歷年國賽試題歸納及解法歸納-復(fù)習(xí)時間緊迫-要把握重點

賽題解法

93A非線**調(diào)的頻率設(shè)計擬合、規(guī)劃

93B足球隊排名圖論、層次分析、整數(shù)規(guī)劃

94A逢山開路圖論、插值、動態(tài)規(guī)劃

94B鎖具裝箱問題圖論、組合數(shù)學(xué)

95A飛行管理問題非線性規(guī)劃、線性規(guī)劃

95B天車與冶煉爐的作業(yè)調(diào)度動態(tài)規(guī)劃、排隊論、圖論

96A最優(yōu)捕魚策略微分方程、優(yōu)化

96B節(jié)水洗衣機非線性規(guī)劃

97A零件的參數(shù)設(shè)計非線性規(guī)劃

97B截斷切割的最優(yōu)排列隨機模擬、圖論

98A一類投資組合問題多目標(biāo)優(yōu)化、非線性規(guī)劃

98B災(zāi)情巡視的最佳路線圖論、組合優(yōu)化

99A自動化車床管理隨機優(yōu)化、計算機模擬

99B鉆井布局0-1規(guī)劃、圖論

00ADNA序列分類模式識別、Fisher判別、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

00B鋼管訂購和運輸組合優(yōu)化、運輸問題

01A血管三維重建曲線擬合、曲面重建

01B公交車調(diào)度問題多目標(biāo)規(guī)劃

02A車燈線光源的優(yōu)化非線性規(guī)劃

02B彩票問題單目標(biāo)決策

03ASARS的傳播微分方程、差分方程

03B露天礦生產(chǎn)的車輛安排整數(shù)規(guī)劃、運輸問題

04A奧運會臨時超市網(wǎng)點設(shè)計統(tǒng)計分析、數(shù)據(jù)處理、優(yōu)化

04B電力市場的輸電阻塞管理數(shù)據(jù)擬合、優(yōu)化

05A長江水質(zhì)的評價和預(yù)測預(yù)測評價、數(shù)據(jù)處理

05BDVD在線租賃隨機規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃

06A出版社書號問題整數(shù)規(guī)劃、數(shù)據(jù)處理、優(yōu)化

06BHiv病毒問題線性規(guī)劃、回歸分析

07A人口問題微分方程、數(shù)據(jù)處理、優(yōu)化

07B公交車問題多目標(biāo)規(guī)劃、動態(tài)規(guī)劃、圖論、0-1規(guī)劃

08A照相機問題非線性方程組、優(yōu)化

08B大學(xué)學(xué)費問題數(shù)據(jù)收集和處理、統(tǒng)計分析、回歸分析賽題發(fā)展的特點：

1.對選手的計算機能力提出了更高的要求：賽題的解決依賴計算機，題目的數(shù)據(jù)較多，手工計算不能完成，如03B，某些問題需要使用計算機軟件，01A。問題的數(shù)據(jù)讀取需要計算機技術(shù)，如00A（大數(shù)據(jù)），01A（圖象數(shù)據(jù)，圖象處理的方法獲得），04A（數(shù)據(jù)庫數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)庫方法，統(tǒng)計軟件包）。計算機模擬和以算法形式給出最終結(jié)果。

2.賽題的開放性增大解法的多樣性，一道賽題可用多種解法。開放性還表現(xiàn)在對模型假設(shè)和對數(shù)據(jù)處理上。

3.試題向大規(guī)模數(shù)據(jù)處理方向發(fā)展

4.求解算法和各類現(xiàn)代算法的融合2006高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽A題評閱要點

本題考察的重點是：從決策問題的海量的、不完全的、甚至錯漏（帶有噪音、錯誤、異型）的數(shù)據(jù)中分析出決策的邏輯結(jié)構(gòu)和提取有用的數(shù)據(jù)（附錄中許多數(shù)據(jù)是沒有用的?。┮约耙蕾嚁?shù)據(jù)信息，進而構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的能力。

本題的資源優(yōu)化配置模型是規(guī)劃問題，其中也包括一些預(yù)測模型。因此，理解并且實現(xiàn)優(yōu)化問題的基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)是取得基本分值的必要條件。目標(biāo)函數(shù)的構(gòu)成成分

主要包括銷售額表達式（注意如果作者利用了附錄數(shù)據(jù)說明中的假設(shè)，則贏利與銷售額等價），可以以課程為單位，也可以以學(xué)科為單位；包括由市場信息產(chǎn)生的對于不同課程的調(diào)控因子（競爭力系數(shù)）；由于數(shù)據(jù)說明中的提示，也應(yīng)該包括每個課程的申報需求量的“計劃準(zhǔn)確性因子”（學(xué)生用詞會不同）。當(dāng)然，前兩點更重要些。約束條件構(gòu)成

對于出版社來說，所謂產(chǎn)能主要是人力資源，即策劃、編輯和版面設(shè)計人員的分布形成主要約束；此外，書號總量（500）也應(yīng)該作為約束條件；同時，在數(shù)據(jù)說明中指出的“滿足申請書號量的一半”也應(yīng)該以約束方式表達。規(guī)劃變量

可以以每個課程的書號數(shù)量，也可以以學(xué)科的書號數(shù)作為變量，但是得到的結(jié)果會有所不同。

實現(xiàn)以上三點，對于問題的理解是比較全面的，應(yīng)該得到基本分值。進一步提高的分值來源于實現(xiàn)上述三點的具體模型的考慮和建模水平。評分要點：

1）如果注意到數(shù)據(jù)說明中提示的，同一課程的教材在價格和銷售量的同一性，銷售額表達式是比較容易表示的：構(gòu)造每個課程的、用書號數(shù)表達的銷售額，然后將所有書號的銷售額的表達式累加，形成總社的銷售額的基本表達式，這是目標(biāo)函數(shù)的主體部分。

2）市場信息產(chǎn)生的對于不同課程的調(diào)控因子（也稱競爭力系數(shù)）的表示，是一個信息不足情況下的決策模型。主要是滿意度和市場占有率的恰當(dāng)表示和計算（由附件2），以及兩個指標(biāo)的聯(lián)合形成競爭力系數(shù)問題，這里既可以使用擬合模型，也可以使用各種多因素分析模型等等，方法不同。對這個問題解決的優(yōu)劣，可以導(dǎo)致明顯的評分差別。

其中應(yīng)該特別注意需求信息是否重復(fù)使用的問題，也就是說，如果在構(gòu)造銷售額表達式時已經(jīng)使用了課程的銷售數(shù)據(jù)，則不同課程的支持強度的不同，主要由市場競爭力參數(shù)表達。

3）在優(yōu)化問題中，應(yīng)該恰當(dāng)?shù)乇硎尽坝媱潨?zhǔn)確性因子”，數(shù)據(jù)給出的計劃銷量和實際銷量之比應(yīng)該是比較合適的表示。

2）用假設(shè)檢驗做療法有無顯著性差異的兩兩比較用1個0-1變量構(gòu)造兩種療法的統(tǒng)一模型，可以用t檢驗作回歸系數(shù)是否為零的假設(shè)檢驗（與回歸系數(shù)置信區(qū)間是否含零點等價）。結(jié)果是療法1與2無顯著性差異，而療法1與3，2與3，3與4均有顯著性差異。

注:注意問題（1）的幾個注。線性規(guī)劃模型方法

1．?dāng)?shù)據(jù)分析考慮到治療的效果與患者的年齡有關(guān)，將患者按年齡分組，如14~25歲,25~35歲,35~45歲及45歲以上4組。每組中按照4種療法和4個治療階段（如0~10周，10~20周，20~30周，30~40周），構(gòu)造16個決策單元。取4種**量為輸入，治療各個階段末患者的CD4值與開始治療時CD4值的比值為輸出

2.建立模型利用相對有效性評價方法，建立分式規(guī)劃模型并經(jīng)過變換，轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃模型求解，對各年齡組患者在各階段的治療效率進行評價。計算結(jié)果：對第1年齡組療法2和4在整個治療中效率較高，在第4階段仍然有效；對第2年齡組療法1在第1，2階段有效；對第3年齡組療法1，2，3在第1階段有效；對第4年齡組療法1，2在第1，2階段有效。表明只有14~25歲的年4種輕患者，才能在治療的最后階段仍然有有效的療法。

由線性規(guī)劃模型的對偶形式建立預(yù)測模型，對各年齡組各種療法下一階段的療效進行預(yù)測。若由某決策單元得到的實際輸出大于預(yù)測輸出，則該決策單元相對有效；反之，說明該種療法對該組患者在治療的未來階段不再有效，應(yīng)該轉(zhuǎn)換療法。2007高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽A題評閱要點

模型的建立必須考慮我國近年來人口發(fā)展的總趨勢。例如，老齡化進程加速、出生人口性別比持續(xù)升高、鄉(xiāng)村人口城鎮(zhèn)化等因素。以下幾點供閱卷參考。分析數(shù)據(jù)

從詳細數(shù)據(jù)中也可以看出。附錄2中給出的2005年人口數(shù)據(jù)就是大約1％的抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)。從網(wǎng)上及文獻中還可以查到更多數(shù)據(jù)，這里不一一列出。建立模型

(1)基本假設(shè)：從中國人口增長的特點出發(fā)，可以提出如下假設(shè)作為建立模型的依據(jù)：老齡化進程加速；農(nóng)村育齡婦女的生育率明顯高于城鎮(zhèn)；出生人口的男女性別比持續(xù)升高；農(nóng)村人口不斷城鎮(zhèn)化。根據(jù)這些假設(shè)，區(qū)分模型中的狀態(tài)變量和參數(shù)。

(2)狀態(tài)變量的設(shè)置：根據(jù)上述假設(shè)和數(shù)據(jù)分析，可以把城鎮(zhèn)人口與農(nóng)村人口，及男女性別區(qū)分開來。另一方面，注意到育齡婦女的生育率是決定人口增長的主要因素，可以對人口的年齡分布按不同年齡段進行簡化，以減少狀態(tài)變量。

(3)老齡化的影響：數(shù)據(jù)分析表明，在每一類人(比如城鎮(zhèn)婦女)中，老年人口在該類總?cè)丝谥械谋壤鹉晟仙?，而青壯年和幼年人口比例逐年下降?？梢酝ㄟ^對人口矩陣的迭代，或用其他模型方法，找出他們上升或下降的一般規(guī)律。

(4)農(nóng)村人口以一定規(guī)律轉(zhuǎn)化為城鎮(zhèn)人口。

(5)人口增長有遲滯效應(yīng)。在附錄1中提到“由于20世紀(jì)80年代至90年代第三次出生人口高峰的影響”，導(dǎo)致在2005-2020年出生人口數(shù)量會“出現(xiàn)一個小高峰”，這就是遲滯效應(yīng)。如果在模型中適當(dāng)引進遲滯項，就可預(yù)測到這種“小高峰”現(xiàn)象。當(dāng)然，此時的初值應(yīng)當(dāng)是一個近幾十年來的人口變化函數(shù)。這個函數(shù)可以從網(wǎng)上搜索到，也可以用1(4)提示的方法找出。當(dāng)然，這可能有一定難度，不一定作為必須要考慮的要求。如果有同學(xué)考慮到這種遲滯效應(yīng)，應(yīng)該說是有創(chuàng)意的。

(6)在本題的數(shù)據(jù)說明中曾指出“個別數(shù)據(jù)有異常，原文如此，可酌情處理?！睂嶋H上，這些異常數(shù)據(jù)在個別年份才會出現(xiàn)，如果把他們從總體上進行擬合，對整個模型的建立應(yīng)該是沒有很大影響的。而且一些異常通過查閱其他資料也可得到糾正。附錄2中最大的異常是關(guān)于2003年育齡婦女的生育率數(shù)據(jù)，這里按原《年鑒》中說法以千分比計，實際應(yīng)該是百分比，相差十倍（在該附錄最后幾行給出的總生育率中已把它們恢復(fù)正常）。正如一開始及下面所強調(diào)的，本題的重點是要根據(jù)我國近年來人口發(fā)展的總趨勢和特點來建立模型，因此，必須從總體上來把握數(shù)據(jù)。

(7)如果有學(xué)生考慮人口分布的地區(qū)和產(chǎn)業(yè)等差別，也是可以的，但需要自己補充相關(guān)數(shù)據(jù)。模型的求解和預(yù)測

用適當(dāng)?shù)臄?shù)值方法求解所得的數(shù)學(xué)模型，即可得到今后幾十年的預(yù)測結(jié)果?？梢园堰@些結(jié)果與附錄1(《國家人口發(fā)展戰(zhàn)略研究報告》)或其他文獻中的結(jié)果進行對照分析。如出現(xiàn)較大差異，則應(yīng)找出原因，予以改進，或提出自己的看法關(guān)于文獻與模型的“自我評價”

(1)本問題提供的文獻(附錄1)是要求重點閱讀的。此外，還應(yīng)列出自己查閱過并引用的比較可靠和權(quán)威的文獻，包括論文、著作和數(shù)據(jù)，都要注明出處。如果是網(wǎng)上的，則應(yīng)列出網(wǎng)址。

(2)在評閱學(xué)生對自己模型的優(yōu)點與不足的評價時，一定要注意是否實事求是。2007高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽B題評閱要點命題思路

本題根據(jù)公交線路查詢系統(tǒng)研制的實際需求簡化改編而成。問題容易理解，相關(guān)參考文獻也較多，但涉及到公汽與地鐵線路的聯(lián)系，以及換乘時間等細節(jié)的處理，加上需要處理的數(shù)據(jù)量較大，問題并不十分簡單。這是一個多目標(biāo)優(yōu)化問題，換乘次數(shù)最少、費用最省、時間最短顯然是乘客在選擇乘車線路時最關(guān)心的幾個目標(biāo)，從該問題的實際背景來看，采取加權(quán)合成將問題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)優(yōu)化問題的解題思路不太合適。

比較適當(dāng)?shù)姆椒ㄊ菍γ總€目標(biāo)尋求最佳線路，然后讓乘客按照自己的需求進行選擇。本題1、2問要求在不知道站點地理信息的條件下給出解決線路選擇問題的模型與算法，并就題目給定的數(shù)據(jù)計算得到線路選擇結(jié)果，此二問主要考核建模及編程能力。第3問加上了步行因素，建模難度更大一些。問題1

不考慮地鐵線路時的公交線路選擇,可能主要有以下幾種解法。

1、圖論模型，這可能是最常使用的方法，首先要考慮如何根據(jù)不同目標(biāo)建立有向賦權(quán)圖（如利用不同的矩陣表示），然后再求給定點對之間的最小換乘次數(shù)或最短路。求兩點間最短路有Dijkstra算法與Floyd算法等，但并不能將這兩種算法直接套用于本問題，還需要處理好換乘和換乘時間問題，閱卷時需要重點關(guān)注。

2、規(guī)劃模型，包括0-1規(guī)劃方法與動態(tài)規(guī)劃方法等。

3、數(shù)據(jù)庫模型，利用數(shù)據(jù)庫技術(shù)直接對線路及站點數(shù)據(jù)進行搜索。[注]

（1）本問的關(guān)鍵點是換乘時間的處理及最短時間線路的選擇。

（2）若算法運算時間比較長，可事先計算出所有最佳線路，將結(jié)果存入數(shù)據(jù)庫備查。因此算法的運算時間問題不是本題的考察重點。

（3）對于原始數(shù)據(jù)中出現(xiàn)的一些異常數(shù)據(jù)，同學(xué)可根據(jù)自己的理解作出假設(shè)和處理。如：

<1>

對于個別線路相鄰站點名相同，可以采取去掉其中1個點或不作處理等方式，一般不會影響實例計算中線路選擇的結(jié)果。

<2>

對于L406未標(biāo)明是環(huán)行線的問題，無論學(xué)生是否將其當(dāng)作環(huán)線處理，一般不會影響到實例的計算結(jié)果。

<3>

對于L290標(biāo)明是環(huán)線，但首尾站點分別為1477與1479的問題，可將所有線路中1477與1479統(tǒng)一為1477后計算。同學(xué)也可以按照各自認為合理的方式處理，包括不當(dāng)作環(huán)線，實例計算用到的是該線路中部的幾個站點，一般不會影響實例計算結(jié)果。問題2

考慮地鐵線路時的公交線路選擇

本問可有多種處理方法，關(guān)鍵看合理性與可操作性。換乘時間的處理較第一問要復(fù)雜，需重點關(guān)注。問題3

已知站點間步行時間條件下的公交線路選擇

這是比較一般的線路選擇問題，更接近實際。由于增加了步行因素，每個站點的可換乘方案大大增加了，于是用圖論方法處理的難度也會有很大增加。最常用的目標(biāo)有：換車次數(shù)最少，乘車的總站數(shù)最少，步行的總時間最少，總車費最少等等，應(yīng)該針對不同的情況分別寫出模型。實例結(jié)果

[注]

（1）本計算結(jié)果由命題人提供，并不一定完全準(zhǔn)確（如最優(yōu)可能僅為次優(yōu)），僅供參考。此外，由于假設(shè)的不同（如對換乘時間的處理不同），結(jié)果也可能會有差異。

（2）下表中每行第1目標(biāo)為最優(yōu)結(jié)果（帶*號者），其余兩個目標(biāo)在第1目標(biāo)最優(yōu)條件下為最優(yōu)或次優(yōu)結(jié)果。（表中“時間”包括起始站點處的3分鐘等車時間。）2008高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽B題評閱要點

高等教育學(xué)費標(biāo)準(zhǔn)是社會關(guān)注的熱點之一，是一個相當(dāng)開放的問題，許多媒體的討論都缺乏數(shù)據(jù)的支持和定量的分析。評閱中除了目中的明確要求外，要特別注意以下問題：

1.應(yīng)多角度、全面、綜合地考慮學(xué)費標(biāo)準(zhǔn)問題。模型中至少應(yīng)考慮教育質(zhì)量的保證和承受能力兩個方面；例如，培養(yǎng)成本、成本分擔(dān)、承受能力、長遠收益、國際比較、歷史比較等方面的考慮.

2.數(shù)據(jù)的收集非常重要。應(yīng)該收集充分的、有根據(jù)、有說服力的數(shù)據(jù)，并能支持建模的結(jié)論。估計可能收集到的數(shù)據(jù)有：國民經(jīng)濟增長數(shù)據(jù)，教育經(jīng)費的比例，國家生均撥款和其它教育投入，培養(yǎng)一個大學(xué)生平均每年所需費用、學(xué)校每年的運營開支、每年報考大學(xué)的人數(shù)和錄取人數(shù)、學(xué)生分布結(jié)構(gòu)，家庭經(jīng)濟收入分布、困難學(xué)生的人數(shù)、每個學(xué)生每年的學(xué)費、生活費、獎學(xué)金、助學(xué)金、貸款、捐贈款等。

3.應(yīng)該通過數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析和建模深入細致地討論學(xué)費標(biāo)準(zhǔn)問題，要有明確的結(jié)論2008高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽A題評閱要點

（1）靶標(biāo)上圓的像是橢圓，但圓心的像一般不是橢圓的形心。對給定的坐標(biāo)系，由相片可獲取靶標(biāo)圓的像的邊界坐標(biāo)數(shù)據(jù)，根據(jù)這些邊界點的原像落在靶標(biāo)平面且落在對應(yīng)圓周上的性質(zhì)，利用光學(xué)成像原理可建立確定靶標(biāo)平面方程和靶標(biāo)圓的圓心坐標(biāo)的非線性方程組數(shù)學(xué)模型，進而求得靶標(biāo)圓心像的坐標(biāo)。模型求解可直接求解非線性方程組，也可化為優(yōu)化問題求解。由于在某些情形模型可能有多解，化為優(yōu)化問題后，目標(biāo)函數(shù)有可能為多峰，在求解時應(yīng)加以注意。

（2）要以模型的合理性和優(yōu)劣作為主要評價標(biāo)準(zhǔn)，不要以數(shù)值結(jié)果好壞作為評價的唯一標(biāo)準(zhǔn)。

（3）模型檢驗是數(shù)學(xué)建模的一個重要環(huán)節(jié)。但以往重視不夠。對本問題，應(yīng)對于靶標(biāo)平面具有已知特殊傾角的情形，分別對有無誤差的情形逆向設(shè)計數(shù)據(jù)，即在靶標(biāo)平面方程和圓方程已知的情況下，根據(jù)光學(xué)成像原理，計算獲得圓周像的各點坐標(biāo)和圓心像的坐標(biāo)。利用圓周像的各點坐