8,∵S菱形ABCD＝AC?BD＝BC×AE,∴6×8＝5AE,∴AE＝,故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】此題考查菱形的性質(zhì),關(guān)鍵是根據(jù)面積法得到AE的長．12．?dāng)?shù)學(xué)家迪爾卡在《幾何》一書中闡述了坐標(biāo)幾何的思想,主張取代數(shù)和幾何中最好的東西,互相以長不短．在菱形ABCD中,AB＝2,∠DAB＝120°．如圖建立平面直角坐標(biāo)系xOy,使得邊AB在x軸正半軸上,點(diǎn)D在y軸正半軸上,則C的坐標(biāo)是（2,）．【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得OA和OD的長,根據(jù)菱形的性質(zhì)和坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)可得答案．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形,AB＝2,∴CD＝AD＝AB＝2,∵∠DAB＝120°,∴∠OAD＝60°,在Rt△AOD中,∠ADO＝30°,∴OA＝AD＝＝1,OD＝＝,∴C（2,）,故答案為：（2,）．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì),菱形的性質(zhì),坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)等知識(shí),解題的關(guān)鍵是確定OD的長．13．如圖,某人從點(diǎn)A出發(fā)沿直線前進(jìn)5m到達(dá)點(diǎn)B后向左旋轉(zhuǎn)的角度為α,再沿直線前進(jìn)5m,到達(dá)點(diǎn)C后,又向左旋轉(zhuǎn)α,照這樣走下去,第一次回到出發(fā)地點(diǎn)時(shí),他共走了60m,則每次旋轉(zhuǎn)的角度α為30°．【分析】根據(jù)共走了45米,每前進(jìn)5米左轉(zhuǎn)一次可求得左轉(zhuǎn)的次數(shù),則已知多邊形的邊數(shù),再根據(jù)外角和計(jì)算左轉(zhuǎn)的角度．【解答】解：向左轉(zhuǎn)的次數(shù)60÷5＝12（次）,則左轉(zhuǎn)的角度是360°÷12＝30°．故答案是：30°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多邊形的計(jì)算,正確理解多邊形的外角和是360°是關(guān)鍵．14．如圖,在Rt△ABC中,∠B＝90°,點(diǎn)D在線段AC上,過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)B,DF⊥BC于點(diǎn)F,若四邊形DEBF為正方形,AD＝5cm,CD＝12cm,則陰影部分的面積為30cm2．（提示：線段DE可看作由DF繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到）【分析】根據(jù)正方形的下找得到DE＝DF,∠EDF＝90°,過D作DH⊥AC交AB的延長線于H,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DH＝CD＝12cm,根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【解答】解：∵四邊形DEBF為正方形,∴DE＝DF,∠EDF＝90°,過D作DH⊥AC交AB的延長線于H,∵∠EDF＝∠CDH＝90°,∴∠EDH＝∠CDF,∵∠DEH＝∠DFC＝90°,DE＝DF,∴△DEH≌△DFC（ASA）,∴DH＝CD＝12cm,陰影部分的面積＝S△ADH＝AD?DH＝5×12＝30（cm2）,故答案為：30．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),三角形面積的計(jì)算,正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．15．如圖,在矩形ABCD中,AB＝5,AD＝12,P是AD上不與A和D重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P分別作AC和BD的垂線,垂足分別為E、F．則PE+PF＝．【分析】首先連接OP．由矩形ABCD的兩邊AB＝5,AD＝12,可得S矩形ABCD＝AB?AD＝5×12＝60,根據(jù)勾股定理可得AC＝BD＝＝13,然后根據(jù)S△AOD＝S△AOP+S△DOP,進(jìn)而可以求得答案．【解答】解：連接OP,如圖所示,∵矩形ABCD的兩邊AB＝5,AD＝12,∴S矩形ABCD＝AB?AD＝5×12＝60,OA＝OC,OB＝OD,AC＝BD＝＝13,∴S△AOD＝S矩形ABCD＝15,OA＝OD＝,∴S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA?PE+OD?PF＝OA（PE+PF）＝（PE+PF）＝15,∴PE+PF＝,故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì),解決本題的關(guān)鍵是掌握矩形的性質(zhì)．三．解答題（共6小題）16．如圖,小華有一塊三角板ABC,其中∠ACB＝90°,AC＝BC,過點(diǎn)C作直線l,分別過A,B作l的垂線,垂足分別是D,E．（1）求證：△ACD≌△CBE；（2）若DE＝6,求梯形ABED的面積．【分析】（1）根據(jù)垂直的定義得出∠ADC＝∠ACB＝∠BEC＝90°,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和鄰補(bǔ)角得出∠DAC＝∠ECB,根據(jù)AAS證△ADC≌△CEB；（2）根據(jù)△ACD≌△CBE得出CD＝BE,AD＝CE,得DE＝AD+BE．根據(jù)梯形面積公式則可得出答案．【解答】（1）證明：∵AD⊥DE,BE⊥DE,∠ACB＝90°,∴∠ADC＝∠ACB＝∠BEC＝90°,∴∠DAC+∠DCA＝90°,∠DCA+∠ECB＝90°,∴∠DAC＝∠ECB,在△ADC和△CEB中,,∴△ACD≌△CBE（AAS）；（2）解：∵△ACD≌△CBE,∴AD＝CE,DC＝BE,∴DE＝DC+CE＝BE+AD,即DE＝AD+BE．∴梯形ABED的面積為：（BE+AD）?DE＝DE2＝62＝18．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了梯形,全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形,解題的關(guān)鍵是證明三角形全等．17．如圖,E,F是正方形ABCD的對(duì)角線BD上的兩點(diǎn),且BE＝DF．（1）求證：△ABE≌△CDF；（2）若AB＝4,BE＝2,求四邊形AECF的面積．【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定定理證明即可；（2）根據(jù)正方形的性質(zhì),菱形的判定定理和性質(zhì)定理解答即可．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形,∴CD＝AB,∠ABE＝∠CDF＝45°,在△ABE和△CDF中,,∴△ABE≌△CDF（SAS）．（2）解：如圖,連接AC,交BD于點(diǎn)O,∵四邊形ABCD是正方形,∴AC⊥BD,AO＝CO,DO＝BO,又∵DF＝BE,∴OE＝OF,AO＝CO,∴四邊形AECF是平行四邊形,∵AC⊥EF,∴四邊形AECF是菱形,∵AB＝4,∴AC＝BD＝AB＝8,∵BE＝DF＝2,∴EF＝BD﹣2BE＝4,∴四邊形AECF的面積＝AC?EF＝×8×4＝16．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì),正方形的性質(zhì),菱形的判定和性質(zhì),熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．18．我們發(fā)現(xiàn),用不同的方式表示同一圖形的面積可以解決線段長度之間關(guān)系的有關(guān)問題,這種方法稱為等面積法,這是一種重要的數(shù)學(xué)方法,請(qǐng)你用等面積法來探究下列兩個(gè)問題：（1）如圖①是著名的“趙爽弦圖”,由四個(gè)全等的直角三角形拼成,請(qǐng)用它驗(yàn)證勾股定理；（2）如圖②,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,CD是AB邊上的高,AC＝4,BC＝3,求CD的長度；（3）如圖①,若大正方形的面積是13,小正方形的面積是1,求（a+b）2的值．【分析】（1）根據(jù)題意,我們可在圖中找等量關(guān)系,由中間的小正方形的面積等于大正方形的面積減去四個(gè)直角三角形的面積,列出等式化簡即可得出勾股定理的表達(dá)式．（2）先由勾股定理求出AB的長,再根據(jù)三角形的面積求CD的長即可；（3）根據(jù)所給的面積,分別得到c2＝169,（b﹣a）2＝1,再結(jié)合（1）的結(jié)論,求出ab＝84,根據(jù)（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab,再求值即可．【解答】解：（1）∵大正方形面積為c2,直角三角形面積為ab,小正方形面積為：（b﹣a）2,∴c2＝4×ab+（a﹣b）2＝2ab+a2﹣2ab+b2,即c2＝a2+b2．（2）在Rt△ABC中,∵∠ACB＝90°,∴由勾股定理,得：AB＝＝5,∵CD⊥AB,∴S△ABC＝AC?BC＝AB?CD,∴CD＝；（3）∵大正方形的面積是13,∴c2＝169,∵小正方形的面積是1,∴（b﹣a）2＝1,∵c2＝a2+b2,∴169＝1+2ab,解得ab＝84,∴（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab＝1+336＝337．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了學(xué)生對(duì)勾股定理的證明和對(duì)三角形和正方形面積公式的熟練掌握和運(yùn)用,屬于基本題型．19．如圖①,在△ABC中,∠ACB＝90°,BC＝6,AC＝8,D為AB的中點(diǎn),點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā),沿折線CB﹣BA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),點(diǎn)P在CB邊上以每秒3個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng),在BA邊上以每秒5個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng),在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中,連結(jié)PD,將△PDC繞線段PD的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到△PDC',設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t＜4）．（1）AB的長為10；（2）用含t的代數(shù)式表示線段PB的長；（3）當(dāng)四邊形CPC'D是軸對(duì)稱圖形時(shí),求出t的值；（4）連結(jié)CC',如圖②,當(dāng)CC'將△ABC的面積分成2：3兩部分時(shí),直接寫出t的值．【分析】（1）由∠ACB＝90°,BC＝6,AC＝8,根據(jù)勾股定理求得AB＝10,于是得到問題的答案；（2）先根據(jù)點(diǎn)P在CB邊、BA邊上的速度分別為每秒3個(gè)單位長度、每秒5個(gè)單位長度,計(jì)算出點(diǎn)P在CB邊上的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2秒,在BA邊上的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2秒,則當(dāng)0＜t≤2時(shí),PB＝6﹣3t；當(dāng)2＜t＜4時(shí),PB＝5（t﹣2）＝5t﹣10；（3）先由△PDC繞線段PD的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到△PDC',證明四邊形CPC′D是平行四邊形,再由∠ACB＝90°,D為AB的中點(diǎn),求得CD＝AD＝BD＝5,再分兩種情況討論,一是點(diǎn)P在CB邊上,四邊形CPC'D是軸對(duì)稱圖形,此時(shí)四邊形CPC'D是菱形,則CP＝CD＝5,所以3t＝5,則t＝；二是點(diǎn)P在BA邊上,四邊形CPC'D是軸對(duì)稱圖形,此時(shí)四邊形CPC'D是菱形,則CC′⊥AB,設(shè)CC′交AB于點(diǎn)E,由×10CE＝×6×8＝S△ABC,求得CE＝,再根據(jù)勾股定理求得PE＝DE＝＝,則PB＝,所以5t﹣10＝,則t＝；（4）設(shè)CC′交AB于點(diǎn)E,由CC'將△ABC的面積分成2：3兩部分,得＝或＝,再分三種情況討論,一是點(diǎn)P在CB邊上,＝,則BE＝AB,所以DE＝AB﹣AB＝AB,即可推導(dǎo)出＝,再證明△DC′E∽△BCE,則＝＝,因?yàn)镈C′＝CP＝3t,所以3t＝×6,求得t＝；二是點(diǎn)P在BA邊上,＝,則BE＝AB,所以PE＝DE＝AB＝×10＝1,BP＝3,所以5t﹣10＝3,求得t＝；三是點(diǎn)P在BA邊上,＝,則BE＝AB,所以PE＝DE＝AB﹣AB＝AB＝1,則BP＝7,所以5t﹣10＝7,求得t＝．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°,BC＝6,AC＝8,∴AB＝＝＝10,故答案為：10．（2）∵點(diǎn)P在CB邊、BA邊上的速度分別為每秒3個(gè)單位長度、每秒5個(gè)單位長度,∴點(diǎn)P在CB邊上的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為6÷3＝2（秒）,在BA邊上的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為10÷5＝2（秒）,當(dāng)0＜t≤2時(shí),PB＝6﹣3t,當(dāng)2＜t＜4時(shí),PB＝5（t﹣2）＝5t﹣10．（3）如圖①,取PD的中點(diǎn)O,連結(jié)OC、OC′,∵△PDC繞線段PD的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到△PDC',∴C、O、C′三點(diǎn)在同一條直線上,且OC＝OC′,∴四邊形CPC′D是平行四邊形,∵∠ACB＝90°,D為AB的中點(diǎn),∴CD＝AD＝BD＝AB＝5,如圖②,點(diǎn)P在CB邊上,四邊形CPC'D是軸對(duì)稱圖形,此時(shí)四邊形CPC'D是菱形,由CP＝CD＝5,得3t＝5,解得t＝；如圖③,點(diǎn)P在BA邊上,四邊形CPC'D是軸對(duì)稱圖形,此時(shí)四邊形CPC'D是菱形,∴CC′⊥AB,設(shè)CC′交AB于點(diǎn)E,則∠DEC＝90°,∵×10CE＝×6×8＝S△ABC,∴CE＝,∴PE＝DE＝＝＝,∴PB＝5﹣﹣＝,∴5t﹣10＝,解得t＝,綜上所述,t的值為或．（4）設(shè)CC′交AB于點(diǎn)E,∵CC'將△ABC的面積分成2：3兩部分,∴＝或＝,如圖④,點(diǎn)P在CB邊上,＝,則BE＝AB,∵BD＝AB,∴DE＝AB﹣AB＝AB,∴＝＝,∵DC′∥BC,DC′＝CP＝3t,∴△DC′E∽△BCE,∴＝＝,∴3t＝×6,解得t＝；如圖⑤,點(diǎn)P在BA邊上,＝,則BE＝AB,∵PE＝DE＝AB＝×10＝1,∴BP＝5﹣1﹣1＝3,∴5t﹣10＝3,解得t＝；如圖⑥,點(diǎn)P在BA邊上,＝,∴BE＝AB,∴PE＝DE＝AB﹣AB＝AB＝1,∴BP＝5+1+1＝7,∴5t﹣10＝7,解得t＝,綜上所述,t的值為或或．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查勾股定理的應(yīng)用、相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、根據(jù)面積等式求線段的長度、菱形的判定與性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合與分類討論數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用等知識(shí)與方法,此題綜合性強(qiáng),難度較大,屬于考試壓軸題．20．如圖,平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,BD＝24cm,AC＝12cm,點(diǎn)E在線段BO上從點(diǎn)B以1cm/s的速度向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng),點(diǎn)F在線段OD上從點(diǎn)O以2cm/s的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．（1）若點(diǎn)E、F同時(shí)運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,當(dāng)t為何值時(shí),四邊形AECF是平行四邊形；（2）在（1）的條件下,當(dāng)AB為何值時(shí),平行四邊形AECF是菱形；（3）求（2）中菱形AECF的面積．【分析】（1）由平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,得OB＝OD＝BD＝12cm,,OA＝OC＝AC＝6cm,而BE＝tcm,OF＝2tcm,所以O(shè)E＝（12﹣t）cm,當(dāng)OE＝OF時(shí),四邊形AECF是平行四邊形,所以12﹣t＝2t,得t＝4,則當(dāng)t的值是4時(shí),四邊形AECF是平行四邊形；（2）由“對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形”可知,當(dāng)AC⊥BD時(shí),平行四邊形AECF是菱形,則OB2+OB2＝AB2,所以AB＝6cm,則當(dāng)AB為6cm時(shí),平行四邊形AECF是菱形；（3）先求出當(dāng)t＝4時(shí),OE＝OF＝8cm,則EF＝16cm,再根據(jù)菱形的面積等于兩條對(duì)角線乘積的一半,求得菱形AECF的面積為96cm2．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD