基于隨機共振的非線性雙穩(wěn)系統(tǒng)的研究

基于隨機共振的非線性雙穩(wěn)系統(tǒng)的研究

1.隨機共振理論與實驗應(yīng)用近20年來，隨機共振現(xiàn)象引起了人們的廣泛關(guān)注和興趣。作為非線性問題的優(yōu)先事項之一，隨機共振研究在理論和實驗上取得了很大進(jìn)展。在應(yīng)用方面，重點是在強噪聲下提取信號，提高輸出信號的信噪比，并找到一種比線性濾波器更有效的信號噪聲分離方法，以準(zhǔn)確提取強噪聲下的弱信號。長期以來，人們一直將非線性雙穩(wěn)系統(tǒng)驅(qū)動著周期性和白色噪聲。˙x=x-x3+S(t)+Γ(t),?Γ(t)?=0;?Γ(t)Γ(t′)?=2Dδ(t-t′)(1)x˙=x?x3+S(t)+Γ(t),?Γ(t)?=0;?Γ(t)Γ(t′)?=2Dδ(t?t′)(1)(其中S(t)=Acosωt)進(jìn)行了較為全面的理論和實驗的研究.理論研究預(yù)言,并通過實驗證實(1)式所描述的系統(tǒng)其輸出信號存在隨機共振現(xiàn)象,且發(fā)現(xiàn)隨機共振具有能量由噪聲部分向信號部分轉(zhuǎn)移的機理和抑制噪聲的作用,因而能夠利用隨機共振從強噪聲抑制下提取信號S(t).信噪比是用于表征信號質(zhì)量的重要特征量,信號的信噪比越大,從中獲取準(zhǔn)確信息的程度就越高.電子學(xué)在這方面已取得重大結(jié)果,并獲得廣泛應(yīng)用.其基本方法是用線性濾波器從噪聲和信號的混雜系統(tǒng)中濾去噪聲取出信號.隨機共振研究其有價值的結(jié)果是:隨機共振能提取信號,并能在相同輸入信噪比的前提下比線性濾波器有較高的輸出信噪比.但研究發(fā)現(xiàn),(1)式所描述的系統(tǒng)即使在隨機共振的最佳情況下,系統(tǒng)的輸出信噪比仍然小于線性濾波器的輸出信噪比.至此,隨機共振應(yīng)用研究呈現(xiàn)出兩個令人不悅的結(jié)果:一是(1)式系統(tǒng)提取的是單一頻率信號S(t),而信息的傳輸,單一頻率信號所攜帶的信息量是零.二是(1)式系統(tǒng)的輸出中信號S(t)的信噪比小于線性濾波器的輸出信噪比.因而大大剝?nèi)趿穗S機共振理論的應(yīng)用潛力.本文設(shè)計一個模擬(1)式的實驗,目的在于探求利用隨機共振在強噪聲下提取信息信號的可能性.遵從電子學(xué)關(guān)于信息信號發(fā)送和接收的模式,將被傳送的信息信號(低頻調(diào)制信號)對高頻載波進(jìn)行調(diào)制,得一載有信息信號的調(diào)幅波,將該調(diào)幅波和噪聲視為非線性雙穩(wěn)系統(tǒng)的輸入,即將(1)式中的單一頻率信號用調(diào)幅波取代,再對非線性雙穩(wěn)系統(tǒng)的輸出進(jìn)行檢波、濾波后重新提取出被傳送的低頻調(diào)制信號.這里問題的關(guān)鍵是:由非線性系統(tǒng)的輸出能否提取被傳送的低頻調(diào)制信號;若能提取,其信噪比能否高于線性濾波器的輸出信噪比.為了與線性濾波器相對比,實驗中還將相同的調(diào)幅波和噪聲經(jīng)加法器相加后,再經(jīng)相同的檢波、濾波,獲得線性濾波器輸出的調(diào)制信號及其信噪比.我們設(shè)計的模擬實驗表明,在隨機共振的條件下,由非線性雙穩(wěn)系統(tǒng)的輸出能提取被傳送的信息信號,并且其信噪比高于線性濾波器輸出的信噪比.這是一個有價值的結(jié)果,它可能為信息處理提供一個新的途徑.2.隨機共振信號檢波和線性濾波實驗方框圖如圖1所示.其中,FB產(chǎn)生一個低頻余弦波S′(t)=Bmcos2πfmt,振幅Bm和頻率fm可自由調(diào)節(jié),FA的功能有兩個,一是產(chǎn)生一個振幅為A頻率為fc的高頻載波Acos2πfct,二是將輸入信號S′(t)對Acos2πfct進(jìn)行幅度調(diào)制,輸出一個載有信息信號的調(diào)幅波S(t)=A(1-Bcos2πfmt)cos2πfct,S(t)=A(1?Bcos2πfmt)cos2πfct,式中B=Bm/A稱為調(diào)制強度,B≤1,改變Bm即可改變調(diào)制強度.FN為噪聲發(fā)生器,產(chǎn)生一個強度可調(diào)的白噪聲H(t).S(t)和H(t)經(jīng)加法器F+輸出I(t)=A(1-Bcos2πfmt)cos2πfct+H(t).隨機共振裝置(SRD)由模擬電路組成,I(t)為SRD的輸入,x(t)為SRD在I(t)作用下的輸出.這時,(1)式成為˙x=x-x3+A(1-Bcos2πfmt)cos2πfct+Η(t).(2)x˙=x?x3+A(1?Bcos2πfmt)cos2πfct+H(t).(2)沿用電子學(xué)方法,為從隨機共振的輸出x(t)取得被傳送的調(diào)制信號S′(t),需對x(t)進(jìn)行檢波和線性濾波.Fdc為檢波、濾波裝置.Ff為八階濾波器裝置,其作用有兩個,一是從檢波裝置所得的信號中濾掉高頻載波分離出信息信號S′(t);二是濾掉高頻噪聲,消除進(jìn)行計算機快速傅里葉變換(FFT)過程中可能產(chǎn)生的Aliasing效應(yīng).這樣,從Ff輸出的是經(jīng)過SRD和電子學(xué)檢波、濾波所獲得的信息信號SSR(t)和與其相近頻率的背底噪聲.再將它們送入計算機接口板上的模數(shù)轉(zhuǎn)換電路進(jìn)行數(shù)字化,即把連續(xù)變化的電壓變量轉(zhuǎn)換為離散的數(shù)據(jù).再將它們輸入計算機,利用相應(yīng)的程序進(jìn)行快速傅里葉變換(FFT)求得輸出功率譜,并測量出信息信號SSR(t)的值和其信噪比RSR,RSR=SSR/N.SSR和N分別為功率譜中信息信號頻率fm處的信號幅值和背底噪聲強度.實驗過程舉例如下,給定載波頻率fc=800Hz,輸送的調(diào)制(信息)信號頻率fm=30Hz.調(diào)節(jié)載波幅度A=0.130V,這時模擬系統(tǒng)SRD的輸出x(t)不時的在其兩個穩(wěn)態(tài)之間跳躍,給定一個調(diào)制強度,如B=0.6,將噪聲強度H從零開始逐漸增大,使x(t)在兩個穩(wěn)態(tài)之間的跳躍逐步地由不完全趨于完全.此時,幾乎每一個載波周期內(nèi),x(t)都進(jìn)行周期近似為Tc=1/fc的跳躍.增大H,在某一區(qū)段的H強度范圍,每一載波周期都會出現(xiàn)在兩個穩(wěn)態(tài)之間的相近周期的跳躍.在H過大的情況下,跳躍則是完全隨機的.實驗時,測出不同H值時SRD輸出的信息信號SSR(t)和其信噪比RSR.我們發(fā)現(xiàn),在H=0.5V附近,SRD給出信息信號SSR(t)的信噪比RSR有一個峰值,并獲得一個完整的RSR-H隨機共振曲線(參見圖2).我們已經(jīng)獲得一個良好的結(jié)果,即通過模擬電子線路組成的隨機共振SRD裝置(加檢波、濾波),我們能夠從強噪聲中提取調(diào)幅波所載的信息信號,并有明顯的隨機共振效應(yīng).我們最好的期望是從SRD所獲得信息信號的信噪比RSR比該調(diào)幅波加強噪聲直接經(jīng)電子學(xué)系統(tǒng)檢波、濾波所獲得的信息信號的信噪比RL要高.為此,在圖1的下半部,我們將從F+輸出的調(diào)幅波和噪聲組成的I(t)(不經(jīng)過SRD)直接輸入到Fdc進(jìn)行檢波、濾波,并經(jīng)Ff濾掉高頻載波和噪聲,消除進(jìn)行快速FFT變換中可能的Aliasing效應(yīng)后,送入計算機進(jìn)行快速傅里葉變換,獲得直接經(jīng)電子學(xué)系統(tǒng)檢波、線性濾波后的信息信號SL(t)和信噪比RL,RL=SL/N.SL和N分別為相應(yīng)功率譜中頻率為fm處信號幅值和背底噪聲強度.整個實驗過程中,A=0.13V;B=0.6;fc=800Hz;fm=30Hz,改變的只是噪聲強度H(t).我們得到檢波、線性濾波條件下的RL-H曲線.它是一個隨H增大而單調(diào)下降的曲線,如圖2中的RL-H曲線.振幅調(diào)制信號S′(t),在相同的A,B,fc和fm前提下,對每一個H都有一個SRD輸出的信噪比RSR和電子學(xué)系統(tǒng)檢波、線性濾波輸出的信噪比RL,定義G=RSRRL.(3)G=RSRRL.(3)G量度了I(t)由SRD的輸出經(jīng)檢波、濾波后所得的信噪比與I(t)由電子學(xué)系統(tǒng)檢波、線性濾波輸出的信噪比相比提高的程度.3.不同調(diào)制強度b對隨機共振行為的影響圖2給出了B=0.6;fc=800Hz和fm=30Hz時,隨機共振輸出信噪比RSR和線性濾波輸出信噪比RL隨噪聲強度H變化的響應(yīng)曲線,即RSR-H曲線和RL-H曲線.它們的顯著特點是:RSR-H曲線有一個共振峰,且在一定的噪聲強度范圍內(nèi),曲線RSR-H在曲線RL-H的上方,即在該噪聲強度范圍內(nèi)G>1,或者說RSR>RL.這是我們最希望獲得的結(jié)果,這將意味著有可能利用隨機共振效應(yīng),設(shè)計、制作一種優(yōu)于已有電子學(xué)系統(tǒng)濾波器的新裝置,它可以在強噪聲下更為準(zhǔn)確地提取弱信息信號.圖3給出了B和fm對振幅調(diào)制信號隨機共振行為的影響.首先討論不同調(diào)制強度B對隨機共振行為的影響.圖3(a)示出fm=30Hz時B=0.3,0.5,0.7,0.9的G-H曲線.由圖可知,G-H曲線具有類似的共振形態(tài),存在峰值Gm.而且,隨著B的增大,與峰值Gm對應(yīng)的噪聲強度Hm是單調(diào)增加的.當(dāng)B較大時,Gm將趨于一個有限值,Gm≈6,或RSR≈6RL.而當(dāng)B→0時,有Gm→1或RSR≈RL(圖中未顯示),即此時SRD的輸出將趨于周期驅(qū)動力為單一頻率余弦波Acos2πfct時方程(1)的輸出,這顯然是合理的.另外,G-H曲線的另一個特點是,對不同的B值,當(dāng)H較大時,均有G→1.圖3(b)討論了確定的B值不同的調(diào)制信號頻率fm的G-H曲線.如圖所示,對確定的B,G-H響應(yīng)曲線也具有類似的共振形態(tài),存在峰值Gm.與調(diào)制強度B的影響不同的是,隨著fm的增大,與Gm對應(yīng)的噪聲強度Hm不是增大反而減小,且隨著fm(或m=fmfc)fm(或m=fmfc)的增大,Gm是單調(diào)下降的.隨著fm的增大,當(dāng)fm→fc時,Gm下降地非常迅速,且有Gm≤1.同樣,對不同的fm,當(dāng)H較大時,也均有G→1.令我們感到滿意的是,在m的一定取值范圍內(nèi),SRD的輸出信噪比RSR遠(yuǎn)大于其經(jīng)電子學(xué)系統(tǒng)檢波、濾波的輸出信噪比RL.例如m≤120m≤120時,有G>5.它基本滿足了實際應(yīng)用的需要.因為,一般無線電信號傳輸中,此值約為120＞m＞1100120＞m＞1100.這一結(jié)果,將對設(shè)計、制作一種在強噪聲下準(zhǔn)確提取調(diào)幅弱信號的新裝置提供有力支持.4.機變量xt自關(guān)聯(lián)函數(shù)和功率譜蜜度的計算理論上,當(dāng)S(t)=A(1-BcosΩt)cosωt,Ω<ω時,無量綱化的方程(1)可改寫為動力學(xué)隨機變量x(t)的概率分布函數(shù)P(x,t)所遵循的Fokker-Plank方程(FPE)?Ρ(x,t)?t=-??t{(x-x3-A(1-BcosΩt)cosωt)×Ρ(x,t)}+D?2Ρ(x,t)?x2?(4)?P(x,t)?t=???t{(x?x3?A(1?BcosΩt)cosωt)×P(x,t)}+D?2P(x,t)?x2?(4)其中Ω和ω分別為無量綱化的調(diào)制信號和載波信號頻率.在研究隨機共振現(xiàn)象的各種統(tǒng)計性質(zhì)時,往往側(cè)重于分析方程(4)的解的性質(zhì).其中,人們最感興趣的是隨機變量x(t)的自關(guān)聯(lián)函數(shù)和功率譜蜜度.當(dāng)輸入信號和白噪聲強度都較小時,在絕熱近似條件下,即A?1;D?1;ω?1.(5)A?1;D?1;ω?1.(5)有振幅調(diào)制信號S′(t)的信噪比為ˉR=α0A4B2π4D4[1-α20A22(α20+ω2)D2-α20A2B28(α20+(ω-Ω)2)D2-α20A2B28(α20+(ω+Ω)2)D2-α20A4B22(α20+Ω2)D4-?]-1?(6)Rˉˉˉ=α0A4B2π4D4[1?α20A22(α20+ω2)D2?α20A2B28(α20+(ω?Ω)2)D2?α20A2B28(α20+(ω+Ω)2)D2?α20A4B22(α20+Ω2)D4??]?1?(6)其中α0=√2πe-U0/Dα0=2√πe?U0/D.當(dāng)A?1時,上式可近似表示為ˉR=√2A4B24D4e-U0/D?(7)Rˉˉˉ=2√A4B24D4e?U0/D?(7)其中U0=1/4是雙穩(wěn)系統(tǒng)的勢壘,ˉRRˉˉˉ∝R2SR2SR.如圖4所示,ˉR-D曲線在值Dm處有一個峰值ˉRm.由此可見,調(diào)制信號的隨機共振現(xiàn)象是完全可以被絕熱近似理論所預(yù)言.另外,從圖4也可以清楚地看到,理論結(jié)果比較好地反應(yīng)了B和Ω(fm)對調(diào)制信號輸出信噪比的影響.例如B越大,相應(yīng)ˉR的峰值ˉRm就越大(參見圖4(a)).m越大,相應(yīng)ˉR的峰值ˉRm就較小(參見圖4(b)).不過,相比之下,B對調(diào)制信號輸出信噪比的影響顯然要比Ω(fm)對調(diào)制信號輸出信噪比的影響大的多,這是與實驗結(jié)果不完全相同的.另外,同實驗結(jié)果相比,理論結(jié)果還有一些十分不同的具體特征.主要表現(xiàn)在:1)當(dāng)D→0時,理論結(jié)果顯然是錯誤的.因為,當(dāng)D→0時,即在沒有白噪聲的情況下,輸出信噪比應(yīng)趨于無窮.而(6)式的結(jié)果卻趨于零(參見圖4).2)對不同的B值,ˉR在同一噪聲強度處出現(xiàn)峰值,即ˉR的峰位與B的大小無關(guān)(參見圖4(a)).而實驗結(jié)果則表明RSR(ˉR)的峰位與B的大小有關(guān).B越大,Hm(Dm)也越大(參見圖3(a)).由于理論結(jié)果的推導(dǎo)與分析需較大篇幅,我們將另文報道.5.隨機共振在強噪聲下準(zhǔn)確提取弱信號的研究思路及結(jié)論現(xiàn)代電子學(xué)領(lǐng)域中,如通信、控制、廣播、遙控遙感及各種電子系統(tǒng),都普遍存在處理微弱信號和噪聲問題.以通信系統(tǒng)為例,限制通信距離的不是信號電平的微弱程度,而是噪聲干擾程度.對于高質(zhì)量的信號傳輸和處理,噪聲是影響信號質(zhì)量的重要因素.因此,如何應(yīng)對噪聲是現(xiàn)代電子學(xué)面臨的重要問題之一.其中,從系統(tǒng)上研究降噪方法,以及從理論和實驗上研究如何在強噪聲下準(zhǔn)確提取弱信號是諸多問題中的兩個主要方面.通常噪聲往往被視為是消極的東西,它產(chǎn)生雜亂的運動,破壞序,破壞功能,抹去相和相之間的差別.因此,傳統(tǒng)上往往采用降低輸入噪聲的方法和線性濾波來提取微弱信號(線性放大器將信