基于lomb-scarg功率譜的非均勻含噪時域序列的研究

基于lomb-scarg功率譜的非均勻含噪時域序列的研究

圖1中的曲線y1對應于0.25的信噪比。當p.f時，表示功率譜的大小和半波寬a和峰偏移度。曲線y2、y3、y4分別對應不同信噪比序列的傅立葉功率譜曲線。大采樣間隔是一種典型的時間分布不均勻性情形,對應于實際觀測數(shù)據(jù)中的數(shù)據(jù)缺失現(xiàn)象。模擬產(chǎn)生4個具有不同數(shù)據(jù)缺失比的非均勻含噪系列,各序列的長度T、統(tǒng)計量N和噪聲強度都相同,然后在模擬序列中加入一周期信號。因此這4個序列具有相同的信噪比。最后對這4個序列進行Lomb-Scargle傅立葉變換,其功率譜結構如圖2所示。圖2中4條曲線分別對應序列中具有不同大采樣間隔序列的功率譜,曲線y1、y2、y3、y4分別是數(shù)據(jù)缺失比為:0.025,0.125,0.25,0.5的4個序列的功率譜曲線。實際實驗序列的長度T都是有限的,下面通過模擬方法來研究序列的長度對傅立葉功率譜的影響。在確定模擬序列的統(tǒng)計量N、信噪比ξ的情況下,通過改變序列的長度T,來研究信號譜峰的不確定度Δf、半波寬度a的變化,各模擬序列的參數(shù)及功率譜如圖3所示。圖3中y1對應著長度T=40序列的功率譜曲線,其功率譜大小P,半波寬度a及譜峰偏移度Δf等參數(shù)如圖所示。y2、y3、y4分別對應著長度為:80,20,400序列的傅立葉變換功率譜。3虛假譜峰的信號分析從上述三種模擬分析中可以清楚的看到,序列的信噪比ξ、時間分布的非均勻性和有效長度都是影響其傅立葉變換功率譜結構的重要因素。在確定序列其他參數(shù)不變,序列的信噪比ξ對譜峰的大小P,不確定度Δf都有重要影響。從圖1中的模擬結果可以發(fā)現(xiàn)信噪比越大,功率譜越小(對應的虛警概率越大,因此信號的顯著性越高),譜峰的不確定度越大,但是信噪比對譜峰的半波寬度沒有影響。序列時間分布的非均勻性可以在功率譜中產(chǎn)生虛假譜峰,如圖2所示。序列的數(shù)據(jù)缺失比愈大,虛假譜峰愈顯著。如圖2d中,序列數(shù)據(jù)缺失比為0.5,對應的次極大虛假譜峰的顯著性水平較高。序列數(shù)據(jù)缺失比越大,虛假譜峰結構也越復雜,因此真假信號的鑒別也越困難。但是虛假譜峰也有明顯特點:虛假譜峰總是成對出現(xiàn),并且關于主峰對稱,另外離主頻信號越遠,次級虛假譜峰也越小。圖3中的模擬結果顯示,序列的長度是影響信號譜峰半波寬度的主要因素。序列越長,半波寬度越小即頻率分辨率越高。在確定其他參數(shù)不變時,序列長度與半波寬度成反比,譜峰的不確定度也隨序列長度的增大而減小,而序列長度對功率譜大小沒有影響。因此在分離頻率相近的多目標信號時,可以通過增加序列的有效長度,提高頻率分辨率,從而準確地分離多目標信號。4時間分布的非均勻性引起的虛假譜峰通過上述模擬分析,重點討論了時間序列的信噪比、時間分布和有效長度等參數(shù)對其Lomb-Scargle傅立葉變換功率譜的影響,得出如下結論:(1)序列信噪比是影響其功率譜大小的主要因素,信噪比越大,對應的功率譜越小,其虛警概率越大,因此信號顯著性也越低。Lomb-Scargle算法的探測效率較高,可以準確地探測到信噪比很小的弱周期信號,另外序列信噪比對譜峰的不確定度也有影響。(2)時間分布的不均勻性是影響功率譜結構的重要因素,大采樣間隔越大,虛假譜峰結構越復雜,顯著性也越高。(3)序列的有效長度是影響主頻信號半波寬度的主要因素,即序列長度越大,主峰半波寬度越小,對應頻率分辨率越高。(4)Lomb-Scargle算法可以從信噪比較低的時間序列中準確地提取出弱周期信號,探測效率較高;功率譜頻率的分辨率較高,時間分布的非均勻性引起的虛假譜峰結構特點鮮明。因此該方法是提取非均勻序列中弱周期信號的有效方法。受篇幅影響本文在討論時間分布的非均勻性在功率譜中引起虛假譜峰的過程中,只討論了大采樣間隔這一種非均勻情形,沒有討論時間分布的隨機性這一情形,這將是后續(xù)研究工作的重點。時域序列中可能存在的周期行為分析是生物醫(yī)學、大氣科學、天文學等學科領域的研究課題之一,描述這些周期行為的最常用方法就是傅立葉分析法。對于連續(xù)均勻分布的時域序列,通過普通的傅立葉分析可以獲得很好的頻譜圖。但是,由于實驗觀測本身的原因,實際的觀測數(shù)據(jù)在時域上都是不均勻的,并且含有大量的噪聲,因此在進行傅立葉變換時,時域序列的非均勻性和有限長度等因素會在傅立葉變換的功率譜中產(chǎn)生虛假譜峰,此外由于噪聲影響,周期信號的振幅和相位也可能存在較大的誤差。為了解決普通傅立葉變換在處理含噪非均勻時域序列時存在的虛假譜峰、探測效率較低等問題,人們做了一些相關研究。1999年余建航,張曾锠等人采用時域平均處理的方法從非均勻的時域序列中提取出弱周期信號,研究結果發(fā)現(xiàn)周期測量誤差對簡諧分量的幅值和相位有較大影響。因為對序列的非均勻性進行均勻處理嚴重影響了序列的統(tǒng)計特性,不能很好表現(xiàn)序列中的高頻信號。2001年,賈煥玉等人用周期折疊法從非均勻時域序列中尋找周期信號,并估計其相位和振幅,但是該方法只能給出序列中所存在周期信號的周期、振幅、相位,不能對周期信號的顯著性進行準確估計。本文在模擬仿真的基礎上,對有限長的含噪非均勻時域序列的Lomb-Scargle功率譜結構作了系統(tǒng)的分析;深入地研究了時間分布的非均勻性、噪聲強度和序列的有效長度對傅立葉變換功率譜的影響;然后對功率譜中信號頻率不確定度、虛假譜峰和半波寬度進行重點討論。1功率譜pxf的基本概念對于連續(xù)均勻分布的時域序列,通過普通的傅立葉分析可以獲得很好的頻譜。但是實際的實驗數(shù)據(jù)很難做到時域上的均勻,時域序列的不均勻分布在傅立葉變換時會產(chǎn)生虛假信號。由Lomb發(fā)展,經(jīng)過Scargle進一步完善的Lomb-Scargle傅立葉變換法不僅能有效地從時域序列中提取出弱周期信號,還可以在一定程度上減弱時域序列的不均勻性產(chǎn)生的虛假信號。此外,該方法還能給出各個頻率信號存在的虛警概率和顯著性。對于時域序列X(tj),j=1,2,3…,N,其功率譜可定義為關于頻率f的函數(shù):這里Px(f)是頻率為f的周期信號的功率;X(tj)是離散實驗數(shù)據(jù);tj是離散實驗數(shù)據(jù)的時間,N為實驗數(shù)據(jù)統(tǒng)計量,τ為時間平移不變量。功率譜Px(f)具有其他常用離散傅立葉變換所不具備的有用特性。首先,常量τ使得時間原點平移一個常數(shù)時,功率Px(f)保持不變。其次,該傅立葉分析法等同于正弦曲線的最小二乘擬合法;另外歸一化后的功率譜PN(f)服從e-z的指數(shù)概率分布,定義:這里σ2是樣本數(shù)據(jù)的總方差。對于任意頻率f,其歸一化功率PN(f)不小于z的概率為:假設z0是功率譜中M個獨立頻率中的一個最高峰,對應的頻率為f0,任意獨立頻率信號功率小于z0的概率為1-e-z0,而每一個獨立頻率信號功率小于z0的頻率的概率為[1-e-z0]M。因此,如果e-z0遠小于1,功率不小于z0的概率即虛警概率可近似為:假設序列中存在頻率為f0的周期信號,噪聲和序列的有限長度會導致功率譜圖中的譜峰偏離f0,在理論上偏離程度可以用如下公式近似表示:這里A為信號的幅度,σN是序列的均方差,T為數(shù)據(jù)總長度,N為序列統(tǒng)計量。另外,對于多信號情形,如果彼此相隔很近,多頻率信號的相互調制作用可能使信號頻率發(fā)生偏移(Kovacs1981);數(shù)據(jù)跨度的線性趨勢也會導致給定頻率信號的另一種偏移。2序列信噪比對光譜峰的影響對于非均勻的時域序列,采樣時間的分布對該序列的頻譜結構有很大的影響。針對天文學、生物醫(yī)學等領域中實驗觀測數(shù)據(jù)的特點,本節(jié)以模擬的方法對背景噪聲、時間分布的非均勻性和序列的有效長度對信號譜峰的顯著性、不確定度、虛假譜峰和半波寬度的