人教A版高中數(shù)學(xué)(選擇性必修第一冊)同步講義第09講 拓展三：二面角的傳統(tǒng)法與向量法（含解析）

第09講拓展三：二面角的傳統(tǒng)法與向量法(含探索性問題）一、知識點(diǎn)歸納1、定義法在二面角的棱上任取一點(diǎn)（通常都是取特殊點(diǎn)，如中點(diǎn)，端點(diǎn)），過該點(diǎn)在兩個(gè)半平面內(nèi)作二面角棱的垂線，兩垂線所成的角就是二面角的平面角.2、三垂線法三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直.三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它和這條斜線的射影垂直.具體操作步驟（如圖在三棱錐SKIPIF1<0中）求二面角SKIPIF1<0：①第一垂：過點(diǎn)SKIPIF1<0向平面SKIPIF1<0引垂線SKIPIF1<0（一般是找+證，證明SKIPIF1<0）②第二垂：在平面SKIPIF1<0中，過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0,垂足為SKIPIF1<0③第三垂：連接SKIPIF1<0（解答題需證明SKIPIF1<0）3、射影面積法（SKIPIF1<0）凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個(gè)半平面上的射影圖形面積的都可利用射影面積公式（SKIPIF1<0）求出二面角的大小.4、用向量運(yùn)算求平面與平面的夾角如圖，若SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為二面角SKIPIF1<0的平面角，SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0分別為面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的法向量①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0根據(jù)圖形判斷二面角為銳二面角還是頓二面角；若二面角為銳二面角（取正），則SKIPIF1<0；若二面角為鈍二面角（取負(fù)），則SKIPIF1<0；題型01利用定義法求二面角（定值）【典例1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）假設(shè)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0所在平面外一點(diǎn)，而SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都是邊長為2的正三角形，SKIPIF1<0，那么二面角SKIPIF1<0的大小為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】取SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都是邊長為2的正三角形，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為二面角SKIPIF1<0的平面角，又因?yàn)镾KIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即二面角SKIPIF1<0的大小為SKIPIF1<0.故選：D.【典例2】（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，已知正方體SKIPIF1<0．(1)求二面角SKIPIF1<0的正切值的大??；(2)求二面角SKIPIF1<0的正切值的大?。敬鸢浮?1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0．【詳解】（1）連接SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，因?yàn)樗倪呅蜸KIPIF1<0為正方形，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0是二面角SKIPIF1<0的平面角，設(shè)SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以二面角SKIPIF1<0的正切值為SKIPIF1<0.（2）連接SKIPIF1<0,其中點(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為二面角SKIPIF1<0的平面角，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0二面角SKIPIF1<0的正切值為SKIPIF1<0.【變式1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）在正方體SKIPIF1<0中，二面角SKIPIF1<0的大小是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】

因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0即為二面角SKIPIF1<0的平面角，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以二面角SKIPIF1<0的大小是SKIPIF1<0．故選：C．【變式2】（2023·高一單元測試）如圖，在正方體SKIPIF1<0中，(1)求異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角的大??；(2)求二面角SKIPIF1<0的大小.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）在正方體SKIPIF1<0中，連接SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角，由于三角形SKIPIF1<0是等邊三角形，所以SKIPIF1<0，所以異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角的大小為SKIPIF1<0.（2）在正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是二面角SKIPIF1<0的平面角，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知SKIPIF1<0，所以二面角SKIPIF1<0的大小為SKIPIF1<0.題型02利用三垂線法求二面角（定值）【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，三棱錐SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0.則二面角SKIPIF1<0的正弦值為_____.【答案】SKIPIF1<0【詳解】取BC的中點(diǎn)D，連結(jié)PD，AD，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0平面ABC，SKIPIF1<0平面ABC，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0平面PAD，SKIPIF1<0平面PAD，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面PAD，因?yàn)镾KIPIF1<0平面PAD，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0即為二面角SKIPIF1<0的平面角，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即二面角SKIPIF1<0的正弦值是SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【典例2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知正方體SKIPIF1<0的棱長為1．(1)求異面直線SKIPIF1<0與AC所成角的大小；(2)求二面角SKIPIF1<0的余弦值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）連SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，所以SKIPIF1<0，因?yàn)樗倪呅蜸KIPIF1<0是正方形，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即異面直線SKIPIF1<0與AC所成角的大小為SKIPIF1<0.（2）設(shè)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，連SKIPIF1<0，因?yàn)樗倪呅蜸KIPIF1<0是正方形，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0就是二面角SKIPIF1<0的平面角.因?yàn)檎襟wSKIPIF1<0的棱長為1，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以二面角SKIPIF1<0的余弦值為SKIPIF1<0.【變式1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知如圖邊長為SKIPIF1<0的正方形SKIPIF1<0外有一點(diǎn)SKIPIF1<0且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，二面角SKIPIF1<0的大小的正切值______．【答案】SKIPIF1<0【詳解】設(shè)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0為正方形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是二面角SKIPIF1<0的平面角，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【變式2】（2023·上海·模擬預(yù)測）直四棱柱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0

(1)求證：SKIPIF1<0；(2)若四棱柱體積為36，求二面角SKIPIF1<0大小的正切值【答案】(1)證明見解析(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）由題意得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0（2）四棱柱體積SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0點(diǎn)作SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得SKIPIF1<0（三垂線定理），故SKIPIF1<0即為二面角SKIPIF1<0的平面角，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0

題型03利用面積投影法求二面角（定值）【典例1】（2023·全國·高二假期作業(yè)）如圖SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所在平面垂直，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則二面角SKIPIF1<0的余弦值為_______.【答案】SKIPIF1<0【詳解】過A作SKIPIF1<0的延長線于E，連結(jié)DE，∵平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0∴E點(diǎn)即為點(diǎn)A在平面SKIPIF1<0內(nèi)的射影，∴SKIPIF1<0為SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0內(nèi)的射影，

設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0由余弦定理可得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，設(shè)二面角SKIPIF1<0為SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.而二面角SKIPIF1<0與SKIPIF1<0互補(bǔ)，∴二面角SKIPIF1<0的余弦值為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知長方體SKIPIF1<0的底面SKIPIF1<0是邊長為1的正方形，側(cè)棱SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0作平面SKIPIF1<0分別交棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則四邊形SKIPIF1<0面積的最小值為________.【答案】SKIPIF1<0【詳解】法一：根據(jù)題意作圖，如圖①所示，過點(diǎn)F作FH⊥BD1交BD1于H，設(shè)FH＝h.由題意得BD1＝2.因?yàn)殚L方體對面平行，所以截面BFD1E為平行四邊形，則SKIPIF1<0，當(dāng)h取最小值時(shí)四邊形BFD1E的面積最小.易知h的最小值為直線CC1與直線BD1間的距離.易知當(dāng)F為CC1的中點(diǎn)時(shí)，h取得最小值，hmin＝SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故四邊形BFD1E面積的最小值為SKIPIF1<0.法二(射影面積法)：設(shè)平面BFD1E與底面ABCD的交線為l.如圖②，過D1作D1H⊥l交l于H.連接DH，則∠D1HD為二面角D1-l-D的平面角，設(shè)為θ.根據(jù)射影面積公式SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,則當(dāng)cosθ最大時(shí)，SKIPIF1<0最小.當(dāng)cosθ最大時(shí)，分析易知DH最長.又DH最長為DB＝SKIPIF1<0，所以cosθ最大值為SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以四邊形BFD1E面積的最小值為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0【變式1】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）SKIPIF1<0的邊SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0內(nèi)，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)的射影是SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0的面積為S，它和平面SKIPIF1<0所成的一個(gè)二面角的大小為SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為銳角），則SKIPIF1<0的面積是__________．【答案】SKIPIF1<0【詳解】如圖所示，作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，因?yàn)锳在SKIPIF1<0內(nèi)的射影是SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0即為平面ABC和平面SKIPIF1<0所成的二面角的平面角，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.

【變式2】（2023·全國·高一專題練習(xí)）直角三角形SKIPIF1<0的斜邊在平面SKIPIF1<0內(nèi)，兩條直角邊分別與平面SKIPIF1<0成SKIPIF1<0和SKIPIF1<0角，則這個(gè)直角三角形所在的平面與平面SKIPIF1<0所成的銳二面角的余弦值為________．【答案】SKIPIF1<0【詳解】過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，不妨設(shè)SKIPIF1<0分別與平面SKIPIF1<0成SKIPIF1<0和SKIPIF1<0角，則SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即所求二面角的平面角為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0的面積可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0的面積可得SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，故所求銳二面角的余弦值為SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0.題型04利用向量法求二面角（定值）【典例1】（2023秋·安徽蚌埠·高二統(tǒng)考期末）如圖，已知四棱錐SKIPIF1<0的底面是直角梯形，SKIPIF1<0，二面角SKIPIF1<0的大小為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0中點(diǎn).

(1)求證：SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求二面角SKIPIF1<0的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）取SKIPIF1<0中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，因?yàn)橹苯翘菪蜸KIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0是SKIPIF1<0中點(diǎn)SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.（2）連接SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0知：SKIPIF1<0，由（1）知：SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在平面SKIPIF1<0內(nèi)過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0兩兩互相垂直，以SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，以SKIPIF1<0方向分別為SKIPIF1<0軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，

則SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，易知平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由題意知，二面角SKIPIF1<0為銳二面角，所以二面角SKIPIF1<0的余弦值為SKIPIF1<0.【典例2】（2023春·江蘇連云港·高二統(tǒng)考期中）如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與底面所成的角為45°，底面SKIPIF1<0為直角梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．

(1)求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值；(2)求平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的銳二面角的余弦值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）解：因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0與底面所成的角為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所在直線分別為SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0軸建立的空間直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0，如圖所示，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為SKIPIF1<0．（2）解：根據(jù)題意，平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的銳二面角的余弦值為SKIPIF1<0．

【典例3】（2023春·浙江紹興·高二統(tǒng)考期末）如圖，在正四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，過點(diǎn)SKIPIF1<0向平面SKIPIF1<0作垂線，垂足為SKIPIF1<0.

(1)求證：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）由題意知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)，又由（1）知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.以SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0軸建立空間直角坐標(biāo)系，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.設(shè)平面SKIPIF1<0的方向量為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0.設(shè)二面角SKIPIF1<0的平面角為SKIPIF1<0，由圖可知二面角SKIPIF1<0為銳角，所以SKIPIF1<0.

【變式1】（2023·海南?？凇ずＤ先A僑中學(xué)校考一模）如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是矩形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為線段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，連接SKIPIF1<0，延長SKIPIF1<0并與SKIPIF1<0的延長線交于點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.

(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0(2)求平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)SKIPIF1<0.【詳解】（1）∵SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中位線，∴ME為SKIPIF1<0的中位線，∴SKIPIF1<0.又∵SKIPIF1<0平面PFD，SKIPIF1<0平面PFD，∴SKIPIF1<0平面PFD.（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則由已知可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵x軸⊥平面PEA，∴設(shè)平面PEA的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0，平面PEF的法向量為SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴平面APE與平面PEF所成角的正弦值為SKIPIF1<0.

【變式2】（2023春·四川宜賓·高二四川省宜賓市第四中學(xué)校?？计谀┤鐖D，在四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，四邊形SKIPIF1<0是菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0上的中點(diǎn).

(1)求三棱錐SKIPIF1<0的體積；(2)求平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0夾角的余弦值.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅蜸KIPIF1<0是菱形，所以SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0是棱SKIPIF1<0上的中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，四邊形SKIPIF1<0是菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴三棱錐SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0.（2）取棱SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，則SKIPIF1<0.SKIPIF1<0兩兩垂直，故以SKIPIF1<0為原點(diǎn)，分別以SKIPIF1<0的方向?yàn)镾KIPIF1<0軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.因SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.

因SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0上的中點(diǎn)，則SKIPIF1<0.設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0.設(shè)平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.故平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0夾角的余弦值為SKIPIF1<0.題型05利用向量法求二面角（最值或范圍）【典例1】（江蘇省徐州市2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0為正方形，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別在棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上．

(1)當(dāng)SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0中點(diǎn)時(shí)，求證：SKIPIF1<0；(2)當(dāng)SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0中點(diǎn)時(shí)，求平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的二面角余弦值的最大值．【答案】(1)證明見解析(2)SKIPIF1<0．【詳解】（1）因?yàn)榈酌鍿KIPIF1<0為正方形，所以SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．以SKIPIF1<0為正交基底建立空間坐標(biāo)系SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．

當(dāng)SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0中點(diǎn)時(shí)，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．（2）當(dāng)SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0中點(diǎn)時(shí)，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0取SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0取SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量．設(shè)平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取最大值SKIPIF1<0．所以平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的二面角余弦值的最大值為SKIPIF1<0．【典例2】（2023春·江蘇揚(yáng)州·高二統(tǒng)考期中）如圖，在三棱柱SKIPIF1<0中，底面是邊長為2的等邊三角形，SKIPIF1<0分別是線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0內(nèi)的射影為SKIPIF1<0.

(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若點(diǎn)SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0的中點(diǎn)，求點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離；(3)若點(diǎn)SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0上的動點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），求銳二面角SKIPIF1<0的余弦值的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0【詳解】（1）法一：連結(jié)SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0為等邊三角形，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，由題設(shè)知四邊形SKIPIF1<0為菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0中點(diǎn)，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.法二：由SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0又SKIPIF1<0為等邊三角形，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)，SKIPIF1<0，則以SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，SKIPIF1<0所在直線為SKIPIF1<0軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0又SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.法三：（同法二建系）設(shè)平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0

SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0不妨取SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0所以平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0（2）由（1）坐標(biāo)法得SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）SKIPIF1<0SKIPIF1<0點(diǎn)到F到平面SKIPIF1<0的距離=SKIPIF1<0（3）SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；由（1）知：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量SKIPIF1<0（或者由（1）中待定系數(shù)法求出法向量）；設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，即銳二面角SKIPIF1<0的余弦值的取值范圍為SKIPIF1<0.【典例3】（2023春·江蘇淮安·高二金湖中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖①所示，長方形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0是邊SKIPIF1<0的中點(diǎn)，將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折到SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得到圖②的四棱錐SKIPIF1<0．(1)求四棱錐SKIPIF1<0的體積的最大值；(2)設(shè)SKIPIF1<0的大小為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，求平面SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0夾角余弦值的最小值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）取SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0點(diǎn)到平面SKIPIF1<0的距離最大，四棱錐SKIPIF1<0的體積取得最大值，此時(shí)SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，底面SKIPIF1<0為梯形，SKIPIF1<0，則四棱錐SKIPIF1<0的體積最大值為SKIPIF1<0.（2）連接SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的平面角，即SKIPIF1<0，過點(diǎn)SKIPIF1<0