2023-2024學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙一中高一上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 Word版含解析

湖湘名校教育聯(lián)合體·2023年下學(xué)期高一10月聯(lián)考數(shù)學(xué)一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，且，都是全集的子集，則如圖所示的韋恩圖中陰影部分表示的集合為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由韋恩圖中陰影部分判斷出表示的集合為，即可求解【詳解】因?yàn)?，，所?故選：B2.命題“，”的否定為（）A.， B..，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】全稱命題的否定變?yōu)樘胤Q命題.【詳解】“，”的否定為“，”，故選:D.3.不等式的解集為（）A. B.C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】因式分解后可求不等式的解集.【詳解】原不等式可化為即，故不等式的解集為或故選：C.4.已知，為實(shí)數(shù)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由充分條件和必要條件定義求解即可.【詳解】可以推出；但，則不一定為0.故選：A.5.已知集合，，則的真子集的個(gè)數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】先化簡(jiǎn)A，再結(jié)合交集的運(yùn)算即可【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以的真子集的個(gè)數(shù)為.故選：D6.若，則下列不等式恒成立的是（）A. B.C D.【答案】C【解析】【分析】代入特殊值以及不等式的性質(zhì)即可求解.【詳解】當(dāng)，，時(shí)，滿足，不滿足，故A錯(cuò)誤；當(dāng)，，時(shí)，滿足，不滿足，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，故C正確；當(dāng)，，時(shí)，滿足，不滿足，故D錯(cuò)誤.故選：C.7.若關(guān)于不等式的解集是，則關(guān)于的不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先不等式的解集是,可知，且且,然后將不等式化為,則可得出不等式解集.【詳解】因?yàn)榈慕饧?，所以且，由，得，即，解得，即關(guān)于的不等式的解集是.故選：A.8.已知，且，當(dāng)取最小值時(shí)，的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式得到時(shí)，取最小值，此時(shí)消元得到，配方得到最大值；【詳解】因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列命題為真命題的是（）A.若集合，，則B.，C.，D.若集合，，則【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)集合相等的定義判斷A選項(xiàng)，根據(jù)平方的非負(fù)性判斷B、C選項(xiàng)，根據(jù)真子集的定義判斷D選項(xiàng).【詳解】由集合的無序性知，故A選項(xiàng)正確；一個(gè)數(shù)的平方為非負(fù)數(shù)，故B選項(xiàng)正確；，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；由集合的真子集的概念可知，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AB.10.下列命題中正確的是（）A.“”是“”的必要不充分條件B.“且”是“”的充分不必要條件C.“”是“”的充要條件D.“”是“”的充要條件【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)充要條件的性質(zhì)即可判斷求解也可以利用集合之間的關(guān)系更方便理解求解.【詳解】對(duì)于A：因?yàn)榭梢酝瞥?，但是不可以推出，所以“”是“”的必要不充分條件，故A正確；對(duì)于B：因?yàn)榍铱梢酝瞥觯遣豢梢酝瞥銮?，所以“且”是“”的充分不必要條件，故B正確；對(duì)于C：因?yàn)?，解得或，所以“”可以推出“”，但是“”不可以推出“”所以“”是“”的充分不必要條件，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，，所以“”不可以推出“”，但是“”可以推出“”，所以“”是“”的必要不充分條件，故D錯(cuò)誤.故選：AB.11.已知關(guān)于的不等式，下列結(jié)論正確的是（）A.不等式的解集可以是B.不等式的解集可以是C.不等式的解集可以是D.不等式的解集可以是【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)一元二次不等式，討論參數(shù)及對(duì)應(yīng)解集判斷各項(xiàng)正誤即可.詳解】當(dāng)，時(shí)滿足題意，故A正確；當(dāng)時(shí)不等式成立，解集必含元素0，不可能為空，故B、D錯(cuò)誤；當(dāng)，時(shí)，解集恰為，滿足題意，故C正確；故選：AC12.已知，是正數(shù)，且，下列說法正確的是（）A.的最大值為 B.的最小值為C.的最大值為 D.的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】利用基本不等式判斷A、C、D，消元，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)判斷B.【詳解】因?yàn)?，是正?shù)，且，對(duì)于A：，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，故A正確；對(duì)于B：因?yàn)?，所以，因?yàn)椋钦龜?shù)，所以，解得，所以，所以的最小值為，此時(shí)，，故B正確；對(duì)于C：，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，又，是正數(shù)，故等號(hào)不成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知集合，，若，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)可得答案.【詳解】因?yàn)榧希?，，所以，解得，從?故答案為：.14.已知，滿足，，則的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】變形得到，從而相加后得到取值范圍.【詳解】顯然有，∵，，∴相加得到.故答案為：15.某單位建造一個(gè)長(zhǎng)方體無蓋水池，其容積為，深3m.若池底每平米的造價(jià)為150元，池壁每平米的造價(jià)為120元，則最低總造價(jià)為__________元.【答案】8160【解析】【分析】利用基本不等式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)長(zhǎng)，寬，∴，∴，總造價(jià).當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào).故答案為：816016.已知不等式的解集為，則________，的最小值是_________【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)不等式的解集可得之間的關(guān)系，然后將用表示，再用基本不等式求其最小值即可．【詳解】的解集為，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)故的最小值為10．故答案為：，10．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.17.已知集合，.（1）求；（2）求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】由交并補(bǔ)的混合運(yùn)算即可求解.【小問1詳解】集合，，.【小問2詳解】，.18.已知命題，，命題，.（1）若命題p為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）若命題p，q至少有一個(gè)為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)命題是真命題，將不等式轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立，即可求的取值范圍；（2）求命題q為真命題時(shí)的取值范圍，再求兩個(gè)集合的并集.【小問1詳解】若命題p為真命題，則對(duì)恒成立，因此，解得.因此，實(shí)數(shù)m的取值范圍是.【小問2詳解】若命題q為真命題，則，即，解得或.因此，實(shí)數(shù)m的取值范圍是或；若命題p，q至少有一個(gè)為真命題，可得或或所以實(shí)數(shù)的取值范圍或.19.已知集合，，.（1）若“”是“”的充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）“”是“”的充分條件，轉(zhuǎn)化為即可求解（2）根據(jù)，只需保證包含即可.【小問1詳解】由題知，集合，，∵“”是“”的充分條件，∴，解得，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是；【小問2詳解】∵集合，，，∴，又，∴，解得，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是.20.已知，，且.（1）求的最小值；（2）求的最小值.【答案】（1）（2）9【解析】【分析】（1）利用基本不等式靈活運(yùn)用“1”計(jì)算即可；（2）利用基本不等式配湊定值計(jì)算即可.【小問1詳解】由題意可知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取得等號(hào),即的最小值為；【小問2詳解】由題意可知，結(jié)合（1）有及，，，可知，即，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)，即的最小值為9.21.已知集合，，其中為實(shí)數(shù).（1）若，求；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）5【解析】【分析】（1）分別求出集合，再求；（2）討論，，得到集合，根據(jù)列不等式組求解.【小問1詳解】由題意知或，當(dāng)時(shí)，，所以；【小問2詳解】由題意知，當(dāng)，即時(shí)，，所以，符合題意；當(dāng)，即時(shí)，，又，所以解得，所以無解；當(dāng)，即時(shí)，，又，所以所以無解.綜上，的值為5.22.若關(guān)于的不等式組的整數(shù)解的集合為.（1）若，求集合；（2）若集合，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分