數(shù)學小論文百分數(shù)

數(shù)學小論文百分數(shù)基于“數(shù)學現(xiàn)實”的自主建構──“百分數(shù)的意義”教學探討和設計摘要：根據(jù)數(shù)學知識的內(nèi)在聯(lián)系和結(jié)構以及學生的“數(shù)學現(xiàn)實”，“百分數(shù)的意義”的教學不應通過各種方式引導學生去發(fā)現(xiàn)百分數(shù)、創(chuàng)造百分數(shù)，而要引導學生借助具有現(xiàn)實意義的素材和數(shù)學活動經(jīng)驗，探尋百分數(shù)和相關數(shù)學知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，自主建構百分數(shù)的意義，在知識建構的過程中感受百分數(shù)在生產(chǎn)、生活中的廣泛應用。關鍵詞：數(shù)學現(xiàn)實自主建構概念獲得“百分數(shù)”是數(shù)學知識概念體系中的一個基本概念，各種版本的小學數(shù)學教材都把《認識百分數(shù)》作為一個獨立單元，在學生掌握了整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)概念的基礎上進行設計編排。其中“百分數(shù)的意義”又是這一單元中的重要內(nèi)容。百分數(shù)意義的教學，教師在密切關注數(shù)學知識和學生生活常識之間關系的同時，必須根據(jù)數(shù)學知識的內(nèi)在聯(lián)系和結(jié)構有效地組織教學。下面試結(jié)合自己對百分數(shù)意義內(nèi)容的理解對其教學思路和方式進行一些不成熟的探討。一、對“百分數(shù)的意義”傳統(tǒng)教學思路的分析經(jīng)過對眾多優(yōu)秀課例進行分析，我發(fā)現(xiàn)基本上都是按照這樣的思路來進行設計和實施教學：為了“比較”，需要用分數(shù)形式表示兩個量的比率→為了便于“比較”，需要用分母是100的分數(shù)表示→概括百分數(shù)的含義→比較與應用中深化理解。上述思路，教師在教學設計和教學過程中主要圍繞“為什么要用比率表示？為什么要用分母是100的分數(shù)形式表示？百分數(shù)的含義是什么？”等問題展開。特別是圍繞前兩個問題大花筆墨，大做文章，進行細節(jié)性地深入挖掘和創(chuàng)新，尤其是課程改革以后，許多研究課、評優(yōu)課為了充分體現(xiàn)“數(shù)學和生活的聯(lián)系、實施探究性學習”等理念，從現(xiàn)實生活、生產(chǎn)實際中選擇素材，圍繞“為什么要用比率表示”這一問題挖掘很深很細。整個學習過程使人感覺學生好像經(jīng)歷了知識的發(fā)生、形成過程，主動地創(chuàng)造了百分數(shù)，“科學探究味”很濃。然而對具體的教學活動深入地觀察和分析，我們就會發(fā)現(xiàn)，這種教學思路下的教學活動可以說是教師步步為營，生拉硬拽，刻意強加給學生的成分較濃。這一教學思路所呈現(xiàn)出的主要困惑或者說主要問題有：第一，為了便于“比較”，難道一定要用分母是100的分數(shù)表示？現(xiàn)實問題中難道用100作分母一定是最合適的？十分數(shù)、千分數(shù)在一定范圍內(nèi)不是也有較多運用嗎？這應該是一種規(guī)定，是不需要由學生探究得出的。第二，每個學生在生活中或多或少接觸到百分數(shù)，甚至對百分數(shù)已經(jīng)有了一定的了解，難道我們的教學應該忽略學生的生活經(jīng)驗來實施教學嗎？第三，通過較長時間的探究過程以及教師的講解，學生雖然知道了百分數(shù)的定義，但并沒有真正建立百分數(shù)和相關數(shù)學知識的實質(zhì)性聯(lián)系，針對“百分數(shù)和分數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別”這一本質(zhì)問題，教師還要再花大量的時間引導學生結(jié)合具體的情境去討論和分析，而不是在概念的獲得過程中迎刃而解。第四，揭示百分數(shù)定義前的長時間的看似經(jīng)歷知識的發(fā)生、形成過程的“探究”學習活動，其實僅僅只是使學生知道了使用百分數(shù)在現(xiàn)實生產(chǎn)、生活中有利于進行統(tǒng)計和比較，而不是引導學生真正“數(shù)學地”地建構這一概念，把握其本質(zhì)。在上述貌似“科學探究”思路的教學中，教師過多關注了在生活、生產(chǎn)中為了進行比較引入比率，為了便于比較“產(chǎn)生”了百分數(shù)，也就是說過分注重引導學生經(jīng)歷知識的發(fā)生、形成過程，然而這些對于學生建構百分數(shù)的意義卻又都是外在的、非本質(zhì)的，沒有更多切實的幫助。新課程倡導“自主、合作、探究”學習方式，在教學中如何根據(jù)數(shù)學知識特點和學生的“數(shù)學現(xiàn)實”，科學合理地引導學生開展探究性學習是值得我們深入思考的。并不是說學生只要探究了，教學就一定是有效的；并不是說學生原原本本地經(jīng)歷數(shù)學知識發(fā)生、形成的過程，教學才一定是有效的。二、對“百分數(shù)的意義”教學再設計的理性分析學生是否能夠有效地自主建構百分數(shù)的意義，取決于教師對“百分數(shù)”這一概念及其與相關知識聯(lián)系的理解，取決于教師對學生生活經(jīng)驗的把握，以及學生自主建構獲得概念的主要方式的認識。顯然，必須從學生自己的“數(shù)學現(xiàn)實”（即已經(jīng)擁有學習“百分數(shù)”相關的數(shù)學知識基礎、數(shù)學生活經(jīng)驗和數(shù)學活動經(jīng)驗）出發(fā)，引導他們通過一系列數(shù)學活動自主建構百分數(shù)的意義，調(diào)整和完善數(shù)學認知結(jié)構。1、對“百分數(shù)”的理解和分析。關于百分數(shù)概念的表述，相關算術理論書籍以及一些字典、詞典和辭海中的表述基本上是大同小異。其中由江蘇省中等師范學校教材編寫組編，江蘇教育出版社出版的1987版《小學數(shù)學基礎理論》一書中對分數(shù)和百分數(shù)的定義和表述較為詳細和系統(tǒng)，摘錄如下：形如m/n（m、n都是自然數(shù)，且n﹥1）的數(shù)叫做分數(shù)。分母是10n（n∈N）的分數(shù)叫做十進分數(shù)。n=2時的十進分數(shù)，當它表示“一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾”時，通常寫成“R﹪”的形式，這就叫做百分數(shù)，又叫做百分比或百分率。n=3時的十進分數(shù)，當它表示“一個數(shù)是另一個數(shù)的千分之幾”時，通常寫成“P‰”的形式，這叫做千分數(shù)，又叫做千分率。農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中的“成數(shù)”，交易中的打折扣，都是分母為10的十進分數(shù)，也叫做十分數(shù)。十分數(shù)的性質(zhì)與百分數(shù)一樣。分數(shù)起源于測量和均分，在運用分數(shù)時，一般可以這樣理解分數(shù)的實際含義：一是，把單位“1”平均分成n份，表示含有m個這樣的一份。（小學數(shù)學課本中就是根據(jù)這種含義來定義分數(shù)的。）二是，把m個單位平均分成n份，表示這樣的一份的數(shù)。由此可得分數(shù)與除法的關系：m÷n=m/n。上述對分數(shù)和百分數(shù)定義的表述比較清晰地詮釋了百分數(shù)的內(nèi)涵、外延以及與分數(shù)的關系。十進分數(shù)集是分數(shù)集的子集，百分數(shù)集又是十進分數(shù)的子集。相對來說分數(shù)是“上位概念”,百分數(shù)是“下位概念”。分數(shù)既可以表示一個具體的數(shù)，又可以表示兩個數(shù)之間的倍比關系。而任何一個分母為100的分數(shù)要成為百分比（百分率），都需要一定條件，沒有任何條件和語言環(huán)境的分母是100的分數(shù)一定不是百分比（百分率），就一定不能表示誰是誰的百分之幾。百分數(shù)在分數(shù)概念的基礎上增加的內(nèi)涵是：一是它必須是十進分數(shù)并且分母必須是100；二是這個分數(shù)是表示兩個同類量的倍比關系。百分數(shù)單獨作為一個概念凸現(xiàn)了其實際意義以及與分數(shù)的聯(lián)系和區(qū)別。百分數(shù)都是以1﹪作單位，利于進行比較分析，因而在生產(chǎn)生活中進行調(diào)查統(tǒng)計、分析比較時得到了廣泛應用，十分數(shù)、千分數(shù)在現(xiàn)實生活中也有較多運用。百分數(shù)的書寫形式以及使用是一種規(guī)定，在國際上是統(tǒng)一的。同時，學生在現(xiàn)實生活中也經(jīng)常接觸到百分數(shù)，對百分數(shù)已經(jīng)有了一定的了解。由此，“百分數(shù)”這一概念的教學沒必要通過多種方式引導學生去發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造，而是要重視數(shù)學知識之間的邏輯聯(lián)系，幫助學生形成合理的認知結(jié)構。2、對學生自主建構“百分數(shù)”方式的分析。百分數(shù)意義的教學究其實質(zhì)是屬于概念教學范疇。學生獲得數(shù)學概念一般有兩種基本形式：一是概念的形成，就是從大量的具體例子出發(fā),歸納概括出一類事物的共同本質(zhì)屬性的過程。它是由特殊到一般，由具體到抽象的過程，實質(zhì)上是對具體事物本質(zhì)屬性的概括，比較接近人類自發(fā)形成概念的過程。二是概念的同化，是學生主動利用認知結(jié)構中原有的相關概念來理解、接納新概念的過程。它較多地依賴于原有的概念，當學生具備適當?shù)臄?shù)學概念，認知水平達到一定程度，就可以成為概念獲得的主要方式。根據(jù)以上對百分數(shù)與分數(shù)概念的分析，我們知道，百分數(shù)屬于分數(shù)概念范疇，是分數(shù)的下位概念，教材中對“百分數(shù)”一般都是這樣下定義的：表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾的數(shù)，叫做百分數(shù)。（或：像22﹪，28﹪……這樣的分數(shù)叫做百分數(shù)，表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾。）百分數(shù)又叫做百分比或百分率。針對這一從屬關系非常明確的“屬概念加種差”方式定義的下位概念而言，由于學生對分數(shù)的意義已經(jīng)掌握，所以可以說已經(jīng)具備了同化新概念的條件。為了促進學生對數(shù)學知識的深刻理解，提高思維和探究能力，學生在建構數(shù)學概念時并不是只能選用其中一種方式，更多地是兩種方式的相互補充和融合。百分數(shù)概念的建構可以根據(jù)百分數(shù)與分數(shù)之間的關系，依據(jù)分數(shù)的內(nèi)涵和外延對具有現(xiàn)實語境的分數(shù)進行分類，在這一過程中建立百分數(shù)和相關數(shù)學知識實質(zhì)性的聯(lián)系，同時引導學生通過觀察、比較、舉例等活動，自主概括百分數(shù)的意義，體會百分數(shù)在現(xiàn)實生活中的廣泛應用和作用。這樣的教學過程既符合數(shù)學知識結(jié)構中相關概念的內(nèi)在聯(lián)系,又符合小學生的“數(shù)學現(xiàn)實”和學生學習概念時由具體到抽象的認知規(guī)律；在掌握形式的數(shù)學概念背后事實的同時，又能使學生在有限的時間內(nèi)較快地理解概念所反映的事物的本質(zhì)屬性。三、“百分數(shù)的意義”教學的設計思路與簡析根據(jù)數(shù)學知識的內(nèi)在邏輯聯(lián)系和結(jié)構以及學生的“數(shù)學現(xiàn)實”，《百分數(shù)的意義》的教學不應是通過多種方式引導學生去發(fā)現(xiàn)或者創(chuàng)造百分數(shù)，而是要引導學生借助具有現(xiàn)實意義的素材和數(shù)學活動經(jīng)驗，探尋百分數(shù)和相關數(shù)學知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，自主建構百分數(shù)的意義，在知識建構的過程中感受百分數(shù)在生產(chǎn)、生活中的廣泛應用?；谝陨纤伎迹蚁旅嬖噷Α鞍俜謹?shù)的意義”教學的基本過程作一簡要的闡述和分析。1、聯(lián)系生活，問題導向。（1）運用媒體或?qū)嵨锍尸F(xiàn)含有百分數(shù)的生活素材。如：牛奶包裝盒，衣服商標，電腦下載軟件的進展對話框，電腦視頻的緩沖進度，等等。（2）提問：上面這些素材提供的信息中有一些我們還沒有學過的數(shù)，你認識嗎？你對它又有哪些了解？（學生根據(jù)生活經(jīng)驗，一般都知道或部分知道這些是百分數(shù)。如果學生不知道的話，直接由教師告訴學生這些數(shù)是百分數(shù)。）（3）學生舉例：現(xiàn)實生活中，你們還在哪里看到過百分數(shù)？