人教A版高中數(shù)學(xué)(選擇性必修第三冊(cè))同步講義第22講 拓展三：二項(xiàng)分布和超幾何分布辨析含解析

拓展三：二項(xiàng)分布和超幾何分布辨析考點(diǎn)一超幾何分布考點(diǎn)二二項(xiàng)分布考點(diǎn)三超幾何分布和二項(xiàng)分布的綜合剖析兩種分布的不同點(diǎn)與相同點(diǎn)，關(guān)注概念本質(zhì)區(qū)別與聯(lián)系1、概念不同（1）超幾何分布：在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.X01…mPeq\f(C\o\al(0,M)C\o\al(n－0,N－M),C\o\al(n,N))eq\f(C\o\al(1,M)C\o\al(n－1,N－M),C\o\al(n,N))…eq\f(C\o\al(m,M)C\o\al(n－m,N－M),C\o\al(n,N))如果隨機(jī)變量X的分布列具有上表的形式，則稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布．記作X判斷一個(gè)隨機(jī)變量是否服從超幾何分布，關(guān)鍵是要看隨機(jī)變量是否滿足超幾何分布的特征:一個(gè)總體（共有N個(gè)）內(nèi)含有兩種不同的事物A(M個(gè))、B(N-M個(gè))，任取n個(gè)，其中恰有X個(gè)A.符合該條件的即可斷定是超幾何分布。（2）二項(xiàng)分布：一般地，在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，設(shè)事件A發(fā)生的次數(shù)為X，在每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，則事件A恰好發(fā)生k次的概率為P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n，則稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作X～B(n，p)，并稱p為成功概率.二項(xiàng)分布必須同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件:①在一次試驗(yàn)中試驗(yàn)結(jié)果，只有SKIPIF1<0與SKIPIF1<0這兩個(gè)，且事件A發(fā)生的概率為SKIPIF1<0，事件SKIPIF1<0發(fā)生的概率為SKIPIF1<0；②試驗(yàn)可以獨(dú)立重復(fù)地進(jìn)行，即每次重復(fù)做一次試驗(yàn)，事件A發(fā)生的概率都是同一常數(shù)SKIPIF1<0，事件SKIPIF1<0發(fā)生的概率為SKIPIF1<0.2、隨機(jī)試驗(yàn)的條件不同超幾何分布在試驗(yàn)過程中必須給定總體數(shù)，而且總體必須由數(shù)目明確的“正品”與“次品”兩類構(gòu)成.二項(xiàng)分布進(jìn)行的試驗(yàn)無需知道總體數(shù).3、隨機(jī)試驗(yàn)類型與特點(diǎn)不同超幾何分布的試驗(yàn)：是從含有m（SKIPIF1<0）件次品的N件產(chǎn)品中任取n（SKIPIF1<0件產(chǎn)品，它具有如下特點(diǎn)：（1）有限個(gè)不同的基本事件（2）每個(gè)基本事件的出現(xiàn)是等可能的，我們稱具有這樣特點(diǎn)的試驗(yàn)為古典概型的隨機(jī)試驗(yàn)，可以理解為是不放回抽樣的試驗(yàn)。從另一個(gè)角度看這個(gè)試驗(yàn)，我們也可以看做是包含n個(gè)古典概型隨機(jī)試驗(yàn)的復(fù)合試驗(yàn)，其中第一個(gè)試驗(yàn)是：從N件產(chǎn)品中任取一件，第二個(gè)試驗(yàn)是從余下的N-1件產(chǎn)品中任取一件，以此類推，第n個(gè)試驗(yàn)是從余下的N-（n-1）件產(chǎn)品中任取一件，這n個(gè)試驗(yàn)事相互不獨(dú)立的。二項(xiàng)分布的試驗(yàn)就是我們常說的n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，即在相同的條件下做了n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，可以理解為有放回抽樣的試驗(yàn)。4、隨機(jī)試驗(yàn)的模型與結(jié)果不同超幾何分布進(jìn)行的隨機(jī)試驗(yàn)是無放回抽樣模型，每一次試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)較多，比如在有3件次品的10件產(chǎn)品中任取1件產(chǎn)品，不同的結(jié)果有C10二項(xiàng)分布進(jìn)行的隨機(jī)試驗(yàn)是重復(fù)試驗(yàn)，所以每次抽取條件不變，可以理解為有放回抽樣模型.而且每一次試驗(yàn)只有兩個(gè)對(duì)立的結(jié)果A或A，稱為伯努利試驗(yàn).注：二項(xiàng)分布模型和超幾何分布模型最主要的區(qū)別在于是有放回抽樣還是不放回抽樣。所以，在解有關(guān)二項(xiàng)分布和超幾何分布問題時(shí)，仔細(xì)閱讀、辨析題目條件是非常重要的（特別注意：二項(xiàng)分布是在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的3個(gè)條件成立時(shí)應(yīng)用的.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的條件：①每次試驗(yàn)在相同條件下可重復(fù)進(jìn)行；②各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的；③每次試驗(yàn)都只有兩種結(jié)果，即事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生.）.隨機(jī)變量X表示的事件不同超幾何分布中離散型隨機(jī)變量X表示抽取出的這n件產(chǎn)品中的次品數(shù).所以事件{X=k}表示抽取的n件產(chǎn)品中有二項(xiàng)分布中離散型隨機(jī)變量X表示這n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，即成功次數(shù).所以事件{X=k}表示n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)了k次，事件6、隨機(jī)變量X表示的事件概率計(jì)算公式不同超幾何分布進(jìn)行的隨機(jī)試驗(yàn)是滿足古典概型的隨機(jī)試驗(yàn)，所以事件{X=k}發(fā)生的概率二項(xiàng)分布中進(jìn)行的是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，滿足獨(dú)立事件的概率乘法公式，所以事件{X=k}發(fā)生的概率7、隨機(jī)變量X的概率計(jì)算條件不同超幾何分布概率計(jì)算會(huì)在題設(shè)中給出抽樣個(gè)數(shù)n、總體數(shù)N，會(huì)給出或可求出總體中兩類產(chǎn)品中的“次品”數(shù)M.二項(xiàng)分布概率計(jì)算會(huì)在題設(shè)中暗示給出或者可求出成功概率p.8、隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望公式不同(1)若X～H(證明由k則EX=∑k=1M?k?CMkCN因?yàn)槌槿∫淮稳〉酱纹犯怕蕿镸N，所以可以理解為抽取一次平均可取到次品MN件，則抽取n次平均可取到次品(2)若X～B(證明同(1)有kCEX=

又

所以EX=因?yàn)樵趎次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中A事件發(fā)生的概率為p，所以可以理解為一次隨機(jī)試驗(yàn)中A事件平均發(fā)生p次，則在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中A事件平均發(fā)生np次.9、兩種分布的相同點(diǎn)(1)兩者都是離散型隨機(jī)變量分布，且隨機(jī)變量都只能取非負(fù)整數(shù)值.(2)錯(cuò)解與正解中兩者的數(shù)學(xué)期望會(huì)相等.正因?yàn)槿绱耍诔闃訂栴}中出現(xiàn)答案貌似“正確”，但卻是錯(cuò)解的現(xiàn)象以后，有些同學(xué)甚至很堅(jiān)定地認(rèn)為自己的錯(cuò)解是正確的.究其原因是在題目中取到“次品”概率p=10、兩種分布之間的聯(lián)系當(dāng)總體數(shù)N較小時(shí)，無放回抽樣中按照超幾何分布計(jì)算的概率與有放回抽樣中按照二項(xiàng)分布計(jì)算的概率差異比較明顯，當(dāng)總體數(shù)N不斷變大時(shí)兩種分布計(jì)算的概率逐漸接近，當(dāng)總體數(shù)N無限或很大時(shí)，此時(shí)limN→∞?lim證明因?yàn)镃===(=(NnN(N?1)?(limNlimNlim故limN因此判斷兩種分布時(shí)，不能機(jī)械地以抽樣方法來判定，對(duì)于總體數(shù)N很大的這種抽取，盡管是無放回抽樣，但超幾何分布已經(jīng)近似為二項(xiàng)分布了，我們都把它看成是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，按照二項(xiàng)分布來解題.11、實(shí)例：一個(gè)袋中放有SKIPIF1<0個(gè)紅球，（SKIPIF1<0）個(gè)白球，依次從袋中取SKIPIF1<0個(gè)球，記下紅球的個(gè)數(shù)SKIPIF1<0如果是不放回地取，則SKIPIF1<0服從超幾何分布。SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0）注：每一次取到紅球的概率是不同的如果有放回地取，則SKIPIF1<0～B（SKIPIF1<0）注：每一次取到紅球的概率是相同的所以，超幾何分布與二項(xiàng)分布的本質(zhì)區(qū)別就在于每一次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率是否相同，不同的是超幾何分布，相同的是二項(xiàng)分布。聯(lián)系：當(dāng)抽取的方式從無放回變?yōu)橛蟹呕兀瑤缀畏植甲優(yōu)槎?xiàng)分布，當(dāng)產(chǎn)品總數(shù)N很大時(shí)，超幾何分布變?yōu)槎?xiàng)分布。獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的實(shí)際原型是有放回的抽樣檢驗(yàn)問題，但在實(shí)際應(yīng)用中，從大批產(chǎn)品中抽取少量樣品的不放回檢驗(yàn)，可以近似的看做此類型。拓展：在實(shí)際問題中，哪些語言暗示每次試驗(yàn)事件A發(fā)生的概率相同？“從流水線上抽取”“每次試驗(yàn)以事件A發(fā)生的頻率近似作為概率等”12、命題方向主要有兩類：第一類命題直接考查二項(xiàng)分布和超幾何分布；第二類是借用二項(xiàng)分布和超幾何分布的計(jì)算概率的思想，但題目所研究的隨機(jī)變量并不服從二項(xiàng)分布和超幾何分布。13、如何避免發(fā)生兩種分布的誤判要避免發(fā)生兩種分布的誤判，除了需要在知識(shí)方面強(qiáng)化對(duì)兩種分布概念的理解與辨析，理清概念的本質(zhì)區(qū)別，提高對(duì)兩種分布的辨識(shí)力之外，由于概率統(tǒng)計(jì)題目包含文字較多，加之部分題目中條件可能會(huì)以圖表的形式給出，在緊張的考試過程中，學(xué)生就更加難以從繁冗的已知條件中找準(zhǔn)關(guān)鍵字句提取重要信息，往往憑借并不完善的經(jīng)驗(yàn)選取概率模型解題，但基于兩種分布在一定的條件下可以相互轉(zhuǎn)化的特點(diǎn)，學(xué)生在解題時(shí)極易發(fā)生兩種分布的誤判，所以為了避免發(fā)生誤判還需培養(yǎng)良好的審題習(xí)慣，找準(zhǔn)題目中的關(guān)鍵字句進(jìn)行分析，跳出題目設(shè)置的“陷阱”，走出認(rèn)識(shí)誤區(qū).那么為了讓錯(cuò)誤不再重演，如何審題才能避免發(fā)生兩種分布的誤判?通過以上對(duì)兩種分布的概念解讀，不難發(fā)現(xiàn)在判斷兩種分布時(shí)需要做到以下五“看”：(1)看總體數(shù)是否給出，末給出或若給出總體數(shù)較大一般考查二項(xiàng)分布.(2)看一次抽取抽中“次品”概率是否給出，若給出或可求出一般考查二項(xiàng)分布.(3)看一次抽取的結(jié)果是否只有兩個(gè)結(jié)果，若只有兩個(gè)對(duì)立的結(jié)果A或A，一般考查二項(xiàng)分布.(4)看抽樣方法，如果是有放回抽樣，一定是二項(xiàng)分布;若是無放回抽樣，需要考慮總體數(shù)再確定.(5)看每一次抽樣試驗(yàn)中，事件是否獨(dú)立，事件發(fā)生概率是否不變，若事件獨(dú)立且概率不變，一定考查二項(xiàng)分布，這也是判斷二項(xiàng)分布的最根本依據(jù).考點(diǎn)一超幾何分布1．（2023春·吉林長(zhǎng)春·高二長(zhǎng)春十一高?？茧A段練習(xí)）端午節(jié)吃粽子是我國(guó)的傳統(tǒng)習(xí)俗，設(shè)一盤中裝有10個(gè)粽子，其中豆沙粽2個(gè)，白粽8個(gè)，這兩種粽子的外觀完全相同，從中任意選取3個(gè)．(1)求既有豆沙粽又有白粽的概率；(2)設(shè)X表示取到的豆沙粽個(gè)數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)分布列詳見解析，數(shù)學(xué)期望為SKIPIF1<0【分析】（1）根據(jù)古典概型以及組合數(shù)的計(jì)算求得正確答案.（2）根據(jù)超幾何分布的知識(shí)求得SKIPIF1<0的分布列并求得數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）依題意，既有豆沙粽又有白粽的概率為SKIPIF1<0.（2）SKIPIF1<0的可能取值為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的分布列如下：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0.2．（2023·上海長(zhǎng)寧·統(tǒng)考二模）盒子中有5個(gè)乒兵球，其中2個(gè)次品，3個(gè)正品．現(xiàn)從中不放回地隨機(jī)摸取2次小球，每次一個(gè)．(1)記“第二次摸出的小球是正品”為事件B，求證：SKIPIF1<0；(2)用X表示摸出的2個(gè)小球中次品的個(gè)數(shù)，求X的分布列和期望．【答案】(1)證明見解析；(2)分布列見解析，X的期望為SKIPIF1<0.【分析】（1）由題設(shè)SKIPIF1<0第SKIPIF1<0次抽到正品，SKIPIF1<0第SKIPIF1<0次抽到次品，SKIPIF1<0，利用概率的加法公式證明；（2）由題得XSKIPIF1<0利用超幾何分布寫分布列，求出期望.【詳解】（1）由題設(shè)SKIPIF1<0第SKIPIF1<0次抽到正品，SKIPIF1<0第SKIPIF1<0次抽到次品，SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.故得證.（2）由題得XSKIPIF1<0所以SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.所以X的分布列為SKIPIF1<0012SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.所以X的期望為SKIPIF1<0.3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）學(xué)校要從12名候選人中選4名同學(xué)組成學(xué)生會(huì)，已知有4名候選人來自甲班，假設(shè)每名候選人都有相同的機(jī)會(huì)被選到．(1)求恰有1名甲班的候選人被選中的概率；(2)用X表示選中的候選人中來自甲班的人數(shù)，求SKIPIF1<0；(3)求（2）中X的分布列及數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)分布列見解析，SKIPIF1<0【分析】（1）選取方法共SKIPIF1<0種，其中恰有一人來自甲班由SKIPIF1<0種方法，根據(jù)概率公式計(jì)算概率；（2）SKIPIF1<0，計(jì)算SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，即得所求概率；（3）由X服從超幾何分布，分別計(jì)算概率，列出分布列，計(jì)算SKIPIF1<0.【詳解】（1）記事件A為恰有1名甲班的候選人被選中，則SKIPIF1<0．（2）SKIPIF1<0．（3）由題可知X＝0，1，2，3，4，X服從超幾何分布，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故X的分布列如下：X01234PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．4．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）教育部門最近出臺(tái)了“雙減”政策.即有效減輕義務(wù)教育階段學(xué)生過重作業(yè)負(fù)擔(dān)和校外培訓(xùn)負(fù)擔(dān)，持續(xù)規(guī)范校外培訓(xùn)（包括線上培訓(xùn)和線下培訓(xùn)）.“雙減”政策的出合對(duì)校外的培訓(xùn)機(jī)構(gòu)經(jīng)濟(jì)效益產(chǎn)生了嚴(yán)重影響.某大型校外培訓(xùn)機(jī)構(gòu)為了規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)，尋求發(fā)展制定科學(xué)方案，工作人員對(duì)2021年前200名報(bào)名學(xué)員的消費(fèi)金額進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)整理，其中數(shù)據(jù)如表.消費(fèi)金額（千元）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0人數(shù)305060203010該大型校外培訓(xùn)機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)型方案之一是將文化科主陣地輔導(dǎo)培訓(xùn)向音體美等興趣愛好培訓(xùn)轉(zhuǎn)移，為了深入了解當(dāng)前學(xué)生的興趣愛好，工作人員利用分層抽樣的方法在消費(fèi)金額為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的學(xué)員中抽取了5人，再?gòu)倪@5人中選取3人進(jìn)行有獎(jiǎng)問卷調(diào)查，求抽取的3人中消費(fèi)金額為SKIPIF1<0的人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望；【答案】X的分布列見解析，SKIPIF1<0；【分析】計(jì)算出相應(yīng)區(qū)間的人數(shù)，則SKIPIF1<0，按步驟寫出分布列和期望即可.【詳解】由題意得，抽中的5人中消費(fèi)金額為SKIPIF1<0的人數(shù)為SKIPIF1<0，消費(fèi)金額為SKIPIF1<0的人數(shù)為SKIPIF1<0，設(shè)消費(fèi)金額為SKIPIF1<0的人數(shù)為X，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以X的分布列為：X123PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；5．（浙江省衢溫51聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）在2023年3月10日，十四屆全國(guó)人大一次會(huì)議在北京召開.中共中央總書記、國(guó)家主席、中央軍委主席習(xí)近平在十四屆全國(guó)人大一次會(huì)議閉幕會(huì)上發(fā)表重要講話.出席全國(guó)兩會(huì)的代表委員和全國(guó)各地干部群眾紛紛表示，這一重要講話堅(jiān)定歷史自信、飽含人民情懷、彰顯使命擔(dān)當(dāng)、指引前進(jìn)方向，必將激勵(lì)我們?cè)谛抡鞒躺蠄F(tuán)結(jié)奮斗，開拓創(chuàng)新，堅(jiān)定信心，勇毅前行，作出無負(fù)時(shí)代、無負(fù)歷史、無負(fù)人民的業(yè)績(jī)，為推進(jìn)強(qiáng)國(guó)建設(shè)、民族復(fù)興作出應(yīng)有貢獻(xiàn).某社區(qū)為調(diào)查社區(qū)居民對(duì)這次會(huì)議的關(guān)注度，隨機(jī)抽取了60名年齡在SKIPIF1<0的社區(qū)居民，并將結(jié)果繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求選取的社區(qū)居民平均年齡及選取的社區(qū)居民年齡的中位數(shù)；(2)現(xiàn)若樣本中SKIPIF1<0和SKIPIF1<0年齡段的所有居民都觀看了會(huì)議講話，社區(qū)計(jì)劃從樣本里這兩個(gè)年齡段的居民中抽取3人分享此次觀看會(huì)議的感受，設(shè)SKIPIF1<0表示年齡段在SKIPIF1<0的人數(shù)，求SKIPIF1<0的分布列及期望.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)分布列見解析，期望為1【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖，結(jié)合平均數(shù)和中位數(shù)的公式，計(jì)算求值；（2）利用超幾何分布求概率，再根據(jù)分布列求期望.【詳解】（1）選取的社區(qū)居民平均年齡SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以中位數(shù)落于區(qū)間SKIPIF1<0之間，中位數(shù)為SKIPIF1<0；（2）因?yàn)樯鐓^(qū)居民年齡在SKIPIF1<0）內(nèi)的人數(shù)為SKIPIF1<0人，在SKIPIF1<0內(nèi)的人數(shù)為6人，所以SKIPIF1<0的可能取值為0,1,2,3,則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的分布列為SKIPIF1<00123SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0期望為SKIPIF1<0.6．（2023·上海青浦·統(tǒng)考二模）在全民抗擊新冠疫情期間，某校開展了“停課不停學(xué)”活動(dòng)，一個(gè)星期后，某校隨機(jī)抽取了100名居家學(xué)習(xí)的高二學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，得到學(xué)生每天學(xué)習(xí)時(shí)間(單位：SKIPIF1<0)的頻率分布直方圖如下，若被抽取的這100名學(xué)生中，每天學(xué)習(xí)時(shí)間不低于8小時(shí)有30人.(1)求頻率分布直方圖中實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的值；(2)每天學(xué)習(xí)時(shí)間在SKIPIF1<0的7名學(xué)生中，有4名男生，3名女生，現(xiàn)從中抽2人進(jìn)行電舌訪談，已知抽取的學(xué)生有男生，求抽取的2人恰好為一男一女的概率；(3)依據(jù)所抽取的樣本，從每天學(xué)習(xí)時(shí)間在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的學(xué)生中按比例分層抽樣抽取8人，再?gòu)倪@8人中選3人進(jìn)行電話訪談，求抽取的3人中每天學(xué)習(xí)時(shí)間在SKIPIF1<0的人數(shù)SKIPIF1<0分布和數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)分布列詳見解析，數(shù)學(xué)期望為SKIPIF1<0【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的知識(shí)求得SKIPIF1<0.（2）根據(jù)古典概型的知識(shí)求得所求概率.（3）根據(jù)超幾何分布的的知識(shí)求得分布列并求得數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.（2）已知抽取的學(xué)生有男生，則抽取的2人恰好為一男一女的概率為SKIPIF1<0.（3）每天學(xué)習(xí)時(shí)間在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的學(xué)生比例為SKIPIF1<0，所以在SKIPIF1<0的學(xué)生中抽取SKIPIF1<0人，在SKIPIF1<0的學(xué)生中抽取SKIPIF1<0人.再?gòu)倪@8人中選3人進(jìn)行電話訪談，抽取的3人中每天學(xué)習(xí)時(shí)間在SKIPIF1<0的人數(shù)SKIPIF1<0的取值為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的分布列如下：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0數(shù)學(xué)期望SKIPIF1<0.7．（2023·山東聊城·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）某藥廠研制了治療某種疾病的新藥，該藥的治愈率為p，現(xiàn)用該藥給10位病人治療，記被治愈的人數(shù)為X．(1)若SKIPIF1<0，從這10人中隨機(jī)選2人進(jìn)行用藥訪談，求被選中的治愈人數(shù)Y的分布列；(2)已知SKIPIF1<0，集合SKIPIF1<0{SKIPIF1<0概率SKIPIF1<0最大}，且A中僅有兩個(gè)元素，求SKIPIF1<0．【答案】(1)答案見解析(2)SKIPIF1<0【分析】（1）根據(jù)超幾何分布的概率計(jì)算，可求得概率，即得分布列；（2）根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式列出不等式組，求得滿足集合A的k的范圍，結(jié)合條件確定p的值，繼而根據(jù)二項(xiàng)分布的均值求得答案.【詳解】（1）由題意知，Y的所有可能取值為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以Y的分布列為Y012PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2）由題意知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,因?yàn)锳為雙元素集合且元素為正整數(shù)，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0需為正整數(shù)，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0為正整數(shù)，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．由題意，SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0．考點(diǎn)二二項(xiàng)分布8．（2023·河北唐山·開灤第二中學(xué)校考一模）2022年秋季開始，勞動(dòng)課程將正式成為中小學(xué)的一門獨(dú)立課程，根據(jù)2022年版義務(wù)教育“新課標(biāo)顯示”，清潔與衛(wèi)生、整理與收納、烹飪與健康、農(nóng)業(yè)生產(chǎn)勞作等任務(wù)，將貫穿不同的年級(jí).某校為了貫徹落實(shí)教育部要求，調(diào)查了在校高中生一周參加勞動(dòng)的時(shí)間，所得結(jié)果統(tǒng)計(jì)如圖所示.(1)求a的值；(2)求該校學(xué)生一周參加勞動(dòng)的平均時(shí)間；(3)以頻率估計(jì)概率，若在該市所有學(xué)生中隨機(jī)抽取4人，記一周的勞動(dòng)時(shí)間在SKIPIF1<0的學(xué)生人數(shù)為X，求X的分布列以及數(shù)學(xué)期望SKIPIF1<0【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0min(3)分布列見解析，1【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形面積之和為1，列方程即可求解；（2）利用平均數(shù)的公式列式即可求解；（3）求得X的可能取值及對(duì)應(yīng)概率，完成分布列，即可求得期望．【詳解】（1）SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；（2）該校學(xué)生一周參加勞動(dòng)的平均時(shí)間為SKIPIF1<0(min)；（3）一周的勞動(dòng)時(shí)間在SKIPIF1<0的學(xué)生的概率為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故X的分布列為：X01234PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.9．（2023·陜西漢中·統(tǒng)考二模）“綠水青山就是金山銀山”的理念越來越深入人心.據(jù)此，某網(wǎng)站調(diào)查了人們對(duì)生態(tài)文明建設(shè)的關(guān)注情況，調(diào)查數(shù)據(jù)表明，參與調(diào)查的人員中關(guān)注生態(tài)文明建設(shè)的約占80%.現(xiàn)從參與調(diào)查的關(guān)注生態(tài)文明建設(shè)的人員中隨機(jī)選出200人，并將這200人按年齡（單位：歲）分組：第1組[15，25），第2組[25，35），第3組[35，45），第4組[45，55），第5組[55，65]，得到的頻率分布直方圖如圖所示.(1)求這200人的平均年齡（每一組用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表）；(2)現(xiàn)在要從年齡在第1，2組的人員中用分層抽樣的方法抽取5人，再?gòu)倪@5人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行問卷調(diào)查，求抽取的3人中至少1人的年齡在第1組中的概率；(3)用頻率估計(jì)概率，從所有參與生態(tài)文明建設(shè)關(guān)注調(diào)查的人員（假設(shè)人數(shù)很多，各人是否關(guān)注生態(tài)文明建設(shè)互不影響）中任意選出3人，設(shè)這3人中關(guān)注生態(tài)文明建設(shè)的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列及期望.【答案】(1)41.5歲(2)SKIPIF1<0(3)分布列見解析，SKIPIF1<0【分析】（1）根據(jù)頻率和為1求SKIPIF1<0，進(jìn)而可求平均數(shù)；（2）根據(jù)題意結(jié)合古典概型分析運(yùn)算；（3）根據(jù)題意可得SKIPIF1<0，根據(jù)二項(xiàng)分布求分布列和期望.【詳解】（1）由小矩形面積和等于1可得：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.平均年齡SKIPIF1<0（歲）.（2）第1組總?cè)藬?shù)為200×0.01×10＝20，第2組總?cè)藬?shù)為200×0.015×10＝30根據(jù)分層抽樣可得：第1組抽取SKIPIF1<0人，第2組抽取SKIPIF1<0人再?gòu)倪@5人中抽取3人，設(shè)至少1人的年齡在第1組中的事件為A，其概率為SKIPIF1<0.（3）由題意可知：SKIPIF1<0，則有：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.∴X的分布列為：X0123PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0的數(shù)學(xué)期望SKIPIF1<0.10．（2023·湖南常德·二模）某大學(xué)一個(gè)專業(yè)團(tuán)隊(duì)為某專業(yè)大學(xué)生研究了多款學(xué)習(xí)軟件，其中有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三款軟件投入使用，經(jīng)一學(xué)年使用后，團(tuán)隊(duì)調(diào)查了這個(gè)專業(yè)大一四個(gè)班的使用情況，從各班抽取的樣本人數(shù)如下表：班級(jí)一二三四人數(shù)SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0(1)從這SKIPIF1<0人中隨機(jī)抽取SKIPIF1<0人，求這SKIPIF1<0人恰好來自同一班級(jí)的概率；(2)從這SKIPIF1<0名學(xué)生中，指定甲、乙、丙三人為代表，已知他們下午自習(xí)時(shí)間每人選擇一款軟件，其中選SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩款軟件學(xué)習(xí)的概率都是SKIPIF1<0，且他們選擇SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0任一款軟件都是相互獨(dú)立的，設(shè)這三名學(xué)生中下午自習(xí)時(shí)間選軟件SKIPIF1<0的人數(shù)為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)分布列見解析，SKIPIF1<0【分析】（1）結(jié)合組合的應(yīng)用，根據(jù)古典概型公式求解即可；（2）由題知，甲乙丙同學(xué)選擇SKIPIF1<0任一款軟件學(xué)習(xí)的概率是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，進(jìn)而根據(jù)二項(xiàng)分布求解即可.【詳解】（1）解：由題知，從這SKIPIF1<0人中隨機(jī)抽取SKIPIF1<0人，共有SKIPIF1<0種可能情況，記“這SKIPIF1<0人恰好來自同一班級(jí)”為事件SKIPIF1<0，則事件SKIPIF1<0包含的可能情況有：SKIPIF1<0種，所以，SKIPIF1<0（2）解：由題知，SKIPIF1<0的可能取值為SKIPIF1<0，因?yàn)檫xSKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩款軟件學(xué)習(xí)的概率都是SKIPIF1<0，且他們選擇SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0任一款軟件都是相互獨(dú)立的所以，他們選擇SKIPIF1<0款軟件學(xué)習(xí)的概率是SKIPIF1<0所以，這三名學(xué)生中下午自習(xí)時(shí)間選軟件SKIPIF1<0的人數(shù)為SKIPIF1<0所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；所以，SKIPIF1<0的分布列為：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以，SKIPIF1<011．（浙江省寧波三鋒教研聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）為了迎接4月23日“世界圖書日”，寧波市將組織中學(xué)生進(jìn)行一次文化知識(shí)有獎(jiǎng)競(jìng)賽，競(jìng)賽獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則如下，得分在SKIPIF1<0內(nèi)的學(xué)生獲三等獎(jiǎng)，得分在[80，90）內(nèi)的學(xué)生獲二等獎(jiǎng)，得分在SKIPIF1<0內(nèi)的學(xué)生獲一等獎(jiǎng)，其他學(xué)生不得獎(jiǎng)．為了解學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)的掌握情況，隨機(jī)抽取100名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)，并以此為樣本繪制了如下樣本頻率分布直方圖．(1)求a的值；若現(xiàn)從該樣本中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)，求這兩名學(xué)生中恰有一名學(xué)生獲獎(jiǎng)的概率；(2)若我市所有參賽學(xué)生的成績(jī)SKIPIF1<0近似服從正態(tài)分布SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0為樣本平均數(shù)的估計(jì)值，利用所得正態(tài)分布模型解決以下問題：①若我市共有10000名學(xué)生參加了競(jìng)賽，試估計(jì)參賽學(xué)生中成績(jī)超過79分的學(xué)生數(shù)（結(jié)果四舍五入到整數(shù)）；②若從所有參賽學(xué)生中（參賽學(xué)生數(shù)大于10000）隨機(jī)抽取3名學(xué)生進(jìn)行訪談，設(shè)其中競(jìng)賽成績(jī)?cè)?4分以上的學(xué)生數(shù)為SKIPIF1<0，求隨機(jī)變量SKIPIF1<0的分布列?均值．附參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量SKIPIF1<0服從正態(tài)分布SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0；SKIPIF1<0(2)①SKIPIF1<0；②分布列見解析；期望為SKIPIF1<0【分析】（1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)求SKIPIF1<0，根據(jù)樣本頻率分布直方圖確定獲獎(jiǎng)人數(shù)，再求得從該樣本中隨機(jī)抽取的兩名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)基本事件總數(shù)，與“抽取的兩名學(xué)生中恰有一名學(xué)生獲獎(jiǎng)”情況數(shù)，利用古典概型計(jì)算概率即可；（2）由樣本頻率分布直方圖得，求解樣本平均數(shù)的估計(jì)值，即可得正態(tài)分布的均值，按照正態(tài)分布的性質(zhì)求解參賽學(xué)生中成績(jī)超過79分的學(xué)生數(shù)；由樣本估計(jì)總體可知隨機(jī)變量SKIPIF1<0服從二項(xiàng)分布SKIPIF1<0，根據(jù)二項(xiàng)分布確定概率分布列與數(shù)學(xué)期望即可.【詳解】（1）由頻率分布直方圖性質(zhì)可得：SKIPIF1<0所以，SKIPIF1<0，由樣本頻率分布直方圖得，樣本中獲一等獎(jiǎng)的有SKIPIF1<0人，獲二等獎(jiǎng)的有SKIPIF1<0人，獲三等獎(jiǎng)的有SKIPIF1<0人，共有30人獲獎(jiǎng)，70人沒有獲獎(jiǎng)，從該樣本中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)，基本事件總數(shù)為SKIPIF1<0，設(shè)“抽取的兩名學(xué)生中恰有一名學(xué)生獲獎(jiǎng)”為事件SKIPIF1<0，則事件SKIPIF1<0包含的基本事件的個(gè)數(shù)為SKIPIF1<0，因?yàn)槊總€(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性都相等，所以SKIPIF1<0，即抽取的兩名學(xué)生中恰有一名學(xué)生獲獎(jiǎng)的概率為SKIPIF1<0（2）由樣本頻率分布直方圖得樣本平均數(shù)的估計(jì)值，SKIPIF1<0SKIPIF1<0則所有參賽學(xué)生的成績(jī)SKIPIF1<0近似服從正態(tài)分布SKIPIF1<0，①因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故參賽學(xué)生中成績(jī)超過79分的學(xué)生數(shù)約為SKIPIF1<0．②由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即從所有參賽學(xué)生中隨機(jī)抽取1名學(xué)生，該生競(jìng)賽成績(jī)?cè)?4分以上的概率為SKIPIF1<0，所以隨機(jī)變量SKIPIF1<0服從二項(xiàng)分布SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以隨機(jī)變量SKIPIF1<0的分布列為：SKIPIF1<00123SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.12．（安徽省安慶市示范高中2023屆高三下學(xué)期4月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷）體育課上，體育老師安排了籃球測(cè)試，規(guī)定：每位同學(xué)有3次投籃機(jī)會(huì)，若投中2次或3次，則測(cè)試通過，若沒有通過測(cè)試，則必須進(jìn)行投籃訓(xùn)練，每人投籃20次．已知甲同學(xué)每次投中的概率為SKIPIF1<0且每次是否投中相互獨(dú)立．(1)求甲同學(xué)通過測(cè)試的概率；(2)若乙同學(xué)每次投中的概率為SKIPIF1<0且每次是否投中相互獨(dú)立．設(shè)經(jīng)過測(cè)試后，甲、乙兩位同學(xué)需要進(jìn)行投籃訓(xùn)練的投籃次數(shù)之和為X，求X的分布列與均值；(3)為提高甲同學(xué)通過測(cè)試的概率，體育老師要求甲同學(xué)可以找一個(gè)“最佳搭檔”，該搭檔有2次投籃機(jī)會(huì)，規(guī)定甲同學(xué)與其搭檔投中次數(shù)不少于3次，則甲同學(xué)通過測(cè)試．若甲同學(xué)所找的搭檔每次投中的概率為SKIPIF1<0且每次是否投中相互獨(dú)立，問：當(dāng)p滿足什么條件時(shí)可以提高甲同學(xué)通過測(cè)試的概率？【答案】(1)SKIPIF1<0(2)分布列見解析，SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0【分析】(1)甲同學(xué)投中2次或3次通過測(cè)試分別求出概率即可；(2)分別求出甲、乙通過測(cè)試和沒有通過測(cè)試的概率，分析出SKIPIF1<0，20，40，進(jìn)而可以列出分布列求出結(jié)果；(3)分別算出甲投中1次，其搭檔投中2次的概率，甲投中2次，其搭檔至少投中1次的概率，甲投中3次的概率，進(jìn)而求出甲同學(xué)通過測(cè)試的概率，從而求出結(jié)果.【詳解】（1）由條件知甲同學(xué)通過測(cè)試的概率為SKIPIF1<0．（2）由（1）可知甲同學(xué)沒有通過測(cè)試的概率為SKIPIF1<0，根據(jù)題意乙同學(xué)通過測(cè)試的概率為SKIPIF1<0，所以乙同學(xué)沒有通過測(cè)試的概率為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，20，40，因SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，于是X的分布列為：X02040PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0．（3）由題意知甲投中1次，其搭檔投中2次的概率為SKIPIF1<0；甲投中2次，其搭檔至少投中1次的概率為：SKIPIF1<0；甲投中3次的概率為SKIPIF1<0，所以甲同學(xué)通過測(cè)試的概率為SKIPIF1<0，根據(jù)題意可知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，可以提高甲同學(xué)通過測(cè)試的概率.13．（2023春·湖南張家界·高二慈利縣第一中學(xué)?？计谥校┰陂_展某些問卷調(diào)查時(shí)，往往會(huì)因?yàn)樯婕皞€(gè)人隱私而導(dǎo)致調(diào)查數(shù)據(jù)不準(zhǔn)確，某小組為探究“甲校園中曾經(jīng)有多少學(xué)生上課睡過覺”設(shè)計(jì)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩個(gè)問題，SKIPIF1<0問題“你是否曾經(jīng)上課睡過覺”，SKIPIF1<0問題“你是否在上半年出生”，小組成員邀請(qǐng)學(xué)生逐一在裝有SKIPIF1<0、B問題的兩個(gè)袋子中隨機(jī)選取一個(gè)，若答案是肯定的，則向盒子中放入1個(gè)石子，否則直接離開（SKIPIF1<0問題肯定與否定的概率視為相等），由于問題的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪個(gè)問題也是別人不知道的，因此被調(diào)查者可以毫無顧慮地給出符合實(shí)際情況的答案.(1)若該小組共邀請(qǐng)了100名學(xué)生，盒子內(nèi)出現(xiàn)了30個(gè)石子，甲校園內(nèi)有1000個(gè)學(xué)生，試估計(jì)甲校園內(nèi)曾經(jīng)上課睡過覺的學(xué)生人數(shù)；(2)視（1）問中的頻率為概率，現(xiàn)從該校園中隨機(jī)抽取SKIPIF1<0名學(xué)生，記其中曾經(jīng)上課睡過覺的人數(shù)為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)100名(2)分布列見解析，0.4【分析】（1）由條件求出回答曾經(jīng)上課睡過覺的學(xué)生人數(shù)，再由樣本頻率估計(jì)概率；（2）由條件判斷SKIPIF1<0，再根據(jù)二項(xiàng)分布的分布列和均值公式結(jié)論求解.【詳解】（1）回答SKIPIF1<0問題的學(xué)生有SKIPIF1<0人，投入的石子有SKIPIF1<0個(gè)，回答SKIPIF1<0問題的學(xué)生有SKIPIF1<0人，投入的石子有SKIPIF1<0個(gè)，用樣本估計(jì)總體，則學(xué)生上課睡覺的頻率SKIPIF1<0，則估計(jì)甲校園內(nèi)上課睡覺的學(xué)生人數(shù)有SKIPIF1<0名；（2）由已知隨機(jī)變量SKIPIF1<0的取值有SKIPIF1<0，由（1）從甲校園隨機(jī)抽取一名同學(xué)，該同學(xué)曾經(jīng)上課睡過覺的概率為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，

SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，

SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．則隨機(jī)變量SKIPIF1<0的分布列為:SKIPIF1<001234SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0則SKIPIF1<0的數(shù)學(xué)期望SKIPIF1<0．14．（2023·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）某企業(yè)對(duì)生產(chǎn)設(shè)備進(jìn)行優(yōu)化升級(jí)，升級(jí)后的設(shè)備控制系統(tǒng)由SKIPIF1<0個(gè)相同的元件組成，每個(gè)元件正常工作的概率均為SKIPIF1<0，各元件之間相互獨(dú)立.當(dāng)控制系統(tǒng)有不少于k個(gè)元件正常工作時(shí)，設(shè)備正常運(yùn)行，否則設(shè)備停止運(yùn)行，記設(shè)備正常運(yùn)行的概率為SKIPIF1<0（例如：SKIPIF1<0表示控制系統(tǒng)由3個(gè)元件組成時(shí)設(shè)備正常運(yùn)行的概率；SKIPIF1<0表示控制系統(tǒng)由5個(gè)元件組成時(shí)設(shè)備正常運(yùn)行的概率）.(1)若SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，求控制系統(tǒng)中正常工作的元件個(gè)數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望，并求SKIPIF1<0；(2)已知設(shè)備升級(jí)前，單位時(shí)間的產(chǎn)量為a件，每件產(chǎn)品的利潤(rùn)為1元，設(shè)備升級(jí)后，在正常運(yùn)行狀態(tài)下，單位時(shí)間的產(chǎn)量是原來的4倍，且出現(xiàn)了高端產(chǎn)品，每件產(chǎn)品成為高端產(chǎn)品的概率為SKIPIF1<0，每件高端產(chǎn)品的利潤(rùn)是2元.記設(shè)備升級(jí)后單位時(shí)間內(nèi)的利潤(rùn)為Y（單位：元）.（i）請(qǐng)用SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0；（ii）設(shè)備升級(jí)后，在確?？刂葡到y(tǒng)中元件總數(shù)為奇數(shù)的前提下，分析該設(shè)備能否通過增加控制系統(tǒng)中元件的個(gè)數(shù)來提高利潤(rùn).【答案】(1)分布列見解析，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)（i）SKIPIF1<0，（ii）答案見解析【分析】（1）由題意可知SKIPIF1<0，利用二項(xiàng)分布求解即可求得期望，根據(jù)互斥事件的和事件的概率公式求解SKIPIF1<0；（2）（i）先寫出升級(jí)改造后單位時(shí)間內(nèi)產(chǎn)量的分布列congestion求出設(shè)備升級(jí)后單位時(shí)間內(nèi)的利潤(rùn)，即為SKIPIF1<0；（ii）分類討論求出SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的關(guān)系，做差比較大小即可得出結(jié)論.【詳解】（1）因?yàn)镾KIPIF1<0，所以控制系統(tǒng)中正常工作的元件個(gè)數(shù)SKIPIF1<0的可能取值為0，1，2，3；因?yàn)槊總€(gè)元件的工作相互獨(dú)立，且正常工作的概率均為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以控制系統(tǒng)中正常工作的元件個(gè)數(shù)SKIPIF1<0的分布列為SKIPIF1<00123SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0控制系統(tǒng)中正常工作的元件個(gè)數(shù)SKIPIF1<0的數(shù)學(xué)期望為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（2）（i）升級(jí)改造后單位時(shí)間內(nèi)產(chǎn)量的分布列為產(chǎn)量SKIPIF1<00設(shè)備運(yùn)行概率SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以升級(jí)改造后單位時(shí)間內(nèi)產(chǎn)量的期望為SKIPIF1<0；所以產(chǎn)品類型高端產(chǎn)品一般產(chǎn)品產(chǎn)量（單位：件）SKIPIF1<0SKIPIF1<0利潤(rùn)（單位：元）21設(shè)備升級(jí)后單位時(shí)間內(nèi)的利潤(rùn)為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；（ii）因?yàn)榭刂葡到y(tǒng)中元件總數(shù)為奇數(shù)，若增加2個(gè)元件，則第一類：原系統(tǒng)中至少有SKIPIF1<0個(gè)元件正常工作，其概率為SKIPIF1<0；第二類：原系統(tǒng)中恰好有SKIPIF1<0個(gè)元件正常工作，新增2個(gè)元件中至少有1個(gè)正常工作，其概率為SKIPIF1<0；第三類：原系統(tǒng)中有SKIPIF1<0個(gè)元件正常工作，新增2個(gè)元件全部正常工作，其概率為SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，即增加元件個(gè)數(shù)設(shè)備正常工作的概率變大，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，即增加元件個(gè)數(shù)設(shè)備正常工作的概率沒有變大，又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，設(shè)備可以通過增加控制系統(tǒng)中元件的個(gè)數(shù)來提高利潤(rùn)；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，設(shè)備不可以通過增加控制系統(tǒng)中元件的個(gè)數(shù)來提高利潤(rùn)．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：分析增加2個(gè)元件后，分三類求解，求出SKIPIF1<0是解題的難點(diǎn)與關(guān)鍵.15．（2023·山東青島·統(tǒng)考一模）今天，中國(guó)航天仍然邁著大步向浩瀚宇宙不斷探索，取得了舉世矚目的非凡成就．某學(xué)校為了解學(xué)生對(duì)航天知識(shí)的知曉情況，在全校學(xué)生中開展了航天知識(shí)測(cè)試（滿分100分），隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的測(cè)試成績(jī)，按照SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分組，得到如下所示的樣本頻率分布直方圖：(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)該校學(xué)生測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)；(2)用樣本的頻率估計(jì)概率，從該校所有學(xué)生中隨機(jī)抽取10名學(xué)生的成績(jī)，用SKIPIF1<0表示這10名學(xué)生中恰有k名學(xué)生的成績(jī)?cè)赟KIPIF1<0上的概率，求SKIPIF1<0取最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的k的值；(3)從測(cè)試成績(jī)?cè)赟KIPIF1<0的同學(xué)中再次選拔進(jìn)入復(fù)賽的選手，一共有6道題，從中隨機(jī)挑選出4道題進(jìn)行測(cè)試，至少答對(duì)3道題者才可以進(jìn)入復(fù)賽．現(xiàn)有甲、乙兩人參加選拔，在這6道題中甲能答對(duì)4道，乙能答對(duì)3道，且甲、乙兩人各題是否答對(duì)相互獨(dú)立．記甲、乙兩人中進(jìn)入復(fù)賽的人數(shù)為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列及期望．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)分布列見解析；SKIPIF1<0【分析】（1）根據(jù)題意，由中位數(shù)的意義列出方程，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意可得，當(dāng)SKIPIF1<0取最大值時(shí)，則SKIPIF1<0，然后求解，即可得到結(jié)果；（3）由題意可得，甲乙分別進(jìn)入復(fù)賽的概率，然后求得SKIPIF1<0的概率，即可得到分布列與期望.【詳解】（1）因?yàn)榍皟蓚€(gè)矩形的面積之和為SKIPIF1<0，前三個(gè)矩形面積為SKIPIF1<0，所以中位數(shù)在SKIPIF1<0之間，設(shè)中位數(shù)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故中位數(shù)為SKIPIF1<0.（2）由題意可得，成績(jī)?cè)赟KIPIF1<0上的概率為SKIPIF1<0，則不在SKIPIF1<0的概率為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0取最大值時(shí)，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（3）由題意可知，從6道題中選4題共有SKIPIF1<0，因?yàn)榧啄艽饘?duì)6道題中的4道題，故甲能進(jìn)復(fù)賽的情況共有SKIPIF1<0，所以甲能進(jìn)復(fù)賽的概率為SKIPIF1<0，則甲不能進(jìn)復(fù)賽的概率為SKIPIF1<0；因?yàn)橐夷艽饘?duì)6道題中的3道題，故乙能進(jìn)復(fù)賽的情況共有SKIPIF1<0,所以乙能進(jìn)復(fù)賽的概率為SKIPIF1<0，則乙不能進(jìn)復(fù)賽的概率為SKIPIF1<0；依題可得，SKIPIF1<0的可能取值為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則分布列為:SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0則SKIPIF1<0.16．（2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）某醫(yī)藥企業(yè)使用新技術(shù)對(duì)某款血夜試劑進(jìn)行試生產(chǎn).(1)在試產(chǎn)初期，該款血液試劑的I批次生產(chǎn)有四道工序，前三道工序的生產(chǎn)互不影響，第四道是檢測(cè)評(píng)估工序，包括智能自動(dòng)檢測(cè)與人工抽檢.已知該款血夜試劑在生產(chǎn)中，前三道工序的次品率分別為SKIPIF1<0.①求批次I的血液試劑經(jīng)過前三道工序后的次品率SKIPIF1<0；②第四道工序中智能自動(dòng)檢測(cè)為次品的血液試劑會(huì)被自動(dòng)淘汰，合格的血液試劑進(jìn)入流水線并由工人進(jìn)行抽查檢驗(yàn).已知批次I的血液試劑智能自動(dòng)檢測(cè)顯示合格率為SKIPIF1<0，求工人在流水線進(jìn)行人工抽檢時(shí)，抽檢一個(gè)血液試劑恰為合格品的概率（百分號(hào)前保留兩位小數(shù)）；(2)已知某批次血液試劑的次品率為SKIPIF1<0，設(shè)100個(gè)血液試劑中恰有1個(gè)為不合格品的概率為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值點(diǎn)SKIPIF1<0.【答案】(1)①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）①根據(jù)已知條件，結(jié)合相互獨(dú)立事件的概率公式，以及對(duì)立事件概率和為1，即可求解；②根據(jù)已知條件，結(jié)合條件概率公式，即可求解；（2）求出100個(gè)血液試劑中恰有1個(gè)為不合格品的概率為SKIPIF1<0，然后利用導(dǎo)數(shù)求解SKIPIF1<0的最大值點(diǎn)，即可求出SKIPIF1<0.【詳解】（1）①批次Ⅰ的血夜試劑經(jīng)過前三道工序后的次品率為SKIPIF1<0SKIPIF1<0②設(shè)批次Ⅰ的血夜試劑智能自動(dòng)檢測(cè)合格為事件A，人工抽檢合格為事件B，由已知得SKIPIF1<0則工人在流水線進(jìn)行人工抽檢時(shí)，SKIPIF1<0.（2）100個(gè)血液試劑中恰有1個(gè)不合格的概率SKIPIF1<0因此SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0.17．（2023·全國(guó)·東北師大附中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）調(diào)查問卷中常常涉及到個(gè)人隱私或本人不愿正面回答的問題，被訪人可能拒絕回答，即使回答，也不能期望答案是真實(shí)的.某小區(qū)要調(diào)查業(yè)主對(duì)物業(yè)工作是否滿意的真實(shí)情況，現(xiàn)利用“隨機(jī)化選答抽樣”方法制作了具體調(diào)查方案，其操作流程如下：在一個(gè)箱子里放3個(gè)紅球和2個(gè)白球，被調(diào)查者在摸到球后記住顏色并立即將球放回，如果抽到的是紅球，則回答“你的性別是否為男性？”如果抽到的是白球，則回答“你對(duì)物業(yè)工作現(xiàn)狀是否滿意？”兩個(gè)問題均用“是”或“否”回答.(1)共收取調(diào)查問卷100份，其中答案為“是”的問卷為60份，求一個(gè)業(yè)主對(duì)物業(yè)工作表示滿意的概率，已知該小區(qū)共有業(yè)主500人，估計(jì)該小區(qū)業(yè)主對(duì)物業(yè)工作滿意的人數(shù)；(2)現(xiàn)為了提高對(duì)物業(yè)工作滿意的業(yè)主比例，對(duì)小區(qū)業(yè)主進(jìn)行隨機(jī)訪談，請(qǐng)表示不滿意的業(yè)主在訪談中提出兩個(gè)有待改進(jìn)的問題.（i）若物業(yè)對(duì)每一個(gè)待改進(jìn)的問題均提出一個(gè)相應(yīng)的解決方案，該方案需要由5名業(yè)主委員會(huì)代表投票決定是否可行.每位代表投贊同票的概率均為SKIPIF1<0，方案需至少3人投贊成票，方能予以通過，并最終解決該問題，求某個(gè)問題能夠被解決的概率SKIPIF1<0；（ii）假設(shè)業(yè)主所提問題各不相同，每一個(gè)問題能夠被解決的概率都為SKIPIF1<0，并且都相互獨(dú)立.物業(yè)每解決一個(gè)問題，業(yè)主滿意的比例將提高一個(gè)百分點(diǎn).為了讓業(yè)主滿意的比例提高到80%，試估計(jì)至少要訪談多少位業(yè)主？【答案】(1)SKIPIF1<0，375人(2)（i）SKIPIF1<0；（ii）至少要訪談48位業(yè)主【分析】（1）根據(jù)紅球與白球的個(gè)數(shù)比例以及問卷調(diào)查的情況，通過比例求解即可；（2）（i）由每位代表投贊同票的概率均為SKIPIF1<0，且方案需至少3人投贊成票，方能予以通過，根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式運(yùn)算求解即可；（ii）由（1）知，該小區(qū)業(yè)主對(duì)物業(yè)工作滿意的概率為SKIPIF1<0，要使?jié)M意度提高到80%，可設(shè)設(shè)至少要訪談SKIPIF1<0位業(yè)主，列出關(guān)于SKIPIF1<0的不等式，解不等式即可．【詳解】（1）記：事件SKIPIF1<0“業(yè)主對(duì)物業(yè)工作表示滿意”，則SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0（人），故該小區(qū)業(yè)主對(duì)物業(yè)工作表示滿意的人數(shù)約為375人；（2）（i）由已知得，每位代表投贊同票的概率均為SKIPIF1<0，方案需至少3人投贊成票，方能予以通過，所以SKIPIF1<0，故某個(gè)問題能夠被解決的概率SKIPIF1<0；（ii）設(shè)至少要訪談SKIPIF1<0位業(yè)主，由（1）知，該小區(qū)業(yè)主對(duì)物業(yè)工作滿意的概率為SKIPIF1<0，要使業(yè)主滿意的比例提高到80%，則有SKIPIF1<0，故至少要訪談48位業(yè)主．考點(diǎn)三超幾何分布和二項(xiàng)分布的綜合18．（2021·高二單元測(cè)試）一機(jī)床生產(chǎn)了SKIPIF1<0個(gè)汽車零件，其中有SKIPIF1<0個(gè)一等品、SKIPIF1<0個(gè)合格品、SKIPIF1<0個(gè)次品，從中隨機(jī)地抽出SKIPIF1<0個(gè)零件作為樣本.用SKIPIF1<0表示樣本中一等品的個(gè)數(shù).（1）若有放回地抽取，求SKIPIF1<0的分布列；（2）若不放回地抽取，用樣本中一等品的比例去估計(jì)總體中一等品的比例.①求誤差不超過SKIPIF1<0的SKIPIF1<0的值；②求誤差不超過SKIPIF1<0的概率（結(jié)果不用計(jì)算，用式子表示即可）【答案】