2024年高考數(shù)學復習：33 參數(shù)方程與極坐標大題15種歸類（解析版）

33參數(shù)方程與極坐標大題15種歸類目錄 1 1 7 【題型六】極坐標思維1:極坐標弦長公式 【題型七】極坐標思維2:兩根韋達定理型 【題型八】極坐標思維3:求最值與范圍型 【題型十一】直線參數(shù)方程思維1:換“起點”與標準化t 【題型十三】直線參數(shù)方程思維3:解析關(guān)于t的韋達定理 【題型十四】直線參數(shù)方程思維4:綜合難度較大的題 30 【題型一】消參難點1:分母二次分式型消參【典例分析】在直角坐標系xOy中，曲線c的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).以坐標原點O為極點，x軸的(1)求C和1的直角坐標方程；(2)求C上的點到1距離的最小值.所以C的直角坐標方程為,c上的點到1的距離為【提分秘籍】方法1:萬能代換型消去參數(shù)：要想約去，x的分母也需要成為平方形式，并且分子可以構(gòu)造出分母的t?形式方法三：簡潔的根本是計算中間一步的細節(jié)處理1.在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(2)求C上的點到1距離的最大值.【詳解】(1)由C上的點到1的距離為時，取得最大值6,故C上的點到1距離的最大值為3.2.在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(m為參數(shù)),以坐標原點O為極的正半軸為極軸建立極坐標系，直線1的極坐標方程是(1)寫出曲線C的普通方程和1的直角坐標方程；(2)求C上的點到l距離的最小值.,【詳解】()::且,…C(2)由(1)可知：設C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),則可設C上任意一點坐標為則C上點到I距離為d,【題型二】消參難點2:正余弦對偶型【典例分析】在直角坐標系x?y?,曲線C的參數(shù)方程為(a為參數(shù)),以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，取相同長度單位建立極坐標系，直線1的極坐標方程為(1)求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標方程；值1.在直角坐標系xOy中，曲線M的參數(shù)方程為(a為參數(shù)),若以直角坐標系中的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線N的極坐標方程為t(t為參數(shù)).(1)求曲線M的普通方程和曲線N的直角坐標方程；(2)若曲線N與曲線M有公共點，求t的取值范圍?！玖稀?)y=x-Lxel221,x+y=1,@刻5.(2)若曲線M,N有公共點，則當直線N過點(2,3)時滿足要求，此時t=5,解得解得2.在直角坐標系xOy,曲線C的參數(shù)方程為(9為參數(shù)).以坐標原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，直線1的極坐標方程為(1)寫出曲線C的普通方程和直線l的直角坐標方程；(2)設直線1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),將其代入曲線C的直角坐標方程并化簡得【題型三】消參難點3:構(gòu)造正切公式型【典例分析】極軸建立極坐標系，直線1的極坐標方程為(1)求曲線C的普通方程與直線1的直角坐標方程；與曲線C交于點A(異于原點)、與直線1交于點B,求|AB|的值.,,【提分秘籍】【變式演練】1.在平面直角坐標系xOy中，曲線C,的參數(shù)方程為(1為參數(shù)),曲線C?的參數(shù)方程為【詳解】(1)消參可得C?的普通方程為2x-y-5=0;又因為(1)求曲線C的普通方程和極坐標方程；(2)設直線1與曲線C交于A,B兩點，求的取值范,當且【提分秘籍】【變式演練】【答案】(1)2;(2)16.的參數(shù)方程與曲線C的方程·矩形周長為因此該內(nèi)接矩形周長的最大值為162.已知曲線C的極坐標方程是p=2,以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，直線l的或時，原式的最小值為1.或-,得p(sinθ+acosθ)=2,即(2).由(t為參數(shù)),得則的幾何意義是拋物線y2=2x上的點(原點除外)與原點連線的斜率.由題意知a≠0,將,(t為參數(shù))代入ax+y-2=0,得at2+t-1=0.【提分秘籍】拋物線上動點，可轉(zhuǎn)化為與原點連線的斜率或斜率倒數(shù)【變式演練】(I)求C,的普通方程和C?的【答案】(I)C?的普通方程為:C?的直角坐標方程x+mx-2=0;(Ⅱ)由得mpsinθ+pcosθ=2,將x=pcosθ,y=psinθ代入，得my+x-2=0,上的點(原點除故m≠0.把(1為參數(shù))代入x+my-2=0,得4mt2+1-2=0,設此方程的兩根分別為f,t?,,2.在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(u為參數(shù));以原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸且取相同的長度單位建立極坐標系，直線1的極坐標方程(1)求直線l和曲線C的直角坐標方程；(2)設直線l和曲線C交于A,B兩點，直線OA,OB,AB的斜率分別為k,k?,k,求證：k?+k?=k.【詳解】(2)證明：將代入√3x-y+2a=0,得u2-√5u-2a=0.由直線1和曲線C交于A、B兩點且a>0,得△=3+8a>0;而【題型六】極坐標思維1:極坐標弦長【典例分析】在平面直角坐標系xOy中，直線1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C的極坐標方程為p2cos2θ-4psinθ=4故故,【提分秘籍】極坐標體系下的弦長公式(2)兩線兩點：余弦定理y2=2x+1.(2)將,(1)求曲線C?的極坐標方程；【解析】,將,將(2)將,【典例分析】在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(1)求曲線C的極坐標方程與射線L的直角坐標方程；【提分秘籍】【變式演練】1.直線1的參數(shù)方程為(其中1為參數(shù)),以坐標原點O為極點，x軸的正半(2)若m=2,當α變化時，求直線被曲線C截得的弦長的取值范圍.2.在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(1為參數(shù)),以坐標原點O為極點，x軸的,x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為(1)把曲線C和直線1化為直角坐標方程；則【題型八】極坐標思維3:求最值與范圍【典例分析】在直角坐標系xOy中，圓C的參數(shù)方程為(a為參數(shù)),以O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，直線/的極坐標方程為p(sinθ+√3cosθ)=3.【變式演練】1.在平面直角坐標系xOy中，直線1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以0為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為P=2cosφ,點P是曲線C?上的動點，點Q在OP的延長線上，且|PQl=3|OP|,點Q的軌跡為C?.(1)求直線1及曲線C?的極坐標方程；與直線1交于點M,與曲線C,交于點N(與原點不重合),求的最大(2)若射線(2)因為直線1及曲線C?的極坐標方程分別為,p=8cosθ,(2)若m=2,當α變化時，求直線被曲線C截得的弦長的取值范圍.【答案】(1)(1,+o);(2)[4,4√2]軸為極軸建立極坐標系.(1)求曲線C的極坐標方程；(2)若曲線C上兩點M,N,有OM⊥ON,求OMN面積最小值.(2)設【題型九】極坐標思維4:多線型【典例分析】;事;事的值.的值.【詳解】可得分)【提分秘籍】【變式演練】參數(shù)),曲線C與直線1有一個公共點在x軸上，以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系(1)求曲線C的極坐標方程；,把點(2,0)代入上述方程得a=2.∴曲線C普通方程為,++【答案】(1)見解析(2)m=2,則=2√2(cosg-sing)+2√2(coso+(2)當·【題型十】極坐標思維5:極坐標分段型中A,B,C,D均不與原點重合),若四邊形ABCD的面積為3,求α的值.,,,,,,,所以【變式演練】.(1)求該封(2)若直線l:與曲線C恰有3個公共點，求k的值.【詳解】(1)以極點為坐標原點，極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標系，曲線C由弧ABC,弧CDE,弧LFG,弧GHAc弧BC,AD所在圓的圓心分別是(0,0),(2,0),(2)點E,F位于曲線(2)點E,F位于曲線M?上，且記圓弧AD所在圓的圓心(2,0),所以極點O在圓弧AD上.設P(p,θ)為M?上任意一點，則p=4cosθ,).,,【題型十一】直線參數(shù)方程思維1:換“起點”與化標準t(2)曲線C?的普通方程為,點C(2,1)在直線y=x-1上，[5分]所以直線1的參數(shù)方程可以寫為(t為參數(shù)),[6分]得設得設A,B對應的參數(shù)分別為t,t2,[9分][9分]【提分秘籍】直線參數(shù)方程是否是標準方程要滿足：3、b不能為負(此條一般用不上)【變式演練】1.已知平面直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為【答案】(1),(2)直線1的參數(shù)方程可化為2.已知直線l的參數(shù)方程為(1為參數(shù)),曲線C的參數(shù)方程；(P為參數(shù)).(1)求曲線C的右頂點到直線1的距離；(2)將直線l的標準參數(shù)方程改為【題型十二】直線參數(shù)方程思維2:弦長公式【典例分析】在直角坐標系xOy中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.已知曲線的極坐標方程為(I)分別求曲線C的直角坐標方程和直線1的普通方程；【提分秘籍】【變式演練】1.在直角坐標系xOy中，直線1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))以坐標原點為極點，以x軸的正半軸(1)求1的普通方程和曲線C的直角坐標方程；,求m的值.EQ\*jc3\*hps9\o\al(\s\up13(,),直),2.已知曲線C的極坐標方程是p=4cos0.以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平(t為參數(shù)).(0)將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程；(2)設直線1與曲線C相交于A、B兩點，當a變化時，求|AB|的最小值.【題型十三】直線參數(shù)方程思維3:解析關(guān)于t的韋達定理【典例分析】以平面直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知點M的直角坐標為(1,0),(1)求直線1的直角坐標方程和曲線C的普通方程；(2)設直線l與曲線C交于A,B兩點，:得x-y-1=0(1為參數(shù)),代入【提分秘籍】異號)號)5、特殊：|PA|-IPB|=(此處要看圖找對應左上右上，判斷出每一個的具體正負))6、其他：積累【變式演練】的參數(shù)方程為：(t為參數(shù)),直線1與曲線C分別交于M,N兩點.(1)寫出曲線C和直線1的普通方程；(2)若點P(3,-1),求的值.(2)注意到P(3,-1),,為參數(shù)),聯(lián)立C的直角坐標方程與1的參數(shù)方程，異號.設方程的解為，t?,則異號.有有2.在直角坐標系xOy曲線C的極坐標方程為p-pcos20-4cos0=0.兩點，求的最大值.(2)若1與C交于A,B兩點，求的最大值.,(α為參數(shù)).(α為參數(shù)).在曲線c上，求m""【詳解】(1)已知曲線C的參數(shù)方程為等價于2sina=x+y,2cosa=x-y,【典例分析】直角坐標系中曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)).(1)求曲線C的直角坐標方程；(2)經(jīng)過點M(2,1)作直線l交曲線C于A,B兩點，若M恰好為線段AB的三等分點，求直線l的斜率.試題解析：(1)由曲線C的參數(shù)方程，得所以曲線C的直角坐標方程為(2)設直線l的傾斜角為α,斜率k=tana,則直線的參數(shù)方程為：為參數(shù)).此時P點坐標聯(lián)立直線參數(shù)方程和橢圓方程，聯(lián)立的方法就是把P點的參數(shù)坐標代入到代入橢圓C的直角坐標方程，化則PB=2PA,PB=|t1|,PA=|t2|,且P(2,1)在橢圓內(nèi)部，因而PA與PB方向相反。故有t?=-2個關(guān)系代入韋達定理,再把韋達定理的(1)式代入到(2)式中，即12k2+16k+3=0.【變式演練】(Ⅱ)已知點P(2,1),若直線l與曲線C交于A,B兩點，且AP=2PB,求tana。或或或,(1)寫出直線1與曲線C的直角坐標方程；(2)過點M平行于直線1:的直線與曲線C交于A、B兩點，若MA|·|MB|=8/3,求點M軌跡的直角坐標方曲線C的參數(shù)方程為消去參數(shù)0,可得曲線C:%表示一根周收px代入得：3x2+4mx+2m2-2=0由△≥0得-√3≤m≤%表示一根周收px代入故點M的軌跡是橢圓x2+2y2=6夾在平行直線y=x±√3之間的兩段弧【題型十五】綜合：軌跡【典例分析】pcosθ=4(2)設點A的極坐標為,點B在曲線C?上，求△OAB面積的最大值.過圓心C作AO垂線，交AO于點H,交圓C于B點，此時S△Aog最【提分秘籍】主要是極坐標體系下的軌跡，常規(guī)軌跡可參考圓準曲線求軌跡專題【變式演練】(1)寫出C的普通方程；的交點，求M的極徑.②,,,,(2)當M在C上運動且P在線段OM上時，求P點軌跡的極坐標方程.經(jīng)檢驗，點上.所以，l的極坐標方程為3.在直角坐標系xOy中，直線1過點(-2,0)且傾斜角為α.以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C的極坐標方程為p=1,1與C交于M,N兩點.(2)求MN中點H的軌跡的參數(shù)方程.或或當α=90°時，顯然直線1與曲線C相離，不合題意∴α≠90°,所以直線1的斜率k=tana存在∴直線或(2)(法一)直線1的參數(shù)方程為設M,N,H對應的參數(shù)分別為ty,tx,tg,t2-4cosa·t+3=0∴tm+tx=則將直線1的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐又點H的坐標滿足或當k,=0時，點H與原點重合，也滿足上式∴點H的軌跡的參數(shù)方程為模擬題1.曲線C的參數(shù)方程為(1為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為(a為參數(shù)).(1)求曲線C的一般方程；(2)求直線l被曲線C截得的弦長.【詳解】(1)∵曲線C的參數(shù)方程為(1為參數(shù)),∴x2+y2=1(-1(2)∵直線1的參數(shù)方程為·