2023-2024學(xué)年江蘇省常州市高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年江蘇省常州市高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求.1．已知集合，，則=（

）A． B．C． D．2．是虛數(shù)單位，設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知，則等于（

）A． B． C． D．4．設(shè)是兩個單位向量，若在上的投影向量為，則（

）A． B． C． D．5．為進(jìn)一步在全市掀起全民健身熱潮，興義市于9月10日在萬峰林舉辦半程馬拉松比賽.已知本次比賽設(shè)有4個服務(wù)點(diǎn)，現(xiàn)將6名志愿者分配到4個服務(wù)點(diǎn)，要求每位志愿者都要到一個服務(wù)點(diǎn)服務(wù)，每個服務(wù)點(diǎn)都要安排志愿者，且最后一個服務(wù)點(diǎn)至少安排2名志愿者，有（

）種分配方式A．540 B．660 C．980 D．12006．在中，“”是“為銳角三角形”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．設(shè)實數(shù)，若不等式對恒成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．水平桌面上放置了4個半徑為2的小球，4個小球的球心構(gòu)成正方形，且相鄰的兩個小球相切.若用一個半球形的容器罩住四個小球，則半球形容器內(nèi)壁的半徑的最小值為（

）A．4 B． C． D．6二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9．已知事件A，B滿足，，則（

）A．若，則 B．若A與B互斥，則C．若A與B相互獨(dú)立，則 D．若，則A與B相互獨(dú)立10．如圖，在正方體中，E?F?G分別為的中點(diǎn)，則（

）A． B．與所成角為C． D．平面11．已知函數(shù)，則（

）A．是奇函數(shù) B．的最大值大于C．， D．，12．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記.若滿足，的圖象關(guān)于直線對稱，且，則（

）A． B．是奇函數(shù)C． D．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．若兩個正實數(shù)x，y滿足，且不等式恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是．14．在銳角三角形，，且則邊上的中線長為．15．已知函數(shù)，過點(diǎn)可作曲線的3條切線，則實數(shù)a的取值范圍為.16．已知是函數(shù)的一個零點(diǎn)，且，則的最小值為．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．已知函數(shù)．(1)求的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；(2)若，求的值．18．已知函數(shù).（Ⅰ）若不等式在上有解，求k的取值范圍；（Ⅱ）若方程有三個不同的實數(shù)解，求實數(shù)k的取值范圍.19．如圖，平面五邊形中，△是邊長為2的等邊三角形，，，，將△沿翻折，使點(diǎn)翻折到點(diǎn)．(1)證明：；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值．20．在中，角所對的邊分別為，且，邊上有一動點(diǎn).(1)當(dāng)為邊中點(diǎn)時，若，求的長度；(2)當(dāng)為的平分線時，若，求的最大值.21．為了解某市區(qū)高中學(xué)生的閱讀時間，從該市區(qū)隨機(jī)抽取了800名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，得到了這800名學(xué)生一周的平均閱讀時間（單位：小時），并將樣本數(shù)據(jù)分成九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求a的值；(2)為進(jìn)一步了解這800名學(xué)生閱讀時間的分配情況，從周平均閱讀時間在，，三組內(nèi)的學(xué)生中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，現(xiàn)從這10人中隨機(jī)抽取3人，記周平均閱讀時間在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)以樣本的頻率估計概率，從該市區(qū)學(xué)生周平均閱讀時間在內(nèi)中隨機(jī)抽取20名學(xué)生．這20名學(xué)生中，周平均閱讀時間在內(nèi)的學(xué)生最可能有多少名？22．設(shè)，函數(shù)的圖象與直線相切，其中是自然對數(shù)的底數(shù)．(1)求實數(shù)的值；(2)當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．1．D【分析】由題意求出集合，然后直接求出二者的交集即可.【詳解】時，所以集合，同理可得，故故選：D.2．A【分析】先利用模長公式和復(fù)數(shù)除法計算，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義即可知其對應(yīng)的點(diǎn)所在象限.【詳解】因為，所以，所以，所以的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，故選：A3．B【分析】由誘導(dǎo)公式與二倍角公式即可求解【詳解】，故選：B4．A【分析】根據(jù)投影向量公式以及向量夾角的余弦公式求得結(jié)果.【詳解】∵在上的投影向量為，，，又是兩個單位向量，即，.故選.5．B【分析】按照最后一個服務(wù)區(qū)有2名志愿者和3名志愿者進(jìn)行分配，即和，分別求出其方法種數(shù)，即可得出答案.【詳解】由題知可按照最后一個服務(wù)區(qū)有2名志愿者和3名志愿者進(jìn)行分配，①，有；②，有，共有（種）.故選：B.6．C【分析】若為銳角三角形,則,則,進(jìn)而可得,利用誘導(dǎo)公式可得,即,即可得到結(jié)果.【詳解】若為銳角三角形,則,即,又,,則,所以,則,所以；若,則,即均為銳角,所以,即,所以,則,即,所以為銳角三角形；故“”是“為銳角三角形”的充要條件,故選:C本題考查充分條件與必要條件的判定,考查誘導(dǎo)公式在三角形中的應(yīng)用.7．B【分析】把不等式進(jìn)行同構(gòu)變形：，引入函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性，不等式化為，分離參數(shù)為，再引誘函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)求出其最大值后可得結(jié)論．【詳解】由題意，，，設(shè)，則不等式為，∵，∴在上是增函數(shù)，∴，即，令，則，當(dāng)時，遞增，時，遞減，∴，∴，故選：B．方法點(diǎn)睛：有些函數(shù)不等式是混合不等式，如不等式中既有自然對數(shù)，又有以為底的指數(shù)時，我們可以把不等式變形為形式，利用的單調(diào)性化簡不等式為（或），這類方法稱為同構(gòu)，函數(shù)可稱為母函數(shù)，如，，等等，注意掌握常見的指對同構(gòu)關(guān)系：，，．8．C【分析】根據(jù)題設(shè)要使半球形容器內(nèi)壁的半徑的最小，保證小球與球各面（含球面部分）都相切，進(jìn)而求半徑最小值.【詳解】要使半球形容器內(nèi)壁的半徑的最小，只需保證小球與球各面（含球面部分）都相切，此時，如上圖示，為半球的球心，為其中一個小球球心，則是棱長為2的正方體的體對角線，且該小球與半球球面上的切點(diǎn)與共線，所以半球形容器內(nèi)壁的半徑的最小值為小球半徑與長度之和，即,故選：C9．BD【分析】對于A，由題意可得，從而即可判斷；對于B，由互斥事件的概率計算公式計算即可；對于C，先求得，再根據(jù)獨(dú)立事件的計算公式計算即可；對于D，判斷是否成立即可.【詳解】解：對于A，因為，，，所以，故錯誤；對于B，因為A與B互斥，所以，故正確；對于C，因為，所以，所以，故錯誤；對于D，因為，即，所以，又因為，所以，所以A與B相互獨(dú)立，故正確.故選：BD10．ABD【分析】利用坐標(biāo)法，根據(jù)向量運(yùn)算結(jié)合條件逐項分析即得.【詳解】以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為x?y?z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2，則.對于A選項，，所以，故A選項正確；對于B選項，，，所以，向量與向量的夾角是，與所成角為，故B選項正確；對于C選項，，則，故C選項錯誤；對于D選項，設(shè)平面的法向量為，由，可得，取，可得，又，∵，∴，∵平面，∴平面，故D選項正確.故選：ABD.11．BCD【分析】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)分別判斷各選項.【詳解】的定義域為，，故選項A錯誤；，故選項B正確；，故選項C正確；，，，當(dāng)時，，，而在上單調(diào)遞增，，當(dāng)時，，故選項D正確，故選：BCD.12．ACD【分析】對于A由，得，等式兩邊同時求導(dǎo)，即可得到的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱；對于B由函數(shù)的性質(zhì)可知應(yīng)滿足（為常數(shù)），當(dāng)時，不是奇函數(shù)；對于C可知，，所以；對于D由對稱性和周期性即可判斷.【詳解】對于A：由，得，等式兩邊同時求導(dǎo)，得，即，故的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，故A正確；對于B：由的圖象關(guān)于直線對稱，故的圖象關(guān)于直線對稱，即為偶函數(shù)，則，所以應(yīng)滿足（為常數(shù)），當(dāng)時，不是奇函數(shù)，故B錯誤；對于C：由，，則，得，令替換得，則則，故C正確；對于D：由的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，的圖象關(guān)于直線對稱，且，，令得，，，在一個周期內(nèi)，，所以，故D正確．故選：ACD13．【分析】不等式恒成立，即為不大于xy的最小值，運(yùn)用基本不等式，計算即可得到所求最小值，解不等式可得m的范圍．【詳解】∵正實數(shù)x，y滿足，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，由恒成立，可得，解得故14．【分析】根據(jù)題設(shè)條件整理得，再利用正弦定理和余弦定理得到，進(jìn)而利用向量的數(shù)量積運(yùn)算求得，由此得解.【詳解】因為，所以，整理得，即，即，即，由正弦定理，可得，又由余弦定理得，所以，即，則，假設(shè)的中點(diǎn)為，則，所以，

則，所以.故答案為.15．【分析】構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得其單調(diào)性和極值，作出函數(shù)圖像，數(shù)形結(jié)合，進(jìn)而求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)點(diǎn)為曲線上一點(diǎn)，則又，則，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為，又切線過點(diǎn)，則，即令，則，則時，單調(diào)遞減；時，單調(diào)遞增；時，單調(diào)遞減，則時取得極小值，時取得極大值，又，當(dāng)時，恒成立，時，，又由題意得方程有3個根，則與圖像有3個交點(diǎn)，則.則曲線有三條過點(diǎn)的切線時實數(shù)的取值范圍為.故答案為.16．##.【分析】由題意得，設(shè)直線，則點(diǎn)是直線l上的一點(diǎn)，然后求出原點(diǎn)O到直線l的距離，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其最小值即可.【詳解】由已知可得．不妨設(shè)直線，則點(diǎn)是直線l上的一點(diǎn)，原點(diǎn)O到直線l的距離，則，設(shè)，在上遞減，在遞增可得，所以的最小值為．故關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是設(shè)直線，則點(diǎn)是直線l上的一點(diǎn)，然后將問題轉(zhuǎn)化為則大于等于原點(diǎn)O到直線l的距離，再構(gòu)造函數(shù)，求出其最小值即可，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計算能力，屬于較難題.17．(1)，增區(qū)間為(2)【分析】（1）由誘導(dǎo)公式，二倍角的正弦和余弦公式和輔助角公式化簡，由最小正周期公式求出的最小正周期；令，即可求出單調(diào)增區(qū)間；（2）由題意可得，由，求出的范圍，再由三角函數(shù)的平方關(guān)系求出，則，由兩角和的正弦公式化簡即可得出答案.【詳解】（1）故周期為，令，，所以的增區(qū)間為.（2），故.18．（Ⅰ）（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）將不等式化為，令，構(gòu)造函數(shù)，求出，由題意不等式有解，則;（Ⅱ）將方程化為，利用換元法得到，根據(jù)函數(shù)的圖像以及題設(shè)條件，確定方程有兩個根，且或，構(gòu)造函數(shù)，列出不等式組，求解即可.【詳解】（Ⅰ）原式,令，則,令，因為對稱軸，所以二次函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以∵有解，∴,∴.（Ⅱ）原式可化為,令，原式可化為因為方程有三個不同的實數(shù)根，所以由的圖像知,方程有兩個根，且或令則或∴.本題主要考查了函數(shù)不等式能成立問題以及根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)求參數(shù)的范圍，屬于中檔題.19．(1)證明見解析(2)【分析】（1）在平面圖形中取中點(diǎn)，連接，，由等邊三角形性質(zhì)、三角形全等有、，再應(yīng)用線面垂直的判定、性質(zhì)證結(jié)論；（2）首先證兩兩垂直，再構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系并確定相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求直線的方向向量、平面的法向量，進(jìn)而求線面角的正弦值.【詳解】（1）在平面圖形中取中點(diǎn)，連接，，∵△是邊長為2的等邊三角形，∴，，故翻折后有，又，則，，，所以△△，即，則，由，、平面，故平面，∵，則，∴平面，又平面，∴．（2）在面內(nèi)作，交于，由平面，平面，所以，故兩兩垂直，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由（1）得，四邊形為矩形，在△中，，由余弦定理得，故，所以，，，，，所以，，，設(shè)平面的一個法向量，則，令，則，設(shè)直線與平面所成角為，則．20．(1)(2)【分析】（1）由正弦定理的邊化角公式得出，再由向量的運(yùn)算得出的長度；（2）由余弦定理結(jié)合基本不等式得出，再由得出，最后由對勾函數(shù)的單調(diào)性得出的最大值.【詳解】（1）解：因為，所以，即.由正弦定理，得.因為，所以.因為，所以.又因為，所以，所以.因為為邊中點(diǎn)，所以，則.又，所以，即，即，所以.（2）在中，由余弦定理，得.又，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，所以.因為平分，所以，所以，所以.令，則.因為在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)即時，取得最大值為，所以的最大值為.21．(1)(2)分布列見解析，(3)最可能有6名或7名【分析】（1）根據(jù)小矩形面積之和為1，列出關(guān)系式，求解即可得出答案；（2）根據(jù)頻率分布直方圖求出周平均閱讀時間在，，三組的頻率之比為，進(jìn)而得出每組的人數(shù).根據(jù)超幾何分布分別求出X分別取0，1，2，3時的概率，列出分布列，即可求出期望；（3）先求出周平均閱讀時間在內(nèi)的概率.進(jìn)而求出，由解出的范圍，即可得出答案.【詳解】（1）由可得．（2）由頻率分布直方圖可得：周平均閱讀時間在，，三組的頻率之比為，∴10人中，周平均閱讀時間在的人數(shù)為人，在的人數(shù)為人，在的人數(shù)為人.則X所有可能的取值為0，1，2，3，∴，，，.∴X的分布列為：X0123P∴數(shù)學(xué)期望．（3）用頻率估計概率，從該地區(qū)學(xué)生周平均閱讀時間在內(nèi)中隨機(jī)抽取20名學(xué)生，周平均閱讀時間在內(nèi)的概率，設(shè)周平均閱讀時間在內(nèi)的學(xué)生有名，則，所以．令，解得，所以當(dāng)或，最大．所以，周平均閱讀時間在內(nèi)的學(xué)生最可能有6名或7名．22．(1)(2)【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列方程，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解方程；（2）根據(jù)的最值情況可知時，不等式恒成立，再構(gòu)造，可知當(dāng)時，根據(jù)導(dǎo)數(shù)可知在上單調(diào)遞增，所以，成立，當(dāng)時，二次求導(dǎo)可得，根據(jù)導(dǎo)數(shù)可確定當(dāng)時，，即，不成立.【詳解】（1）由，得，設(shè)切點(diǎn)為，則，消去得，令，，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時，，所以若，則，所以；（2）由（1）得，，且，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，所以，對于