【高中數(shù)學(xué)】函數(shù)模型的應(yīng)用課件（一） 2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊(cè)

第4章

指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)4.5函數(shù)的應(yīng)用（二）

4.5.3函數(shù)模型的應(yīng)用（一）

人教A版（2019)教學(xué)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)數(shù)學(xué)素養(yǎng)1.會(huì)利用已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題.1.數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).2.能根據(jù)實(shí)際問題，建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型求解問題.2.數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).溫故知新我們知道，函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，不同的變化規(guī)律需要用不同的函數(shù)模型來刻畫.面臨一個(gè)實(shí)際問題，該如何選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來刻畫它呢？（一）常用的函數(shù)模型1.直線型：y＝kx＋b(k≠0)；3.拋物線型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；4.指數(shù)函數(shù)型：y＝a·bx＋c(a≠0,b>0,且b≠1)；5.對(duì)數(shù)函數(shù)型：y＝mlogax＋n(m≠0，a>0，且a≠1)；6.冪函數(shù)型：y＝a·xn(a≠0)；

溫故知新思考解決實(shí)際應(yīng)用問題的關(guān)鍵是什么？解決實(shí)際應(yīng)用問題的關(guān)鍵是選擇和建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型.（二）對(duì)于一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)，函數(shù)變化的速度有什么不同？溫故知新（三）解決函數(shù)應(yīng)用問題的基本步驟1.審題；2.建模；3.求解；4.驗(yàn)證（還原）.新知講解【例1】人口問題是當(dāng)今世界各國普遍關(guān)注的問題.認(rèn)識(shí)人口數(shù)量的變化規(guī)律，可以為制定一系列相關(guān)政策提供依據(jù).早在1798年，英國經(jīng)濟(jì)學(xué)家馬爾薩斯(T.R.Malthus,1766～1834)就提出了自然狀態(tài)下的人口增長模型：

y=y0ert，

其中t表示經(jīng)過的時(shí)間，y0表示t=0時(shí)的人口數(shù)，r表示人口的年平均增長率.(1)根據(jù)國家統(tǒng)計(jì)局網(wǎng)站公布的數(shù)據(jù)，我國1950年末、1959年末的人口總數(shù)分別為55196萬和67207萬.根據(jù)這些數(shù)據(jù)，用馬爾薩斯人口增長模型建立我國在1950～1959年期間的具體人口增長模型.(2)利用(1)中的模型計(jì)算1951～1958年各年末的人口總數(shù)，查閱國家統(tǒng)計(jì)局網(wǎng)站公布的我國在1951～1958年間各年末的實(shí)際人口總數(shù)，檢驗(yàn)所得模型與實(shí)際人口數(shù)據(jù)是否相符.(3)以(1)中的模型作預(yù)測，大約在什么時(shí)候我國的人口總數(shù)達(dá)到13億？新知講解思考問題：(1)本例中所涉及的數(shù)量有哪些?答：經(jīng)過t年后的人口數(shù)y,y0；人口年平均增長率r；經(jīng)過的時(shí)間t以及1950～1959年我國的人口數(shù)據(jù).(2)描述所涉及數(shù)量之間關(guān)系的函數(shù)模型是否是確定的?確定這種函數(shù)模型需要幾個(gè)因素?答：是；兩個(gè),即y0和r.(3)根據(jù)表中數(shù)據(jù)如何確定函數(shù)模型?答：先求1951～1959年各年的人口增長率,再求年平均增長率r,確定y0的值,從而確定人口增長模型.新知講解思考問題：(4)對(duì)所確定的函數(shù)模型怎樣進(jìn)行檢驗(yàn)?根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果對(duì)函數(shù)模型又應(yīng)作出如何評(píng)價(jià)?答:作出人口增長函數(shù)的圖象,再在同一直角坐標(biāo)系上根據(jù)表中數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖,觀察散點(diǎn)是否在圖象上.(5)如何根據(jù)所確定的函數(shù)模型具體預(yù)測我國某個(gè)時(shí)期的人口數(shù),實(shí)質(zhì)是何種計(jì)算方法?答:已知函數(shù)值,利用函數(shù)模型，求自變量的值.新知講解解：(1)由題意知y0=55196，設(shè)1950～1959年期間我國人口的年平均增長率為r，根據(jù)馬爾薩斯人口增長模型，有

67201=55196e9r,由計(jì)算工具得

r≈0.021876.因此我國在1950～1959年期間的人口增長模型為(1)根據(jù)國家統(tǒng)計(jì)局網(wǎng)站公布的數(shù)據(jù)，我國1950年末、1959年末的人口總數(shù)分別為55196萬和67207萬.根據(jù)這些數(shù)據(jù)，用馬爾薩斯人口增長模型建立我國在1950～1959年期間的具體人口增長模型.新知講解解：(2)利用(1)中的模型計(jì)算1951～1958年各年末的人口總數(shù)，查閱國家統(tǒng)計(jì)局網(wǎng)站公布的我國在1951～1958年間各年末的實(shí)際人口總數(shù)，檢驗(yàn)所得模型與實(shí)際人口數(shù)據(jù)是否相符.(2)分別取t=1，2，…，8，由y=55196e0.021876t

可得我國在1951～1958年間的各年末人口總數(shù)；查閱國家統(tǒng)計(jì)局網(wǎng)站，得到我國1951～1958年各年末的實(shí)際人口總數(shù)，如下表所示.年份19511952195319541955195619571958計(jì)算所得人口總數(shù)/萬5641757665589406024361576629386433065753實(shí)際人口總數(shù)/萬5630057482587966026661465628286456365994新知講解年份19511952195319541955195619571958計(jì)算所得人口總數(shù)/萬5641757665589406024361576629386433065753實(shí)際人口總數(shù)/萬5630057482587966026661465628286456365994根據(jù)1950～1959年我國人口總數(shù)的實(shí)際數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖，并畫出函數(shù)由上表和圖可以看出，所得模型與1950～1959年的實(shí)際人口數(shù)據(jù)基本吻合.新知講解解：(3)以(1)中的模型作預(yù)測，大約在什么時(shí)候我國的人口總數(shù)達(dá)到13億？(3)將題意知y=130000，代入由計(jì)算工具可得

t≈39.15.所以，如果人口按照(1)中的模型增長，那么大約在1950年后的第40年(即1990年)，我國的人口就已達(dá)到13億.新知講解

事實(shí)上，我國1990年的人口數(shù)為11.43億，直到2005年才突破13億.對(duì)由函數(shù)模型所得的結(jié)果與實(shí)際情況不符，你有何看法？

因?yàn)槿丝诨鶖?shù)較大，人口增長過快，與我國經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平產(chǎn)生了較大矛盾，所以我國從20世紀(jì)70年代逐步實(shí)施了計(jì)劃生育政策．因此這一階段的人口增長條件并不符合馬爾薩斯人口增長模型的條件，自然就出現(xiàn)了依模型得到的結(jié)果與實(shí)際不符的情況．在用已知的函數(shù)模型刻畫實(shí)際問題時(shí)，應(yīng)注意模型的適用條件.在實(shí)際問題中，有關(guān)人口增長、銀行利率、細(xì)胞分裂等增長率問題?？梢杂弥笖?shù)函數(shù)模型表示．通常可以表示為y＝N(1＋p)x(其中N為基礎(chǔ)數(shù)，p為增長率，x為時(shí)間)的形式．初試身手1．物體在常溫下的溫度變化可以用牛頓冷卻定律來描述：設(shè)物體的初始溫度是T0，經(jīng)過一定時(shí)間t(單位：分)后的溫度是T，則T－Ta＝(T0－Ta)·e-kt，其中Ta稱為環(huán)境溫度，k為比例系數(shù)．現(xiàn)有一杯90oC的熱水，放在26oC的房間中，10分鐘后變?yōu)?2oC的溫水，那么這杯水從42oC降溫到34oC時(shí)需要的時(shí)間為（

）A．8分鐘 B．6分鐘 C．5分鐘 D．3分鐘解：由T－Ta＝(T0－Ta)·e-kt可得，當(dāng)90oC的熱水，放在26oC的房間中，10分鐘后變?yōu)?2oC的溫水時(shí)有：42－26＝(90－26)·e-10k，

初試身手1．物體在常溫下的溫度變化可以用牛頓冷卻定律來描述：設(shè)物體的初始溫度是T0，經(jīng)過一定時(shí)間t(單位：分)后的溫度是T，則T－Ta＝(T0－Ta)·e-kt，其中Ta稱為環(huán)境溫度，k為比例系數(shù)．現(xiàn)有一杯90oC的熱水，放在26oC的房間中，10分鐘后變?yōu)?2oC的溫水，那么這杯水從42oC降溫到34oC時(shí)需要的時(shí)間為（

）A．8分鐘 B．6分鐘 C．5分鐘 D．3分鐘解：

故選C.C新知講解【例2】2010年，考古學(xué)家對(duì)良渚古城水利系統(tǒng)中一條水壩的建筑材料（草裹泥）上提取的草莖遺存進(jìn)行碳14年代學(xué)檢測，檢測出碳14的殘留量約為初始量的55.2%，能否以此推斷此大壩大概是什么年代建成的？資料知識(shí)：

科學(xué)研究表明，宇宙射線在大氣中能夠產(chǎn)生包括碳14在內(nèi)的放射性物質(zhì)，碳14的衰減非常有規(guī)律，其準(zhǔn)確性可以稱為自然界的“準(zhǔn)確時(shí)鐘”.死亡后的動(dòng)植物停止了與外界的相互作用，體內(nèi)原有的碳14按確定的規(guī)律衰減，半衰期為5730年.這也是考古中常用碳14來推斷年代的原因.

那么，碳14的變化規(guī)律屬于哪種常用的函數(shù)模型，如何利用已知數(shù)據(jù)建立具體的數(shù)學(xué)函數(shù)模型？當(dāng)生物死亡后，它機(jī)體內(nèi)原有的碳14含量會(huì)按確定的比率衰減（稱為衰變率），屬于指數(shù)衰減.大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半，這個(gè)時(shí)間稱為“半衰期”.

新知講解【例2】2010年，考古學(xué)家對(duì)良渚古城水利系統(tǒng)中一條水壩的建筑材料（草裹泥）上提取的草莖遺存進(jìn)行碳14年代學(xué)檢測，檢測出碳14的殘留量約為初始量的55.2%，能否以此推斷此大壩大概是什么年代建成的？解：設(shè)樣本中碳14的初始量為k,衰減率為p(0<p<1),經(jīng)過x年后，殘余量為y.根據(jù)實(shí)際意義，可選擇如下模型：

新知講解【例2】2010年，考古學(xué)家對(duì)良渚古城水利系統(tǒng)中一條水壩的建筑材料（草裹泥）上提取的草莖遺存進(jìn)行碳14年代學(xué)檢測，檢測出碳14的殘留量約為初始量的55.2%，能否以此推斷此大壩大概是什么年代建成的？解：

因?yàn)?010年之前的4912年是公元前2903年，所以推斷此大壩大概是公元前2903年建成.初試身手解：

則至少應(yīng)過濾8次才能達(dá)到市場要求．