平面向量的概念及線性表示

第1課時平面向量的概念及其線性運算1．向量的有關(guān)概念(1)向量：既有

又有

的量叫做向量，向量的大小叫做向量的

(或稱

)．(2)零向量：

的向量叫做零向量，其方向是

的，零向量記作

．(3)單位向量：長度等于

個單位的向量．大小方向長度模長度為0任意01(4)平行向量：方向相同或

的

向量；平行向量又叫

向量．規(guī)定：0與任一向量

．(5)相等向量：長度

且方向

的向量．(6)相反向量：長度

且方向

的向量．[思考探究]若把平面內(nèi)所有的單位向量的起點移到同一個點，它們的終點組成什么圖形？提示：

以所給點為圓心，以1為半徑的圓．相反非零共線平行相等相同相等相反2．向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算

法則

法則(1)交換律：a＋b＝

.(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝

.減法求a與b的相反向量－b的和的運算叫做a與b的差

法則三角形平行四邊形三角形b＋aa＋(b＋c)向量運算定義法則(或幾何意義)運算律數(shù)乘求實數(shù)λ與向量a的積的運算(1)|λa|＝

．(2)當λ＞0時，λa的方向與a的方向

；當λ＜0時，λa的方向與a的方向

；當λ＝0時，λa＝

.λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝

；λ(a＋b)＝

.|λ||a|相同相反0λa＋μaλa＋λb3.共線向量定理向量a(a≠0)與b共線，當且僅當有唯一一個實數(shù)λ，使得

．b＝λa課堂練習(xí)

1．下列命題正確的是(

)A．a(chǎn)與b共線，b與c共線，則a與c也共線B．任意兩個相等的非零向量的起點與終點是一平行四邊形的四個頂點C．a(chǎn)與b不共線，則a與b都是非零向量D．有相同起點的兩個非零向量不平行解析：由于零向量與任一向量都共線，所以A不正確；由于數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量，所以兩個相等的非零向量可以在同一直線上，而此時就構(gòu)不成四邊形，根本不可能是一個平行四邊形的四個頂點，所以B不正確；向量的平行只要方向相同或相反即可，與起點是否相同無關(guān)，所以D不正確；對于C，其條件以否定形式給出，所以可從其逆否命題入手考慮，假若a與b不都是非零向量，即a與b至少有一個是零向量，而由零向量與任一向量都共線，可有a與b共線，所以應(yīng)選C.答案：

C答案：

B答案：

A4．已知a與b是兩個不共線向量，且向量a＋λb與－(b－3a)共線，則λ＝________．答案：

2

其中不正確的個數(shù)是(

)A．2

B．3C．4 D．5解析：兩個向量起點相同，終點相同，則兩個向量相等；但兩個向量相等，不一定有相同的起點和終點，故①不正確；|a|＝|b|，但a，b方向不確定，所以a，b不一定相等，故②不正確；③、④正確；零向量與任一非零向量都平行，當b＝0時，a與c不一定平行，故⑤不正確．答案：

B涉及平面向量有關(guān)概念的命題的真假判斷，準確把握概念是關(guān)鍵；掌握向量與數(shù)的區(qū)別，充分利用反例進行否定也是行之有效的方法．1.給出下列命題：(1)兩個具有公共終點的向量，一定是共線向量．(2)兩個向量不能比較大小，但它們的模能比較大?。?3)λa＝0(λ為實數(shù))，則λ必為零．(4)λ、μ為實數(shù)，若λa＝μb，則a與b共線．其中錯誤命題的個數(shù)為(

)A．1 B．2C．3 D．4解析：

(1)錯誤．兩向量共線要看其方向而不是起點與終點．(2)正確．因為向量既有大小，又有方向，故它們不能比較大小，但它們的模均為實數(shù)，故可以比較大?。?3)錯誤．當a＝0時，不論λ為何值，λa＝0.(4)錯誤．當λ＝μ＝0時，λa＝μb，此時，a與b可以是任意向量．答案：

C答案：

D1.進行向量運算時，要盡可能地將它們轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，充分利用相等向量、相反向量．2．向量的線性運算類似于代數(shù)多項式的運算，實數(shù)運算中的去括號、移項、合并同類項、提取公因式等變形手段在向量線性運算中同樣適用．運用上述法則可簡化運算．答案：

Ba∥b?a＝λb(b≠0)是判定兩個向量共線的重要依據(jù)，其本質(zhì)是位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的高度統(tǒng)一．證明三點A、B、C共線，借助向量，只需證明由這三點A、B、C組成的所有向量中有兩個共線即可，即這兩個向量之間存在唯一一個實數(shù)λ，使a＝λb(b≠0)即可．

1．在進行向量運算時，要盡可能將它們轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，以便使用向量的運算法則進行求解．充分利用平面幾何的性質(zhì)，可把未知向量用已知向量表示出來．2．向量共線的充要條件常用來證明平面幾何中的三點共線和兩直線平行等問題．但是，向量平行與直線平行是有區(qū)別的，直線平行不包括重合的情形．在證明三點共線或兩直線平行時，可先探索有關(guān)向量滿足b＝λa(a≠0)，再結(jié)合條件或圖形有無公共點確定其幾何位置.從近兩年的高考試題來看，向量的線性運算、共線問題是高考的熱點．尤其向量的線性運算出現(xiàn)的頻率較高，多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，屬中低檔題目，主要考查向量的線性運算及對向量有關(guān)概念的理解，常與向量共線和平面向量基本定理交匯命題．知識掌握不熟致誤·名師點撥增分答案：

(－4，－2)錯因分析不明確兩向量方向相反的條件，而導(dǎo)致錯誤，還有時把|a|誤寫成5λ2.備考建議建議在學(xué)習(xí)中要加強對向量基本知識的記憶與掌握，熟知向量運算的法則，特別是平面向量基本定理和向量共線的充要條件，更要引起高度的重視.已知向量a，b不共線，c＝ka＋b(k∈R)，