【高中數(shù)學(xué)】用空間向量研究夾角問題問題課件 2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊

與距離類似，角度是立體幾何中另一個重要的度量.下面我們用向量方法研究直線與直線所成角、直線與平面所成角及平面與平面所成角.1.4.2用空間向量研究夾角問題1、用向量法求線線角

一般地，兩條異面直線所成的角，可以轉(zhuǎn)化為兩條異面直線的方向向量的夾角來求得.也就是說，若異面直線l1，l2所成的角為θ

，其方向向量分別是

，

，則例1：在棱長為1的正四面體（四個面都是正三角形）ABCD中，M、N分別為BC、AD的中點，求直線AM與CN夾角的余弦值(1)幾何法解決此類問題，關(guān)鍵是通過平移求解．過某一點作平行線，將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為平面角，最后通過解三角形求解．主要以“作，證，算”來求異面直線所成的角，同時，要注意異面直線所成角的范圍．(2)向量法利用數(shù)量積或坐標(biāo)方法將異面直線所成的角θ轉(zhuǎn)化為兩直線的方向向量所成的角

，若求出的兩向量的夾角為鈍角，則異面直線的夾角應(yīng)為兩向量夾角的補(bǔ)角，即

.求異面直線所成的角的兩種方法2、用向量法求線面角

設(shè)直線AB與平面α相交于點B，直線AB與平面α所成角為θ，直線AB的方向向量為，平面α的法向量為，則5.如圖，在正方體ABEF－DCE′F′中，M，N分別為AC，BF的中點，求（1）求直線MN與直線AC的夾角余弦值（2）求直線EN與平面MNB的夾角余弦值練習(xí)鞏固(1)幾何法找直線在平面內(nèi)的射影，充分利用面與面垂直的性質(zhì)及解三角形知識可求得夾角(或夾角的某一三角函數(shù)值)．(2)向量法①建立空間直角坐標(biāo)系；②求直線的方向向量；③求平面的法向量；④計算：設(shè)線面角為θ，則

.求直線與平面的夾角的方法與步驟3、用向量法求面面角

若平面α、β的法向量分別是

，

，則平面α與平面β的夾角即為向量

和

的夾角或其補(bǔ)角.設(shè)平面α與平面β的夾角為θ，則5.如圖，在正方體ABEF－DCE′F′中，M，N分別為AC，BF的中點，求平面MNA與平面MNB的夾角的余弦值．練習(xí)鞏固(1)幾何法在二面角的棱上找一特殊點，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線，把平面角放到三角形中求解．(2)向量法①建立空間直角坐標(biāo)系；②求出兩個半平面的法向量

，

；③設(shè)二面角的平面角為θ，則；④根據(jù)圖形判斷θ為鈍角還是銳角，從而求出θ(或其三角函數(shù)).求平面與平面的夾角的方法與步驟向量求法圖形語言線線角設(shè)兩異面直線所成的角為θ，它們的方向向量為

，

，則

小

結(jié)：向量求法圖形語言線面角設(shè)直線l

與平面α

所成的角為θ，l

的方向向量為

，平面α的法向量為