2023-2024學年上海市嘉定區(qū)高三上學期期中數學質量檢測模擬試題（含解析）

2023-2024學年上海市嘉定區(qū)高三上學期期中數學質量檢測模擬試題一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）考生應在答題紙相應位置直接填寫結果.1．已知集合，集合，則.2．已知i為虛數單位，且，則復數z的虛部為.3．已知不等式的解集為，則值為.4．已知平面上兩單位向量，，，則在上的數量投影為.5．若，則.6．在二項式的展開式中，系數為無理數的項的個數是個.7．函數，滿足，當，，則.8．中國一帶一路成果豐碩，2013年我國在印尼投資有2.8億美元，僅排列外資中的第12位.10年后的今天，我國在印尼全年投資已達86億美元.若假設中國從2013年開始投入印尼的資金逐年成等差數列增長，則從年后開始，全年投入印尼資金達100億美元，中國將成為外國直接投資的最大貢獻者.9．若矩形的周長為36，矩形繞它的一條邊旋轉形成一個圓柱，求圓柱側面積的最大值為．10．已知項數為的等差數列滿足，.若，則的最大值是.11．據環(huán)保部門測定，某處的污染指數與附近污染源的強度成正比，與到污染源距離的平方成反比，比例常數為.現(xiàn)已知相距18km的，兩家化工廠（污染源）的污染強度分別為，，它們連線段上任意一點處的污染指數等于兩化工廠對該處的污染指數之和.設.若，且時，取得最小值，則的值為.12．設圓，直線過，斜率為，且與圓交于，兩點.若線段上任意一點，均存在過的兩條相互垂直的弦與，使得.則的最小值為.二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）每題有且只有一個正確答案，只需將正確選項寫在相應題號的空格上.13．已知方程，.若，則方程有（

）解A．0個 B．1個 C．2個 D．1個或2個14．下列函數在定義域中既是奇函數又是減函數的是（

）A． B．C． D．15．已知等比數列的公比為q且，記、則“且”是“為遞增數列”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件16．已知均為正數，并且，給出下列2個結論：①中小于1的數最多只有一個；②中最小的數不小于.則（

）A．①對，②錯 B．①錯，②對C．①，②都錯 D．①，②都對三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙的相應位置寫出必要的步驟.17．在銳角中，角對應的邊分別是，且.(1)求角的大??；(2)若的面積，求的值.18．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，，，為的中點，為上一點，平面.(1)求證：為的中點；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值.19．某校為了傳承學校文化特色，成立2023學年上海市學生藝術團（培育團）戲劇分團，現(xiàn)從第一輪報名的100學生中進行考核，統(tǒng)計其第一輪考核評分數據，將所得100個評分數據分為8組：、、…、，并整理得到如下的頻率分布直方圖.(1)用分層抽樣的方式從評分不小于90分的考生中隨機抽取5人作為樣本，設為評分在區(qū)間內的考生人數，求的值；(2)若從（1）得到的樣本中隨機抽取2人，求這兩人的評分都在區(qū)間的概率.20．已知橢圓的離心率為，焦距為2，過的左焦點的直線與相交于，兩點，與直線相交于點.(1)求橢圓方程；(2)若，求證：；(3)過點作直線的垂線與相交于，兩點，與直線相交于點.求的最大值.21．已知函數，.(1)求曲線在處的切線方程；(2)若在區(qū)間上單調遞減，求的取值范圍：(3)若，存在兩個極值點，證明.1．【分析】根據交集的定義計算可得.【詳解】因為集合，集合，所以.故2．【分析】根據題意先求得復數后再求出復數的虛部即可．【詳解】∵，∴，∴復數z的虛部為．故答案為.易錯點睛：本題考查復數的除法運算和復數模的概念，正確求出復數z是解題的關鍵，另外還要注意復數的虛部是，而不是，這是解題中常出現(xiàn)的錯誤．3．【分析】依題意可得為方程的根，代入計算可得.【詳解】因為不等式的解集為，所以為方程的根，則，解得.故4．##【分析】根據向量投影的概念公式，即可得出答案.【詳解】根據題意：，為兩單位向量，且，所以在上的數量投影為.故答案為.5．【分析】根據排列數、組合數公式計算可得.【詳解】因為，即，所以，因為，所以.故6．【分析】寫出展開式的通項，即可確定系數為無理數的項數.【詳解】二項式展開式的通項為（其中且），所以當為奇數，即當時系數為無理數，即系數為無理數的項有個.故7．1【分析】根據可得周期為2，由可得答案.【詳解】因為滿足，所以的周期為，.故1.8．【分析】中國從2013年開始投入印尼的資金逐年成等差數列增長，設等差數列為，且公差為，由題意可知，，由等差數列的性質求出，令，解出，即可得出答案.【詳解】中國從2013年開始投入印尼的資金逐年成等差數列增長，設等差數列為，且公差為，由題意可知，，所以，解得：，所以，令，則，解得：，又因為，所以，所以，從2026年后開始，全年投入印尼資金達100億美元，中國將成為外國直接投資的最大貢獻者.故答案為.9．【分析】利用基本不等式及圓柱的側面積計算公式即可得出．【詳解】如圖所示，不妨設矩形的長與寬分別為，，旋轉形成的圓柱的底面半徑為，母線長，則，即，，得，當且僅當時取等號，旋轉形成的圓柱的側面積，旋轉形成的圓柱的側面積的最大值為．故．10．【分析】設公差為，通過條件，，得到，再利用條件得到，進而得到不等關系，再結合二次函數的性質得到的最大值.【詳解】設等差數列的公差為，由，，得到，即，當時，恒有，即，所以，由，得到，所以，，整理得到，令，當時，函數單調遞增，而，，所以的最大值是.故11．【分析】根據，得，分別求出兩個污染指數即可得出函數關系，求出函數的導函數，依題意可得，即可求出的值，再檢驗即可.【詳解】依題意點受污染源污染程度為，點受污染源污染程度為，其中為比例常數，且，從而點處受污染程度，；因為，所以，則，當時，取得最小值，必是極小值，所以，解得，此時，，當時，，函數單調遞減，當時，，函數單調遞增，所以在時，取得極小值，也是的最小值，所以污染源的污染強度的值為．故12．【分析】根據直線與圓的位置關系求解.【詳解】依題意，要使線段上任意一點，均存在過的兩條相互垂直的弦與，使得.只需,所以到直線的距離，且，即且，解得，即，故答案為:.13．D【分析】在同一平面直角坐標系中分別畫出和的函數圖象，通過平移的函數圖象即可得解.【詳解】如圖所示：

當時，方程在上有唯一解，當且時，方程在上有兩個解，綜上所述：方程在上有1個或2個解.故選：D.14．B【分析】根據指對冪函數的性質依次判斷各選項即可得答案.【詳解】解：對于A選項，函數為奇函數，在定義域上無單調性，故錯誤；對于B選項，函數為奇函數，當時，為減函數，故函數在定義域內為減函數，故B正確；對于C，由于函數均為增函數，故在定義域內為單調遞增函數，故C錯誤；對于D選項，函數為非奇非偶函數，故錯誤.故選：B15．B【分析】由等比數列及已知，要為遞增數列只需在上恒成立，討論、、，結合的符號，再根據充分必要性的定義即可得答案.【詳解】由題設且n≥2，要為遞增數列，只需在上恒成立，當，不論取何值，總存在，不滿足要求；當，，則，不滿足要求；，總存在，不滿足要求；當，，則，不滿足；，若，，顯然，即，不滿足；，則在上恒成立，滿足.所以為遞增數列有且.綜上，“且”是“為遞增數列”的必要不充分條件.故選：B16．A【分析】對于①用反證法可以證明；對于②，舉出反例說明其錯誤.【詳解】對于①，假設存在兩個小于1的正數，不妨設,則,則,這與矛盾,故中小于1的數最多只有一個,①正確;對于②，不妨假設中最小數為，取,則取,則,即說明中最小的數可以小于，②錯誤,故選：A.17．(1)(2)【分析】（1）由題知，進而結合題意得；（2）由三角形面積公式得，進而根據余弦定理與正弦定理求解即可.【詳解】（1）解：因為，所以，解得或，因為為銳角三角形，所以，，（2）解：因為的面積，所以，解得，所以由余弦定理得，即，所以，由正弦定理得所以，18．(1)證明見詳解；(2)【分析】（1）取的中點，可證明，得到即可.（2）建系，利用空間向量法直接求線面角的正弦值.【詳解】（1）證明：取的中點，因為為的中點，底面是邊長為2的正方形，所以，又因為，所以平面，因為，平面所以因為，所以，因為為中點，所以為的中點（2）因為，又，所以，所以，因為，，故以A為坐標原點，分別以為軸建立空間直角坐標系，則所以設平面的法向量為則，另，得設直線與平面所成的角為，則所以直線與平面所成角的正弦值為19．(1)(2)【分析】（1）根據頻率估計概率，計算評分不小于90分的頻率即可，再根據分層抽樣計算即可；（2）結合（1），列舉基本事件，根據古典概型公式求解即可.【詳解】（1）評分不小于90分的頻率為，由頻率分布直方圖可知，評分在之間的有人，評分在之間的有人，所以，用分層抽樣的方式從評分不小于90分的考生中隨機抽取5人作為樣本，評分在有人，評分在之間的有人，所以，評分在區(qū)間內的考生人數的值為.（2）由（1）知，記評分在的位考生為，評分在之間的位考生為，所以，樣本中隨機抽取隨機抽取2人，可能的情況有：，共種，其中，評分在區(qū)間內的考生有，共種，所以，評分在區(qū)間內的考生的概率為20．(1)(2)詳見解析(3)【分析】（1）根據題意得到求解；（2）易知，，與橢圓方程聯(lián)立，求得A，B的橫坐標，再利用弦長公式證明；（3）設直線l方程為，則直線m的方程為，將直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立，結合韋達定理，利用弦長公式得到的表達式，進而得到的表達式求解.【詳解】（1）解：由題意得：，則，所以橢圓的標準方程為：；（2）易知，，設，由，得，解得，則，，所以；（3）如圖所示：若直線l，m中兩條直線分別與兩條坐標軸垂直，則其中有一條必與直線平行，所以直線l的斜率存在且不為零，設直線l方程為，則直線m的方程為，設，由，消去y得，則，，易知，將代入直線l的方程得，即，則，，，同理，所以，，當且僅當，即時，等號成立，所以的最大值為.方法點睛：本題第二三問都體現(xiàn)了“曲”化“直”的思想，涉及到線段問題，注意弦長公式的應用.21．(1)；(2)；(3)證明見解析.【分析】（1）利用導數的幾何意義即可求得切線方程；（2）根據單調性可知在上恒成立，利用分離變量法可得，由可得結果；（3）設，則，將所證不等式轉化為，令，利用導數可求得，由此可證得結論.【詳解】（1）由題意知：，定義域為；，又，曲線在處