楊輝三角-課件

楊輝三角研究性課題：11

51楊

輝

三

角第0行第1行1

113111

2

1341第2行第3行第4行第5行第6行1

66

1第n-1行

1第n行

1………………………………15=5+1015

20

1510=6+420=10+105

110

1066=3+34=1+310=6+442一.復(fù)習(xí):楊輝三角的基本性質(zhì)1）表中每個(gè)數(shù)都是組合數(shù)，第n行的第r+1個(gè)數(shù)是三角形的兩條斜邊上都是數(shù)字1，而其余的數(shù)都等于它肩上的兩個(gè)數(shù)字相加，也就是楊輝三角具有對(duì)稱性楊輝三角的第n行是二項(xiàng)式（a+b）n展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)即32）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立，即則當(dāng)n=k+1時(shí)，證明：1)當(dāng)n=1時(shí)，左邊＝a+b,右邊＝a+b

所以等式成立．利用組合數(shù)的重要性質(zhì)可得求證：4二.引入:1.

斐波那契“兔子繁殖問(wèn)題”:中世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家斐波那契的傳世之作《算術(shù)之法》中提出了一個(gè)饒有趣味的問(wèn)題：假定一對(duì)剛出生的兔子一個(gè)月就能長(zhǎng)成大兔子，再過(guò)一個(gè)月就開(kāi)始生下一對(duì)小兔子，并且以后每個(gè)月都生一對(duì)小兔子．設(shè)所生一對(duì)兔子均為一雄一雌，且均無(wú)死亡．問(wèn)一對(duì)剛出生的小兔一年內(nèi)可以繁殖成多少對(duì)兔子？5在游藝場(chǎng)，可以看到如圖的彈子游戲，小球

(黑色

)

向容器內(nèi)跌落，碰到第一層阻擋物后等可能地向兩側(cè)跌落，碰到第二層阻擋物再等可能地向兩側(cè)第三層跌落，如是，一直下跌，最終小球落入底層，根據(jù)具體區(qū)域獲得獎(jiǎng)品。試問(wèn)：為什么兩邊區(qū)獎(jiǎng)品高于中間區(qū)獎(jiǎng)品？62.

楊輝三角與彈子游戲“縱橫路線圖”是數(shù)學(xué)中的一類有趣的問(wèn)題：如圖是某城市的部分街道圖，縱橫各有五條路，如果從A處走到B處(只能由北到南，由西向東)，那么有多少種不同的走法？AB3.楊輝三角與“縱橫路線圖”78從某種意義上說(shuō),發(fā)現(xiàn)問(wèn)題更重要.1

51第0行第1行1

113111

2

1341第2行第3行第4行第5行第6行1

66

1第n-1行

1第n行

1………………………………15=5+1015

20

1510=6+420=10+105

110

106=3+34=1+310=6+44

6三.新課:楊輝三角蘊(yùn)含的數(shù)字排列規(guī)律.91.研究斜行規(guī)律：第一條斜線上：1+1+1+1+1+1=6第二條斜線上：1+2+3+4+5=15第三條斜線上：1+3+6+10=20第四條斜線上：1+4+10=15猜想：在楊輝三角中，第m條斜線（從右上到左下）上前n個(gè)數(shù)字的和，等于第m+1條斜線上的第n個(gè)數(shù).101＋1＋1＋

．．．＋1＝（第1條斜線）1＋4＋10＋

．．．＋＝（第4條斜線）1＋3＋6＋

．．．＋＝（第3條斜線）1＋2＋3＋

．．．＋＝（第2條斜線）(n>r)?11結(jié)論1：楊輝三角中，第m條斜(從右上到左下)上前n個(gè)數(shù)字的和，等于第m+1條斜線上第n個(gè)數(shù)即即12根據(jù)楊輝三角的對(duì)稱性，類似可得：楊輝三角中，第m條斜(從左上到右下)上前n個(gè)數(shù)字的和，等于第m+1條斜線上第n個(gè)數(shù)。12第0行11358132134？2.如圖，寫(xiě)出斜線上各行數(shù)字的和，有什么規(guī)律第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行1510

1051第6行1615

201561第7行第8行1187282135

3556

…7…05621287811從第三個(gè)數(shù)起，任一數(shù)都等于前兩個(gè)數(shù)的和;

這就是著名的斐波那契數(shù)列

。13中世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家斐波那契的傳世之作《算術(shù)之法》中提出了一個(gè)饒有趣味的問(wèn)題：假定一對(duì)剛出生的兔子一個(gè)月就能長(zhǎng)成大兔子，再過(guò)一個(gè)月就開(kāi)始生下一對(duì)小兔子，并且以后每個(gè)月都生一對(duì)小兔子．設(shè)所生一對(duì)兔子均為一雄一雌，且均無(wú)死亡．問(wèn)一對(duì)剛出生的小兔一年內(nèi)可以繁殖成多少對(duì)兔子？兔子繁殖問(wèn)題也可以從楊輝三角得到答案：1，1，2，3，5，8，13，21，34，．．．四.應(yīng)用:

1.斐波那契“兔子繁殖問(wèn)題”14在游藝場(chǎng)，可以看到如圖的彈子游戲，小球

(黑色

)

向容器內(nèi)跌落，碰到第一層阻擋物后等可能地向兩側(cè)跌落，碰到第二層阻擋物再等可能地向兩側(cè)第三層跌落，如是，一直下跌，最終小球落入底層，根據(jù)具體區(qū)域獲得獎(jiǎng)品。試問(wèn)：為什么兩邊區(qū)獎(jiǎng)品高于中間區(qū)獎(jiǎng)品？“概率三角形”照這樣計(jì)算第n+1層有n+1個(gè)通道，彈子通過(guò)各通道的概率將是？與楊輝三角有何關(guān)系？2.

楊輝三角與彈子游戲15“縱橫路線圖”是數(shù)學(xué)中的一類有趣的問(wèn)題：如圖是某城市的部分街道圖，縱橫各有五條路，如果從A處走到B處(只能由北到南，由西向東)，那么有多少種不同的走法？AB由此看來(lái)，楊輝三角與縱橫路線圖問(wèn)題有天然的聯(lián)系163.楊輝三角與“縱橫路線圖”17五、小結(jié)1、楊輝三角蘊(yùn)含的基本性質(zhì)2、楊輝三角蘊(yùn)含的數(shù)字排列規(guī)律18楊輝三角的其它規(guī)律1、楊輝三角的第2k-1行的各數(shù)字特點(diǎn)第4行1

4

6

4

15

1第n-1行11第n行11…………………………………第7行1

7

21

35

35

21

7

1第0行1第1行11第2行121第3行楊輝三角的1

第23k-1行3(1k是正整數(shù))第的6行各個(gè)數(shù)字1

都6

是1520。

15

6

1第的5行各個(gè)數(shù)字1都是5

奇10數(shù)。10191

11

31

2

13

11

4

6

4

11

5

10

10

5

11

6

15

20

15

6

1第n-1行11第n行11……………第1行第2行第3行第4行第5行第6行第7行……………………1

7

21

35

35

21

7

12、楊輝三角中若第P行除去1外，P整除其第余0行的所有數(shù)，則行數(shù)1P是質(zhì)數(shù)(素?cái)?shù))20（04.

上海春季高考）如圖，在由二項(xiàng)式系數(shù)所構(gòu)成的楊輝三角形中，第

34

行中從左至右第14與第15個(gè)數(shù)的比為

.22練習(xí)1:練習(xí)2：12234

75

1147146

16

25

253411

516

6則第n

行（n≥2）第2個(gè)數(shù)是什么？分析:設(shè)第

n行的第

2個(gè)數(shù)為an

,則a2

=

2,an+1

=

an

+

n∴

an

=

2+

2

+

3

+…+

(n-1)2324練習(xí)3：3569

10

1217

18

20

2433

34

36

40

4865

66

68

72 80

96則表中各數(shù)按從小到大的順序排列，第100個(gè)數(shù)是多少？25分析:首先計(jì)算第100個(gè)數(shù)位于表中第幾行,∵

1+

2+

3+

…+

13=

91∴第100