北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)1.1 菱形的性質(zhì)與判定（分層練習(xí)）（解析版）

第一章特殊平行四邊形1.1菱形的性質(zhì)與判定精選練習(xí)基礎(chǔ)篇基礎(chǔ)篇一、單選題1．（2022·云南昆明·八年級(jí)期末）張師傅應(yīng)客戶(hù)要求加工4個(gè)菱形零件．在交付客戶(hù)之前，需要對(duì)4個(gè)零件進(jìn)行檢測(cè)．根據(jù)零件的檢測(cè)結(jié)果，圖中有可能不合格的零件是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)菱形的判定定理逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】A選項(xiàng)圖形四條邊相等，故為菱形，本選項(xiàng)符合題意；B選項(xiàng)圖形，對(duì)邊平行，這組對(duì)邊相等，且四邊形鄰邊相等，故為菱形，本選項(xiàng)符合題意；C選項(xiàng)圖形一組對(duì)邊平行，一組對(duì)邊相等，無(wú)法證明其為菱形，本選項(xiàng)不符合題意；D選項(xiàng)圖形由同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，可得兩組對(duì)邊分別平行，且鄰邊相等，故為菱形，本選項(xiàng)符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．2．（2022·四川成都·八年級(jí)期末）一個(gè)菱形ABCD的周長(zhǎng)為40cm，它的一條對(duì)角線長(zhǎng)10cm，則下列關(guān)于該菱形的說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．另一條對(duì)角線長(zhǎng)為cm B．有一組對(duì)角的大小為60°C．面積為 D．任意一邊上的高均為cm【答案】C【解析】【分析】由菱形的性質(zhì)及勾股定理求出OA及AC的長(zhǎng)，則可判斷選項(xiàng)A，由等邊三角形的判定和性質(zhì)可得出B選項(xiàng)正確；根據(jù)菱形的面積公式可判斷C，D．【詳解】解：如圖，對(duì)角線BD=10cm，AC與BD交于點(diǎn)O，∵菱形ABCD的周長(zhǎng)為40cm，∴AB=BC=CD=AD=10cm；∵對(duì)角線BD=10cm，∴BO=DO=5cm，在Rt△ADO中，cm，∴cm，故A選項(xiàng)正確，不符合題意；∵AD=BD=AB=10cm，∴△ABD為等邊三角形，∴∠BAD=60°，∴∠BCD=∠BAD=60°，故B選項(xiàng)正確，不符合題意；∴菱形的面積為cm2，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；設(shè)菱形一邊上的高為hcm，∴，解得：cm，故D選項(xiàng)正確，不符合題意；故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．3．（2022·海南?？凇ぐ四昙?jí)期末）如圖，在菱形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，AE⊥BC，連接AC，則∠BAD等于（

）A．60° B．100° C．110° D．120°【答案】D【解析】【分析】首先求出AB＝AC，然后證明△ABC和△ACD是等邊三角形即可．【詳解】解：∵E是BC的中點(diǎn)，AE⊥BC，∴AB＝AC，∴AC＝AB＝BC＝CD＝DA，∴△ABC和△ACD是等邊三角形，∴∠BAC＝∠CAD＝60°，∴∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝120°，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握各性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．4．（2022·河南許昌·八年級(jí)期末）如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E是邊AB上一點(diǎn)，，連接EC．若，則∠BCE的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由菱形的性質(zhì)可得，由等腰三角形的性質(zhì)可得，，，即可求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴，∵，∴，∵，∴，且，∴，∵，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練運(yùn)用菱形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．5．（2022·廣東肇慶·八年級(jí)期末）如圖，四邊形ABCD是菱形，AC＝8cm，DB＝6cm，DH⊥AB于H，則DH等于（

）A．3.6 B．4.8 C．5 D．10【答案】B【解析】【分析】設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，先由勾股定理求出AB，再根據(jù)菱形面積的計(jì)算方法即可求解．【詳解】解：如圖，設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，∵四邊形ABCD是菱形，AC＝8cm，DB＝6cm，∴AC⊥BD，OA=OC=4cm，OB=OD=3cm，∴，∵DH⊥AB，∴菱形的面積等于，∴．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)以及勾股定理；熟練掌握菱形的性質(zhì)，由勾股定理求出AB的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．6．（2022·天津?yàn)I海新·八年級(jí)期末）在菱形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，，，過(guò)點(diǎn)作的平行線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則的面積為（

）A．24 B．18 C．12 D．10【答案】A【解析】【分析】先判斷出四邊形ACED是平行四邊形，從而得出DE的長(zhǎng)度，根據(jù)菱形的性質(zhì)求出BD的長(zhǎng)度，利用勾股定理的逆定理可得出△BDE是直角三角形，計(jì)算出面積即可．【詳解】解：菱形ABCD，在Rt△BCO中，則BD=8，∴四邊形ACED是平行四邊形，∴AC=DE=6，

BE=BC+CE=10，∴△BDE是直角三角形，

∴S△BDE=DE?BD=24．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理的逆定理及三角形的面積，平行四邊形的判定與性質(zhì)，求出BD的長(zhǎng)度，判斷△BDE是直角三角形，是解答本題的關(guān)鍵．二、填空題7．（2022·湖南邵陽(yáng)·八年級(jí)期末）若菱形的邊長(zhǎng)為13cm，對(duì)角線長(zhǎng)10cm，則菱形的面積是__________cm2．【答案】120【解析】【分析】先根據(jù)菱形對(duì)角線互相垂直平分，利用勾股定理求出另一對(duì)角線一半的長(zhǎng)，從而得出另一對(duì)角線的度，然后利用菱形面積等于對(duì)角線乘積的一半求解即可．【詳解】解：如圖，AB=13cm，BD=10cm，∵菱形，∴AC⊥BD，OB=BD=5cm，AC=2OA，∴∠AOB=90°，在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA==12(cm)，∴AC=2OA=24cm，∴菱形的面積==120(cm2)，故答案為：120．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握菱形的性質(zhì)與勾股定理是解題的關(guān)鍵．8．（2022·福建龍巖·八年級(jí)期末）如圖，菱形ABCD中，∠ABD=30°，AC=4，則BD的長(zhǎng)為_(kāi)______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可得∠ABO=30°，AO==2，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理即可求得BO的長(zhǎng)，從而得到結(jié)果．【詳解】如圖：在菱形ABCD中，AC、BD是對(duì)角線，設(shè)相交于O點(diǎn)，∠ABD=30°，AC=4，∴AC⊥BD，AO==2，∴AB=2AO=4，∴，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是菱形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形的對(duì)角線互相垂直平分，對(duì)角線平分對(duì)角．9．（2022·北京石景山·八年級(jí)期末）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，，則________．【答案】70【解析】【分析】由菱形的性質(zhì)可得的度數(shù)，再根據(jù)余角的性質(zhì)可得答案．【詳解】解：在菱形中，，，，，．故答案為：70．【點(diǎn)睛】本題考查的是菱形的性質(zhì)，除平行四邊形固有的性質(zhì)外，菱形的對(duì)角線相互垂直，對(duì)角線平分對(duì)角等，解題的關(guān)鍵是掌握其性質(zhì)定理．10．（2022·浙江溫州·八年級(jí)期末）如圖，在菱形中，，，則_______【答案】【解析】【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得到OA和OB的長(zhǎng)度，，再利用勾股定理求解．【詳解】解：∵在菱形中，，，∴，，，∴在中．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)和勾股定理，理解菱形的性質(zhì)是解答關(guān)鍵．三、解答題11．（2022·天津河西·八年級(jí)期末）如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，又有E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，連接EF．(1)求對(duì)角線AC的長(zhǎng)；(2)求EF的長(zhǎng)．【答案】(1)2(2)【解析】【分析】（1）由菱形的性質(zhì)得AB=BC=2，∠BCA=∠DCA=∠BCD=60°，再證△ABC是等邊三角形即可；（2）由三角形中位線定理得EF=BD，再由菱形的性質(zhì)得AO=AC=1，BO=DO，AC⊥BD，最后運(yùn)用勾股定理解答即可．(1)解：四邊形ABCD是菱形，∴，，∵，∴是等邊三角形∴．(2)解：∵E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，∴是中位線，∴．又∵四邊形ABCD是菱形，∴，，∴，∴在中，由勾股定理得，，∴，∴（負(fù)舍）∴∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理以及勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)定理是解答本題的關(guān)鍵．12．（2022·浙江嘉興·八年級(jí)期末）如圖，在菱形中，對(duì)角線，交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)C作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．(1)求證：//．(2)若，，求四邊形的周長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)22【解析】【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AC⊥BD，再由，即可求證；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AB∥CD，CD=AB=5，可證得四邊形BECD是平行四邊形，即可求解．(1)證明：在菱形中，AC⊥BD，∵，∴BD∥CE；(2)解：在菱形中，AB∥CD，CD=AB=5，∴BE∥CD，∴四邊形BECD是平行四邊形，∴BD=CE=6，BE=CD=5，∴四邊形的周長(zhǎng)為2（BE+CE）=22．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，平行線的判定，熟練掌握菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，平行線的判定是解題的關(guān)鍵．提升篇提升篇一、填空題1．（2022·廣西欽州·八年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)在正方形ABCD內(nèi)部且AE⊥EF，CF⊥EF，已知AE＝9，EF＝5，F(xiàn)C＝3，則正方形ABCD的邊長(zhǎng)為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】連接，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，在中，勾股定理求得，進(jìn)而即可求解．【詳解】如圖，連接，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)AE⊥EF，CF⊥EF，則四邊形是矩形，中，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)與判定，勾股定理，構(gòu)造直角三角形求得的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．2．（2022·湖南邵陽(yáng)·八年級(jí)期末）如圖，在正方形中，為中點(diǎn)，連結(jié)，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連結(jié)，若，則的值為_(kāi)__________．【答案】【解析】【分析】由題意可得△AED≌△CFD，從而得到CF=AE=1，然后根據(jù)勾股定理可以得到解答．【詳解】解：∵E為AB的中點(diǎn)，∴AB＝2AE＝2，∵四邊形ABCD是正方形，∴BC＝AB＝2，∠ADC＝∠ABC＝90°，∵，∴∠EDC+∠CDF=90°=∠EDC+∠ADE，BC＝AB，∴∠CDF=∠ADE，又CD=AD，∠DCF=∠A=90°，∴△AED≌△CFD（ASA），∴CF=AE=1，BF=BC+CF=2+1=3，∴在RT△EBF中，由勾股定理可得：EF=，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的綜合應(yīng)用，熟練掌握正方形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．3．（2022·重慶一中八年級(jí)期中）如圖，正方形ABCD邊長(zhǎng)為4，P是正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值是______．【答案】【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)P作，由可得，得PE=1，PF=3，過(guò)點(diǎn)P作MN//AB交AD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，可得出四邊形PFCN是矩形，得CN=PF=3，延長(zhǎng)CB到K，使NK=CN=3，連接DK，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短故可知的最小值為DK的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理可求解【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作，交AB于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，∵四邊形是正方形，∴，，，，∴∵，，∴，∴∵∴，∴，，過(guò)點(diǎn)P作MN//AB交AD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，則，∴∠∴四邊形是矩形，∴四邊形是矩形，∴，∵∠，延長(zhǎng)CB到K，使NK=CN=3，則有：連接DK，當(dāng)在一條直線上時(shí)，，當(dāng)不在一條直線上時(shí)，，故當(dāng)共線時(shí)，又N是CK的中點(diǎn)，，∴PN是CK的垂直平分線，∴CP=PK，所以的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)，矩形的判斷與性質(zhì)，勾股定理以及線段的垂直平分線的判斷與性質(zhì)等知識(shí)，掌握正方形的性質(zhì)，正確做出輔助線是解題的關(guān)鍵．4．（2022·浙江杭州·八年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H為正方形ABCD四邊中點(diǎn)，連接BE，DG，CF，AH．若AB＝10，則四邊形MNPQ的面積是______．【答案】20【解析】【分析】根據(jù)正方形四邊相等，四個(gè)角為直角的性質(zhì)，且點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H為正方形ABCD四邊中點(diǎn)，可證明△ADG≌△DCG≌△CBF≌△BAE（SAS），得到AH=DG=CF=BE，∠HAD=∠GDC=∠FCB=∠EBA，則可證明△AQD≌△BAM≌△CBN≌△DCP（AAS），四邊形MNPQ是正方形，求出MNPQ的邊長(zhǎng)即可求出其面積．【詳解】解：∵點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H為正方形ABCD四邊中點(diǎn)，∴AE=DH=CG=BF，又∵AB=BC=CD=AD，∴△ADG≌△DCG≌△CBF≌△BAE（SAS），∴AH=DG=CF=BE，∠HAD=∠GDC=∠FCB=∠EBA，∵∠HAD+∠BAH=90°，∴∠BAH+∠ABE=90°，∴∠AMB=180°-(∠BAH+∠ABE)=90°，同理：∠BNC=∠CPD=∠DQA=90°，∴△AQD≌△BAM≌△CBN≌△DCP（AAS），∴AM=BN=CP=DQ，AQ=BM=CN=DP，∴MQ=MN=PN=PQ，∴四邊形MNPQ是正方形，∵AB=BC=CD=AD=10，∴BE=CF=DG=AH=，∵，∴AM=，∴，∴MQ=MN=PN=PQ=，∴四邊形MNPQ的面積=，故答案為：20【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)和全等三角形，熟練運(yùn)用正方形的性質(zhì)和全等三角形是解題的關(guān)鍵．5．（2022·河南開(kāi)封·八年級(jí)期末）如圖，中，兩直角邊和的長(zhǎng)分別3和4，以斜邊為邊作一個(gè)正方形，再以正方形的邊為斜邊作，然后依次以?xún)芍苯沁吅蜑檫叿謩e作正方形和，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)_____．【答案】25【解析】【分析】證明，可得到AF和FE的長(zhǎng)度，分別計(jì)算出正方形和的面積即可得到陰影部分的面積．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，∵,∴,∵,∴,∵,∴,∴,∵，∴∴，，∴,,∴,故答案為：25．【點(diǎn)睛】本題考查正方形、全等三角形和直角三角形的性質(zhì)，證明是解本題的關(guān)鍵．二、解答題6．（2022·福建南平·八年級(jí)期末）如圖，在正方形ABCD中，E是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與B，C重合），連接AE，過(guò)點(diǎn)A作AE的垂線交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．(1)如圖1，求證：BE＝DF；(2)如圖2，連接BD，EF，交點(diǎn)為O．求證：點(diǎn)O是線段EF的中點(diǎn)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）證明△ABE≌△ADF（ASA）即可得到結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)E作EG⊥BC交BD于點(diǎn)G，則∠BEG＝90°，證明△GOE≌△DOF（AAS），即可得到結(jié)論．(1)

證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAD=∠B=∠ADC=90°，AB=AD，∴∠ADF＝180°－∠ADC＝90°，∴∠ADF＝∠ABE，∵AF⊥AE，

∴∠EAF=∠BAD=90°，∴∠BAE+∠DAE=∠DAF+∠DAE，∴∠BAE=∠DAF，∴△ABE≌△ADF（ASA）．∴BE=DF．(2)證明：如圖，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥BC交BD于點(diǎn)G，則∠BEG＝90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DBC=∠CDB=45°，∴∠BGE＝90°－∠CBD＝45°，∠ODG＝180°－∠BDC＝135°，∴BE＝GE，∠OGE＝180°－∠BGE＝135°，∴△BGE是等腰直角三角形，∠OGE=∠ODF=135°，∴由（1）可知，BE=DF，∴GE=DF．∵∠GOE=∠DOF，∴△GOE≌△DOF（AAS）．∴OE=OF．【點(diǎn)睛】此題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．7．（2022·湖北黃石·八年級(jí)期末）四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)E為線段AC上一點(diǎn)，連接DE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥DE，交射線BC于點(diǎn)F，以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．(1)如圖，求證：矩形DEFG是正方形；(2)若AB＝2，，求CG的長(zhǎng)度；(3)當(dāng)線段DE與正方形ABCD的某條邊的夾角是32°時(shí)，求∠EFC的度數(shù)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)∠EFC＝122°或32°【解析】【分析】（1）作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，證明，可得EF＝ED，則矩形DEFG是正方形；（2）根據(jù)AB＝2，，可得重合，根據(jù)正方形的性質(zhì)即可求解；（3）①當(dāng)DE與AD的夾角為32°時(shí)，點(diǎn)F在BC邊上，∠ADE＝32°，在四邊形CDEF中，由四邊形內(nèi)角和定理得：∠EFC＝122°，②當(dāng)DE與DC的夾角為32°時(shí)，點(diǎn)F在BC的延長(zhǎng)線上，∠CDE＝32°，可得∠EFC＝∠CDE＝32°．(1)證明：作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，∵∠DCA＝∠BCA，∴EQ＝EP，∵∠QEF＋∠FEC＝45°，∠PED＋∠FEC＝45°，∴∠QEF＝∠PED，在和中，∴∴EF＝ED，∴矩形DEFG是正方形；(2)解：如圖2中，在中，，∵，∴AE＝CE，∴點(diǎn)F與C重合，．(3)①當(dāng)DE與AD的夾角為32°時(shí)，點(diǎn)F在BC邊上，∠ADE＝32°，如圖3所示：則∠CDE＝90°－32°＝58°，在四邊形CDEF中，由四邊形內(nèi)角和定理得：∠EFC＝360°－90°－90°－58°＝122°，