武漢中考復(fù)習(xí)專版圖形的折疊(共25張)

圖形的折疊

幾何研究的對(duì)象是：圖形的形狀、大小、位置關(guān)系；主要培養(yǎng)三方面的能力：思維分析能力、空間想象能力和邏輯推理能力；折疊型問(wèn)題的特點(diǎn)是：折疊后的圖形具有軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)；兩方面的應(yīng)用：一、在“大小”方面的應(yīng)用；二、在“位置”方面的應(yīng)用。

折疊型問(wèn)題在“大小”方面的應(yīng)用，通常有求線段的長(zhǎng)，角的度數(shù)，圖形的周長(zhǎng)與面積的變化關(guān)系等問(wèn)題。一、在“大小”方面的應(yīng)用1、求線段與線段的大小關(guān)系例1如圖，AD是ABC的中線，ADC=45o，把ADC沿AD對(duì)折，點(diǎn)C落在點(diǎn)C'的位置，求BC'與BC之間的數(shù)量關(guān)系。解由軸對(duì)稱可知ADC≌ADC',ADC'=ADC=45o,C'D=CD=BDBC′D為RtBC’=2BD=BC22練習(xí)1

如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC=6，BC=8，現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，則CD等于（）(A)2(B)3(C)4(D)5B例2

如圖，折疊矩形的一邊AD，點(diǎn)D落在BC邊上點(diǎn)F處，已知AB=8，BC=10，則EC的長(zhǎng)是

。解設(shè)EC=x，則DE=8-x，由軸對(duì)稱可知：EF=DE=8-x，AF=AD=10，又因AB=8，故BF=6，故FC=BC-BF=4。在RtFCE中，42+x2=(8-x)2，解之得x=3練習(xí)2

如圖，在梯形ABCD中，DCAB，將梯形對(duì)折，使點(diǎn)D、C分別落在AB上的D1、C1處，折痕為EF。若CD=3，EF=4，則AD1+BC1=

。2練習(xí)3

如圖，將矩形ABCD紙片對(duì)折，設(shè)折痕為MN，再把B點(diǎn)疊在折痕線MN上，若AB=3，則折痕AE的長(zhǎng)為（）(A)33/2(B)33/4(C)2(D)23EC2、求角的度數(shù)例3將長(zhǎng)方形ABCD的紙片，沿EF折成如圖所示；已知EFG=55o，則FGE=

。70o練習(xí)4如圖，矩形ABCD沿BE折疊，使點(diǎn)C落在AD邊上的F點(diǎn)處，如果ABF=60o，則CBE等于（）。(A)15o(B)30o(C)45o(D)60oA3、求圖形的全等、相似和圖形的周長(zhǎng)例4如圖，折疊矩形ABCD一邊AD，使點(diǎn)D落在BC邊的一點(diǎn)F處，已知折痕AE=55cm，且tanEFC=3/4.(1)求證：AFB∽FEC；(2)求矩形ABCD的周長(zhǎng)。證明：（1）∵∠B=C=D=90o，又根據(jù)題意RtADE≌RtAFE,∴AFE=90o,∴AFB=FEC,∴AFB∽FEC.解（2）由tanEFC=3/4，設(shè)EC=3k，則FC=4k，在RtEFC中，得EF=DE=5k?！郉C=AB=8k,又ABF∽FCE,∴=即=ABBF8kBFFCCE4k3k∴BF=6k,∴AF=10k在RtAEF中,AF2+EF2=AE2∴(10k)2+(5k)2=(55)2,k2=1,?∴k=±1,∴k=1(取正值),∴矩形的周長(zhǎng)為36k，即36cm。練習(xí)5

如圖，將矩形紙片ABCD沿一對(duì)角線BD折疊一次（折痕與折疊后得到的圖形用虛線表示），將得到的所有的全等三角形（包括實(shí)線、虛線在內(nèi)）用符號(hào)寫出來(lái)。答案：△ABD≌△CDB,△CDB≌△EDB,△EDB≌△ABD,△ABF≌△EDF.練習(xí)6

如圖，矩形紙片ABCD，若把ABE沿折痕BE上翻，使A點(diǎn)恰好落在CD上，此時(shí)，AE:ED=5:3，BE=55，求矩形的長(zhǎng)和寬。答案：矩形的長(zhǎng)為10，寬為8。4、求線段與面積間的變化關(guān)系例5

已知一三角形紙片ABC，面積為25，BC的長(zhǎng)為10，

B和

C都為銳角，M為AB上的一動(dòng)點(diǎn)(M與A、B不重合)，過(guò)點(diǎn)M作MN∥BC，交AC于點(diǎn)N，設(shè)MN=x.(1)用x表示△AMN的面積SΔAMN。(2)ΔAMN沿MN折疊，設(shè)點(diǎn)A關(guān)于ΔAMN對(duì)稱的點(diǎn)為A1，ΔA1MN與四邊形BCMN重疊部分的面積為y.①試求出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量X的取值范圍；②當(dāng)x為何值時(shí)，重疊部分的面積y最大，最大為多少？當(dāng)點(diǎn)A在四邊形BCNM外，即5<x<10時(shí)，y=S△A1MN-S△A1EF（如圖2）圖2解（2）①∵△A1MN≌△AMN，設(shè)△A1MN中MN邊上的高為h1，△A1EF中EF邊上的高為h2.∵EF∥MN,∴△A1EF∽△A1MN.∴當(dāng)點(diǎn)A1在四邊形BCNM內(nèi)或在BC邊上（如圖1），即0<x≤5時(shí)，y=?x2。圖1又h2=2h1-5=x-5,=()2,∴S△A1EF=()2?25=(x-5)2S△A1EFS△ABCh25X-55∴y=S△A1MN-S△A1EF=?x2-(x-5)2=-?x2+10x–25.∵△A1MN∽△ABC,∴△A1EF∽△ABC∵△ABC中BC邊上的高h(yuǎn)=5,∴h1:x=5:10,∴h1=?x.綜上所述，當(dāng)0<x≤5時(shí)，y=?x2；當(dāng)5<x<10時(shí)，y=-?x2+10x-25。②當(dāng)0<x≤5時(shí),取x=5，y最大=?

?52=25∕4；當(dāng)5<x<10時(shí)。y=-?（x-20∕3)2+25∕3，取x=20∕3，y最大=25∕3；∵25∕3>25∕4,∴x=20∕3時(shí),y最大=25∕3.練習(xí)7

如圖，把一張邊長(zhǎng)為a的正方形的紙進(jìn)行折疊，使B點(diǎn)落在AD上，問(wèn)B點(diǎn)落在AD的什么位置時(shí)，折起的面積最小，并求出這最小值。O解：如圖，設(shè)MN為折痕，折起部分為梯形EGNM，B、E關(guān)于MN對(duì)稱，所以BE⊥MN，且BO=EO，設(shè)AE=x，則BE=

。由Rt△MOB∽

，得：

，∴BM=

=

=

.作NF⊥AB于F，則有Rt△MNF≌

,∴FM=AE=x,從而CN=BM-FM=

=

。∴S梯形BCNM=

。=?(x-a/2)2+3/8a2.∴當(dāng)x=a∕2時(shí)，Smin=(3∕8)a2.二、在“位置”方面的應(yīng)用

由于圖形折疊后，點(diǎn)、線、面等相應(yīng)的位置發(fā)生變化，帶來(lái)圖形間的位置關(guān)系重新組合。例6

將長(zhǎng)方形ABCD的紙片，沿EF折成如圖所示，延長(zhǎng)C`E交AD于H，連結(jié)GH。求證：EF與GH互相垂直平分。1、線段與線段的位置關(guān)系證明：由題意知FH∥GE，F(xiàn)G∥HE，∴

。又

，∴四邊形

是

，∴FE與GH互相垂直平分。2、點(diǎn)的位置的確定例7

已知：如圖，矩形AOBC，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB、OA分別在x軸，y軸上，點(diǎn)A坐標(biāo)為(0,3)，∠OAB=60o，以AB為軸對(duì)折后，使C點(diǎn)落在D點(diǎn)處，求D點(diǎn)坐標(biāo)?！鷛↑y解由題意知，OA=3，∠OAB=60o，∴OB=3tan60o=3√3.∵Rt△ACB≌Rt△ADB,∴AD=AC=OB=3√3.→x↑y過(guò)點(diǎn)D作Y軸垂線，垂足為E，在直角三角形AED中，ED=

，AE=

，故OE=

。故點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3/2√3，-3/2）。練習(xí)8

如圖，在直角三角形ABC中，∠C=90o，沿著B(niǎo)點(diǎn)的一條直線B